分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式

1、2022年年2月月15日日回憶回憶 乘方的意義：乘方的意義： a0= 1a-n=na1( a0,nN*).（a0）零的零次冪沒有意義零的零次冪沒有意義零的負(fù)整數(shù)次冪沒有意義零的負(fù)整數(shù)次冪沒有意義a n = aaa a ( n N * )n 個(gè)個(gè)a 整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是： aman=am+n(m,nZ) (am)n=amn(m,nZ) (ab)n=an bn(nZ).注意注意： -都要遵守零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的都要遵守零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能等于底數(shù)不能等于0的規(guī)定的規(guī)定.【練一練練一練】1. 回答下列各題（口答）：回答下列各題（口答）： a2a3= (b4)

2、2= (m n)3=.a5b8m3 n31642底底冪冪指數(shù)指數(shù)?42乘方運(yùn)算乘方運(yùn)算16?2開方運(yùn)算開方運(yùn)算4和和- 4叫做叫做16的平方根的平方根8232叫做叫做8的立方根的立方根9?432?5要求：用語言描述式子的含義要求：用語言描述式子的含義3稱為稱為9的的四次方根四次方根2稱為稱為-32的的五次方根五次方根an?描述：描述：次方等于次方等于n一個(gè)數(shù)的一個(gè)數(shù)的a，求這個(gè)數(shù)，求這個(gè)數(shù)n開開次方次方次方根定義：次方根定義：n如果一個(gè)數(shù)的如果一個(gè)數(shù)的 次方等于次方等于n), 1(*Nnna那么這個(gè)數(shù)叫做那么這個(gè)數(shù)叫做 的的 方根方根an數(shù)學(xué)符號(hào)表示：數(shù)學(xué)符號(hào)表示：若若), 1(*Nnnaxn

3、，則，則 叫做叫做 的的 次方根次方根xan273833254292164322232觀察思考：觀察思考：你能得到什么結(jié)論？你能得到什么結(jié)論？27338323252 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng) 為為奇數(shù)奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的時(shí)，正數(shù)的 次方根是一個(gè)正次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的數(shù)，負(fù)數(shù)的 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)， 的的 次方根次方根只有一個(gè)，記為只有一個(gè)，記為 nnnannax 3273 3825322115x511x4229231642 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)當(dāng)n為為偶數(shù)偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)正數(shù)互為相反數(shù)正數(shù)a的正的正n次方根用符號(hào)次方根用符號(hào)

4、表示；負(fù)的表示；負(fù)的n次方根用符號(hào)次方根用符號(hào) 表示表示,它們可以合并寫成它們可以合并寫成 的形式的形式42934162126xnana612x負(fù)數(shù)沒有偶次方根負(fù)數(shù)沒有偶次方根(0)na a特別注意：特別注意：0的的 次方根等于次方根等于0.n思考：思考： 1） 一定表示一個(gè)正數(shù)嗎？一定表示一個(gè)正數(shù)嗎？nana為奇數(shù)時(shí)，它可為正、可為負(fù)、可為零為奇數(shù)時(shí)，它可為正、可為負(fù)、可為零n 為偶數(shù)時(shí)，它表示非負(fù)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它表示非負(fù)數(shù)n2） 中的中的 一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎？一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎？naa當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，它有意義的條件是為偶數(shù)時(shí)，它有意義的條件是 ；當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，它有意義的條件是為奇數(shù)時(shí)，

5、它有意義的條件是 n0anRa2)2(33)2(55)3(2)2(33544)3(223253nna)(anna 為奇數(shù)為奇數(shù)na 為偶數(shù)為偶數(shù)n|a8443653256161623227，例例1：求下列各式的值。：求下列各式的值。312510244233)()3()10()8(a aba 1.求下列各式的值33)8(2)10(44)3(55)3(44)(ba（）（）（）（）（）（）510a412a練一練：)(ba 2.給出下列4個(gè)等式： ; ; .其中恒成立的個(gè)數(shù)為( )aa2aa2)(aa33aa33)(A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.已知 ，則化簡 的結(jié)果是( )21a42)

6、12(aA. B. C. D. 12 a12 aa21a214.下列各式中，把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，正下列各式中，把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，正確的是確的是( )A.B.C.D.ababaa 時(shí)，0ababaa 時(shí)，0babaa10時(shí)，2)(0, 0baababbaba時(shí)，244)3()2(xx5.化簡： 740740規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：) 1, 0(nNnmaaanmnm且規(guī)定正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：) 1, 0(11nNnmaaaanmnmnm且0的正數(shù)次冪等于的正數(shù)次冪等于0，0的負(fù)數(shù)次冪無意義，的負(fù)數(shù)次冪無意義，0的的0次冪無意義。次冪無意義?；仡櫍悍?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義回顧：分

7、數(shù)指數(shù)冪的定義例1、 求值求值： 、3281225、51()2、.)8116(43分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)而推廣到有理數(shù)范圍：而推廣到有理數(shù)范圍：),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例例 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式:（式中（式中a0） 解解： aa 2) 1 (323)2(aa aa)3(311323323aaaa= 25212212aaaa= = aa 2) 1 (323)2(aa aa)

8、3(4321232121)()(aaaa題型一題型一將根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式（a0,b0)31. a a a343332. ()27ab343. ()ab4329.4ba小結(jié)：1，當(dāng)有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。 2、對(duì)于有分母的，可以先把分母寫成負(fù)指數(shù)冪。 3、要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。65a44383ba43)(ba8349ba43a73x = 43a（2） = (x0) 731x(3) = 43)(baba4321)()(baba 練習(xí)：用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式練習(xí)：用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式 練習(xí)練習(xí)23232xx 4343)()(baba(a+b0) 3232)()(nm

9、nm24)()(nmnm) 0(25356pqpqp252133mmmmm1）2）3）4）5）6）例 求值求值： 、328、21100、3)41(.)8116(43101)10(1100121221= =4 328)1(232332322)2(= 21100)2(= (2-2)-3 = 2(-2)(-3) = 26 = 64 3)41)(3(43)8116)(4(827)32()32(3)43(4題型二題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 求值求值，先把a(bǔ)寫成 nmanx然后原式便化為mnmnnmxxa)(（即：關(guān)鍵先求a的n次方根）34(1)1000023125(2)()273236(3)()49。c

10、bacba的值求已知2310, 510, 310, 21010001259343216940小結(jié)小結(jié) 1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念（與整數(shù)指數(shù)冪對(duì)比，有何、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念（與整數(shù)指數(shù)冪對(duì)比，有何 差異，注意不能隨意約分）差異，注意不能隨意約分）. 2、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而推廣到有理數(shù)指、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。 3、根式運(yùn)算時(shí)，先化為指數(shù)形式進(jìn)行運(yùn)算，原式、根式運(yùn)算時(shí)，先化為指數(shù)形式進(jìn)行運(yùn)算，原式為根式的，再將結(jié)果化為根式。為根式的，再將結(jié)果化為根式。注意三點(diǎn)：注意三點(diǎn)：題型一題型一將根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。（a0,b0)1當(dāng)

11、有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。當(dāng)有多重根式是，要由里向外層層轉(zhuǎn)化。2對(duì)于有分母的，可以先把分母寫成負(fù)指數(shù)冪。對(duì)于有分母的，可以先把分母寫成負(fù)指數(shù)冪。3要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。要熟悉運(yùn)算性質(zhì)。題型二題型二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (不按計(jì)算器不按計(jì)算器)求值求值， nma關(guān)鍵先求關(guān)鍵先求a的的n次方根次方根 2,2( )f x0 x ( )f x(1)( )fmf mm例例3定義在定義在上的偶函數(shù)上的偶函數(shù)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，且單調(diào)遞減，且成立，求實(shí)數(shù)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。的取值范圍。 指數(shù)（3）題型三題型三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、系數(shù)先放在起運(yùn)算。2、同底數(shù)冪 進(jìn)行運(yùn)算，乘的指數(shù)相

12、加，除的指數(shù)相減。1221113334241.( 2)(3)( 4)x yx yx yyyx24) 4(3) 2(323231412141原式20.532037348710(2 )(2)0.19272.100231423.()( 4)(12)a ba ba b c2 1 43 1 21113( 4) 12abcac 解：原式例例4 計(jì)算（式中字母都是正數(shù)）：計(jì)算（式中字母都是正數(shù)）：)3()6)(2)(1 (656131212132bababa31848(2)()m n題型四題型四根式運(yùn)算根式運(yùn)算，先把每個(gè)根式用分?jǐn)?shù)，先把每個(gè)根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示；題目便轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示；題目便轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指

13、數(shù)冪的運(yùn)算。指數(shù)冪的運(yùn)算。注意：注意：結(jié)果可以用根式表示，也結(jié)果可以用根式表示，也可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示. . 但同一但同一結(jié)果中不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指結(jié)果中不能既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，并且分母中不能含有負(fù)分?jǐn)?shù)冪，并且分母中不能含有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪數(shù)指數(shù)冪23432(1)(2 51 2 5 )5 ( 2 )(0 )aaaa例例5 計(jì)算計(jì)算364(24) 3aabb化簡：化簡：529323210)10()8(21題型五題型五)()(22平方差公式bababa)(2)(222完全平方公式bababa)()(2233立方公式babababa利用代數(shù)公式進(jìn)行化簡：111111444422

14、1.()()()ababab例例1 化簡：化簡：11112222111122222.abababab111124243.(23)(23)xyxy122331.3,_,_.aaaaaa已知?jiǎng)t718題型六題型六分?jǐn)?shù)指數(shù)冪或根式中分?jǐn)?shù)指數(shù)冪或根式中x的定義域問題的定義域問題4(1) 1x13(2)(1)x23(3)(1)x12(4) x324(5)(32)xx13(6)(| 1)x例如 求下列各式中x的范圍：X1X1XRX0(-3,1)X1 上面，我們將指數(shù)的取值范圍由整數(shù)推廣到有理數(shù)。那么，當(dāng)指數(shù)是無理數(shù)時(shí)，又該如何解釋？ 無理數(shù)指數(shù)冪哦！25指數(shù)范圍終于指數(shù)范圍終于擴(kuò)大到實(shí)數(shù)了，擴(kuò)大到實(shí)數(shù)了，嘿

15、嘿。嘿嘿。3）根式又是如何定義的？有那些規(guī)定？）根式又是如何定義的？有那些規(guī)定？ 如果一個(gè)數(shù)的平方等于如果一個(gè)數(shù)的平方等于 a ，則這個(gè)數(shù)叫做，則這個(gè)數(shù)叫做 a 的平方根；的平方根；如果一個(gè)數(shù)的立方等于如果一個(gè)數(shù)的立方等于 a ，則這個(gè)數(shù)叫做，則這個(gè)數(shù)叫做 a 的立方根；的立方根；如果一個(gè)數(shù)的如果一個(gè)數(shù)的 n 次方等于次方等于 a ，則這個(gè)數(shù)叫做，則這個(gè)數(shù)叫做 a 的的 n 次方次方根；根；na根指數(shù)根指數(shù)根式根式被開方數(shù)被開方數(shù)a 04） 的運(yùn)算結(jié)果如何？的運(yùn)算結(jié)果如何？當(dāng)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， = a ； ( a R ) nna當(dāng)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，nna= | a | aa

16、00 aaaann )(00 nnna一、引入：1、a10的5次方根是_2、a12的3次方根是_你發(fā)現(xiàn)了什么？1010255aaa1、2、1212433aaa規(guī)定規(guī)定 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 3553*1616,33) 1., 0() 1 (3553nNnmaaanmnm且) 1*, 0(1)2(nNnmaaanmnm且（3)0的正分?jǐn)?shù)的正分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪等于指數(shù)冪等于0， 0的負(fù)分?jǐn)?shù)的負(fù)分?jǐn)?shù) 指數(shù)冪指數(shù)冪沒有意義。沒有意義。二，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義二，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義例1、 求值求值： 、3281225、51()2、.)8116(43分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)

17、冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以運(yùn)用到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)而推廣到有理數(shù)范圍：而推廣到有理數(shù)范圍：),0,0()(),0()(),0(QrbabaabQsraaaQsraaaarrrrssrsrsr例例2、 用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式:（式中（式中a0） 3(1)aa322(2)aa3(3) a a例例-3、計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）、計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）2115113366221.(2)( 6)( 3)a ba ba b 318842.()m n例例-4、計(jì)算下列各式、計(jì)算下列各式341.( 25125)252322.(0)aaaa題型一題型一將根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪根式轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式。（a0,b0)