函數(shù)y=Asin(wx＋φ)的圖像與性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、函數(shù)y=Asin(x)的圖像與性質(zhì)的教學(xué)設(shè)計(jì)年級(jí)：高一 學(xué)科：數(shù)學(xué) 教師：許曉利 單位：泗縣二中教材分析： 函數(shù)y=Asin(x)（xR，A0，0）在物理與工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，教材不僅介紹了該函數(shù)圖像的畫法，更重要的是通過例題給出了一個(gè)理解與討論圖像變換的程序，讓學(xué)生能從中初步學(xué)會(huì)從不同的角度（解析式、表、圖）理解并參數(shù)討論A、對(duì)圖像的影響及其圖像變換的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)。 本節(jié)通過例1、例2與例3分別討論了函數(shù)y=Asinx 、y=sinx 、y=sin(x) 與y=sinx的關(guān)系，歸納分析出參數(shù)A、對(duì)圖像變換的影響，每個(gè)例題中都是按照同一個(gè)程序展開討論，在這里列表不是為了畫圖像，而是為了給學(xué)生提

2、供一個(gè)觀察問題的角度，希望學(xué)生能從自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)表格中觀察函數(shù)值的變化規(guī)律，觀察出所給函數(shù)與函數(shù)y=sinx的區(qū)別與聯(lián)系，接著再利用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)的圖像，從幾何直觀中感受這種函數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，列表和五點(diǎn)法畫圖像從兩個(gè)不同的角度讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)或驗(yàn)證所給函數(shù)與函數(shù)y=sinx的關(guān)系，即感受參數(shù)對(duì)圖像的影響，在此基礎(chǔ)上再利用函數(shù)的解析式進(jìn)一步討論所給函數(shù)的周期以及函數(shù)的其他性質(zhì)，經(jīng)過這種多角度的觀察和討論，最后抽象出從函數(shù)y=sinx的圖像到y(tǒng)=Asinx的圖像，或從y=sinx到y(tǒng)=sin(x) 或從y=sinx到y(tǒng)=sinx所需作的圖像變換。學(xué)情分析 ： 通過對(duì)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖像

3、與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像之間的關(guān)系有了初步的認(rèn)識(shí)和了解，但本班學(xué)生數(shù)學(xué)水平總體較弱，對(duì)新知理解與掌握能力較弱，教學(xué)中應(yīng)盡量用學(xué)生熟悉的知識(shí)引入，由于本節(jié)主要研究的是三角函數(shù)的圖像變換問題，因此應(yīng)注意多讓學(xué)生親自畫圖操作，同時(shí)還應(yīng)注意控制例題與練習(xí)的難度以利于其對(duì)圖像變換規(guī)律的理解與掌握。教學(xué)策略： 1.教學(xué)中，在條件許可時(shí)可以利用幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件從整體研究參數(shù)A、對(duì)函數(shù)y=Asin(x)圖像變化的影響，通過取A、的多組值作出函數(shù)y=Asin(x)圖像，對(duì)比參數(shù)變換前后圖像的變化體會(huì)A、對(duì)函數(shù)y=Asin(x)圖像變化的影響。 2.在分別討論A、對(duì)函數(shù)y=Asin(x)圖像變化的影響時(shí)，一

4、般采取從具體到一般的思路，即對(duì)參數(shù)賦值，觀察具體函數(shù)圖像的特點(diǎn)，獲得對(duì)變化規(guī)律的具體認(rèn)識(shí)，然后讓參數(shù)“動(dòng)起來”，看看是否還保持了這個(gè)規(guī)律，教學(xué)中應(yīng)盡量使用計(jì)算機(jī)技術(shù)來幫助學(xué)生更好地觀察規(guī)律。 3.教學(xué)中可以對(duì)討論方法先作一個(gè)概括性的描述，特別應(yīng)當(dāng)指出一個(gè)問題中涉及幾個(gè)參數(shù)時(shí)，一般先采取 “各個(gè)擊破”然后再 “歸納整合”的方法。 4.從y=sinx的圖像出發(fā)經(jīng)過變換得到y(tǒng)=Asin(x)的圖像，其變換途徑不唯一，教學(xué)中可以提出尋找不同途徑的問題，讓學(xué)生自己去獨(dú)立研究。教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能 1.結(jié)合實(shí)例了解函數(shù)y=Asin(x)的實(shí)際意義。 2.結(jié)合多媒體展示觀察參數(shù)A、對(duì)函數(shù)變化的影響。 3.能

5、利用五點(diǎn)作圖法畫出正弦型函數(shù)的圖像。過程與方法 1.通過實(shí)例描述振幅、周期、初相、相位，明確參數(shù)A、的物理意義。 2.理解振幅變換、周期變換與相位變換的規(guī)律，會(huì)對(duì)函數(shù)y=Asin(x+)進(jìn)行振幅變換、周期變換與相位變換。 3.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力及探究、創(chuàng)新的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想，樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物。 2.通過學(xué)生的親身實(shí)踐，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，創(chuàng)設(shè)問題情境激發(fā)學(xué)生分析、探究的學(xué)習(xí)態(tài)度。教學(xué)形式：多媒體、新授教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入在物理和工程技術(shù)的許多問題中，經(jīng)常會(huì)遇到形如yAsin(x+ )的函數(shù)(其中A，是

6、常數(shù))，例如：在簡諧振動(dòng)中位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系就是形如yAsin(x+)的函數(shù).這個(gè)函數(shù)有什么性質(zhì)？它與y=sinx有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生思考然后指出顯然函數(shù)ysinx 是函數(shù)yAsin(x+ )的特殊情況，其中A=1，=1，=0。指出本節(jié)課我們將利用函數(shù)ysinx的圖像和性質(zhì)來研究函數(shù)yAsin(x+ )的圖像和性質(zhì)分析在函數(shù)yAsin(x+ )中參數(shù)A，對(duì)函數(shù)及其圖像的影響。回顧畫函數(shù)ysinx圖像的五點(diǎn)作圖法，明確五點(diǎn)作圖法的實(shí)質(zhì)是令x+ 0，2， 32，2。二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握五點(diǎn)作圖法的實(shí)質(zhì).(重點(diǎn))2.理解表達(dá)式y(tǒng)Asin(x+ )，掌握A，x+ 的含義.(重點(diǎn)) 3.會(huì)對(duì)函

7、數(shù)ysinx進(jìn)行振幅變換、周期變換和相位變換.(重點(diǎn)) 4.會(huì)利用振幅變換、周期變換和相位變換的方法作函數(shù)yAsin(x+ )的圖像.(難點(diǎn))三、新知探究探究點(diǎn)1 振幅A對(duì)三角函數(shù)圖像的影響例1 作函數(shù)y=2sinx和y=12sinx的簡圖，并說明它們與函數(shù)y=sinx的關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合五點(diǎn)法分析畫圖解：（1）列表x02322y=sinx010-10y=2sinx020-20y=12sinx0120-120(2)畫圖從函數(shù)圖像和解析式可以看到，對(duì)于同一個(gè)x值，y=2sinx的函數(shù)值是y=sinx的函數(shù)值的2倍，反映在圖像上，是y=sinx圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，就

8、得到y(tǒng)=2sinx的圖像.類似地，對(duì)于同一個(gè)x值，y=12sinx的函數(shù)值是y=sinx的函數(shù)值的12，反映在圖像上，是y=sinx圖像上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)縮短為原來的12，就得到y(tǒng)=12sinx的圖像.（3）確定周期令f1(x)=sinx，f2(x)=2sinx，f3(x)= 12sinx，從f1(x)到f2(x) 、f3(x) ，函數(shù)的周期是否發(fā)生了變化？根據(jù)誘導(dǎo)公式和周期函數(shù)的定義，不難看出這三個(gè)函數(shù)的周期沒有變化，都是2。利用周期性把0, 2上的簡圖向左、右延拓就可以得到函數(shù)y=2sinx、y=12sinx在R上的圖像。（4）討論性質(zhì)從圖像上可以看出，在區(qū)間0, 2上函數(shù)y=

9、2sinx在0, 2 和32, 2上是增加的，在2, 32上是減少的；函數(shù)y=2sinx與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0， ，2；函數(shù)y=2sinx的值域是-2，2 ，最大值是2，最小值是-2。類似地，在區(qū)間0, 2上函數(shù)y=12sinx在0, 2 和32, 2上是增加的，在2, 32上是減少的；函數(shù)y=12sinx與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0， ，2；函數(shù)y=12sinx的值域是-12，12 ，最大值是12，最小值是-12。提升總結(jié)：參數(shù)A對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+j)的影響 函數(shù)y=Asinx (A>0且A1)的圖像可以看作是把y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化為原來的A倍(橫坐標(biāo)不變) 而得到

10、的.由上例可以看出：在函數(shù)yAsinx（A0）中，A決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱A為振幅.變式練習(xí)：描述下列曲線,可以由正弦曲線如何變換得到（1）y=32sinx；（2）y=13sinx。解：（1）函數(shù)y=32sinx的圖像可以看作是將y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化為原來的32倍(橫坐標(biāo)不變) 而得到的.（2）函數(shù)y=13sinx的圖像可以看作是將y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化為原來的13倍(橫坐標(biāo)不變) 而得到的探究點(diǎn)2 參數(shù)j對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+j)的影響例1 畫出函數(shù)y=sin（x+4）和y=sin（x-6）的簡圖，并說明它們與函數(shù)y=sinx的

11、關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方法結(jié)合五點(diǎn)法分析畫圖。解：(1)列表（2）畫圖從函數(shù)圖像和解析式可以看出，把函數(shù) y=sinx的圖像向左平移4個(gè)單位長度就可以得到函數(shù)y=sin（x+4）的圖像；把函數(shù) y=sinx的圖像向右平移個(gè)單位長度就可以得到函數(shù)y=sin（x+）的圖像。（3）確定周期令f1(x)=sin（x+4），f2(x)=sin（x-），從y=sinx到f1(x) 、f2(x) ，函數(shù)的周期是否發(fā)生了變化？根據(jù)誘導(dǎo)公式和周期函數(shù)的定義，不難看出這三個(gè)函數(shù)的周期沒有變化，都是2。利用周期性把0, 2上的簡圖向左、右延拓就可以得到函數(shù)y=sin（x+4）、y=sin（x-）在R上的圖像。（4

12、）討論性質(zhì) 從圖像上可以看出，在區(qū)間, 上，函數(shù) y=sin（x+4）在, 和, 上是增加的，在,上是減少的；函數(shù)y=sin（x+4）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，；函數(shù)y=sin（x+4）的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。類似地，在區(qū)間6,136上，函數(shù)y=sin（x-）在, 和,136上是增加的，在,上是減少的；函數(shù)y=sin（x-）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，6，136；函數(shù)函數(shù)y=sin（x-）的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。提升總結(jié)：參數(shù) j對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+j)的影響 函數(shù)y=sin(x+j)的圖像可以看作是把y=sinx的圖像上所有的點(diǎn)向左(當(dāng)j>0時(shí)

13、)或向右(當(dāng)j<0時(shí))平移|j|個(gè)單位長度而得到的。在函數(shù)y=sin(x+)中，決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，通常稱為初相，x+為相位。變式練習(xí)：描述下列曲線可以由正弦曲線如何變換得到（1）y=sin（x+）；（2）y=sin（x-3）。解：（1）函數(shù)y=sin（x+）的圖像可以看作是將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位而得到的。（2）函數(shù)y=sin（x-3）的圖像可以看作是將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)向右平移3個(gè)單位而得到的。探究點(diǎn)3 參數(shù)w對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+j)的影響例3 畫出函數(shù)y=sin2x及y=sin12x的簡圖，并說明它們與函數(shù)y=sinx的圖像的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)

14、生采用類比的方法結(jié)合五點(diǎn)作圖法完成。解：（1）對(duì)于函數(shù)y=sin2x：列表：x042342x02322y=sin2x010-10描點(diǎn)作圖：（2）對(duì)于函數(shù)y=sin12x：列表：x023412x02322y=sin12x010-10描點(diǎn)作圖：（3）確定周期令f1(x)=sin2x，f2(x)= sin12x根據(jù)誘導(dǎo)公式和周期函數(shù)的定義，不難看出f1(x+)=sin2（x+）= sin（2x+2）= sin2x=f1(x)；f2(x+4)=sin12（x+4）= sin（12x+2）= sin12x=f2(x)所以，是函數(shù)y=sin2x的周期，實(shí)際上，是函數(shù)y=sin2x的最小正周期。由函數(shù)y=s

15、in2x的簡圖向左、右延拓就可以得到函數(shù)y=sin2x在R上的圖像。4是函數(shù)y=sin12x的周期，實(shí)際上，4是函數(shù)y=sin12x的最小正周期。由函數(shù)y=sin12x的簡圖向左、右延拓就可以得到函數(shù)y=sin12x在R上的圖像。（4）討論性質(zhì) 從圖像上可看出，從圖像上可以看出，在區(qū)間0, 上，函數(shù) y=sin2x在0, 和3, 上是增加的，在,3上是減少的；函數(shù)y=sin2x與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0，2，；函數(shù)y=sin2x的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。類似地，在區(qū)間0,4上，函數(shù)y=sin12x在0, 和3,4上是增加的，在,3上是減少的；函數(shù)y=sin12x與x軸交點(diǎn)的橫坐

16、標(biāo)是0，2，4；函數(shù)函數(shù)y=sin12x的值域是-1，1 ，最大值是1，最小值是-1。提升總結(jié)：參數(shù) w 對(duì)函數(shù)y=Asin(wx+j)的影響 函數(shù)y=sinwx (w >0且w1)的圖像可以看作是把y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變化為原來的 1w倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的。通常稱周期的倒數(shù)f= 1T = w2為頻率。變式練習(xí)：描述下列曲線可以由正弦曲線如何變換得到（1）y=sin4x；(2)y=sin13x。解：（1）函數(shù)y=sin4x的圖像可以看作是將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變化為原來的 14倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的。（2）函數(shù)y=sin13x的圖像可以看作是將函數(shù)y

17、=sinx的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變化為原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的。四、課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容對(duì)本節(jié)課作總結(jié)本節(jié)重點(diǎn)研究了參數(shù)A(A>0),(>0),對(duì)函數(shù)y=Asin(x+)圖像的影響(1)將函數(shù)y=sinx的圖像上所有點(diǎn)向左(>0)或向右(<0) 平移 個(gè)單位長度得到y(tǒng)=sin(x+)的圖像。(2)將函數(shù)y=sin(x+)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<<1時(shí))到原來的1w倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像。(3)將函數(shù)y=sin(x+)的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長 (當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0&

18、lt;A<1時(shí))到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)得到函數(shù)y=Asin(x+)的圖像。五、課堂訓(xùn)練1.若將某函數(shù)的圖像向右平移2以后所得到的函像的函數(shù)式是y=sin(x+)，則原來的函數(shù)表達(dá)式為（） A. y=sin(x+3) B. y=sin(x+2) C. y=sin(x-) D. y=sin(x+)- 2.函數(shù)y=3sin(2x+3)的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過下述哪種變換而得到（ ）A.向右平移3個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的12，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍；B. 向左平移3個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的12，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍；C. 向右平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)縮小到原來的13；D. 向平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的12，縱坐標(biāo)縮小到原來的13。3.已知函數(shù)y=Asin(wx+j)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x=9時(shí)函數(shù)取得最大值2，當(dāng)x=49時(shí)函數(shù)取得最小值-2，則該函數(shù)的解析式為（ ） A. y=2sin(3x-6) B. y=2sin(3x+6) C. y=2sin(x3+6) D. y=2sin(x3-6)4.要得到函數(shù)y=cos(2x+1)的圖像，只要將函數(shù)y=cos2x的圖