一次函數(shù)復(fù)習(xí)講義（精編版）

1、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、知識(shí)要點(diǎn)：1、一次函數(shù)：形如y=kx+b (k 0, k, b為常數(shù) ) 的函數(shù)。注意： 1k0, 否那么自變量x 的最高次項(xiàng)的系數(shù)不為1；2當(dāng) b=0 時(shí)， y=kx ，y 叫 x 的正比例函數(shù)。2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，1兩個(gè)常有的特殊點(diǎn)：與y 軸交于 0，b；與 x 軸交于 -，02由圖象可以知道，直線y=kx+b 與直線 y=kx 平行，例如直線：y=2x+3 與直線 y=2x-5 都與直線 y=2x平行。3、性質(zhì)：(1) 圖象的位置 :(2) 增減性k>0 時(shí)， y 隨 x 增大而增大k<0 時(shí)， y 隨 x 增大而減小4. 求一次函數(shù)解

2、析式的方法求函數(shù)解析式的方法主要有三種(1) 由函數(shù)推導(dǎo)或推證(2) 由實(shí)際問(wèn)題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一般在沒(méi)有寫(xiě)出函數(shù)解析式前無(wú)法或不易判斷兩個(gè)變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。(3) 用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式。4 / 13“待定系數(shù)法的根本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，題目的恒等式中含有幾個(gè)等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個(gè)含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有以下幾種情況：利用一次函數(shù)的定義構(gòu)造方程組。利用一次函數(shù)y=kx+b 中常數(shù)項(xiàng) b 恰為函數(shù)圖象與y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即由b 來(lái)定點(diǎn)；直線y=kx+b平

3、行于 y=kx ，即由 k 來(lái)定方向。利用函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。利用題目條件直接構(gòu)造方程。二、例題舉例：例 1 y=，其中=(k 0 的常數(shù) ) ，與成正比例，求證y 與 x 也成正比例。證明：與成正比例， 設(shè)=a(a 0 的常數(shù) ),y=,=(k 0 的常數(shù) ),y=·a=akx ， 其中 ak 0 的常數(shù)，y 與 x 也成正比例。例 2一次函數(shù)=(n-2)x+-n-3 的圖象與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1 ，判斷=(3-)是什么函數(shù)，寫(xiě)出兩個(gè)函數(shù)的解析式，并指出兩個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的位置及增減性。解：依題意，得解 得 n=-1 ，=-3x-1,=(3

4、-)x,是正比例函數(shù)；=-3x-1 的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，隨 x 的增大而減小；=(3-)x 的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，隨 x 的增大而增大。說(shuō)明： 由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n，故求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n 的方程， 此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項(xiàng)就是圖象與y 軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)來(lái)構(gòu)造方程。例 3直線 y=kx+b 與直線 y=5-4x 平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點(diǎn)在y 軸上，求此直線解析式。分析：直線 y=kx+b 的位置由系數(shù)k、b 來(lái)決定：由k 來(lái)定方向，由b 來(lái)定與 y 軸的交點(diǎn)，假設(shè)兩直線平行，那么解析式的一次項(xiàng)系數(shù)k 相等。例 y=2x,y=2x+3的圖象平行

5、。解： y=kx+b 與 y=5-4x 平行，k=-4,y=kx+b 與 y=-3(x-6)=-3x+18相交于 y 軸，b=18，y=-4x+18 。說(shuō)明： 一次函數(shù) y=kx+b 圖象的位置由系數(shù)k、b 來(lái)決定：由k 來(lái)定方向，由b 來(lái)定點(diǎn)，即函數(shù)圖象平行于直線 y=kx ，經(jīng)過(guò) (0, b)點(diǎn)，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k，由與 y 軸交點(diǎn)定 b。例 4直線與 x 軸交于點(diǎn) A-4 ，0，與 y 軸交于點(diǎn) B，假設(shè)點(diǎn) B 到 x 軸的距離為2，求直線的解析式。解：點(diǎn) B 到 x 軸的距離為2，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 0，± 2，設(shè)直線的解析式為y=kx ±2,直線過(guò)點(diǎn)A

6、-4 ，0， 0=-4k ±2,解得： k=±,直線 AB 的解析式為 y=x+2 或 y=-x-2.說(shuō)明： 此例看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但實(shí)際上隱含了很多推理過(guò)程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。1圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)；2直線與 y 軸交于 B點(diǎn)，那么點(diǎn)B0，；3點(diǎn) B 到 x 軸距離為 2，那么|=2 ； 4點(diǎn) B的縱坐標(biāo)等于直線解析式的常數(shù)項(xiàng)，即b=；5直線與 y 軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可設(shè) y=kx+， 下面只需待定k 即可。例 5一次函數(shù)的圖象，交x 軸于 A-6 ， 0，交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，且點(diǎn) B在第三象限，它的橫坐標(biāo)為 -2 ， AOB的面積為 6 平方單位

7、，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。分析：自畫(huà)草圖如下：解：設(shè)正比例函數(shù)y=kx ， 一次函數(shù) y=ax+b，點(diǎn) B 在第三象限，橫坐標(biāo)為-2 ，設(shè) B-2 ，其中<0，=6， AO·|=6 ， =-2 ，把點(diǎn) B-2 ，-2 代入正比例函數(shù)y=kx ，得 k=1 把點(diǎn) A-6 ，0、 B-2 ，-2 代入 y=ax+b，得解得：y=x, y=-x-3 即所求。說(shuō)明： 1此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫(xiě)出含待定系數(shù)的構(gòu)造式，注意兩個(gè)函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示；2此例需要把條件 面積轉(zhuǎn)化為點(diǎn) B 的坐標(biāo)。這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式AO·BD=6過(guò)點(diǎn) B

8、 作 BDAO于 D計(jì)算出線段長(zhǎng) BD=2，再利用 | |=BD 及點(diǎn) B 在第三象限計(jì)算出 =-2 。假設(shè)去掉第三象限的條件，想一想點(diǎn) B 的位置有幾種可能，結(jié)果會(huì)有什么變化？答：有兩種可能，點(diǎn) B 可能在第二象限 -2 ，2，結(jié)果增加一組 y=-x, y= (x+3).例 6 正比例函數(shù) y=kx (k<0) 圖象上的一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離等于 13，過(guò)這點(diǎn)向 x 軸作垂線，這點(diǎn)到垂足間的線段和 x 軸及該圖象圍成的圖形的面積等于 30，求這個(gè)正比例函數(shù)的解析式。分析：畫(huà)草圖如下：那么 OA=13，=30，那么列方程求出點(diǎn)A 的坐標(biāo)即可。解法 1： 設(shè)圖象上一點(diǎn)Ax, y 滿足解得：；代入

9、 y=kx (k<0)得 k=-, k=-.y=-x 或 y=-x。解法 2： 設(shè)圖象上一點(diǎn)Aa, ka 滿足由 2得=-,代入 1，得 (1+) ·(-)=.整理，得 60+169k+60=0.解得 k=-或 k=-. y=-x 或 y=-x.說(shuō)明： 由于題目已經(jīng)給定含有待定系數(shù)的構(gòu)造式y(tǒng)=kx ，其中 k 為待定系數(shù)，故解此例的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于 k 的方程。此例給出的兩個(gè)解法代表兩種不同的思路：解法1 是把條件先轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上一點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造方程解出， 再求 k ；解法 2 是引進(jìn)輔助未知數(shù)a，利用勾股定理、 三角形面積公式直接構(gòu)造關(guān)于a、k 的方程組，解題時(shí)消去a，求出

10、 k 值。例 7在直角坐標(biāo)系x0y 中，一次函數(shù)y=x+的圖象與 x 軸， y 軸，分別交于A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C坐標(biāo)為 1， 0，點(diǎn) D 在 x 軸上，且 BCD= ABD，求圖象經(jīng)過(guò)B、D 兩點(diǎn)的一次函數(shù)的解析式。分析： 由可得 A 點(diǎn)坐標(biāo) -3 ，0， B點(diǎn)坐標(biāo) 0，點(diǎn) C 是確定的點(diǎn) 1， 0，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn) D 的坐標(biāo)，由點(diǎn)D在 x 軸上，以 BCD=ABD的條件，結(jié)合畫(huà)草圖可知BCD的邊 BC確定，頂點(diǎn)C確定，但邊 CD 可以有兩個(gè)方向，即點(diǎn)D可以在 C點(diǎn)右側(cè)，也可以在C點(diǎn)左側(cè)，因此解此題要分類討論。解：點(diǎn) A、B 分別是直線 y=x+與 x 軸和 y 軸交點(diǎn)，A-3 ，0， B

11、0，5 / 13點(diǎn) C坐標(biāo) 1，0由勾股定理得BC=，AB=，設(shè)點(diǎn) D的坐標(biāo)為 x, 0 ，1當(dāng)點(diǎn) D在 C點(diǎn)右側(cè)，即x>1 時(shí)， BCD=ABD，BDC= ADB， BCD ABD，=- - - -=8-22x+5=0x 1=, x 2 =,經(jīng)檢驗(yàn)： x1 =, x 2=, 都是方程的根。x=, 不合題意，舍去。x=，D點(diǎn)坐標(biāo)為, 0 。設(shè)圖象過(guò) B、D 兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=kx+b ，所求一次函數(shù)為y=-x+2假設(shè)點(diǎn) D 在點(diǎn) C左側(cè)那么 x<1， 可證 ABC ADB，- - - -13 / 138-18x-5=0x 1=-, x 2=,經(jīng)檢驗(yàn) x 1 =-, x 2

12、=, 都是方程的根。x 2=不合題意舍去，x1=-,D點(diǎn)坐標(biāo)為 -, 0 ，圖象過(guò) B、D-, 0 兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為y=4x+綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為y=-x+或 y=4x+.例 8：如圖一次函數(shù)y=x-3 的圖象與 x 軸、y 軸分別交于A、B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) C4，0作 AB 的垂線交 AB 于點(diǎn) E，交 y 軸于點(diǎn) D，求點(diǎn) D、E 的坐標(biāo)。解：直線 y=x-3 與 x 軸交于點(diǎn) A6，0，與 y 軸交于點(diǎn) B0， -3 ，OA=6， OB=3，OAOB，CDAB， ODC=OAB，cot ODC=cotOAB,即OD=8.點(diǎn) D的坐標(biāo)為 0，8，設(shè)過(guò) CD的直線解析式為y=kx

13、+8, 將 C( 4,0)代入0=4k+8,解得 k=-2直線 CD：y=-2x+8,由解得點(diǎn) E 的坐標(biāo)為，-說(shuō)明： 由于點(diǎn) E 既在直線 AB 上，又在直線CD上，所以可以把兩直線的解析式聯(lián)立，構(gòu)成二元一次方程組，通過(guò)解方程組求得。3點(diǎn) C ，求 ABC的面積一次函數(shù)綜合提高題第一局部：靈活應(yīng)用y1.如果一次函數(shù)么 m n=y=mx+1 與 y=nx 2 的圖象相交于x 軸上一點(diǎn)，那yx3 與y2 xb 的 圖 象 交 于y 軸 上 一 點(diǎn) ， 那 么Ob3.xymxn直線 ymxn 如下圖，化簡(jiǎn)：mnm2第 3 題4.如圖， 相交于 P2，2點(diǎn)的互相垂直的直線l1 與 x 軸的正半軸交點(diǎn)

14、為 A ， l 2 與 y 軸的正半軸交點(diǎn)為B，那么四邊形OAPB 的面積為 .5.平行四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O 為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A 2， 1，點(diǎn) B1 ， 1，那么點(diǎn)2C 和 D 的坐標(biāo)分別為6.點(diǎn) Px ， 2和點(diǎn) Q3，y不重合，那么當(dāng)P、Q 關(guān)于 對(duì)稱時(shí)， x= 3，y=2 ；當(dāng) PQ 垂直 y 軸， x ， y .y3 x2m 和 y1 x2n 的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，0) ，且與 y 軸分別交于B、C 兩點(diǎn)，那么 ABC 的面積是y(m21)xm2 與 y 軸的交點(diǎn)在x 軸的上方，且m10，m 為整數(shù)，那么符合條件的 m 有9. 點(diǎn) P 坐標(biāo)為 2a ， 3a6 ，且點(diǎn)P

15、 到兩坐標(biāo)軸的距離相等，那么點(diǎn)P 的坐標(biāo)是y2 x3 與 x 軸交于點(diǎn)A ，與 y 軸交于點(diǎn)B ，直線 y2xb 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B 且與 x 軸交于11. 一次函數(shù)y=kx+b 的圖象過(guò)點(diǎn)1， 2，且與y 軸交于點(diǎn)P，假設(shè)直線y= 0.5x+2 與 y軸的交點(diǎn)為Q，點(diǎn) Q 與點(diǎn) p 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，求這個(gè)函數(shù)解析式.12. 直線 y=2x+1 1求直線與y 軸交點(diǎn) M 的坐標(biāo)； 2假設(shè)直線y=kx+b 與直線關(guān)于y軸對(duì)稱，求k， b 的值13. y+2 與 x 成正比例，且x=-2 時(shí)， y=01求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；2畫(huà)出函數(shù)的圖象；3觀察圖象，當(dāng)x 取何值時(shí)， y 0？4假設(shè)點(diǎn) m

16、， 6在該函數(shù)的圖象上，求m的值；5設(shè)點(diǎn) P 在 y 軸負(fù)半軸上，2中的圖象與x 軸、 y 軸分別交于A， B 兩點(diǎn)，且SABP=4，求 P 點(diǎn)的坐標(biāo)14. y+a 與 x+ba，b 為是常數(shù)成正比例1y 是 x 的一次函數(shù)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；2在什么條件下，y 是 x 的正比例函數(shù)？15. 如圖，直線L： y1 x2 與 x 軸、 y 軸分別交于A、B 兩點(diǎn)，在 y 軸上有一點(diǎn)2C0，4, 動(dòng)點(diǎn) M從 A 點(diǎn)以每秒1 個(gè)單位的速度沿x 軸向左移動(dòng)。1求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2求 COM的面積 S 與 M的移動(dòng)時(shí)間t 之間的函數(shù)關(guān)系式；3當(dāng) t 何值時(shí) COM AOB，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)。一次函數(shù)

17、增減性與不等式1. 點(diǎn) -4 ，y 1， 2，y 2都在直線y= -12 x+b上，那么y1 、 y2 大小關(guān)系是2. 關(guān)于 x 的不等式ax 1 0 a 0的解集是x 1，那么直線yax 1 與 x 軸的交點(diǎn)是3. 假設(shè)正比例函數(shù)y=(2 3m)x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A x1，y1和 Bx2，y2，且當(dāng) x 1x 2 時(shí)， y1y 2，那么 m的取值范圍是4.2x y 0，且 x5 y，那么 x 的取值范圍是 5、如圖，函數(shù)y 3x b 和 y ax 3 的圖象交于點(diǎn)P( 2， 5) ，那么根據(jù)圖象可得不等式 3x b ax 3 的解集是 。y2y3xb-2O2-2yax3 xyy1y2A6、如圖

18、，一次函數(shù) y1 k1xb1 與 y2k 2x b2 的圖象相交于A(3 ，Ox7，那么不等式(k 2 k 1)x b2 b1 0 的解集為 8. 不等式 x 5 3x 3 的解集是x 2，那么直線y x 5 與 y 3x 3?的交點(diǎn)坐標(biāo)是 m 取何實(shí)數(shù)，直線y=x+3 m 與 y= x+1 的交點(diǎn)不可能在第 象限 .10、以下圖中表示一次函數(shù)ymx+n 與正比例函數(shù)y m nx(m ， n 是常數(shù)，且mn0) 圖像的是 ()11. 一次函數(shù)ykxk ，其在直角坐標(biāo)系中的圖象大體是A B12. 如下圖，正比例函數(shù)ykx(k0) 的函數(shù)值y 隨 x 的增大而增大，那么一次函數(shù)yxk 的圖象大致是yyyyxxxA B Dyy 2=xa02x4O3y =kxb113 題圖14題圖13 一次函數(shù)ykxb 的圖象如下圖，當(dāng)x 1 時(shí)， y 的取值范圍是A、 2 y 0B、 4 y 0C、y 2D、y 414、一次函數(shù)y1 kx b 與 y2 xa 的圖象如圖，那么以下結(jié)論k0； a 0；當(dāng)x 3 時(shí)， y1 y 2 中，正確的個(gè)數(shù)是A、0B、1C、2D、315下面圖象中，關(guān)于x 的一次函數(shù)y mx (m 3) 的圖象不可能是()xx3x， y 滿足