電路分析第8章 阻抗及導納

1、第第8章章 阻抗和導納阻抗和導納8-1 變換方法的概念變換方法的概念8-4 相量的線性性質和微分性質相量的線性性質和微分性質8-5 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式8-7 VCR相量形式的統(tǒng)一相量形式的統(tǒng)一阻抗和導納的引入阻抗和導納的引入8-8 正弦電路與電阻電路的類比正弦電路與電阻電路的類比相量模型的引入相量模型的引入8-6 三種基本電路元件三種基本電路元件VCR的相量形式的相量形式8-9 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 8-11 相量模型的等效相量模型的等效 8-12 有效值有效值 有效值相量有效值相量 8-13 兩類特殊問題兩類特殊問題 相量圖法相量圖法 8-2

2、 復數(shù)復數(shù)8-3 相量相量8-10 相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法相量模型的網(wǎng)孔分析法和節(jié)點分析法 正弦交流電路是指含有正弦電源正弦交流電路是指含有正弦電源( (激勵激勵) )而且電路而且電路各部分所產(chǎn)生的電壓和電流各部分所產(chǎn)生的電壓和電流( (穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應) )均按正弦規(guī)律均按正弦規(guī)律變化的電路。變化的電路。 本章和下一章將介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的一些基本本章和下一章將介紹正弦穩(wěn)態(tài)電路的一些基本概念、基本理論和基本分析方法。概念、基本理論和基本分析方法。 交流電路具有用直流電路的概念無法理解和分析交流電路具有用直流電路的概念無法理解和分析的物理現(xiàn)象，因此在學習時注意建立交流的概念，以的物理現(xiàn)

3、象，因此在學習時注意建立交流的概念，以免引起錯誤。免引起錯誤。 直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大直流電路在穩(wěn)定狀態(tài)下電流、電壓的大小和方向是不隨時間變化的，如圖所示。小和方向是不隨時間變化的，如圖所示。 tI U0 正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性正弦電壓和電流是按正弦規(guī)律周期性變化的，其波形如圖所示。變化的，其波形如圖所示。 tu i0 +uiR +uiR 電路圖上所標的方向是指它們的參考電路圖上所標的方向是指它們的參考方向，即代表正半周的方向。方向，即代表正半周的方向。 負半周時，由于電壓（或電流）為負值，負半周時，由于電壓（或電流）為負值，所以其實際方向與參考方向相反。所以其實際方向與

4、參考方向相反。+ 實實際際方方向向 一一.周期電壓和電流周期電壓和電流按周期變化，即經(jīng)過相等的時間重復出現(xiàn)的電壓和電流。按周期變化，即經(jīng)過相等的時間重復出現(xiàn)的電壓和電流。u(t)=Umcos(t)u(t)=Umsin(t+/2)Um 振幅振幅 角頻率角頻率i (t)= Imcos ( t+ )i0 t (rad) 2 t(s)T/2T 正弦交流電的三要素：正弦交流電的三要素：（1）幅值）幅值 Im（2）角頻率）角頻率 （3）初相位）初相位 u0 t (rad)Um 2 t(s)T/2T 二二.正弦電壓和電流正弦電壓和電流 隨時間按正弦（余弦）規(guī)律變化的電壓和電流。隨時間按正弦（余弦）規(guī)律變化的

5、電壓和電流。T周期周期 T ：正弦量變化一周所需要的時間；：正弦量變化一周所需要的時間；角頻率角頻率 : t 2 例我國和大多數(shù)國家的電力標準頻率是例我國和大多數(shù)國家的電力標準頻率是50Hz，試求其，試求其周期和角頻率。周期和角頻率。解解 = 2 f = 2 3.14 50 = 314rad/sImTf1 S02. 01 fT t i0頻率頻率 f ：正弦量每秒內變化的次數(shù)；：正弦量每秒內變化的次數(shù)；fT22 Im 交流電每交變一個周期便變交流電每交變一個周期便變化了化了2 弧度，即弧度，即 T = 2 是交流電任一時刻的值。是交流電任一時刻的值。用小寫字母表示用小寫字母表示。如如 i、u、e

6、分別表分別表示電流、電壓、電動勢的瞬時值。示電流、電壓、電動勢的瞬時值。 幅值幅值是交流電的是交流電的。用大。用大寫字母加下標表示。如寫字母加下標表示。如Im、Um、Em。交流電流通過一個電阻時在一個交流電流通過一個電阻時在一個周期內消耗的電能與某直流電流通過周期內消耗的電能與某直流電流通過同一電阻在相同時間內消耗的電能相同一電阻在相同時間內消耗的電能相等等, 就將這一直流電流的數(shù)值定義為交就將這一直流電流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。流電流的有效值。 TtiTI02d12mII 2mUU t 2 Im t i0Im同理可得同理可得根據(jù)上述定義，有根據(jù)上述定義，有有效值有效值當電流為正弦量時當

7、電流為正弦量時:2mEE Ri2dt=RI2T0Ti(t)= Imcos ( t+ i ) 對于正弦量而言，所取計時起點不同，其初始值對于正弦量而言，所取計時起點不同，其初始值 (t=0時的值時的值)就不同，到達某一特定值就不同，到達某一特定值（如（如0值）值）所需的時間也就不同。所需的時間也就不同。例如例如:t=0時的相位角時的相位角 稱為稱為初相位角初相位角或或初相位。初相位。 ( t+ )稱為正弦量的稱為正弦量的相位角相位角或或相位。相位。它反映出正弦量它反映出正弦量變化的進程。變化的進程。若所取計時起點不同，則正弦量若所取計時起點不同，則正弦量初相位不同。初相位不同。i (t)= Im

8、cos ti (t)= Imcos ( t+ )t=0時，時， i (0)= Imi (0)= Imcos i t0i0 ti0Im 相位差相位差i1= I1mcos( t+ i1)i2= I2 mcos( t+ i2)的相位差的相位差 和和 = ( t+ i1)- ( t+ i2)= i1- i2i2 超前超前i1i2 滯后滯后i1 ti10 ti10 ti10 ti10 ti10i2i2i2i1與與i2反相反相i2i1與與i2同相同相i2i1與與i2正交正交在一個交流電路中，通常各支路電流的頻率相同，在一個交流電路中，通常各支路電流的頻率相同，而相位常不相同。而相位常不相同。 正弦電量正弦

9、電量（時間函數(shù)）（時間函數(shù)）正弦量運算正弦量運算所求正弦量所求正弦量變換變換相量相量（復數(shù)）（復數(shù)）相量結果相量結果反變換反變換相量運算相量運算（復數(shù)運算（復數(shù)運算) 正弦量具有幅值、頻率和初相位三個要素，它們除了正弦量具有幅值、頻率和初相位三個要素，它們除了用三角函數(shù)式和正弦波形表示外，還可用用三角函數(shù)式和正弦波形表示外，還可用相量相量來表示同來表示同頻率的正弦量。頻率的正弦量。 相量表示法相量表示法就是用就是用復數(shù)復數(shù)來表示同頻率的正弦量。來表示同頻率的正弦量。 相量法相量法是一種用來表示和計算同頻率正弦量的數(shù)學是一種用來表示和計算同頻率正弦量的數(shù)學工具，應用相量法可以使正弦量的計算變得很

10、簡單。工具，應用相量法可以使正弦量的計算變得很簡單。例如：已知兩個支路電流例如：已知兩個支路電流 i1= I1 mcos( t+ i1) i2= I2 mcos( t+ i2)若求：若求：i = i1 + i2aA0 b+1+jr模模幅角幅角a=rcos b=rsin =arctanba cos +jsin =ej 由歐拉公式，得出：由歐拉公式，得出：A=a+jb=r(cos +jsin )=rej =r 代數(shù)式代數(shù)式指數(shù)式指數(shù)式極坐標式極坐標式復數(shù)可用有向線段表示復數(shù)可用有向線段表示復數(shù)復數(shù)可用幾種形式表示可用幾種形式表示1j 則則 A1 A2 = (a1 a2) + j (b1 b2)A1

11、 A2 = r1 r2 ( 1+ 2) 212121 rrAAr = a2+b28-3 相量相量由歐拉恒等式，由歐拉恒等式， ej = cos +jsin 令令 = t+ ，設復時變函數(shù)，設復時變函數(shù)Imej( t+ ) ，由歐拉恒等式由歐拉恒等式Imej( t+ )= Imcos( t+ ) +jImsin( t+ )設設 i(t)= Imcos( t+ )取實部取實部 ReImej( t+ ) =Imcos( t+ )= i(t)取虛部取虛部 ImImej( t+ ) =Imsin( t+ )取實部取實部 Re(ej )= cos 取虛部取虛部 Im(ej )= sin 8-3 相量相量I

12、mej( t+ )= Imcos( t+ ) +jImsin( t+ )設設 i(t)= Imcos( t+ )i(t) = Imcos( t+ ) = ReImej( t+ ) =ReImej ej t由歐拉恒等式，由歐拉恒等式， ej = cos +jsin = ReIm ej t= Imej =Im / = Imcos +jImsin Im式中式中稱為正弦電流稱為正弦電流i(t)的的幅值相量幅值相量ImI = 2= Iej =I/ = Icos +jIsin 稱為正弦電流稱為正弦電流i(t)的的有效值相量有效值相量 +1 + j0 t1+ Im ti 0 t1 A t2A i= Imsi

13、n( t+ )i t t1 有向線段長度是有向線段長度是Im，t=0時，與橫時，與橫軸的夾角是軸的夾角是 ，以以角速度角速度 逆時針方逆時針方向旋轉，它在向旋轉，它在實軸上的投影，實軸上的投影，即為即為正弦電流的正弦電流的瞬時值瞬時值i= Imcos( t+ )t=t1時，時， i(t1)= Imcos( t1+ ) 由以上分析可知，一個復數(shù)由模和輻角兩個特征量由以上分析可知，一個復數(shù)由模和輻角兩個特征量確定。而正弦量具有幅值、初相位角和頻率三個要素。確定。而正弦量具有幅值、初相位角和頻率三個要素。但在分析線性電路時，電路中各部分電壓和電流都是但在分析線性電路時，電路中各部分電壓和電流都是與電

14、源同頻率的正弦量，因此，頻率是已知的，可不與電源同頻率的正弦量，因此，頻率是已知的，可不必考慮。故一個正弦量可以由幅值和初相位兩個特征必考慮。故一個正弦量可以由幅值和初相位兩個特征量來確定。量來確定。 比照復數(shù)和正弦量，正弦量可用復數(shù)來表示。復數(shù)的模即為比照復數(shù)和正弦量，正弦量可用復數(shù)來表示。復數(shù)的模即為正弦量的幅值（或有效值），復數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。正弦量的幅值（或有效值），復數(shù)的輻角即為正弦量的初相位。 為與一般復數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復數(shù)稱為相量。并用為與一般復數(shù)相區(qū)別，把表示正弦量的復數(shù)稱為相量。并用在大寫字母上打一在大寫字母上打一“”的符號表示。的符號表示。I=I = Ie

15、j =I(cos +jsin ) (有效值相量有效值相量) Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) (最大值相量最大值相量)的相量為的相量為例如例如i (t)= Imcos ( t+ ) = Ia +j Ib=Icos +jIsin =Iej =I最大最大值相量值相量有效有效值相量值相量0Im +1+jI IaIbI = Iam +j Ibm=Imcos +jImsin =Imej =ImIm相相量量圖圖相量是相量是正弦交流電的復數(shù)，正弦交流正弦交流電的復數(shù)，正弦交流電是時間的函數(shù)，所以二者之間并電是時間的函數(shù)，所以二者之間并。正弦量正弦量用用旋轉有向線段表示旋轉有向線段表

16、示用復函數(shù)表示。用復函數(shù)表示。同頻率正弦量同頻率正弦量可以用可以用復數(shù)復數(shù)來表示，稱之為來表示，稱之為相量相量。用大寫字母上打用大寫字母上打“”表示。表示。IUm i= Imcos( t+ )例：已知某正弦電壓例：已知某正弦電壓Um=311V，f =50Hz， u=30，試寫，試寫出此電壓的瞬時值表達式、最大值相量和有效值相量，畫出此電壓的瞬時值表達式、最大值相量和有效值相量，畫出此電壓的相量圖，求出出此電壓的相量圖，求出t=0.01S時電壓的瞬時電壓的瞬 時值。時值。解：解： 瞬時值瞬時值 u=311cos(100 t+30 )=311 30 VUm u( 0.01) =311cos(100

17、 0.01 +30 )= 269.3VU 30 =220VU = 2Um= 2311=220 30 VU 有效值相量有效值相量最大值相量最大值相量有效值有效值相量是相量是正弦交流電的復數(shù)，正弦交流電是正弦交流電的復數(shù)，正弦交流電是時間的函數(shù)，二者之間并時間的函數(shù)，二者之間并。 按照正弦量的大小和相位關系畫出的若干個相量的按照正弦量的大小和相位關系畫出的若干個相量的圖形，稱為圖形，稱為相量圖相量圖。注意注意只有正弦量才能用相量表示；只有正弦量才能用相量表示；只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上；只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上；相相量量圖圖1j0 i1 i2I1mI2m例例 若若 i1=

18、 I1 mcos( t+ i1) i2= I2 mcos( t+ i2)，已知已知 i1=30， i2=65，I1m=2I2m試畫出相量圖。試畫出相量圖。i1(t)= 5cos(314t+ 60 ) Ai2(t)=10sin(314t+ 60 )Ai3(t)= 7cos(314t+ 60 ) A寫出幅值相量，繪相量圖寫出幅值相量，繪相量圖i2(t) =10sin(314t+60) =10cos(314t30 ) =7cos(314t120 )A例例:i3(t) = 7cos(314t+ 60) I1m=5/60 AI3m=7/120 AI2m=10/30 A解：解：+j+160I1m -30-

19、120I2m I3m 8-4 相量的線性性質和微分性質相量的線性性質和微分性質1. 相量的線性性質相量的線性性質 表示若干個同頻率正弦量（可帶有實系數(shù)）線性組合表示若干個同頻率正弦量（可帶有實系數(shù)）線性組合的相量等于表示各個正弦量的相量的同一線性組合。亦即的相量等于表示各個正弦量的相量的同一線性組合。亦即 如設兩個正弦量分別為：如設兩個正弦量分別為：i1(t) = Im1cos( t+ 1) = ReIm1 ej t 設設 k1和和k2為兩個實數(shù)，則正弦量為兩個實數(shù)，則正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t)可用相量可用相量 = ReIm2 ej ti2(t) = Im2co

20、s( t+ 2) Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。表示。例：例： 若已知若已知 i1=I1mcos( t+ 1)=100cos( t+45 )A， i2=I2mcos( t+ 2)=60cos( t 30 )A ，試，試求求 i = i1+i2 。解解: 3060451002m1mmIII于是得于是得正弦電量的運算可按正弦電量的運算可按下列步驟下列步驟進行進行 正弦電量正弦電量（時間函數(shù)）（時間函數(shù)）正弦量運算正弦量運算所求正弦量所求正弦量變換變換相量相量（復數(shù)）（復數(shù)）相量結果相量結果反變換反變換相量運算相量運算（復數(shù)運算（復數(shù)運算) I1m =100 45A I2m =60

21、 30AA1812903j52770j770.3 .3 )().(A)18cos(129 ti .3解：用相量圖求解解：用相量圖求解1j0ImI1mI2m I1m =100 45A I2m =60 30A Im =129 18.3A 3060451002m1mmIIIA1812903j52770j770.3 .3 )().(A)18cos(129 ti .3例：例： 若已知若已知 i1=I1mcos( t+ 1)=100cos( t+45 )A， i2=I2mcos( t+ 2)=60cos( t 30 )A ，試，試求求 i = i1+i2 。8-4 相量的線性性質和微分性質相量的線性性質和

22、微分性質2. 相量的微分性質相量的微分性質 這一性質包含兩個內容：這一性質包含兩個內容： 若若 Am 為給定正弦量為給定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，則的相量，則 j Am為為該正弦量的導數(shù)的相量。亦即該正弦量的導數(shù)的相量。亦即 ReAm ej t= Re Amej t= Re j Am ej tdddtdt取實部和求導數(shù)的運算是可交換的（取實部和求導數(shù)的運算是可交換的（ Re和和可交換）；可交換）；dtd復值函數(shù)復值函數(shù) Amej t 對對 t 的導數(shù)等于該函數(shù)與的導數(shù)等于該函數(shù)與 j 的乘積。的乘積。Ai1i3i2i1= I1 mcos( t+ 1)i2= I2 mcos( t+

23、 2)i3= I3 mcos( t+ 3)由由基爾霍夫電流定律基爾霍夫電流定律，節(jié)點節(jié)點A的電流方程為的電流方程為i1 + i2 - i3 = 0節(jié)點節(jié)點A的電流方程相量表達式為的電流方程相量表達式為AI1I2I3I2I3I1+= 0基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 8-5 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式根據(jù)相量的線性性質根據(jù)相量的線性性質 u1uu2+j30120+1U2mU1mU2mUm.已知：已知：u1 = 220 cos(100t 120 ) Vu2 = 220 cos(100t + 120 ) V例例 : 電路如圖，求：電路如圖，求：

24、u =？U2mU1m Um = u = u1 u2解：解：= 220 120 220 120 += 220cos (120 ) + j 220sin(120 ) 220cos 120 + j 220sin120 = 220 ( 0.5) + j ( 0.866) 220( 0.5) + j 0.866= 220( j2 0.866) = j 380 V =380 90V 電路分析是確定電路中電路分析是確定電路中電壓與電流關系電壓與電流關系及及能量的轉換能量的轉換問題。問題。iRu 本節(jié)從電阻、電容、電感兩端電壓與電流一般關系式入手，本節(jié)從電阻、電容、電感兩端電壓與電流一般關系式入手，介紹在正弦

25、交流電路中這些理想元件的介紹在正弦交流電路中這些理想元件的電壓電壓與與電流電流之間的關系，之間的關系，為分析交流電路奠定基礎。下章再討論為分析交流電路奠定基礎。下章再討論功率功率和和能量轉換能量轉換問題。問題。R +ui電壓與電流的關系電壓與電流的關系在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示。在電阻元件的交流電路中，電壓、電流參考方向如圖所示。根據(jù)歐姆定律根據(jù)歐姆定律設設則則式中式中mmRIU 或或RIUIU mm可見，可見，R 等于電壓與電流有效值或最大值之比。等于電壓與電流有效值或最大值之比。8-5 三種基本電路元件三種基本電路元件VCR的相量形式的相量形式i (t)= Imco

26、s ( t+ )u(t)= RImcos ( t+ )= Umcos ( t+ ) 電壓與電流同頻率、同相位；電壓與電流同頻率、同相位； 電壓與電流大小關系電壓與電流大小關系 UI 電壓與電流相量表達式電壓與電流相量表達式 相量圖相量圖+1+j0RIU IRU R +uiU=UI=Ii (t)= Imcos ( t+ )u(t)= RImcos ( t+ )= Umcos ( t+ )iu波形圖波形圖 t0設設 =0 設設 0fXL感抗感抗由由，有，有 感抗與頻率感抗與頻率f 和和L成正比。因此，電成正比。因此，電感線圈對高頻電流的阻礙作用很大，感線圈對高頻電流的阻礙作用很大，而對直流可視為短

27、路。而對直流可視為短路。tiLudd LmmmXILIU 式式中中LXL fLXL2 設在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關聯(lián)參考方向。設在電感元件的交流電路中，電壓、電流取關聯(lián)參考方向。 +uiLXL與與 f 的關系的關系i= Imcos tu= LImsin t = Umcos( t+90)90 ； Um = XLIm U =XLI 用相量法可以把電感的電壓和電流的上面三方面用相量法可以把電感的電壓和電流的上面三方面的關系的的關系的(2)和和(3)統(tǒng)一用相量表示：統(tǒng)一用相量表示：Um = j XL ImU = j XLI即即: j I=I ej90 =I e j ej90 =Ie j(

28、+90 )因因jI 相當于將相量相當于將相量 I 逆時針轉了逆時針轉了90 U +1+j0I相量圖相量圖由上面的分析可知電感的電壓和電流的關系為由上面的分析可知電感的電壓和電流的關系為依據(jù)依據(jù)“相量的微分性質相量的微分性質 ” 這一性質包含兩個內容：這一性質包含兩個內容： 若若 Am 為給定正弦量為給定正弦量 Amcos( t+ ) 的相量，則的相量，則 j Am為為該正弦量的導數(shù)的相量。亦即該正弦量的導數(shù)的相量。亦即 ReAm ej t= Re Amej t= Re j Am ej tdddtdt取實部和求導數(shù)的運算是可交換的（取實部和求導數(shù)的運算是可交換的（ Re和和可交換）；可交換）；d

29、td復值函數(shù)復值函數(shù) Amej t 對對 t 的導數(shù)等于該函數(shù)與的導數(shù)等于該函數(shù)與 j 的乘積。的乘積。U=j LItiLudd 電壓超前電流電壓超前電流90 ； 電壓與電流大小關系電壓與電流大小關系 LIXU +uiLU +1+j0相量圖相量圖Ii= Imcos tu= Umcos( t+90)i波形圖波形圖 t0uU I 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = j XL解：解：XL2=2 f2L=3140 10 30 j 31.4=0. 318 60A10 30 j 3140=0. 00318 60AXL1=2 f1L=31.4 U. UjXL1.=I1=. UjXL2.I2=.I2I1.3

30、060+1 例例: 已知已知L=0.1H，u=10 2cos（ t+30）V， 當當f1=50Hz，f2=5000Hz時，求時，求XL及及I，并畫出，并畫出U、I 相量圖。相量圖。.0fXc容抗容抗設設得得由由dtduCi CmmXICIU 1mCX 1C fCX 21C C +uiXC與與f 的關系的關系設在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關聯(lián)參考方向。設在電容元件的交流電路中，電壓、電流取關聯(lián)參考方向。式中式中 容抗與頻率容抗與頻率f ，電容電容C 成反比。因成反比。因此，電容元件對高頻電流所呈現(xiàn)的容此，電容元件對高頻電流所呈現(xiàn)的容抗很小，而對直流所呈現(xiàn)的容抗趨于抗很小，而對直流所呈現(xiàn)的

31、容抗趨于無窮大，故可視為開路。無窮大，故可視為開路。u=Umcos ti= C Umsin t=Imcos( t+90)90 ； Um = XcIm U = Xc I 用相量法可以把電容的電壓用相量法可以把電容的電壓和電流的上面三方面的關系的和電流的上面三方面的關系的(2)和和(3) 統(tǒng)一用相量式表示：統(tǒng)一用相量式表示：Um = j Xc ImU = jXcI相量圖IU+1+j0即即: j I=I ej90 =I e j ej90 =Ie j( 90 )因因jI 相當于將相量相當于將相量 I 順時針轉了順時針轉了90 由上面的分析可知電容的電壓和電流的關系為由上面的分析可知電容的電壓和電流的關

32、系為u波形圖波形圖 t0i 電流超前電壓電流超前電壓90 電壓與電流大小關系電壓與電流大小關系 U +1+j0相量圖相量圖ICIXU C +uiu= Umcos ti= C Umcos( t+90) 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = XC U jI 例例: 下圖中電容下圖中電容C=23 . 5 F，接在電源電壓接在電源電壓U=220V、頻率為頻率為50Hz、初相為零的交流電源上，求電路中的電流、初相為零的交流電源上，求電路中的電流i 。該電容的額定電壓最少應為多少伏？該電容的額定電壓最少應為多少伏？ 額定電壓額定電壓 解解: 容抗容抗 5 .135211CfCCX A62. 1C XUIV

33、311 C +uii= Imcos( t+90)= 2.3cos(314t+90)u =iR 電壓與電流電壓與電流同頻率、同相位同頻率、同相位電壓與電流大小關系電壓與電流大小關系 U=R I 或或 Um=R Im 電壓與電流相量表達式電壓與電流相量表達式 U=RI 電壓超前電流電壓超前電流90 didtu= L 電壓與電流大小關系電壓與電流大小關系 U=I XL，XL= LU I 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = j XL 電流超前電壓電流超前電壓90 電壓與電流大小關系電壓與電流大小關系 U=I XC，XC=1/ Cdudti= C 電壓與電流相量式電壓與電流相量式 = XC U jI

34、電壓與電流相量表達式電壓與電流相量表達式 電壓與電流相量式電壓與電流相量式U I = j XL = ZL = I I YL1U I = R = ZR = I I YR18-6 VCR相量形式的統(tǒng)一相量形式的統(tǒng)一阻抗和導納的引入阻抗和導納的引入電壓與電流相量式電壓與電流相量式U I = j XC = ZC = I I YC1U = Z = I I Y1U Z = I 稱為復數(shù)阻抗，簡稱稱為復數(shù)阻抗，簡稱阻抗阻抗，單位為歐姆（，單位為歐姆（ ）。）。稱為復數(shù)導納，簡稱稱為復數(shù)導納，簡稱導納導納，單位為西門子（，單位為西門子（S）。）。Y = Z 1相量模型：相量模型：電壓、電流用相量表示，電路參數(shù)

35、用復數(shù)阻抗表示。電壓、電流用相量表示，電路參數(shù)用復數(shù)阻抗表示。U=RIU=j LIU = j I C1RUIIUj LIU j C1RuiuiLCui8-7 正弦電路與電阻電路的類比正弦電路與電阻電路的類比相量模型的引入相量模型的引入根據(jù)根據(jù)KVL可列出可列出 tiCtiLRid1dd +L +uCRiuLuCuR + +CLRuuuu 在在R、L、C串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。串聯(lián)交流電路中，電流電壓參考方向如圖所示。如用相量表示電壓與電流關系，如用相量表示電壓與電流關系，可把電路模型改畫為相量模型。可把電路模型改畫為相量模型。CLRUUUU IXIXIRCLjj IXXRCL

36、)( j )( jCLXXRIU RXXCLCLXXR arctanj22e)( jeZ + + + +URULUCUI電路的阻抗，用電路的阻抗，用 表示。表示。Z KVL相量表示式為相量表示式為Z = R2 +X2 =arc tan Z= R+j(XL-XC )XL-XC=X 電抗電抗阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角XR復數(shù)阻抗復數(shù)阻抗阻抗三角形阻抗三角形XRZ Z=R+jX = Z +L +uCRiuLuCuR + + + + + +URULUCUI)( jCLXXRIU Z = R2 +X2阻抗模阻抗模阻抗角阻抗角 =arc tan XRZ =UI =UuIi=UIu- i = u- i阻抗阻抗

37、Z=R+jX = Z 當當XLXC 時時, X 0， 為正，電路中電壓超前電流為正，電路中電壓超前電流,電路呈電感性；電路呈電感性；當當XLXC 時時, X 0， 為負，則電流超前電壓，電路呈電容性；為負，則電流超前電壓，電路呈電容性；當當XL=XC , X=0， =0，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。，則電流與電壓同相，電路呈電阻性。 + + + +URULUCUI設電流設電流為參考正弦量為參考正弦量i= Imcos t則電壓則電壓u= Umcos( t+ ) 的大小和正負由的大小和正負由電路參數(shù)決定。電路參數(shù)決定。 為正為正時時電路電路中電壓中電壓電流相電流相量圖量圖I UURUL UcU

38、LUc阻抗阻抗三角形三角形XL- XcR Z + + + +URULUCUIU= U2R+(UL - Uc)2各部分電壓有效值之間關系各部分電壓有效值之間關系URXZ 阻阻抗抗三三角角形形電電壓壓三三角角形形電壓、阻抗三角形電壓、阻抗三角形X = XL-XC UXULUC =+ UXUR例題：例題： 已知下圖所示電路中，已知下圖所示電路中，UL= UR= 40V， UC=80V，畫出該電路的相量圖，并計算總電壓畫出該電路的相量圖，并計算總電壓U 。CRLuRuLuciu+例題圖例題圖 URULUCI U解：根據(jù)基爾霍夫定律的相量形式及各元解：根據(jù)基爾霍夫定律的相量形式及各元件電壓、電流的相量關

39、系，可得相量圖件電壓、電流的相量關系，可得相量圖由相量圖可知由相量圖可知 2 U = 40 V解：解：1. 感抗感抗 XL= L=314127 10-3=40 容抗容抗 XC= C1=31440 10-61=80 Z = R2 +(XL Xc)2=50 Z = 302 +(40 80)2復阻抗模復阻抗模 例例: R、L、C串聯(lián)電路如圖所示，已知串聯(lián)電路如圖所示，已知R=30 、L=127mH、C=40 F，電源電壓，電源電壓u=220 cos(314 t+45 ）V求：求：1. 感抗、容抗及復阻抗的模感抗、容抗及復阻抗的模;2 .電流的有效值和瞬時電流的有效值和瞬時值表達式；值表達式；3. 各

40、元件兩端電壓的瞬時值表達式。各元件兩端電壓的瞬時值表達式。 2CRLuRuLuciu+解：解：1. XL=40 XC= 80 =50 Z2. =220 45 VU 電壓相量電壓相量I =UZ=220 45 30+j(40-80)=220 45 50 53 = 4.4 98 A I=4.4 Ai=4.4 cos(314 t+98 )A電流有效值電流有效值瞬時值瞬時值 2Ij LR+U URUCULuR= 132 2cos(314 t+98 )V3. =RI =132 98 VUR=I j XL=176 172 VULuL= 176 cos(314 t 172 )V 2UC= j XCI=352

41、8 VuC= 352 cos(314 t +8 )V 2 C1 j解：解：1、 XC= 8 I=12V 3 = 4 A 例例: 電路如圖電路如圖, 已知已知 R=3 ,電源電壓電源電壓u=17cos314t V, j XL = j 4 。求：。求：1 容抗為何值（容抗不等于零）開關容抗為何值（容抗不等于零）開關S閉合前后，電流閉合前后，電流 I 的有效值不變，這時的電流是多少？的有效值不變，這時的電流是多少？2容抗為何值，開關容抗為何值，開關S 閉合前電流閉合前電流 I 最大，這時的電流是最大，這時的電流是多少？多少？Z =5 U = 17 1.414 =12VI=12V 5 =2.4A2、

42、Z 的值最小時的值最小時, I 值最大值最大XC= 4 = R2 +(XLXC)2Z = R2 +XL2IRUjXCjXLS+ 和計算復雜電阻電路一樣，正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路也可和計算復雜電阻電路一樣，正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路也可應用支路電流法、回路分析法、節(jié)點分析法、疊加原理應用支路電流法、回路分析法、節(jié)點分析法、疊加原理和戴維南定理等方法來分析與計算。所不同的是電壓、和戴維南定理等方法來分析與計算。所不同的是電壓、電流應以電流應以表示，電阻、電感和電容及其組成的電路表示，電阻、電感和電容及其組成的電路應以應以復數(shù)復數(shù)復數(shù)復數(shù)來表示。即正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路來表示。即正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路用其用其相量模型相量模型表示

43、。表示。8-8 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 I = 0 U = 0 U = Z = I I Y1 拓撲約束拓撲約束元件約束元件約束 +ZIU + Z2Z1IU1U2UIZZIZIZUUU)(212121 IZU 21ZZZ 21UUU 21ZZZ （a）（b）根據(jù)根據(jù)KVL可寫出圖（可寫出圖（a）電壓的相量表示式）電壓的相量表示式圖（圖（b）相量表示式）相量表示式 若圖（若圖（b）是圖（）是圖（a）的等效電路，兩電路）的等效電路，兩電路電壓、電流的關系式應完全相同，由此可得電壓、電流的關系式應完全相同，由此可得若若Z1 = R1+

44、jX1 Z2 = R2+jX2則則Z = R1 + jX1 + R2+jX2=(R1+ R2 )+j(X1 + X2) +ZIU +Z1IUZ21I2I)11(212121ZZUZUZUIII ZUI 21111ZZZ 2121ZZZZZ 21III 21ZUZUZU 21111ZZZ （a）（b）根據(jù)根據(jù)KCL可寫出圖（可寫出圖（a）電流的相量表示式）電流的相量表示式圖（圖（b）相量表示式）相量表示式 若圖（若圖（b）是圖（）是圖（a）的等效電路，兩電路）的等效電路，兩電路電壓、電流的關系式應完全相同，由此可得電壓、電流的關系式應完全相同，由此可得或或 可以得到與直流電路中并聯(lián)電阻的分流可以

45、得到與直流電路中并聯(lián)電阻的分流公式類似的交流電路中公式類似的交流電路中并聯(lián)阻抗的分流公式并聯(lián)阻抗的分流公式即即所以所以因為一般因為一般ICIILIR=+iRiLiCCRLiu+UR1=+j XL1j XC1（+）UY=IZ= 1 Y1、 R、L、C并聯(lián)電路并聯(lián)電路8-8 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 UR1=+ZL1ZC1（+）U= （G+YC+YL）=YUUj LILIcIRIRj C1+（1）導納）導納 設設 u= U mcos tIR相量圖相量圖IIcILIcILU1、 R、L、C 并聯(lián)電路并聯(lián)電路uCRLiiRiciLUj LILIcIRIRj C1（2） 相量圖相量圖

46、i Ri Li CCRLiu+U IIRIC ILICILI= IR2 + (ILIC)2（2） 相量圖相量圖IIRILIC 電流三角形電流三角形例例 已知已知IL=5A，IC=2A，IR=4A 求電流的有效值求電流的有效值I。解：解：I= 42+(52)2=5A1、 R、L、C并聯(lián)電路并聯(lián)電路2. 并聯(lián)交流電路并聯(lián)交流電路設設 u= U mcos t相相量量圖圖IIcUURULIRLuiiRLicuRuLCL+RUj LIRLIcIRURUL+j C18-8 正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)混聯(lián)電路的分析 8-9 相量模型的網(wǎng)孔分析法相量模型的網(wǎng)孔分析法 和節(jié)點分析法和節(jié)點分析法 一一.網(wǎng)孔分

47、析法網(wǎng)孔分析法 電阻電路電阻電路正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型R11I1+ R12I2+R1nIn=Us11R21I1+ R22I2+R2nIn=Us21Rn1I1+ Rn2I2+RnnIn=UsnnZ11I1+ Z12I2+Z1nIn=Us11Z21I1+ Z22I2+Z2nIn=Us21Zn1I1+ Zn2I2+ZnnIn=Usnn65364)(CBAiRRRiRiRS4S3uu 6525)(ABiRRRiRS26 CuiR 541)(S4uS1u5 BiRAiRRR 4 ciR 令令 R11=R1+R4+R5 為第一網(wǎng)孔的為第一網(wǎng)孔的自電阻自電阻 令令 R12= R21 = R

48、5為一、二兩網(wǎng)孔中為一、二兩網(wǎng)孔中互電阻互電阻令令 R13 =R31 =R4為一、三兩網(wǎng)孔中為一、三兩網(wǎng)孔中互電阻互電阻 令令 uS11= uS1-uS4為第一網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和為第一網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和R11iA+R12iB+R13iC=uS11R21iA+R22iB+R23iC=uS22R31iA+R32iB+R33iC=uS331 1自電阻自電阻網(wǎng)孔電流網(wǎng)孔電流+ +互電阻互電阻相鄰網(wǎng)孔電流相鄰網(wǎng)孔電流= =網(wǎng)孔中電壓源電壓網(wǎng)孔中電壓源電壓升之和升之和2 2自電阻自電阻總總為正為正值。值?；ル娮杌ル娮鑴t則有正有負，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時有正有負，兩網(wǎng)孔電流流過互電阻時，方向相同方向

49、相同則則取正取正, , 方向相反時取負方向相反時取負 電阻電路的網(wǎng)孔分析法電阻電路的網(wǎng)孔分析法+R4R6R3i3iCi1iAiBi4i6R5i5+ +US1US2+US3US4R1R2i2例：試列出圖示電路的網(wǎng)孔方程組。例：試列出圖示電路的網(wǎng)孔方程組。網(wǎng)孔方程組網(wǎng)孔方程組(3+j3)I1-j3I2=10/30-j3I1+(2+j3-j2)I2-2I3=0-2I2+(2-j)I3=-5II=I1-I2輔助方程輔助方程解：解： 3I1-j2-jI2I3j32125I 10 /30 I二二.節(jié)點分析法節(jié)點分析法 電阻電路電阻電路G11U1+ G12U2+G1nUn=Is11G21U1+ G22U2+

50、G2nUn=Is21Gn1U1+ Gn2U2+GnnUn=Isnn正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型正弦穩(wěn)態(tài)電路相量模型Y11U1+ Y12U2+Y1nUn=Is11Y21U1+ Y22U2+Y2nUn=Is21Yn1U1+ Yn2U2+YnnUn=Isnn等號左端為通過各電導流出等號左端為通過各電導流出的全部電流之和，右端為流的全部電流之和，右端為流進該節(jié)點電流源之和。進該節(jié)點電流源之和。 0)(35432315 uGGGuGuG0)(33232111 uGuGGGuG)(3521151 iuGuGuGGsnnsnnnnnsnnsnniuGuGuGiuGuGuGiuGuGuG KKKKKK22112222

51、22121111212111.s3s3iuGuGuGiuGuGuG 22232221211113212111s3iuGuGuG 33332321311. 1. 自電導自電導節(jié)點電位節(jié)點電位 + + 互電導互電導相鄰節(jié)點電位相鄰節(jié)點電位 = = 流進該節(jié)點的流進該節(jié)點的電流源電流電流源電流2. 2. 自電導均為正值，互電導均為負值。自電導均為正值，互電導均為負值。電阻電路的節(jié)點分析法電阻電路的節(jié)點分析法G5G1G3G2G4iSi1i2i5i41234i3G6G6為多余元件為多余元件,其大小僅影響其其大小僅影響其上電壓和電流源兩端電壓。上電壓和電流源兩端電壓。 例：例： 試列出圖示電路的節(jié)點方程組

52、。試列出圖示電路的節(jié)點方程組。節(jié)點方程組節(jié)點方程組3jU2I U1 =10/30UjjUj 3)12121(221 Uj 410輔助方程輔助方程03212)213131( UjUjj U131 解：解： 3-j2-jj3212345I 10 /30 IU4= 5 I一一. 無源單口網(wǎng)絡的等效無源單口網(wǎng)絡的等效2. 正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)電路 abRZab(j )=R( )+jX( )Yab(j )=G( )+jB( ) 8-10 相量模型的等效相量模型的等效1. 電阻電路電阻電路RjXjBGabGN0wabN0abZ=R+jX兩種等效電路的關系兩種等效電路的關系串聯(lián)串聯(lián) 并聯(lián)并聯(lián)Y=G+jBZ=

53、R+jX2211XRjXRjXRZY 22XRjR 22XRX =G+jB 22XRX B=22XRR G=RjXjBG并聯(lián)并聯(lián) 串聯(lián)串聯(lián)Y=G+jB 2211BGjBGjBGYZ jXRBGBjBGG 2222BX1 GR1 阻抗與導納互為倒數(shù)阻抗與導納互為倒數(shù)XBGB 22RBGG 22正弦穩(wěn)態(tài)電路正弦穩(wěn)態(tài)電路 Zab(j )=R( )+jX( )Yab(j )=G( )+jB( )N0wabRjXjBG二二.含源單口網(wǎng)絡的等效含源單口網(wǎng)絡的等效 1.電阻電路電阻電路 2.正弦穩(wěn)態(tài)含源單口網(wǎng)絡正弦穩(wěn)態(tài)含源單口網(wǎng)絡 戴維南戴維南等效電路等效電路 諾頓諾頓等效電路等效電路 諾頓諾頓等效電路等效

54、電路 NN 戴維南戴維南等效電路等效電路 UocRoIscRoUocZoIscZo例：例： 圖示電路中圖示電路中i(t)=cos(3t+45) A, 求求u(t)。解：解：(1)作出相量模型作出相量模型abi(t)u(t)231H65H31FabIU 2- j j25 j 解：解： (1)作相量模型：作相量模型：(2)求求U552325225)2(2)2(jjjjjjjjabZ jjjjj 234105 45 2222j例：例： 圖示電路中圖示電路中i(t)=cos(3t+45) A, 求求u(t)。IabZU90V245=2145 22 u(t)= cos(3t+90 )V22AI4521

55、abIU 2- j j25 j 例：例： 求圖示電路中的電流求圖示電路中的電流 I 和電壓和電壓 U 。（。（15分）分）+IU4 j2 j2 1 j j5A5 0V+IUZ1 j j5A5 0V解：解：Z=(4+j2) /(j2 )=(1j2) 應用疊加原理應用疊加原理5 0V電壓源單獨作用時電壓源單獨作用時I1= =(1.25+j1.25)A5 0V1+(1j2)U1=1 I1= (1.25+j1.25)V(1j2) 例：例： 求圖示電路中的電流求圖示電路中的電流 I 和電壓和電壓 U 。（。（15分）分）解：解：應用疊加原理應用疊加原理5 0V電壓源單獨作用時電壓源單獨作用時U2=j5A

56、j + 1 /(1 j2) = (3.75+j3.75)V+IUZ1 j j5A5 0V(1j2) j5A電流源單獨作用時電流源單獨作用時I1= (1.25+j1.25)AU1= (1.25+j1.25)VI2= =(1.25 j1.25)A1+(1j2)1j5AI= I1 + I2 = 2.5AU= U1 + U2 = (2.5+j5)V 和計算復雜電阻電路一樣，復雜交流電路也要應用和計算復雜電阻電路一樣，復雜交流電路也要應用支路電流法、疊加原理和戴維寧定理等方法來分析與計支路電流法、疊加原理和戴維寧定理等方法來分析與計算。所不同的是電壓、電流應以算。所不同的是電壓、電流應以表示，電阻、電感

57、表示，電阻、電感和電容及其組成的電路應以和電容及其組成的電路應以來表示。來表示。例例 在圖示移相電路中，已知在圖示移相電路中，已知R=10k ，C=0.01 F,輸入信號電壓輸入信號電壓 U1= 1 0 V，其頻率，其頻率f=1000Hz，求，求輸出電壓輸出電壓 U2。U1R+RU2+CC有源二端網(wǎng)絡有源二端網(wǎng)絡解：解：應用戴維寧應用戴維寧定理求解定理求解 例：在圖示移相電路中例：在圖示移相電路中, 已知已知R=10k , C=0.01 F,輸入信號電壓輸入信號電壓 U1= 1 0 V，其頻率，其頻率f=1000Hz，求，求輸出電壓輸出電壓 U2。U1R+RU2+CC解：解：+U0= RU1U

58、0R+1j C= 0.53 57.87 VZ0Z0=R ZCR+ ZC=Rj CR+j C1=1+j RCR=104(0.715j0.45) 應用戴維南定理求解應用戴維南定理求解例：在圖示移相電路中，已知例：在圖示移相電路中，已知R=10k ，C=0.01 F,輸入信號電壓輸入信號電壓 U1= 1 0 V，其頻率，其頻率f=1000Hz，求，求輸出電壓輸出電壓 U2。R+RU2+CC解：解：U0= 0.53 57.87 VU0Z0=104(0.715j0.45) Z=Z0+R j1 CZ=2.66 104 49.96ZU0U2=R=0.2 107.83 V=1.59104 1 CZ0交流電流通

59、過一個電阻交流電流通過一個電阻時在一個周期內消耗的電能與某直時在一個周期內消耗的電能與某直流電流通過同一電阻在相同時間內流電流通過同一電阻在相同時間內消耗的電能相等消耗的電能相等, 就將這一直流電就將這一直流電流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。流的數(shù)值定義為交流電流的有效值。 TtiTI02d12mII 2mUU t 2 Im t i0Im同理可得同理可得根據(jù)上述定義，有根據(jù)上述定義，有有效值有效值當電流為正弦量時當電流為正弦量時:2mEE Ri2dt=RI2T0T 有效值用大寫字母表示。如有效值用大寫字母表示。如 I、U、E。8-11 有效值有效值 有效值相量有效值相量 = Ia +j Ib=

60、Icos +jIsin =Iej =I最大最大值相量值相量有效有效值相量值相量0Im +1+jI IaIbI = Iam +j Ibm=Imcos +jImsin =Imej =ImIm相相量量圖圖 i= Imcos( t+ ) i Ri Li CCRLiu+U IIRIC ILICILI= IR2 + (ILIC)2IIRILIC 電流三角形電流三角形例例 已知已知IL=5A，IC=2A，IR=4A 求電流的有效值求電流的有效值I。解：解：I= 42+(52)2=5A8-12 兩類特殊問題兩類特殊問題 相量圖法相量圖法 并聯(lián)交流電路并聯(lián)交流電路設設 u= U mcos t相相量量圖圖IIcU