基變換公式和過渡矩陣

1、基變換公式和過渡矩陣那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐么關(guān)系呢？換句話說，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？標(biāo)如何改變呢？問題問題：在：在 維線性空間維線性空間 中，任意中，任意 個(gè)線性個(gè)線性無關(guān)的向量都可以作為無關(guān)的向量都可以作為 的一組基對(duì)于不同的的一組基對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的nVVn且有且有兩個(gè)基兩個(gè)基的的是線性空間是線性空間及及設(shè)設(shè), 2121nnnV ,22112222112212211111 nnnnnnnnnnppppppppp 稱此公式為基變換公式稱

2、此公式為基變換公式 nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111由于由于 nnnnnnnnppppppppp 2121222121211121.21 nTP Pnn ,2121 矩陣矩陣 稱為由基稱為由基 到基到基 的過的過渡矩陣渡矩陣 , 2121中中在在基基變變換換公公式式Pnn n ,21n ,21P過渡矩陣過渡矩陣 是可逆的是可逆的P若兩個(gè)基滿足關(guān)系式若兩個(gè)基滿足關(guān)系式 Pnn ,2121 ,) , , ( ,),( , 121212121nTnnTnnxxxxxxV下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為在基在基為為下的坐標(biāo)下的坐標(biāo)在基在基中的元素中的元素設(shè)設(shè)定理定理

3、 則有坐標(biāo)變換公式則有坐標(biāo)變換公式,2121 nnxxxPxxx.21121 nnxxxPxxx或或證明證明 nnxxx2121, ,2121nnxxx Pnn ,2121 .,21212121 nnnnxxxPxxx . 2121 nnxxxPxxx即即. ,21121 nnxxxPxxxP所以所以可逆可逆由于矩陣由于矩陣., 23 , 22 , 22 , 12 , 1 , 12 , 1 ,2 234233222312342332322313求坐標(biāo)變換公式求坐標(biāo)變換公式及及中取兩個(gè)基中取兩個(gè)基在在 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxP 例1例1., 43214321表表示示用用將將

4、解解 ,)1 ,(),( 234321Axxx 因因?yàn)闉?)1 ,(),(234321Bxxx ,2221112031111202,1110011112121111 BA其中其中.),(),( 143214321BA 得得. 432114321 xxxxABxxxx故坐標(biāo)變換公式為故坐標(biāo)變換公式為.1AB 用用初初等等變變換換計(jì)計(jì)算算 AB 11102221011111201212311111111202初等行變換初等行變換 11111000100001000011001011100001 11111000100001000011001011100001 ABE1 11111000001111

5、10 .1111100000111110 43214321 xxxxxxxx所以所以.211 ,11 10 ,01 .22121的的兩兩個(gè)個(gè)基基為為線線性性空空間間及及設(shè)設(shè)RV 坐坐標(biāo)標(biāo)變變換換的的幾幾何何意意義義 例例2 2,2121 又設(shè)又設(shè)下下的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為在在基基則則 21, 121 21xx下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為在基在基由坐標(biāo)變換公式可知由坐標(biāo)變換公式可知 21, 12112121111121yy.21 21 即即xyo 1 2 2 121 1 2 121 基變換公式基變換公式 nnnnnnnnnnppppppppp 22112222112212211111 Pnn ,2121 坐標(biāo)變換公式坐標(biāo)變換公式,2121 nnxxxPxxx或或.21121 nnxxxPxxx .32,1, 1, 23233在在這這個(gè)個(gè)基基下下的的坐坐標(biāo)標(biāo)并并求求多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的一一個(gè)個(gè)基基是是證證明明 xxxPxxxxx0 )()()( )1()1()( 4342233214233231 kkxkkxkxkkxkxkxxkxk令令證明證明 0, 0, 0, 04342321kkkkkkk04321 kkkk.,1, 1,3233的的一一個(gè)個(gè)基基是是線線性性無無關(guān)關(guān)故故xPxxxxx , 32 )1()1()( 24233231 xxxaxaxxaxa又令又令 3, 2,