數(shù)學競賽平面幾何講座5講(第3講點共線、線共點)

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2、可證AK HB。四邊形AHBK是平行四邊形，其對角線AB，KH互相平分。而C是AB中點，線段KH過C點，故K，C，H三點共線。例2 如下圖，菱形ABCD中，A=120， O為ABC外接圓，M為其上一點，連接MC交AB于E，AM交CB延長線于F。求證：D，E，F(xiàn)三點共線。證 如圖，連AC，DF，DE。因為M在 O上，那么AMC=60ABC=ACB，有AMCACF，得又因為AMC=BAC，所以AMCEAC，得所以 ，又BAD=BCD=120，知CFDADE。所以ADE=DFB。因為ADBC，所以ADF=DFB=ADE，于是F，E，D三點共線。例3 四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其邊AB與DC的延長線交于

3、點P，AD與BC的延長線交于點Q。由Q作該圓的兩條切線QE和QF，切點分別為E，F(xiàn)。求證：P，E，F(xiàn)三點共線。證 如圖。連接PQ，并在PQ上取一點M，使得B，C，M，P四點共圓，連CM，PF。設(shè)PF與圓的另一交點為E，并作QG丄PF，垂足為G。易如QE2=QMQP=QCQB PMC=ABC=PDQ。從而C，D，Q，M四點共圓，于是PMPQ=PCPD 由，得PMPQ+QMPQ=PCPD+QCQB，即PQ2=QCQB+PCPD。易知PDPC=PEPF，又QF2=QCQB，有PEPF+QF2=PDPC+QCAB=PQ2，即PEPF=PQ2-QF2。又PQ2-QF2=PG2-GF2=PG+GFPG-G

4、F=PFPG-GF，從而PE=PG-GF=PG-GE，即GF=GE，故E與E重合。所以P，E，F(xiàn)三點共線。例4 以圓O外一點P，引圓的兩條切線PA，PB，A，B為切點。割線PCD交圓O于C，D。又由B作CD的平行線交圓O于E。假設(shè)F為CD中點，求證：A，F(xiàn)，E三點共線。證 如圖，連AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，延長FC交BE于G。易如OA丄AP，OB丄BP，OF丄CP，所以P，A，F(xiàn)，O，B五點共圓，有AFP=AOP=POB=PFB。又因CDBE，所以有PFB=FBE，EFD=FEB，而FOG為BE的垂直平分線，故EF=FB，F(xiàn)EB=EBF，所以AFP=EFD，A，F(xiàn)，E三點共線。

5、2. 線共點的證明證明線共點可用有關(guān)定理如三角形的3條高線交于一點，或證明第3條直線通過另外兩條直線的交點，也可轉(zhuǎn)化成點共線的問題給予證明。例5 以ABC的兩邊AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。ABC的高為AH。求證：AH，BF，CD交于一點。證 如圖。延長HA到M，使AM=BC。連CM，BM。設(shè)CM與BF交于點K。在ACM和BCF中，AC=CF，AM=BC，MAC+HAC=180，HAC+HCA=90，并且BCF=90HCA，因此BCF+HAC=180MAC=BCF。從而MACBCF，ACM=CFB。所以MKF=KCF+KFC=KCF+MCF=90，即 BF丄MC。同理CD丄MB。A

6、H，BF，CD為MBC的3條高線，故AH，BF，CD三線交于一點。例6 設(shè)P為ABC內(nèi)一點，APB-ACB=APC-ABC。又設(shè)D，E分別是APB及APC的內(nèi)心。證明：AP，BD，CE交于一點。證 如圖，過P向三邊作垂線，垂足分別為R，S，T。連RS，ST，RT，設(shè)BD交AP于M，CE交AP于N。易知P，R，A，S;P，T，B，R;P，S，C，T分別四點共圓，那么APB-ACB=PAC+PBC=PRS+PRT=SRT。同理，APC-ABC=RST，由條件知SRT=RST，所以RT=ST。又RT=PBsinB，ST=PCsinC，所以PBsinB=PCsinC，那么由角平分線定理知故M，N重合，

7、即AP，BD，CE交于一點。例7 O1與 O2外切于P點，QR為兩圓的公切線，其中Q，R分別為 O1， O2上的切點，過Q且垂直于QO2的直線與過R且垂直于RO1的直線交于點I，IN垂直于O1O2，垂足為N，IN與QR交于點M。證明：PM，RO1，QO2三條直線交于一點。證 如圖，設(shè)RO1與QO2交于點O，連MO，PO。因為O1QM=O1NM=90，所以Q，O1，N，M四點共圓，有QMI=QO1O2。而IQO2=90RQO1，所以IQM=O2QO1，故QIMQO2O1，得同理可證 。因此因為QO1RO2，所以有由，得MOQO1。 又由于O1P=O1Q，PO2=RO2，所以 ，即OPRO2。從而

8、MOQO1RO2OP，故M，O，P三點共線，所以PM，RO1，QO2三條直線相交于同一點。3. 塞瓦定理、梅涅勞斯定理及其應(yīng)用定理1 塞瓦Ceva定理:設(shè)P，Q，R分別是ABC的BC，CA，AB邊上的點。假設(shè)AP，BQ，CR相交于一點M，那么證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有以上三式相乘，得 .定理2 定理1的逆定理:設(shè)P，Q，R分別是ABC的BC，CA，AB上的點。假設(shè) ，那么AP，BQ，CR交于一點。證 如圖，設(shè)AP與BQ交于M，連CM，交AB于R。由定理1有 . 而 ，所以于是R與R重合，故AP，BQ，CR交于一點。定理3 梅涅勞斯Menelaus定理:一條不經(jīng)過ABC任一頂點的直線和三角

9、形三邊BC，CA，AB或它們的延長線分別交于P，Q，R，那么證 如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有將以上三式相乘，得 .定理4 定理3的逆定理:設(shè)P，Q，R分別是ABC的三邊BC，CA，AB或它們延長線上的3點。假設(shè)那么P，Q，R三點共線。定理4與定理2的證明方法類似。塞瓦定理和梅涅勞斯定理在證明三線共點和三點共線以及與之有關(guān)的題目中有著廣泛的應(yīng)用。例8 如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC平分BAD。在CD上取一點E，BE與AC相交于F，延長DF交BC于G。求證：GAC=EAC。證 如圖，連接BD交AC于H，過點C作AB的平行線交AG的延長線于I，過點C作AD的平行線交AE的延長線于J。對BCD用

10、塞瓦定理，可得因為AH是BAD的角平分線，由角平分線定理知 。代入式得因為CIAB，CJAD，那么 ， 。代入式得從而CI=CJ。又由于ACI=180BAC=180DAC=ACJ，所以ACIACJ，故IAC=JAC，即GAC=EAC.例9 ABCD是一個平行四邊形，E是AB上的一點，F(xiàn)為CD上的一點。AF交ED于G，EC交FB于H。連接線段GH并延長交AD于L，交BC于M。求證：DL=BM.證 如圖，設(shè)直線LM與BA的延長線交于點J，與DC的延長線交于點I。在ECD與FAB中分別使用梅涅勞斯定理，得因為ABCD，所以從而 ，即 ，故CI=AJ. 而且BM+MC=BC=AD=AL+LD. 所以B

11、M=DL。例10 在直線l的一側(cè)畫一個半圓T，C，D是T上的兩點，T上過C和D的切線分別交l于B和A，半圓的圓心在線段BA上，E是線段AC和BD的交點，F(xiàn)是l上的點，EF垂直l。求證：EF平分CFD。證 如圖，設(shè)AD與BC相交于點P，用O表示半圓T的圓心。過P作PH丄l于H，連OD，OC，OP。由題意知RtOADRtPAH，于是有類似地，RtOCBRtPHB，那么有由CO=DO，有 ，從而 .由塞瓦定理的逆定理知三條直線AC，BD，PH相交于一點，即E在PH上，點H與F重合。因ODP=OCP=90，所以O(shè)，D，C，P四點共圓，直徑為OP. 又PFC=90，從而推得點F也在這個圓上，因此DFP=

12、DOP=COP=CFP，所以EF平分CFD。例11 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB，DC延長線交于E，AD、BC延長線交于F，P為圓上任意一點，PE，PF分別交圓于R，S. 假設(shè)對角線AC與BD相交于T.求證：R，T，S三點共線。先證兩個引理。引理1:A1B1C1D1E1F1為圓內(nèi)接六邊形，假設(shè)A1D1，B1E1，C1F1交于一點，那么有 .如圖，設(shè)A1D1，B1E1，C1F1交于點O，根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)易知 OA1B1OE1D1，OB1C1OF1E1，OC1D1OA1F1，從而有將上面三式相乘即得 ，引理2：圓內(nèi)接六邊形A1B1C1D1E1F1，假設(shè)滿足那么其三條對角線A1D1，B1

13、E1，C1F1交于一點。該引理與定理2的證明方法類似，留給讀者。例11之證明如圖，連接PD，AS，RC，BR，AP，SD.由EBREPA，F(xiàn)DSFPA，知兩式相乘，得又由ECREPD，F(xiàn)PDFAS，知 ， . 兩式相乘，得由，得 . 故對EAD應(yīng)用梅涅勞斯定理，有由，得由引理2知BD，RS，AC交于一點，所以R，T，S三點共線。練 習A組1. 由矩形ABCD的外接圓上任意一點M向它的兩對邊引垂線MQ和MP，向另兩邊延長線引垂線MR，MT。證明：PR與QT垂直，且它們的交點在矩形的一條對角線上。2. 在ABC的BC邊上任取一點P，作PDAC，PEAB，PD，PE和以AB，AC為直徑而在三角形外側(cè)

14、所作的半圓的交點分別為D，E。求證：D，A，E三點共線。3. 一個圓和等腰三角形ABC的兩腰相切，切點是D，E，又和ABC的外接圓相切于F。求證：ABC的內(nèi)心G和D，E在一條直線上。4. 設(shè)四邊形ABCD為等腰梯形，把ABC繞點C旋轉(zhuǎn)某一角度變成ABC。證明：線段AD, BC和BC的中點在一條直線上。5. 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，對角線AC與BD相交于P。設(shè)三角形ABP，BCP，CDP和DAP的外接圓圓心分別是O1，O2，O3，O4。求證：OP，O1O3，O2O4三直線交于一點。6. 求證：過圓內(nèi)接四邊形各邊的中點向?qū)吽鞯?條垂線交于一點。7. ABC為銳角三角形，AH為BC邊上的高，以

15、AH為直徑的圓分別交AB，AC于M，N;M，N與A不同。過A作直線lA垂直于MN。類似地作出直線lB與lC。證明：直線lA，lB，lC共點。8. 以ABC的邊BC，CA，AB向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的邊BC，CA，AB的對邊的中點。求證：直線AA1，BB1，CC1相交于一點。9. 過ABC的三邊中點D，E，F(xiàn)向內(nèi)切圓引切線，設(shè)所引的切線分別與EF，F(xiàn)D，DE交于I，L，M。求證：I，L，M在一條直線上。B組10. 設(shè)A1，B1，C1是直線l1上的任意三點，A2，B2，C2是另一條直線l2上的任意三點，A1B2和B1A2交于L，A1C2和A2C1交于M，B1C2和B2C1交于N。求證：L，M，N三點共線。11. 在ABC，ABC中，連接AA，BB，CC，使這3條直線交于一點S。求證：AB與AB、BC與BC、CA與CA的交點F，D，E在同一條直線上笛沙格定理。一般說來，“