高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第七版)上冊-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、-WORD格式 - 可編輯 -高等數(shù)學(xué) (同濟(jì)第七版 )上冊 -知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章函數(shù)與極限一.函數(shù)的概念1. 兩個(gè)無窮小的比較設(shè) lim f ( x)0, lim g( x) 0 且 limf (x)lg(x)（ 1） l = 0 ，稱 f (x)是比 g(x) 高階的無窮小，記以f (x) = 0g( x) ，稱 g(x)是比 f(x) 低階的無窮小。（ 2） l 0 ，稱 f (x)與 g(x) 是同階無窮小。（ 3） l = 1 ，稱 f (x)與 g(x) 是等價(jià)無窮小，記以f (x) g(x)2. 常見的等價(jià)無窮小當(dāng) x 0 時(shí)sin x x ，tan x x ， arcsin x

2、x， arccosx x ，1- cos x x 2 / 2 ，ex - 1 x ， ln(1x) x ， (1x)1x二求極限的方法1兩個(gè)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 1. 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在x h x準(zhǔn)則（夾逼定理）設(shè) g x f2.()( )( )若 lim g( x)A, lim h( x) A ，則 limf (x)A2兩個(gè)重要公式公式 1 lim sin x1x 0x公式 2 lim (1x)1/ x ex 03用無窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無窮小代換4用泰勒公式當(dāng) x0 時(shí)，有以下公式，可當(dāng)做等價(jià)無窮小更深層次1-WORD格式 - 可編輯 -xx2x3xnne1x2!3!.n!o(x)sin xxx3

3、5. (nx2n2 n 1)x1)1o( x3!5!( 2n1)!cos x1x2x4. (1)nx2no( x 2 n )2!4!2n!ln(1x)xx2x3.( 1) n 1 xno( x n )23n(1x)1x(1) x2.(1).(n 1)xn o(xn )2!n!arctan xxx3x5.(1)n1 x2n1o( x 2n1 )352n15洛必達(dá)法則定理 1設(shè)函數(shù) f ( x)、 F ( x) 滿足下列條件：（1） lim f ( x)0， lim F (x)0 ；x x 0xx 0（2） f ( x) 與 F (x)在 x0的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F ( x) 0 ；（3） l

4、imf (x)存在（或?yàn)闊o窮大），則limf ( x)lim f (x)xxF (x)xxFf ( (x)x)xxF ( x)0f ( x)00這個(gè)定理說明：當(dāng)f ( x) ；當(dāng)lim存在時(shí)， lim也存在且等于 limx xxxF (x)F ( x)f( x)0 F ( x)0x x 0limf ( x)也是無窮大為無窮大時(shí)， limx x 0 F ( x)x x 0 F ( x)這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)（ L H ospital）法則 .型未定式定理 2 設(shè)函數(shù)f ( x)、 F ( x) 滿足下列條件：（1） limf ( x)，

5、lim F ( x)；x x 0x x 0（2） f ( x) 與 F (x) 在 x0 的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且F ( x)0 ；（3） limf (x)f (x)存在（或?yàn)闊o窮大），則 limlimf ( x)F (x)x xxxF ( x)x x 0x0 時(shí)未定式0 F (x)0注：上述關(guān)于 x型的洛必達(dá)法則，對(duì)于 x時(shí)未定式型同樣適用使用洛必達(dá)法則時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：0（1）洛必達(dá)法則只能適用于“”和“”型的未定式，其它的未定式須0先化簡變形成“0 ”或“ ”型才能運(yùn)用該法則；02-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分

6、的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷

7、點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介

8、于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在( a,b) 內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) = 0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1

9、n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性

10、質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一

11、個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極

12、限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在

13、這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利

14、用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他

15、間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存

16、在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1

17、n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f

18、( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-W

19、ORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右

20、極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值

21、定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x

22、0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和

23、振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x)

24、 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類

25、間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在

26、a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用

27、洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存

28、在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最

29、大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7.

30、 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)

31、的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b

32、) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f

33、 ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f

34、( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，

35、在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（

36、 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之

37、間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f

38、 ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)設(shè) x0 是函數(shù) y = f ( x)的間斷點(diǎn)。如果f ( x) 在間斷點(diǎn) x0 處的左、右極限都存在，則稱 x0 是 f ( x) 的第一類間斷點(diǎn)。左右極限存在且相同但不等于該點(diǎn)的函數(shù)值為可去間斷點(diǎn)。左右極限不存在為跳躍間斷點(diǎn)。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。（ 2）第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)的函數(shù) f ( x) ，有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。這些性質(zhì)以后都要

39、用到。定理 1（有界定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則 f ( x) 必在 a,b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函數(shù) f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為 M 和 m ，則對(duì)于介于 m 和 M 之間的任何實(shí)數(shù) c ，在 a,b 上至少存在一個(gè) ，使得 f ( ) = c推論：如果函數(shù)f ( x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，且 f ( a) 與 f ( b) 異號(hào)，則在 ( a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使得 f ( ) =0 這個(gè)推論也稱為零點(diǎn)定理3-WORD格式 - 可編輯 -（ 2）只要條件具備，可以連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則；（ 3）洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不必要因此，在該法則失效時(shí)并不能斷定原極限不存在6利用導(dǎo)數(shù)定義求極限基本公式 limf (x 0x)f ( x 0 )f ' ( x0 ) ( 如果存在）x0x7. 利用定積分定義求極限基本格式 lim1n1kf ( ) f ( x) dx （如果存在）nnk 1n0三函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類：（ 1）第一類間斷點(diǎn)