方向?qū)?shù)的應(yīng)用

1、泛函分析文獻綜述方向?qū)?shù)的應(yīng)用參考文獻：1隋允康.高階方向?qū)?shù)及其應(yīng)用.北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010年2王其林李聲杰.廣義高階錐方向?qū)?shù)及對集值優(yōu)化的應(yīng)用.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，20113余國林方向?qū)?shù)和廣義錐_預(yù)不變凸集值優(yōu)化問題數(shù)學(xué)學(xué)報，2011高階方向?qū)?shù)及其應(yīng)用將多元函數(shù)方向?qū)?shù)概念予以推廣，在得到二階方向?qū)?shù)定義和計算公式后，給出了多元函數(shù)的高階方向?qū)?shù)。借助高階方向?qū)?shù)，可以得到將一元函數(shù)性質(zhì)向多元函數(shù)推廣的一半途徑。對于多元函數(shù)f(x),在給定點x和給定方向l上，x + al實際上成為a為變量的n維空間的一條直線，相應(yīng)地，多元函數(shù)f(x)變成a的一元函數(shù)，見圖F(a) = f(x + al

2、)(3)在函數(shù)-多元變量組成的 n+1維空間中，沿函數(shù)坐標軸向直線x + al引一個平面，在函數(shù)超曲面f (x)上截出一個曲線 F(a)。本質(zhì)上，F(xiàn)(a)是以l為變量的坐標軸的一元函數(shù)。dF(a)daf(x al) d(xal/三的 a%) dan=11 1開(x al)li1于是2 _d Fda2i2a 二(xi2ali2)i2n ni1 =1i2 =1_ 2 -:f(x al)：二(刈 ali”(xi2 ali2)l il i2 假dm4F(a)m 1dan工i m；：mJf(x al)1 ：(為1ali1)：:(xim4 alim)li1 , Tim于是推出警=工(冷：；0“a=0時不難

3、證明如下等價關(guān)系dmF(a)cfm(x)-7m_ 3=0 -。mda: l線性代數(shù)給出了矩陣半正定的定義：若nn階矩陣A對于任意 n階向量x#0有xTAx 0,則矩陣A是半正定的。矩陣半正定的幾何意義是什么？構(gòu)造函數(shù)f(x) =xTAx/2(x E)取任意方向l w E,則d(x)/d = Ax及方2f (x)/el2 =l2V2f(X)l =lTAl ,因為矩陣 A半 正定。根據(jù)“二階可微的一元函數(shù)為凸函數(shù)的充分必要條件是其二階導(dǎo)數(shù)非負”的結(jié)論，上述多元函數(shù)在任意方向lwE上是一個凸函數(shù)。其實關(guān)于多元函數(shù)為凸函數(shù)的結(jié)論已經(jīng)存在，但有3點不同：1)不是沿本文路徑得到；.一 2 一 一 .一2)

4、它按多元函數(shù)直接表達： f(x)為半正定矩陣是 f(x)為凸函數(shù)的充分必要條件；3)以往沒有解釋半正定矩陣的幾何意義。按上述二階方向?qū)?shù)非負的結(jié)論，作者給出半正定矩陣的幾何意義：由半正定矩陣按式(5)構(gòu)造多元二次函數(shù)，在多元空間任意給定點，沿任意方向上截出的一元函數(shù)，同理，可以給出半負矩陣的幾何意義：由半負矩陣構(gòu)造的多元函數(shù)，在多元空間任意給定點，沿任意給定方向上截出的一元函數(shù)，均為凹函數(shù)。廣義高階錐方向?qū)?shù)及對集值優(yōu)化的應(yīng)用3最優(yōu)性條件本節(jié)將利用秦值映射Dini方向?qū)?shù)的概念:在廣義錐-預(yù)不變凸性假設(shè)下,建立集值優(yōu)化問 題的最優(yōu)性條件.在下面定理3.1和定理中本文假定第2戶中的三個假設(shè)2假設(shè)

5、2一3都 成立 設(shè)S為X的非空開子集，F(xiàn) ： X 一產(chǎn)為一集值映射考慮下面的集值優(yōu)化問題(SOP)(SOP) C min 尸，(3.1)定義包)點值,研三5xY林為問題(SOP)的弱極小元,如果y F(射，并且(尸(H)-5) Ci (-intC) = 0：中工三 S,(b)點(x.y)eSxY稱為問題(SOP)的弱極大元，如果y Ef,并且(F(ar) - jf) 0 iintC = Vx t S.點必/WS翼y稱為問題(SOP)的強極小元I如果y e F),并且尸(0G J + C,中工E S.(d)點(xeSxY稱為問題(SOP)的強極大元,如果y E F(x),并且 F C y - C

6、j Vx E S.定理3.1考慮集值優(yōu)化問題(SOP).(1)如果點 口/eSxr是問題(SOP)的弱極小元，則有W團隊工=4 Vz 5,(3.1)F(元e(1門(一intC) = 0, Vi (3.2)(2)設(shè)集合S關(guān)于4和3為廣義不變凸集.F : S T 2y在集S上關(guān)于和q為廣義C-預(yù) 不變凸集值映射.如果(3.1)式成立.則點W S x V為問題(SOP)的弱極小元.證明參見文7,定理3口.(2)假設(shè)y/(. i(x, x) D (-intC) = 0. VigS,則有D (-intC) = 0, Vx S.由命題2.1,可知F(x) - y C kY.(x.r)(x,1)+ C,所以

7、有尸(i) 一歹nintC = 0. Vt5.根據(jù)定義3.1,點,見為問題(SOP)的弱極小元.證明 反證法.假設(shè)(3.3)式不成立，則存在上W S,使得因此，行在/ CS(F)以及充分小的實數(shù) 0.使x + tr)(x, x) e S, f(x) - y,并且f(i + tTi(x,x) - f(x) i C,上式表明/(i + Mx,x)=i/F(S)= UF(x),xeSay-yiC.這與點3,8)是問題(SOP)的強極小點矛盾.另外.根據(jù)F的下Dini方向?qū)?shù)的定義.容易得 到(3.4)式成立.定理3.2考慮集值優(yōu)化問題(SOP).(!)如果點(電刃W S x Y是問題(SOP)的強極

8、小元，則有理(E(與)UC, VxGS.(3.3)F(x,7/(x,i)cC, Vze S.(3.4)(2)設(shè)集合S關(guān)于。和g為廣義不變凸集,F ： S - 2y在集S上關(guān)于q和夕為廣義C- fti 不變凸集值映射.如果(3.3)式成立，則點(心/G S x y為問題(SOP)的強極小元.(2)假設(shè)(3.3)式成立,此即是Y(x. r)(x,x) C C, Vrr 6 s.由命題21，可知F(x) - ?/ G kY%(五.ry(x.x) + C C C V；r G S.故有F(x) - y C C, Vx 6 S.上式表明：(元亨)為問題(SOP)的強極小元.注3.1類似于定理3.1和定理3

9、.2的證明方法，可得如下結(jié)論：設(shè)(工行)W S x 丫為問題 (VOP)的弱圈極大元則有Y(x, r/(x,z) Cl intC = 0C -C, VnCS.史(1,(c,) A intC = 0C -C, Vx S.引理3.1盟 如果AU 丫是凸的,A和intA#0,則/聾“(y) = intcone(4-y).定理 3.1 設(shè)(xq.j/o) gph(F), (tn, Vi) G X x (-C),i = rn - 1.如果(xo-I/o)是一 題(P)的弱極小元，則對任意的工 domiG-。黑)尸(3物.”.SniEr)：有6慳)”(方，!/0,孫,等1.“一,叫“_1)(1)門(-訕。

10、)=0.(3.1)干是存在于-0+, (了”加6 cone(epi(F)-(加武)，使得(Nn,JM)一 九n(Ul/l)/1/7(7年-1,m_1).而4工,切-8)從而由(3.4)式知，存在充分大的自然數(shù)N,使得血；產(chǎn)J e _intC, Vn N.由 于%0,故yn - hnvihJlvm-i 一int。，Vn N.(3.5)因為也W (-C)Jin0以及C是一個凸錐，所以+砧一】加-1 -C.干是由(3.5)式得yn -intC-C C -int。，Vn N,這與(3.3)式矛盾.因此(3.1)式成立.I下面給一個例子說明利用廣義m階C方向相依導(dǎo)數(shù)刻畫的必要最優(yōu)性條件，取m = 2. 例3.1設(shè)X = H, V = R2. A = X.C =型.給定集假映射F ：人一2丫滿足尸=(小如) H2 :2/1 xty2xyxeA.考慮下列集值優(yōu)化問題 | min F(i),| s.t. x Q A.證 由(3,如)是問題(P)的弱極小無知(F一如)C(in = 0.(3.2)產(chǎn)是(3.3)conc(F(A) h C - yo) Q (-intCf) = 0.事實上,如果(3.3)式不成立,則存在a e (0,oo),Xi e A.yi F(x1),