波函數(shù)與波動(dòng)方程

1、 第二章 波函數(shù)與波動(dòng)方程 第二章 目 錄 2.1 波粒兩象性32.2 波函數(shù)的玻恩（Max Born,1926年）幾率詮釋幾率波42.3 波函數(shù)的性質(zhì)，態(tài)疊加原理5（1）波函數(shù)的性質(zhì)5（2）位置和位能的平均值8（3）動(dòng)量平均值9（4）態(tài)疊加原理122.4含時(shí)間的薛定諤方程（Schrodingers equation）15(1) Schrodingers equation的建立15(2) 對(duì)Schrodinger equation的討論172.5 不含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài)問(wèn)題23(1) 不含時(shí)間的薛定諤方程23（2） 定態(tài)242.6 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系25（1）一些例子25（2）一些實(shí)驗(yàn)27（3）測(cè)

2、不準(zhǔn)關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果28（4）能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系28（5）一些應(yīng)用舉例29 第二章 波函數(shù)與波動(dòng)方程 既然輻射和粒子都具有波動(dòng)性和微粒性，那么，如何理解這兩屬性呢？它們?nèi)绾谓y(tǒng)一起來(lái)？ 經(jīng)典物理觀(guān)點(diǎn)必須被修改。主要表現(xiàn)：a. 波粒兩象性 （粒子） （波） （Planck假設(shè)）Einstein關(guān)系 （，） （de Broglie假設(shè)） de Broglie關(guān)系 具有確定動(dòng)量的自由粒子被一平面波所描述 b. 物理量取值不一定是連續(xù)的輻射體輻射的能量取值 氫原子的能量 由于平常粒子的波長(zhǎng)，所以觀(guān)察不到干涉, 衍射現(xiàn)象。微觀(guān)粒子，如電子，因此在原子線(xiàn)度下可能顯示出波動(dòng)性。而在宏觀(guān)測(cè)量尺度下，

3、幾乎也不顯示波動(dòng)性。將粒子所具有的微粒性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)，這在經(jīng)典物理學(xué)中看來(lái)是不可能的，因經(jīng)典粒子 經(jīng)典波原子性（整體性） 實(shí)在物理量的空間分布軌道 干涉，衍射這兩者是不相容的。描述微觀(guān)粒子既不能用經(jīng)典粒子，也不能用經(jīng)典波，當(dāng)然也不能用經(jīng)典粒子和經(jīng)典波來(lái)描述。2.1 波粒兩象性想像一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)：a每次接收到的是一個(gè)電子，即電子確是以一個(gè)整體出現(xiàn)；b電子數(shù)的強(qiáng)度，但，；c電子槍發(fā)射稀疏到任何時(shí)刻空間至多一個(gè)電子，但足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，也有同樣結(jié)果。因此，我們可得到下面的結(jié)論：a. 不能認(rèn)為，波是電子將自己以以一定密度分布于空間形成的（因接收到的是一個(gè)個(gè)電子），也不是大量電子分布形成的（稀疏時(shí)，也有

4、同樣的現(xiàn)象）；b. 不能想像，電子通過(guò)時(shí)，能像經(jīng)典電子（有軌道）那樣來(lái)描述（因）；c. 不能認(rèn)為衍射可能是通過(guò)縫后，電子相互作用所導(dǎo)致（稀疏時(shí)，也有同樣現(xiàn)象）?？傊娮樱孔恿Ｗ樱┎荒芸醋鹘?jīng)典粒子，也不能用經(jīng)典波來(lái)描述（經(jīng)典波是物理量在空間分布。如按經(jīng)典波描述，現(xiàn)在應(yīng)是電子密度分布，這當(dāng)然不是。）。但是，這種干涉現(xiàn)象在經(jīng)典中也有類(lèi)似表示，如水波通過(guò)二個(gè)縫后，在接收器上的強(qiáng)度分布為， 。我們是如何解釋這干 涉現(xiàn)象呢？通過(guò)縫時(shí)， 水波以描述通過(guò)縫時(shí)，水波以描述 通過(guò)，時(shí)， 則以描述 強(qiáng)度 ， （，） 即為干涉項(xiàng)。 電子的干涉現(xiàn)象與這完全相似，但兩者的含意是本質(zhì)不同的，前者是強(qiáng)度，后者是接收到的電

5、子多少。這啟發(fā)我們，電子的雙縫干涉中的現(xiàn)象也可用函數(shù)來(lái)描述（它們一般應(yīng)是復(fù)函數(shù)） ， （）稱(chēng)為波函數(shù)（描述粒子波動(dòng)性的函數(shù)稱(chēng)為波函數(shù)），也就是說(shuō)，接收器上某位置電子數(shù)的多少，將由波函數(shù)的模的平方來(lái)表征?？臻g若有兩個(gè)波，強(qiáng)度則應(yīng)由波函數(shù)的模的平方來(lái)描述。但是，這種描述是什么意思呢？它沒(méi)有回答，電子是一個(gè)個(gè)出現(xiàn)的問(wèn)題；也沒(méi)有回答，空間電子稀疏時(shí)，但時(shí)間足夠長(zhǎng)后，干涉花紋照樣出現(xiàn)。2.2 波函數(shù)的玻恩（Max Born,1926年）幾率詮釋幾率波真正將量子粒子的微粒性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)的觀(guān)點(diǎn)是1926年被Max Born提出的。如電子用一波函數(shù)來(lái)描述，則 從上面分析可以看到，在范圍內(nèi)，接收到電子多少是

6、與的大小有關(guān)； 當(dāng)發(fā)射電子稀疏到一定程度時(shí)，接收器上接收到的電子幾乎是“雜亂無(wú)章”的，但當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)，接收到的電子數(shù)分布為。這表明，電子出現(xiàn)在接收器上的各個(gè)位置是具有一定的幾率的。當(dāng)足夠多的電子被接收后。在接收器上的電子分布正顯示了這一幾率分布（電子到接收器上是一個(gè)個(gè)的，但分布又類(lèi)似波，即幾率波）。 是電子出現(xiàn)在附近的幾率密度（如果）由此可見(jiàn)，盡管電子通過(guò)雙縫的描述，類(lèi)似水波那樣用一波函數(shù)來(lái)描述，但本質(zhì)是不同的。它不像水波那樣是描述某處的水所帶能量的大小，而它僅是刻劃粒子在空間的幾率分布，即 是描述一個(gè)電子的幾率振幅。Max Born（1926年）給出了波函數(shù)的幾率解釋。玻恩幾率解釋?zhuān)喝绻?/p>

7、時(shí)刻，對(duì)以波函數(shù)描述的粒子進(jìn)行位置測(cè)量，測(cè)得的結(jié)果可以是不同的；而在小區(qū)域中發(fā)現(xiàn)該粒子的幾率為 （由于是幾率， ）。說(shuō)明兩點(diǎn)： 不是對(duì)物理量的波動(dòng)描述。它有意義的是，在于代表在體積元中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率，所以它不代表物理實(shí)體，僅是一幾率波； 粒子是由波函數(shù)來(lái)描述，但波函數(shù)并不能告訴你，時(shí)刻測(cè)量時(shí)，粒子在什么位置。粒子位置可能在，可能在，而在中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為。也就是說(shuō)在某處越大，則在時(shí)刻測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子在該處的機(jī)會(huì)越多。（這表明，我們講的是預(yù)言到什么，但我們不能說(shuō)出測(cè)量的結(jié)果）。我們?nèi)绾蝸?lái)理解這一點(diǎn)呢？因如果對(duì)一個(gè)體系去測(cè)量發(fā)現(xiàn)粒子可能就處于，只測(cè)得一個(gè)值。但可想像有很多很多同樣的體系，對(duì)體系同時(shí)進(jìn)行

8、完全相同的測(cè)量，測(cè)得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)次 次 次 當(dāng)對(duì)足夠多的同樣的體系進(jìn)行測(cè)量后，即在大量的完全相同的體系中，同時(shí)測(cè)量，那發(fā)現(xiàn)粒子在處的幾率為 我們將會(huì)看到，體系的波函數(shù)給出了體系所有信息（可能范圍），它給出體系一個(gè)完全的描述（例如，測(cè)量粒子的能量時(shí)，可給出預(yù)言可能測(cè)得那些能量值（即幾率不等于）和測(cè)得該能量值的幾率；等等）。正因?yàn)槿绱?，我們可以說(shuō)波函數(shù)描述了體系所處的量子狀態(tài)，或稱(chēng)狀態(tài)。以描述體系，就稱(chēng)體系處于態(tài)，或稱(chēng)為體系的態(tài)函數(shù)。2.3 波函數(shù)的性質(zhì)，態(tài)疊加原理既然體系狀態(tài)的波函數(shù)給出了體系所有可能得到的信息，那么它有什么共同性質(zhì)呢？（1）波函數(shù)的性質(zhì)A. 歸一化條件：為時(shí)刻，發(fā)現(xiàn)粒子在中的幾率

9、。但測(cè)量時(shí)，總是要發(fā)現(xiàn)粒子的。所以，在整個(gè)空間中，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率之和應(yīng)為。因此，一個(gè)真正的實(shí)在的波函數(shù)，應(yīng)該有 若波函數(shù)滿(mǎn)足上述條件，則稱(chēng)該波函數(shù)已歸一化。應(yīng)該注意，只有當(dāng)波函數(shù)歸一化后，才能說(shuō)是幾率。否則在區(qū)域中，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為 若 則歸一化的波函數(shù)為 （可差一相因子，為實(shí)數(shù)）這時(shí)才代表在區(qū)域中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。例： 所以，歸一化的波函數(shù)為而在 中的幾率為 在中的幾率為 在中的幾率為 當(dāng)然，也可計(jì)算中的幾率顯然，重要的是相對(duì)幾率。和的相對(duì)幾率分布是完全相同的，是描述同一量子狀態(tài)（這與經(jīng)典波有很大不同）。所以差一常數(shù)因子的波函數(shù)是完全等價(jià)的。 即使歸一化了，仍可有一相因子的差別（為實(shí)數(shù)）。有時(shí)

10、為了處理問(wèn)題的方便，或理想化時(shí)，我們有時(shí)也用一些不能歸一化的波函數(shù)，如平面波，等。事實(shí)上，這也是一大類(lèi)波函數(shù)（本征值連續(xù)所相應(yīng)的波函數(shù)），我們將在以后討論。B波函數(shù)的自然條件：一般而言，波函數(shù)必須連續(xù)，有界，單值。 連續(xù)：由于有粒子處于中的幾率解釋?zhuān)栽?和處幾率當(dāng)然應(yīng)該相等，所以在任何條件下應(yīng)連續(xù)； 有界：我們講有界是指有界，即使是在某些孤立奇點(diǎn)（對(duì)于）也能不違背波函數(shù)這一性質(zhì)。只要在包含它的小區(qū)域中的幾率有界，實(shí)際上就是波函數(shù)平方可積。例如：，那只要在小區(qū)域（附近）有界即可。所以要求 不快于，即時(shí)，若的漸近形式為，則要求 。對(duì)于一維 。當(dāng)，有界對(duì)于二維 。 當(dāng)， 有界 而對(duì)，那趨于0應(yīng)快

11、于 單值：實(shí)際上僅需單值，即單值，我們將在后面討論。 在位勢(shì)有限大小的間斷處，波函數(shù)導(dǎo)數(shù)仍連續(xù) 這將在第三章中證明。C多粒子體系波函數(shù)的形式個(gè)粒子體系的波函數(shù)為 ，共有個(gè)自由度。是描述粒子處于粒子 處于的幾率。應(yīng)該注意，說(shuō)粒子處于等等并不確切?，F(xiàn)指?jìng)€(gè)粒子是不同粒子。而粒子處于的幾率為 同樣，在整個(gè)空間中找到這些粒子的幾率應(yīng)為。所以，物質(zhì)粒子的波動(dòng)性本質(zhì)上是與經(jīng)典波不一樣的。經(jīng)典波是指描述某種實(shí)在的物理量在三維空間中的波動(dòng)現(xiàn)象，而物質(zhì)粒子波函數(shù)一般是在多維空間（位形空間）中的幾率波。（2）位置和位能的平均值既然波函數(shù)能給出體系的一切可能的信息，它能預(yù)言得到某可能值的幾率，那它應(yīng)該能給出物理量的統(tǒng)

12、計(jì)平均值。這顯然是應(yīng)當(dāng)做得到的，但如何給出，則需要研究。A位置平均值設(shè)：是歸一化波函數(shù)。 由于測(cè)得值在的幾率為 從平均值的定義，則的平均值應(yīng)表為 B位能平均值（假設(shè)位能表示中不依賴(lài)動(dòng)量） 初看起來(lái)，動(dòng)量，能量和角動(dòng)量等等，平均值都應(yīng)能類(lèi)似地給出。但動(dòng)量平均值能否仍按上述表示給出呢？ 原則上講，這是完全錯(cuò)的。因粒子具有波動(dòng)性，而動(dòng)量是與波長(zhǎng)相聯(lián)系的（）。但波長(zhǎng)是描述波在空間變化的快慢，一般而言，一個(gè)波函數(shù)由很多不同波長(zhǎng)的平面波疊加而成。在某一點(diǎn)（）處，其波長(zhǎng)不是一個(gè)，而是有很多不同大小的波長(zhǎng)，即在（）處，并沒(méi)有確定的值，從而可仿上述平均值來(lái)表示。那么究竟如何表示動(dòng)量平均值呢？（3）動(dòng)量平均值既然

13、不能像位置那樣求動(dòng)量平均值，那如何計(jì)算呢？根據(jù)de Broglie關(guān)系，具備一定動(dòng)量和能量的自由粒子，其波長(zhǎng)，頻率，即以一平面波來(lái)描述 （系數(shù)是為了使它們歸一化到） ， 所以，描述體系是單色平面波時(shí)，則粒子具有的動(dòng)量是完全確定的，因而平均值就是確定的值。一般而言，描述粒子是由一波包來(lái)實(shí)現(xiàn)（局限于空間某一區(qū)域，所以是由許多平面波疊加而成），即動(dòng)量有一分布，可由實(shí)驗(yàn)來(lái)定。一束具有動(dòng)量的電子束垂直入射到拋光的鎳金屬晶體上（即戴維遜和蓋末實(shí)驗(yàn)），在方向上有強(qiáng)的電子束出射（若）。假設(shè)，動(dòng)量取分立值，有二個(gè)動(dòng)量值和的電子束同時(shí)入射。由于和對(duì)應(yīng)不同，所以經(jīng)鎳晶體表面散射的角度是不同的，而滿(mǎn)足 ， 當(dāng)比較遠(yuǎn)時(shí)

14、，兩束電子分開(kāi)，所以分別收集到動(dòng)量為，的電子束（在，方向）。這時(shí)鎳晶體好似一譜分離器，你可認(rèn)為在方向上接收到的電子以 平面波來(lái)描述；在方向上接收到的電子以平面波來(lái)描述。因此，在遠(yuǎn)處接收到動(dòng)量為的電子數(shù)目 收集到動(dòng)量為的電子數(shù)目 。（而這反映入射到鎳晶體表面前電子動(dòng)量為和的數(shù)目多少）所以，散射后，整個(gè)空間的波函數(shù)的描述應(yīng)為（在遠(yuǎn)處，方向相應(yīng)，動(dòng)量的電子） 實(shí)際上，鎳晶體就是一制備儀器，制備一個(gè)體系的狀態(tài)是以這一波函數(shù)來(lái)描述。這才是描述散射后，一個(gè)電子的波函數(shù)。而動(dòng)量為的電子幾率為 ，動(dòng)量為的電子幾率為 。因此，對(duì)于處于狀態(tài)的電子，其動(dòng)量平均值應(yīng)表為 我們可將這一思想（對(duì)分立值的情況所做的說(shuō)明）推

15、廣到更一般情況：電子可能具有各種大小和方向的動(dòng)量。若描述該電子的波函數(shù)為，則有 （可以證明，若，則，這表明是時(shí)刻，動(dòng)量為的幾率密度振幅。）所以，相應(yīng)的 這類(lèi)似于 根據(jù)上式的逆變換 則 這表明，如果不用直接方法求動(dòng)量平均值，而用去求，則需要引進(jìn)算符來(lái)代替（變量）進(jìn)行計(jì)算，我們稱(chēng)為粒子的動(dòng)量算符。對(duì)于粒子處于狀態(tài)（已歸一化），則其動(dòng)量的平均值為 所以，在量子力學(xué)中的描述和經(jīng)典力學(xué)中的描述是有本質(zhì)差別的。量子力學(xué)中物理量（力學(xué)量）的描述是用算符來(lái)描述。在微觀(guān)粒子行為的量子力學(xué)描述中，引入的算符，對(duì)應(yīng)于經(jīng)典的位置和動(dòng)量變量。然而這些算符不等于經(jīng)典變量。由上述推理： 求動(dòng)能平均值（），可表為 所以動(dòng)量

16、即 球坐標(biāo) 柱坐標(biāo) 角動(dòng)量 （原則上為） 于是角動(dòng)量平方 這看上去與經(jīng)典動(dòng)能在形式上相同，但有實(shí)質(zhì)的不同。因這是算符形式。另外，就而言，經(jīng)典為徑向動(dòng)量，但現(xiàn)在就不同了。 （這在后面將討論） 另外 （4）態(tài)疊加原理若體系由來(lái)描述，則（已歸一）描述了體系的幾率分布或稱(chēng)幾率密度。若粒子處于態(tài)中，則測(cè)量動(dòng)量的取值僅為，而不在之間取值。對(duì)于大量粒子，好像一部分電子處于態(tài)，另一部分電子處于態(tài)。 但你不能指定某一個(gè)電子只處于態(tài)或只處于態(tài)。即對(duì)一個(gè)電子而言，它可能處于態(tài)（即動(dòng)量為），也可能處于態(tài)（即動(dòng)量為），即有一定幾率處于態(tài)，有一定幾率處于態(tài)。由這啟發(fā)建立量子力學(xué)最基本原理之一： A. 態(tài)疊加原理如果是體系

17、的一個(gè)可能態(tài)，也是體系的一個(gè)可能態(tài)，則是體系的可能態(tài)，并稱(chēng)為和態(tài)的線(xiàn)性疊加態(tài)。說(shuō)明二點(diǎn)： 對(duì)體系測(cè)量力學(xué)量時(shí)，測(cè)得值為，使你認(rèn)為體系（在未測(cè)之前）可能處于態(tài)上，則稱(chēng)是體系的一可能態(tài)；如測(cè)得值為，使你認(rèn)為也為體系的一可處的態(tài)。因此，體系處的可能態(tài)為 ； 如體系處于，那測(cè)量力學(xué)量的測(cè)得值，可能為或，而不可能為其他值。而測(cè)得和的幾率分別。態(tài)疊加原理是否正確，是以導(dǎo)出的結(jié)果是否正確為依據(jù)。B討論（與經(jīng)典比較） 經(jīng)典認(rèn)為：本身疊加將產(chǎn)生一個(gè)新的態(tài)這是因?yàn)榭臻g各處的強(qiáng)度增大到原來(lái)的4倍。而量子力學(xué)認(rèn)為，根據(jù)態(tài)疊加原理，這兩個(gè)態(tài)是一樣的。在和中測(cè)量力學(xué)量都只有一個(gè)值，而空間的幾率分布與在空間各點(diǎn)之間的相對(duì)幾

18、率是一樣的。事實(shí)上，從歸一化中，我們已看到，量子力學(xué)中態(tài)函數(shù)乘一常數(shù)并不改變或產(chǎn)生新的態(tài)。 經(jīng)典振動(dòng)可處處為，即沒(méi)有振動(dòng)。但量子力學(xué)中則沒(méi)有的態(tài)，因或一不為零的常數(shù)。 若，經(jīng)典認(rèn)為是一個(gè)新的波動(dòng)態(tài)，即以來(lái)描述物理量在空間的波動(dòng)，不能說(shuō)物理量可能作波動(dòng)，或者可能作波動(dòng)。但對(duì)量子力學(xué)來(lái)說(shuō)，體系可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)。但不會(huì)處于 態(tài)（）。因測(cè)量力學(xué)量所得的測(cè)量值是不會(huì)為的。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，有時(shí)在處理物理問(wèn)題時(shí)，常常對(duì)函數(shù)展開(kāi)， 。對(duì)經(jīng)典物理學(xué)來(lái)說(shuō)，這僅是一個(gè)數(shù)學(xué)處理，如富里葉分解。這僅表明有各種波相干，但并不能說(shuō)，振蕩發(fā)生在某一頻率上。但量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理則賦于這一展開(kāi)以新的物理含意：測(cè)量力學(xué)量

19、，可能測(cè)得值僅為的值，其幾率，即系數(shù)不僅僅是展開(kāi)系數(shù)，而是正比于取值的幾率振幅。 它反映了一個(gè)非常重要的性質(zhì)，而這在經(jīng)典物理學(xué)中是很難被接受的。我們知道一個(gè)動(dòng)量為的自由粒子是以一個(gè)平面波描述；動(dòng)量為的自由粒子是以平面波 描述。如體系（一個(gè)自由粒子）可能處于這兩個(gè)態(tài)，則表明體系所處的態(tài)為，可是這個(gè)態(tài)沒(méi)有確定的動(dòng)量（當(dāng)你預(yù)言動(dòng)量的測(cè)量值時(shí)）。但也是描述自由粒子的可能態(tài)。事實(shí)上，描述自由粒子狀態(tài)的最普遍的形式為 而 至于具體狀態(tài)，那應(yīng)由一定的條件來(lái)定。所以，量子力學(xué)允許體系處于這樣一個(gè)態(tài)中，在這個(gè)態(tài)中，某些物理量沒(méi)有確定值（而從經(jīng)典物理學(xué)看只能有一定值）。具有確定動(dòng)量的自由粒子是以平面波來(lái)描述。但你

20、不能說(shuō)具有確定動(dòng)量的自由粒子就是處于平面波這個(gè)狀態(tài)，這要看你所要觀(guān)測(cè)的物理量。事實(shí)上，大家熟知的 而在中測(cè)量角動(dòng)量和角動(dòng)量分量的測(cè)得值為，。這表明，這一自由粒子有一定幾率處于態(tài)上，其幾率為。另外，值得注意的是：在態(tài)疊加中重要的是系數(shù)，（如，給定）。對(duì)于，這時(shí)完全被，所決定。 完全可替代來(lái)描述該態(tài)（以后要討論）， ，所以，重要的是和。 態(tài)疊加原理的直接后果是要求波函數(shù)滿(mǎn)足的方程，必須是線(xiàn)性齊次方程。 例1. 高斯波包（The Gaussian wave packet） 一個(gè)質(zhì)量為的自由粒子，其為高斯分布 求：相應(yīng)的粒子波包 所以，高斯分布的富氏變換成另一個(gè)高斯分布這是一個(gè)，位置在區(qū)域（位置幾率明

21、顯不為），而動(dòng)量在區(qū)域（動(dòng)量幾率明顯不為區(qū)域）2.4含時(shí)間的薛定諤方程（Schrodingers equation）(1) Schrodingers equation的建立 應(yīng)該指出，薛定諤方程不是從基本原理導(dǎo)出來(lái)的，它的正確性是靠由它所推出的結(jié)果及預(yù)言的正確性來(lái)證實(shí)的。有確定動(dòng)量的自由粒子：根據(jù)de Broglie關(guān)系和Einstein關(guān)系 （）它應(yīng)相應(yīng)于一個(gè)de Broglies波 由這波函數(shù)可得 但這不是普遍適用的方程（因含有一特殊參量）。因 而若 則 但從另一方面 在這方程中無(wú)特殊參量，它不僅對(duì)有確定動(dòng)量的自由粒子的波函數(shù)成立，對(duì)最普遍的自由粒子的波函數(shù)也成立。 而 這一微分方程決定了

22、體系狀態(tài)隨時(shí)間的演化。將上述情況推廣，對(duì)于質(zhì)量為的粒子，在位勢(shì)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，則 因此，描述這一粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足最為普遍的方程是：體系的Hamiltonian 則 被稱(chēng)為含時(shí)間的Schrodingers equation。但應(yīng)注意，同一力學(xué)量的經(jīng)典表示，可得不同的量子力學(xué)表示： 因此，經(jīng)典力學(xué)的力學(xué)量，變?yōu)榱孔恿W(xué)的力學(xué)量表示（即量子化），即算符時(shí)，應(yīng)注意和對(duì)經(jīng)典力學(xué)是一樣的，但對(duì)量子力學(xué)而言是不同的。所以規(guī)定： 在直角坐標(biāo)中表示分量，再代入算符表示； 對(duì)于形式為與線(xiàn)性函數(shù)的物理量，則取 （為實(shí)）； 如果是矢量，則直角坐標(biāo)下的分量表示，然后再作 替換，再換為其它坐標(biāo)。 如果 ，則 (2) 對(duì)S

23、chrodinger equation的討論A量子力學(xué)的初值問(wèn)題：當(dāng)體系在時(shí)刻的狀態(tài)為時(shí)，以后任何時(shí)刻的波函數(shù)就完全由S,eq，所決定（因?qū)κ且淮纹⑸蹋?。這就是量子力學(xué)的因果律，即決定狀態(tài)的演化。因此，在量子力學(xué)中的因果律是對(duì)波函數(shù)的確定。它不像經(jīng)典力學(xué)那樣是確定軌道或力學(xué)量的測(cè)得值，而是決定狀態(tài)的演化。如，即與時(shí)間無(wú)關(guān)，則時(shí)刻的解可表為（如時(shí)為） 如何從波函數(shù)來(lái)確定時(shí)刻波函數(shù)？例如 自由粒子 時(shí)刻，已知為由于是自由粒子，在時(shí)，它必是的疊加態(tài)即 當(dāng)給定，則 也就是，當(dāng)給定，則由定出。我們知時(shí)刻自由粒子的態(tài)是由疊加而成，疊加系數(shù)為（已確定） 而 下一節(jié)中再進(jìn)一步討論。 從另一角度討論，對(duì)于自由

24、粒子，直接利用 例：自由粒子在時(shí)處于態(tài) 可以證明 粒子處于的幾率密度為 發(fā)現(xiàn)粒子主要在區(qū)域中。令 討論： a. 波包的擴(kuò)展如果我們以這個(gè)高斯波包來(lái)描述（或模擬）一個(gè)物體在時(shí)，它位于，（有一寬度）, 而平均動(dòng)量為。在時(shí)刻，其包絡(luò)線(xiàn)中心位于 。 所以，包絡(luò)極大處的速度 稱(chēng)為群速度，即群速度等于粒子速度。從相位看，如 相位為 相位為 , 所以，相速度 你也可以計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，即發(fā)現(xiàn)粒子的主要區(qū)域在（）。 所以，隨時(shí)間演化，這一高斯波包越來(lái)越寬。設(shè)：當(dāng)，包波已擴(kuò)散很大，因此似乎與經(jīng)典粒子無(wú)任何相似之處 （以后討論其物理意義） 所以，這樣一個(gè)顯示經(jīng)典粒子的 波包，動(dòng)量的分布沒(méi)有擴(kuò)展，而空間的分布則擴(kuò)展，使

25、得你在 時(shí)，就認(rèn)不得經(jīng)典粒子了。上圖即為高斯波包的傳播 這一討論和結(jié)論，對(duì)任何其它形狀的波包都相同。a. 波包擴(kuò)展的時(shí)間量級(jí)在實(shí)際生活中，對(duì)一宏觀(guān)粒子，我們從來(lái)沒(méi)有看見(jiàn)它會(huì)擴(kuò)展，以至好似消失 人：， 所以，人活秒長(zhǎng)的時(shí)間，還算像人樣。 （當(dāng)，才擴(kuò)散得很大） 但 年秒 對(duì)于經(jīng)年仍還可以，這即年=億年。因此，量子現(xiàn)象你是看不到的。 塵粒： 克， 即經(jīng)秒年億年，塵粒仍保持“經(jīng)典粒子“圖象。 電子（原子中） 千克， 米 秒 而在波爾的氫原子中，電子繞質(zhì)子一周所花的時(shí)間 秒。由這看出，電子在原子中不可能以波包形式描述。另外，求波函數(shù)隨時(shí)間的演化，也可這樣來(lái)做。時(shí)刻的波函數(shù)，可由時(shí)刻的波函數(shù)完全確定。由于

26、S. eq. 是線(xiàn)性的，因而解能夠被疊加。因此，不同時(shí)刻的波函數(shù)關(guān)系也必須是線(xiàn)性的。這就意味著，必須滿(mǎn)足齊次的微分方程。即可表為稱(chēng)為Green函數(shù)，或稱(chēng)傳播子。知道了Green函數(shù)，就知道態(tài)隨時(shí)間的演化。如時(shí)刻，粒子處于，即由上式得 這就是格林函數(shù)的含義。（時(shí)刻，粒子處于，則時(shí)刻，處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度振幅即為）由薛定諤方程我們可直接給出 例：自由粒子的格林函數(shù) 根據(jù) 這即自由粒子的Green函數(shù) B粒子數(shù)守恒在非相對(duì)論的情況下，實(shí)物粒子既不產(chǎn)生也不湮滅，所以在整個(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)不隨時(shí)間變，即 這即要求，凡滿(mǎn)足Schrodinger eq.的波函數(shù)，必須滿(mǎn)足上式。 由 從而得 。若V為實(shí)函

27、數(shù)（保證體系是穩(wěn)定的，能量為實(shí)）對(duì)整個(gè)空間積分，得 對(duì)于真實(shí)粒子，運(yùn)動(dòng)于有限范圍內(nèi)，波函數(shù)應(yīng)平方可積（平方可積條件要求，應(yīng)快于），于是 證得 這即表明，一旦波函數(shù)在某時(shí)刻已歸一化，則任何時(shí)刻都是歸一化的。當(dāng)波函數(shù)未歸一化時(shí)，那 ，而與無(wú)關(guān)。這正是物理上的要求。若非實(shí)，則。所以當(dāng)，則體系不穩(wěn)定而衰變掉。當(dāng)，則其它粒子衰變?yōu)樵摿Ｗ?。由上可?jiàn)，若取 則 稱(chēng)為幾率流密度矢。上述表示，即為幾率守恒的微分形式，形式上與流體力學(xué)的連續(xù)方程一樣，但是有很大的實(shí)質(zhì)差別。如對(duì)空間某一體積積分，則有 這表明，單位時(shí)間內(nèi)，體積中，發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率增加是等于從該體積表面（S面）流入該區(qū)域的幾率，也就是說(shuō)，在某區(qū)域中的幾

28、率減少，則另一區(qū)域中的幾率增加，全空間幾率不變。一維情況 幾率流密度矢是處處連續(xù)的。由 當(dāng) 則 連續(xù)因此，即使在特定情況下，波函數(shù)導(dǎo)數(shù)可不連續(xù)，但仍是處處連續(xù)。C. 多粒子體系的薛定諤方程設(shè)：體系有個(gè)粒子，質(zhì)量分別為，所處的位勢(shì)為，相互作用為，則 這時(shí)S. eg.為 這也看出與經(jīng)典不一樣。不一定都是三維空間的函數(shù)，而是多維的，即在多維位形空間中的。2.5 不含時(shí)間的薛定諤方程，定態(tài)問(wèn)題當(dāng)位勢(shì)與時(shí)間無(wú)關(guān)，即。(1) 不含時(shí)間的薛定諤方程由于H與t無(wú)關(guān)，可簡(jiǎn)單地用分離變數(shù)法求特解。令 于是 =常數(shù)由于它與任何t或都保持相等，所以它們必等于一個(gè)與t，無(wú)關(guān)的常數(shù)。于是有 。我們有 。所以，當(dāng)H與t無(wú)關(guān)

29、時(shí)，含時(shí)間的薛定諤方程的特解為： 其中 。該方程被稱(chēng)為不含時(shí)間的薛定諤方程，或稱(chēng)能量本征方程。A. 在上述方程中，E實(shí)際上是體系的能量。因?yàn)樵诮?jīng)典力學(xué)中，粒子在一個(gè)與t無(wú)關(guān)的位勢(shì)中運(yùn)動(dòng)，體系機(jī)械能守恒，即具有一定的能量。而在量子力學(xué)中，對(duì)應(yīng)波函數(shù)隨時(shí)間變化為，所以相應(yīng)的實(shí)際上是體系的能量。從平面波看，它隨時(shí)間變化就是。B. 一般而言，上述方程對(duì)任何E值都有非零解。但由于對(duì)波函數(shù)有幾率解釋?zhuān)ê瘮?shù)有一定要求（自然條件），以及一些特殊的邊界要求（ 無(wú)窮大位勢(shì)邊界處 等）。這樣能滿(mǎn)足方程的解就只有某些E值。由這而自然地獲得能量的分立值（而測(cè)量值只能是這方程有非零解所對(duì)應(yīng)的值）。C. 根據(jù)態(tài)疊加原理，

30、是含時(shí)間的薛定諤方程的一個(gè)特解，也就是，是該體系的一個(gè)可能態(tài)，所以普遍的可能態(tài)一定可表為通常稱(chēng)（其中 ）為定態(tài)波函數(shù)。應(yīng)該注意，對(duì)體系可按各種定態(tài)波函數(shù)展開(kāi)來(lái)表示。但只有按自身的定態(tài)波函數(shù)展開(kāi)時(shí)，系數(shù)C才與t無(wú)關(guān)。否則與t有關(guān)。（2） 定態(tài)A. 定態(tài)定義：具有確定能量的態(tài)，稱(chēng)為體系的定態(tài)，或者說(shuō)，以波函數(shù) （其中 ）描述的態(tài)稱(chēng)為定態(tài)。在2.4節(jié)中，我們已指出，當(dāng)與t無(wú)關(guān)時(shí)（即），態(tài)隨時(shí)間演化的規(guī)律為 。若tt0時(shí)處于定態(tài)，即t0時(shí)波函數(shù)為 則 這正是我們所給出的。B. 定態(tài)的性質(zhì)：若體系Hamiltonian與t無(wú)關(guān)。1體系在初始時(shí)刻（t0）處于一定能量本征態(tài)，則在以后任何時(shí)刻，體系都處于這一

31、本征態(tài)上，即。它隨時(shí)間的變化僅表現(xiàn)在因子上。2體系的幾率密度不隨時(shí)間變化，幾率流密度矢的散度為0（即無(wú)幾率源）。 所以 這表明，在任何地方，都無(wú)幾率源，空間的幾率密度分布不變。3幾率流密度矢，不隨時(shí)間變化。所以與t無(wú)關(guān)。4任何不含t的力學(xué)量在該態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化。5任何不顯含t的力學(xué)量在該態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化。根據(jù)態(tài)疊加原理，若對(duì)體系測(cè)量力學(xué)量的值，如可取a1, a2，那么體系的可能態(tài)必為 （因討論的力學(xué)量與t無(wú)關(guān)，所以與t無(wú)關(guān)。而在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量，其測(cè)得值僅為ai。而測(cè)得ai的幾率正比于?，F(xiàn)體系處于定態(tài)，顯然與t無(wú)關(guān), =。這正表明，對(duì)處于定態(tài)中的體系，測(cè)量取可能值的幾率不變。2.

32、6 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系由于粒子應(yīng)由態(tài)函數(shù)來(lái)描述，因此，就不能像經(jīng)典那樣以每時(shí)刻 ，來(lái)描述（事實(shí)上由前一節(jié)也看出，自由粒子的動(dòng)量并不一定取一個(gè)值）。但是否仍能像經(jīng)典那樣在處發(fā)現(xiàn)粒子具有動(dòng)量呢？W.Heisenberg指出：當(dāng)我們測(cè)量客體的動(dòng)量如有一測(cè)不準(zhǔn)度（即客體動(dòng)量在這區(qū)域中的幾率很大），我們?cè)谕瑫r(shí)，不可能預(yù)言它的位置比更精確。也就是說(shuō)，在同一時(shí)刻測(cè)量動(dòng)量和位置，其測(cè)不準(zhǔn)度必須滿(mǎn)足類(lèi)似， 。這稱(chēng)為Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。應(yīng)該注意：這是實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，當(dāng)然也是波一粒兩象性的結(jié)果；自然也是波函數(shù)幾率解和態(tài)疊加原理的結(jié)果。我們將從幾個(gè)方面來(lái)論述它。（1）一些例子A. 具有確定動(dòng)量（一維運(yùn)動(dòng)）的自由粒子，

33、是以 來(lái)描述，其幾率密度 所以，對(duì)任何x處的相對(duì)幾率都相同。也就是說(shuō)，發(fā)現(xiàn)粒子在xixi+dx區(qū)域中的幾率都相同。所以，x的不準(zhǔn)確度為 ，但=0，所以不違背測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。B如一個(gè)自由粒子是由一系列沿x方向的平面波疊加而成的波包描述 設(shè)：k很小，變化很緩慢，可近似取為. 所以， 這是具有一定形狀沿x方向傳播的波包。在x0，t0時(shí)，位相為 在x，t時(shí)，位相也為 ，所以，位相傳播速度 ，稱(chēng)為相速度。同時(shí)我們可以看到，波包（可認(rèn)為幾率振幅最大處）的平均值在移動(dòng)。而極大值位置為 ，所以它移動(dòng)的速度 即粒子的速度，稱(chēng)為群速度。這個(gè)波包擴(kuò)展度的區(qū)域不是任意小，即 于是有 。所以要波包僅限于空間一定區(qū)域，相應(yīng)P

34、x的擴(kuò)展度不可能任意?。划?dāng)Px的擴(kuò)展度一定時(shí)，那波包的擴(kuò)展度也不可能任意小。應(yīng)該指出，我們?cè)谡归_(kāi)時(shí)，只取前二項(xiàng)，當(dāng)二級(jí)項(xiàng)包含時(shí)，即 不為零時(shí)，波包將隨時(shí)間而擴(kuò)大（這并不代表粒子消失，而是它的幾率在較大的范圍內(nèi)明顯不為零）（2）一些實(shí)驗(yàn)A位置測(cè)量：一束電子平行地沿x方向入射，通過(guò)窄縫a，從而測(cè)出y方向的位置。由于通過(guò)窄縫，這時(shí)電子的位置（在y方向）有一不確定度，而人們認(rèn)為=0，所以違背測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。但事實(shí)上，通過(guò)縫后，在不同位置接收到的電子數(shù)的多少顯示出干涉圖象（電子數(shù)的大?。@一單縫干涉的第一極小為 即通過(guò)單縫后，電子在y方向的動(dòng)量不再為0，而為。所以，當(dāng)測(cè)量y的位置越精確（即a越?。?，那動(dòng)量

35、在y方向越不精確，它們的精確度至少要滿(mǎn)足（事實(shí)上，這是一制備一個(gè)電子在某狀態(tài)下，波包寬為a，而不是平面波（寬為無(wú)窮）。顯然，這不是儀器的精度問(wèn)題，而是電子具有波動(dòng)性，以波函數(shù)來(lái)描述。所以通過(guò)窄縫，有干涉。但它又是幾率波。電子動(dòng)量有一定幾率密度在 中的某一值，所以它是波一粒兩象性的后果。B用顯微鏡測(cè)量電子的位置：一束具有確定動(dòng)量Px的電子沿x軸運(yùn)動(dòng)，用顯微鏡觀(guān)察被電子散射的光束來(lái)測(cè)量電子的位置。但顯微鏡的分辯率為（即電子位置的精度） 。這是因?yàn)槌傻南袷且谎苌浒唿c(diǎn)，有一定大小，被觀(guān)測(cè)電子的位置有一不確定度。所以越小，我們可以測(cè)得電子位置越精確，而我們還認(rèn)為，以為違背了測(cè)不準(zhǔn)原理。但事實(shí)上，光子是一個(gè)個(gè)到達(dá)屏上（量子力學(xué)認(rèn)為）它是從之間某一角度進(jìn)入的，但不知是那一角度進(jìn)入的。所以散射光子的動(dòng)量在x方向上有一不確定度Px，而這不確定度也使被反沖的電子在x方向上有同樣的不確定度（而不是Px0），即 。所以，當(dāng)你測(cè)量得知電子在x方向上位置的不確定度為時(shí)，則電子在x方向上的動(dòng)量并不確定，而必然有一不確定度。你越想精確，測(cè)量電子位置（越小），那電子的動(dòng)量的確定度越差（）。（3）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果,也就是微觀(guān)粒子用波函數(shù)描述及態(tài)疊加態(tài)原理的必然結(jié)果。由于物質(zhì)粒子的波粒兩象