數(shù)形結(jié)合例題選集

1、數(shù)形結(jié)合一、在一些命題證明中的應(yīng)用舉例：1、證明勾股定理：，一,22224 (0.5ab) (a b) a b c* ；包信號:岑h1口:解析：上圖中，四個小三角形(陰影部分)的面積加上中間小正方形的面積等于 大正方形的面積，化簡后得到勾股定理 a2 b2 c2。2、證明乘法公式(平方差與完全平方)(a b)2 a2 b2 2ab解析：在上圖中，利用正方形和小正方形面積的轉(zhuǎn)化， 能更進一步理解平方差公式與完全平方公式的運算過程以及公式的本質(zhì)問題。3、證明基本不等式:a bT，解析：如上圖所示，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，長度為 根據(jù)直角三角形的相似關(guān)系，可以得到直角三角形斜邊上的高的

2、長度為 然在直角三角形中，斜邊上的中線的長度會大于等于高，利用這樣簡潔明了的幾 何圖解，對基本不等式的理解也就更加簡單了。4、證明正(余)弦定理:解析:1(1)如上圖所小，ABC的面積S -a h1a bsinC bsinC csinB 2，即b_工，同理可得sinB sinCsinA根據(jù)圓的性質(zhì)(等弧對等角)sinB sinC 'a - aA D, sinA sinD ，即2R ；2R sinA綜上，得正弦定理:2R 0sinA sinB sinC(2)根據(jù)勾股定理AB2 BE2 AC2 CE2,即c2 (c cosB)2 b22(a c cosB)；整理可得余弦定理:2ac5、證明

3、結(jié)論 tanx x sinx, x (0,一) 2解析：如上圖所示，根據(jù) y=tanx、y=x、y=sinx在x (0,)上的圖像可看出2tanx>x>sinx , x (0,萬)。當(dāng)然,實際考試作圖不可能如此精確，那么轉(zhuǎn)化到右圖的單位圓中，當(dāng)x (0,)時，角的終邊始終在第一象限內(nèi)，根據(jù)三角函數(shù)線 2可知，藍線表示正弦線，紅線表示正切線，再根據(jù)弧長公式 l R x 1 x,即圖中黑色弧線的長度表示x,顯而易見。紅線長度 >弧線長度 >藍線長度，即tanx>x>sinx , x26、證明兩角差的余弦公式:解析：如上圖所示，根據(jù)三角比的定義及單位圓的定義可知單

4、位圓上的點的坐標(biāo)表示。左圖中，AB2 (cos cos)2 (sinsin )2,將B點旋轉(zhuǎn)至(1, 0)處(右圖所示)。此時，AB2 cos() 12 sin ()2,因為線段AB的長度沒有發(fā)生變化，即(cos cos )2 (sin sin )2 cos () 12 sin ()2,化簡:cos() cos cos sin sin 。當(dāng)然也可以用向量的方法證明，利用向量數(shù)量積定義，證明更加簡潔。如左圖，cosOA OB (cos , sin ) (cos , sin )OA OBcos cos sin sin 。二、在考試中的具體應(yīng)用：1、與函數(shù)的綜合運用，主要體現(xiàn)在求零點、交點、解的個數(shù)

5、及參數(shù)范圍等方面：例1 (14奉賢)已知定義在R上的函數(shù)y=f (x)對任意x都滿足f (x+2) =-f (x),當(dāng)-1 x 1時，f (x) x3,若函數(shù)g (x) f (x) logax只有四個零點，則a的取值范圍是、1 1答案：(,)(35 3解析：根據(jù)已知條件，f (x)的周期為4,先畫f (x) 一個周期圖像，當(dāng)1 x<3 時，f (x2)(x2)2-f (x) , f (x) -(x2)2 ,由此畫出-1,3)的圖像，此為一個周期，圖像如下， g (x) f (x) logax只有四個零點即 f (x)與y=loga x只有四個交點，需分類討論:評注：數(shù)形結(jié)合體型，一定要結(jié)

6、合圖像分析，并且一些用于定位的特殊點要善于把握；另一方面，必須熟悉初等函數(shù)的所有性質(zhì)及函數(shù)圖像的變換。log2x,0 x 4例2 (14閔行)f (x)2 n 70 ，若a、b、c、d互不相同，且f2x2 8x -70, x 4 33(a) =f (b) =f (c) =f (d),則 abcd 的取值范圍是答案：(32, 35)解析：根據(jù)題意，如下圖所示，ab=1, abcd=cd=c (12 c) 12 c2, 4<c<5,所以答案是(32, 35)。評注：這類題出現(xiàn)很多，典型的數(shù)形結(jié)合題型，要讓學(xué)生熟悉各類函數(shù)圖像及相關(guān)性質(zhì)，尤其是對稱性和周期性；在草稿紙上作圖時，雖說是草圖

7、，但有必要做出一些特殊點進行定位；寫區(qū)間時，務(wù)必考慮區(qū)間的開閉情況。變式 已知函數(shù)f (x) =|x-1|-1|,若關(guān)于x的方程f (x) =t (t R)恰有四個互不相等的實數(shù)根x1、x2、x3、x4(x1x2 x3x4),則x1x2x3x4的取值范圍是答案：(3, 4)解析：根據(jù)題意，如下圖所示，x1x20,x1x2 x3x4x3x4x3(4x。=4x3 x2，x3 (12)。b. a b例3 (14楊浦)止義一種新運算：a b。已知函數(shù)f (x) = (1 +a, a b4一)10g2x ,右函數(shù)g (x) =f (x) -k恰有兩個布點，則k的取值氾圍是()xA. (1, 2 ; B.

8、 (1, 2); C. (0, 2); D. (0, 1)答案：B，4,，4,1log2x1144解析：f (x) (1 ) log2xxx x' ',如下圖x.4log2x, log2x 1 -10g2x,0 x 4x所示：令g (x) =f (x) -k=0,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f (x)與函數(shù)y=k有兩個交點，則k (1,2)。評注：本題考查分段函數(shù)表達式求法，函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)交點問題， 數(shù) 形結(jié)合很容易求解，可以作適當(dāng)?shù)难由欤热?，有一個零點，求k的取值范圍等。例4 (14寶山)關(guān)于函數(shù)f (x) =xL ,給出下列四個命題：1X1 1當(dāng)x>0時，y=f (

9、x)單調(diào)遞減且無最值；方程f (x) =kx+b (k 0) 一定有解；如果方程f (x) =k有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；y=f (x)是偶函數(shù)且有最小值。則其中真命題是答案：、解析：含絕對值、分類討論。先畫x>1和0Vx<1的部分，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì) (關(guān)于y軸對稱)畫出左半部分，函數(shù)圖像如下圖所示：評注：含絕對值的數(shù)形結(jié)合題型，根據(jù)絕對值內(nèi)的情況，進行分類討論，畫出函 數(shù)圖像，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，一般是對稱性或奇偶性，然后根據(jù)函數(shù)圖像對各項進行分析篩選。例5 (14奉賢)定義在(0,)上的函數(shù)f (x)滿足:當(dāng) x 1,3)時，f (x)1,1x2 x,2 x 3,f (3x)

10、 =3f (x)0設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F (x) =f(x) -1的零點從小到大依次記為Xi、 x2、 x3、 x4、x5、,貝 x1 x2 x3 x4x5答案：50答案也就呼之欲出，這就是數(shù)形結(jié)合在直觀呈現(xiàn)方面的快捷。解析：結(jié)合已知條件，分析函數(shù)性質(zhì)，畫出函數(shù)圖像，如下圖所示，x1 x2 x3 x42、與三角函數(shù)的綜合運用:例1 (14十三校聯(lián)考)已知f (x) =asin2x+bcos2x (a、b為常數(shù))，若對于任x R都有f (x) f (,則方程f (x)0在區(qū)間0,內(nèi)的解為2答案：x=或x 63解析：根據(jù)“若對于任意xR都有 f (x) f (5") ”可知，當(dāng)x=5-時，函數(shù)

11、圖 1212像取最低點，再結(jié)合函數(shù)解析式可知函數(shù)周期為，因為函數(shù)的最值橫坐標(biāo)與相鄰零點之間相差1個周期，即一，所以在區(qū)間0,內(nèi)的解(即在區(qū)間0, 4452內(nèi)的零點)為x=5-,即x 或x 012463評注：本題看似復(fù)雜，因為有字母 a、b,但只要理解了 “三角函數(shù)的最值橫坐標(biāo)與相鄰零點急間相差 工個周期”這樣的圖像性質(zhì)，結(jié)合圖像原理，就迎刃而解 4了。例2 (14閘北)設(shè)a>0且a 1,已知函數(shù)f (x) =ax 2sin2 x 2( x 0)至少有5個零點，則a的取值范圍為答案：(0, 1)(1, 2)解析：就是求函數(shù)y 2sin2x與函數(shù)y 2 ax在x (0,)上的交點個數(shù)，分兩種

12、情況:(1)當(dāng)0<a<1時，在x (0,)兩個函數(shù)圖像有無數(shù)個交點，如下圖所示:所以0<a<1時，滿足至少有5個交點(2)當(dāng)a>1時，如下圖所示，在x (0,)要至少5個交點，函數(shù)y 2 ax在x=1處要大于0即2-a>0, a<2,滿足至少有5個交點。評注：這是一道典型的數(shù)形結(jié)合的題型，將零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)交點個數(shù)問題, 注意理解題意、審清題意及數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化。例3 (14虹口)函數(shù)f (x) =2sin x與函數(shù)g (x) 3Jx1的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為答案：17即一對對稱交點的橫坐標(biāo)之和為 2,總共有8對關(guān)于點(1,0)對稱的點，再加 &

13、#177;(1,0)點本身，即所有交點的橫坐標(biāo)之和為 17。評注：本題首先要熟悉函數(shù)的圖像變換， 精確畫出函數(shù)圖像，然后再研究交點的 特性，在這道題中，交點關(guān)于點(1,0)對稱的，在這個前提下，求橫坐標(biāo)之和 就轉(zhuǎn)化成簡單的中點問題。例 4 已知函數(shù) y=f (x),任取t R ,定義集合：At y |yf (x),點P (t,f (t) ),Q (x,f (x) ,PQ72, 設(shè)Mt和mt分別表示集合At中元素的最大和最小值 ，記h (t) M t mt,則：(1)若函數(shù) f (x) =x,則 h (1)=(2)若函數(shù)f (x) =sin x ,則h (t)的最大值為 2答案：(1) 2; (

14、2) 2解析：定義的意思是函數(shù)y=f (x)在以定點P (點P在函數(shù)圖像上)為圓心半徑為&的圓內(nèi)的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即 At(1)定點P (1,1),如下圖所示，藍色實線段部分為符合定義的圖像部分，這部分圖像最大值為2,最小值為0,所以h (1) =2(2)對于f (x) =sin x ,函數(shù)最大值與最小值之差 2,如下圖所示，通過理解觀察，可得出At能夠同時包含最大值和最小值，所以 h (t)的最大值為2,止匕時t=2k , k Z。評注：這是一道理解性的定義體型，理解題目的定義很重要，然后結(jié)合函數(shù)圖像 分析就不難了。sinx, x 0,2(x 2), x (2,),有以下四

15、個命題:例5 (14閔行)對于函數(shù)f (x) = i-f2任取xi、x2 0,)，都有f (x1)f (x2)| 2包成立；f (x) =2kf (x+2k) (k N ),對于一切 x 0,)恒成立；函數(shù)y=f (x) -In (x-1 )有3個零點；對任意x>0,不等式f (x)K包成立，則實數(shù)k的取值范圍是-,)x8則其中所有命題的序號是答案：、解析：根據(jù)下圖所示可知：選項是 2k,選項反比例函數(shù)圖像至少要滿足點像盡量做到精確，才能避免差錯3、與解析幾何的綜合運用：例1 （14閘北）設(shè)曲線C: x2 y2 2 2何又|y）,則曲線C所圍封閉圖形的 面積為答案：32833解析：因為圖

16、像關(guān)于x軸、y軸對稱，所以可以先畫第一象限的圖像，第一象限 x>0, y>0,絕對值直接去掉，可得一段圓弧，然后關(guān)于 x軸、y軸對稱翻折，如 下圖所示，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，可得 ABC 150 , AB=Z可以先算第一象限的面積， 由一個扇形與一個四邊形構(gòu)成，然后再乘以 4,全面積為 絲 隊耳。3評注：方程圖像問題，含絕對值，所以根據(jù)象限分類討論，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)畫出方程圖像，割補法求面積。變式由曲線x2 y2 x y所圍成的封閉圖形的面積為答案：2+例2 （14金山）已知直線l : 4x-3y+6=0,拋物線C: y2 4x圖像上的一個動點P到直線l與y軸的距離之和的最小值是答案：1解析：

17、結(jié)合題意，畫出直線與拋物線的草圖，找到點 P到直線l與y軸的距離之 和，如下圖所示，即 PH+PA=PH+PB-1=PH+PF-PH' 1,PH'用點至IJ直線距離公式 求出來等于2,所以答案為1。評注：注意圓錐曲線的相關(guān)定義，進行巧妙的轉(zhuǎn)化，如本題中用到了 “拋物線上的點到焦點的距離等于這個點到準(zhǔn)線的距離” 這個性質(zhì)，然后結(jié)合圖像進行轉(zhuǎn)化2例3 （14金山）已知有相同焦點E、F2的橢圓2X 2y 1( m 1)和雙曲線一y=0(n 0),點P是它們的一個交點，則 SF1P后答案：D解析:法一：如下圖所示，由題意得：c2mini, PF1 PF2 2, m, PF2PF,2%h

18、,兩式平方相減得：PFPF2m n 2,所以PF；PF；(PF,PF,)222PFi PF2 4m 4 4cF1F2,即 PFiPF2,彳# S 1法二：對于橢圓而言，焦點三角形的面積為 S b2tan-,對于雙曲線而言焦點三2角形面積S b2cot ,而這是同一個三角形，所以tancot,即 一，所2222F1PF2評注：熟悉圓錐曲線的定義非常重要，根據(jù)條件找到變量之間恒定的關(guān)系， 做數(shù) 學(xué)題時，很多時候要辯證思考，透過變化的表象，發(fā)現(xiàn)不變的內(nèi)在聯(lián)系，動靜結(jié) 合，有機分析，以靜制動，以不變應(yīng)萬變。例4 (14金山)設(shè)雙曲線nx2 (n 1) y2 i, ( n N)上動點P到定點Q (1,0

19、)的距離三最小值是dn,則lim dn ()nA. 1 ; B.匹；C.0;22答案：B解析：雙曲線方程兩邊同時除以n,得到x2 (1 1) y2 1,當(dāng)n J 0, n nn即方程x2 y2 0,這就是方程的極限位 置，即求點Q (1,0)到直線y x的距離,選B評注：這是一類要考慮極限位置的極限體型， 在高考中出現(xiàn)過類似的題目，一般找到了極限的位置，題目就很容易解的，很多同學(xué)不會因為沒有想到極限的位置， 而像=想把dn用n表示出來就復(fù)雜了 例5 (14閔行)若曲線f (x, y) 0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是(22Z2222A.

20、 x y 1 0； B. x J4 y 1 0； C. x y x x 1 0; D. 3x xy1 0答案：C解析：A、B、C、D選項圖像依次如下圖所示，根據(jù)題意，選C評注：利用數(shù)形結(jié)合的方法，考查了含絕對值曲線方程的畫法， 一般根據(jù)圖像的 對稱性，或者分區(qū)間、分象限進行分類討論函數(shù)方程在各個象限的圖像， 再結(jié)合 題意解題。4、與向量的運用:例1 (14徐匯)如下圖所示，已知點G是ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩邊分別交于 M、N兩點去，且 AM xE，而 yAE,則 "y一x y3解析：法一：M、G、N三點共線，設(shè)於 AM AN，有1 , AM xAB ,1AN yAC A

21、G AM AN xAB yAC ,因為 G是重心，所以 AG 3AB 1AC,即x y 1,11,化簡匕L 133 3x 3yx y 32法二：取特殊值，取x y 2。3評注：作為填空題，本題的第一做法是法二，同時也要知道具體過程，注意向量 一些常用知識點及一些轉(zhuǎn)化技巧。例2 （14閔行）設(shè)i、j依次表示平面直角坐標(biāo) 系x軸、y軸上的單位向量，且a ja 2jV5,則a 2i的取值范圍是答案：詈,3 解析：根據(jù)題意，a j a 2j V5的幾何意義為一個點到（1,0）的距離加上這個點到（0,2）的距離等于 & 如下圖所示，即到A點的距離加上到B點的距離等于石，而AB J5,所以這個點的

22、軌跡為線段 AB ,而我們要求的取值范圍的幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段AB上的點到點（-2,0）的距離的取值范圍，最短距離是下f-圖中CD的長度，用點到直線的距離公式或等面積法可求得 CD 生5,因為BC52 <2, AC 3,距離的最大值為 3。評注：用代數(shù)的方法計算，因為有根號，過程很復(fù)雜，結(jié)合向量的模的幾何意義， 轉(zhuǎn)化成圖形問題就簡明了，易于理解，教學(xué)過程中注意引導(dǎo)數(shù)形結(jié)合的使用。例3 （14徐匯）如下圖所示，在邊長為2的正六邊形 ABCDEF中，動圓Q的半徑為1 ,圓心在線段CD （含端點）三上運動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點，設(shè)向 量AP mAB nAF（m、n R）,則m n的最大值為

23、答案：55 一解析：如上圖所小，AP - （AB AF）。2評注：本題結(jié)合動態(tài)圖像考查了向量的分解， 要求能夠理解題意，本題也可建系分析5、與其他知識點的綜合運用：例1 （14浦東）用S集合S中的元素的個數(shù)，設(shè)A、B、C為集合，稱（A, B, C）有序三元組。如果集合A、B、C滿足A B |B C A C 1,且A B C=,則稱有序三元組(A、B、C)為一最小相交，由集 合1,2,3,4的子集構(gòu)成的所有有序三元組中，最小相交的有序三元組的個數(shù)為 答案：96解析：設(shè)A、B、C為1,2,3,4的三個子集，如下圖所示，因為A B C,所以S 不含任何元素，因為 A B| |B C A C 1,所以M1, M2, M3中個各有 一個元素，將1,2,3,4中的元素排入，有C；P； P：種方法，由題意得，還剩下的 一個元素，可排在P、Q、R,也可不排入，共有1 P3