概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二版考點(diǎn)習(xí)題答案

1、如果再前面頁(yè)碼有遺漏的習(xí)題答案，請(qǐng)?jiān)诘箶?shù)的頁(yè)碼中查找。（這文檔是匯總了幾篇文檔搞出來(lái)的）習(xí)題22.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根據(jù)，得，即。 故 2.3解：用X表示甲在兩次投籃中所投中的次數(shù)，XB(2,0.7)用Y表示乙在兩次投籃中所投中的次數(shù), YB(2,0.4)(1) 兩人投中的次數(shù)相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2= (2)甲比乙投中的次數(shù)多PX>Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=2.4解:（1）P1X3= PX=1

2、+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5<X<2.5=PX=1+ PX=2=2.5解：（1）PX=2,4,6,=（2）PX3=1PX<3=1PX=1- PX=2=2.6解：設(shè)表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值為0，1，2=2.7解：(1)設(shè)X表示4次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則XB(4,0.4)(2)設(shè)Y表示5次獨(dú)立試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則YB(5,0.4)2.8 （1）XP()=P(0.5×3)= P(1.5) =（2）XP()=P(0.5×4)= P(2)2.9解：設(shè)應(yīng)配備m名設(shè)備維修人員。又設(shè)發(fā)生故障的設(shè)備數(shù)為X，則。依題意，設(shè)備發(fā)生故障能及時(shí)維

3、修的概率應(yīng)不小于0.99，即，也即因?yàn)閚=180較大，p=0.01較小，所以X近似服從參數(shù)為的泊松分布。查泊松分布表，得，當(dāng)m+1=7時(shí)上式成立，得m=6。故應(yīng)至少配備6名設(shè)備維修人員。2.10解：一個(gè)元件使用1500小時(shí)失效的概率為 設(shè)5個(gè)元件使用1500小時(shí)失效的元件數(shù)為Y，則。所求的概率為2.11解：(1) (2) 2.12解：(1)由及，得，故a=1,b=-1.(2) (3) 2.13（1）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量?jī)H有80萬(wàn)千瓦時(shí)，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：（2）假設(shè)該地區(qū)每天的用電量?jī)H有90萬(wàn)千瓦時(shí)，則該地區(qū)每天供電量不足的概率為：2.14解:要使方程有實(shí)根則使解得K的取值范圍為

4、,又隨機(jī)變量KU(-2,4)則有實(shí)根的概率為2.15解：XP()= P()(1) （2）（3）2.16解：設(shè)每人每次打電話的時(shí)間為X，XE(0.5)，則一個(gè)人打電話超過(guò)10分鐘的概率為又設(shè)282人中打電話超過(guò)10分鐘的人數(shù)為Y，則。因?yàn)閚=282較大，p較小，所以Y近似服從參數(shù)為的泊松分布。所求的概率為2.17解：(1)(2)2.18解：設(shè)車門(mén)的最低高度應(yīng)為a厘米，XN(170,62)厘米2.19解：X的可能取值為1,2,3。因?yàn)椋?；所以X的分布律為X123P0.60.30.1X的分布函數(shù)為 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，X-

5、112P0.30.50.2（2）Y120.80.22.22（1）設(shè)FY(y)，分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則對(duì)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得 （2）設(shè)FY(y)，分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有對(duì)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得 （3）設(shè)FY(y)，分別為隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得 2.23 （1）對(duì)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到 （2），,對(duì)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到 （3）， 對(duì)求關(guān)于y的導(dǎo)數(shù)，得到 習(xí)題3參考答案3.1 P1<X2,3<Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 3.2YX1220=3=03.4（1）

6、a=（2）（3） 3.5解：（1）（2）3.6解：3.7參見(jiàn)課本后面P227的答案3.8 3.9解：X的邊緣概率密度函數(shù)為：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，Y的邊緣概率密度函數(shù)為： 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，3.10 （1）參見(jiàn)課本后面P227的答案（2） 3.11參見(jiàn)課本后面P228的答案3.12參見(jiàn)課本后面P228的答案3.13（1） 對(duì)于時(shí)，所以 對(duì)于時(shí)，所以 3.14X Y025X的邊緣分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的邊緣分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X與Y不獨(dú)立3.15X Y123X的邊緣分布12ab

7、+a+bY的邊緣分布a+b+1由獨(dú)立的條件則可以列出方程解得 3.16 解（1）在3.8中 當(dāng)， 時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以，X與Y之間相互獨(dú)立。 （2）在3.9中， 當(dāng)，時(shí)， ，所以X與Y之間不相互獨(dú)立。3.17解：故X 與Y相互獨(dú)立3.18參見(jiàn)課本后面P228的答案習(xí)題4參考答案4.1 解：甲機(jī)床生產(chǎn)的零件次品數(shù)多于乙機(jī)床生產(chǎn)的零件次品數(shù)，又兩臺(tái)機(jī)床的總的產(chǎn)量相同乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量較好。4.2 解：X的所有可能取值為：3，4，54.3參見(jiàn)課本230頁(yè)參考答案4.4解：4.6參考課本230頁(yè)參考答案4.7解：設(shè)途中遇到紅燈次數(shù)為X，則 4.8解 500+1000 1500 4.9參見(jiàn)課本后

8、面230頁(yè)參考答案4.10參見(jiàn)課本后面231頁(yè)參考答案4.11 解:設(shè)均值為,方差為,則XN(,)根據(jù)題意有: ,解得t=2即=12所以成績(jī)?cè)?0到84的概率為 4.124.13解：4.14解：設(shè)球的直徑為X,則： 4.15參看課本后面231頁(yè)答案4.16解: 4.17解X與Y相互獨(dú)立，4.18，4.19，4.20參看課本后面231，232頁(yè)答案4.21設(shè)X表示10顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和，表示第顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則，且是獨(dú)立同分布的，又所以4.22參看課本后面232頁(yè)答案4.234.244.25 4.26因?yàn)閄N(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故：Var(X+Y

9、)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4.27參看課本后面232頁(yè)答案4.28后面4題不作詳解習(xí)題5參考答案5.3解：用表示每包大米的重量，則, 5.4解：因?yàn)?服從區(qū)間0,10上的均勻分布， 5.5解：方法1：用表示每個(gè)部件的情況，則，,方法2：用X表示100個(gè)部件中正常工作的部件數(shù)，則5.6略 習(xí)題6參考答案6.16.3.1證明:由=+b可得，對(duì)等式兩邊求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因?yàn)?所以有6.2 證明：6.3（1）（2）由于所以有兩邊同時(shí)除以（n-1）可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又

10、 根據(jù)題意可知n=436.5解（1）記這25個(gè)電阻的電阻值分別為,它們來(lái)自均值為=200歐姆，標(biāo)準(zhǔn)差為=10歐姆的正態(tài)分布的樣本則根據(jù)題意有：(2)根據(jù)題意有6.6 解：（1）記一個(gè)月（30天）中每天的停機(jī)時(shí)間分別為，它們是來(lái)自均值為=4小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為=0.8小時(shí)的總體的樣本。根據(jù)題意有：（注：當(dāng)時(shí)，的值趨近于1，相反當(dāng)時(shí)，其值趨近于0）（2）根據(jù)題意有：6.7證明：因?yàn)門(mén) ，則，隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 顯然，則為偶函數(shù)，則6.8 解：記，則XN(,),n=25故6.9 解：記這100人的年均收入為，它們是來(lái)自均值為萬(wàn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為萬(wàn)元的總體的樣本，n=100則根據(jù)題意有：（1）（2）（3）6.1

11、0 解：根據(jù)題意可知此樣本是來(lái)自均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為的總體，樣本容量為n=5 （1）依題意有（2）要求樣本的最小值小于10概率，即5個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)小于10的概率，首先計(jì)算每個(gè)樣本小于10的概率：設(shè)X是5個(gè)樣本中小于10的樣本個(gè)數(shù)則X服從二項(xiàng)分布B(5,0.1587)故有即樣本的最小值小于10的概率是0.5785.（3）同（2）要求樣本的最大值大于15的概率，即5個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于15的概率，首先計(jì)算每個(gè)樣本大于15的概率：設(shè)X是5個(gè)樣本中大于15的樣本個(gè)數(shù)則X服從二項(xiàng)分布B(5,0.0668)故有即樣本的最大值大于15的概率是0.2923習(xí)題7參考答案7.1解因?yàn)?是抽自二項(xiàng)分布B（m,p）的

12、樣本，故都獨(dú)立同分布所以有用樣本均值代替總體均值，則p的矩估計(jì)為7.2解： 用樣本均值代替總體均值，則的矩估計(jì)為由概率密度函數(shù)可知聯(lián)合密度分布函數(shù)為： 對(duì)它們兩邊求對(duì)數(shù)可得 對(duì)求導(dǎo)并令其為0得 即可得的似然估計(jì)值為7.3解:記隨機(jī)變量x服從總體為0,上的均勻分布，則 故的矩估計(jì)為X的密度函數(shù)為故它的是似然函數(shù)為要使達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)該為1，其次是盡可能大。由于是的單調(diào)減函數(shù)，所以的取值應(yīng)該盡可能小，但示性函數(shù)為1決定了不能小于,因此給出的最大似然估計(jì)（示性函數(shù)I= ，=min =max）7.4解:記隨機(jī)變量x服從總體為,上的均勻分布，則 所以的矩估計(jì)為X的密度函數(shù)為故它的是似

13、然函數(shù)為要使達(dá)到最大，首先一點(diǎn)是示性函數(shù)的取值應(yīng)該為1，其次是盡可能大。由于是的單調(diào)減函數(shù)，所以的取值應(yīng)該盡可能小，但示性函數(shù)為1決定了不能小于,因此給出的最大似然估計(jì)7.5 解:似然函數(shù)為:它的對(duì)數(shù)為:對(duì)求偏導(dǎo)并令它等于零有 解得的似然估計(jì)值為 7.6解:根據(jù)所給的概率密度函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的密度函數(shù)可知 (1) 故這四個(gè)估計(jì)都是的無(wú)偏估計(jì).（2）故有 7.7證明（1）因?yàn)閄服從上的均勻分布，故 故樣本均值不是的無(wú)偏估計(jì)（2）由（1）可知的矩估計(jì)為 又 故它是無(wú)偏估計(jì).7.8解;因?yàn)橐棺钚t對(duì)關(guān)于c求一階導(dǎo)并令其等于零可得解得 因?yàn)閷?duì)關(guān)于c求二階導(dǎo)可得 故當(dāng)時(shí)達(dá)到最小。7.9 解(1)根據(jù)題意

14、和所給的數(shù)據(jù)可得,所以的置信區(qū)間為(2) 即所以的置信區(qū)間為7.10解:根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計(jì)算: , 則X 和Y構(gòu)成的總體的方差為 所以置信系數(shù)的置信區(qū)間為=-0.002,0.0067.11 解: 則比例p的區(qū)間估計(jì)為：=7.12 解：根據(jù)題意有， 則的置信區(qū)間為：補(bǔ)充：第四章作業(yè)題解4.1 甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一種零件, 在一天內(nèi)生產(chǎn)的次品數(shù)分別記為 X 和 Y . 已知的概率分布如下表所示:X0 1 2 3 P0.4 0.3 0.2 0.1Y0 1 2 3 P0.3 0.5 0.2 0如果兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)量相同, 問(wèn)哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件的質(zhì)量較好？解： 因?yàn)?，即乙機(jī)床的平均次品數(shù)比甲機(jī)床少，所以乙

15、機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量較好。4.2 袋中有 5 個(gè)球, 編號(hào)為1,2,3,4,5, 現(xiàn)從中任意抽取3 個(gè)球, 用X表示取出的3 個(gè)球中的最大編號(hào)，求E(X).解：X的可能取值為3,4,5.因?yàn)?；所?4.3 設(shè)隨機(jī)變量X 的概率分布其中是個(gè)常數(shù)，求解: ，下面求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，易知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為，于是有根據(jù)已知條件，因此，所以有.4.4 某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為, 現(xiàn)連續(xù)向目標(biāo)射擊, 直到第一次命中目標(biāo)為止, 求射擊次數(shù)的期望.解：因?yàn)榈目赡苋≈禐?,2,。依題意，知的分布律為 所以4.5 在射擊比賽中, 每人射擊4 次, 每次一發(fā)子彈. 規(guī)定4彈全未中得0分, 只中1彈得15分, 中2彈

16、得30 分, 中3彈得55分, 中4彈得100分. 某人每次射擊的命中率為0.6, 此人期望能得到多少分？解：設(shè)4次射擊中命中目標(biāo)的子彈數(shù)為X，得分為Y，則XB(4,0.6)因?yàn)?所以Y的分布律為Y0153055100P0.02560.15360.34560.34560.1296故期望得分為 = 44.644.6 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為說(shuō)明的期望不存在。解:級(jí)數(shù)發(fā)散,不符合離散型隨機(jī)變量期望定義的要求,從而的期望不存在.4.7 設(shè)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗, 在各交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的, 其概率均為0.4. 求途中遇到紅燈次數(shù)的期望.解：設(shè)遇到紅燈次數(shù)為X，依題意，知XB

17、(3,0.4) 故 4.8 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為, 求解：4.9設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為又,求常數(shù)的值.解： 由，得 因?yàn)?所以，由，得 又 由 ，得 解聯(lián)立方程，得，4.10 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為說(shuō)明的期望不存在.解:積分,顯然,積分發(fā)散,根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量期望的定義, 的期望不存在.4.11 某地抽樣調(diào)查結(jié)果表明, 考生的外語(yǔ)成績(jī)X(百分制) 近似服從正態(tài)分布, 平均成績(jī)?yōu)?2 分, 96 分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%. 求考生外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0 分至84 分之間的概率.解：設(shè)，依題意得，又 ，則即有 所以 得 所以 故所求的概率為 4.12 對(duì)習(xí)題4.1 中的隨機(jī)變量

18、X, 計(jì)算.解：4.13 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為, 分別計(jì)算的期望和的期望解：因?yàn)?，其中 ，所以 故 4.14 對(duì)球的直徑做近似測(cè)量, 設(shè)其值均勻分布在區(qū)間內(nèi), 求球體積的均值.解：設(shè)球的直徑測(cè)量值為，體積為，則有.顯然的概率密度函數(shù)為因此,球體積的均值為.4.15 游客乘電梯從電視塔底層到頂層觀光, 電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起運(yùn)行. 設(shè)某一游客在早八點(diǎn)的第 X 分鐘到達(dá)底層候梯處, 且, 求該游客等候時(shí)間的期望.解: 用隨機(jī)變量表示游客的等候時(shí)間(單位:分鐘),則,其函數(shù)關(guān)系為 由于,根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式,可得游客等候時(shí)間的期望為 4.16設(shè)二維隨機(jī)向

19、量的概率密度函數(shù)為, 求.解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，又 故 4.17 設(shè)隨機(jī)變量X 與Y 相互獨(dú)立, 概率密度函數(shù)分別為和求.解： ， 因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以 .4.18 設(shè)二維隨機(jī)向量服從圓域上的均勻分布,求 .解: 根據(jù)二維隨機(jī)向量的計(jì)算公式：此積分用極坐標(biāo)計(jì)算較為方便，于是有4.19 設(shè)隨機(jī)變量X 與Y 相互獨(dú)立,并且均服從,求.解：由于X 服從，故其分布函數(shù)為同理，Y服從，故其分布函數(shù)為于是根據(jù)公式，的分布函數(shù)為求到后得密度函數(shù)因此4.20 民航機(jī)場(chǎng)的一輛送客汽車每次載20名旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出, 沿途有10個(gè)車站. 若到達(dá)一個(gè)車站時(shí)沒(méi)有旅客下車, 就不停車. 設(shè)每名旅客在各個(gè)車站下車的

20、概率是等可能的, 求汽車的平均停車次數(shù).解：用隨機(jī)變量表示汽車的10個(gè)車站總的停車次數(shù)，并記顯然，均服從兩點(diǎn)分布，且，于是有由此求得.4.21 將一顆均勻的骰子連擲10 次, 求所得點(diǎn)數(shù)之和的期望.解：設(shè)Xi表示第i次擲出的點(diǎn)數(shù)(i =1,2,10)，則擲10次骰子的點(diǎn)數(shù)之和為。因?yàn)閄i的分布律為 (k =1,2,6)，所以 故 .4.22 在習(xí)題4.4中, 若直到命中目標(biāo)次為止, 求射擊次數(shù)的期望.解：設(shè)是從第次命中目標(biāo)到第次命中目標(biāo)之間的射擊次數(shù)，的分布律為 記隨機(jī)變量，并且注意到隨機(jī)變量概率分布相同，因此4.23求習(xí)題4.1 中隨機(jī)變量的方差.解：由T4.1知 ，由T4.12知又 故 .

21、4.24 求習(xí)題4.9 中隨機(jī)變量X 的方差解: 由T4.1知 ，故 4.25 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為, 求和.解：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，即 所以 ，由對(duì)稱性得 ，4.26 設(shè)隨機(jī)變量,并且X 與Y 相互獨(dú)立,求和.解：因?yàn)椋?所以 ，又X和Y相互獨(dú)立，故 .4.27 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率分布如下表:XY-101010.10.30.10.10.10.3求解容易求得的概率分布為：的概率分布為：的概率分布為：，于是有，4.28設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為問(wèn)與是否互不相關(guān)?解：二維隨機(jī)變量具有概率密度的標(biāo)準(zhǔn)形式為：其中均為常數(shù),且,由此得到：因?yàn)樗耘c互不相關(guān)。4.29設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函

22、數(shù)為, 求.解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以 于是 由對(duì)稱性得 ，又因?yàn)?所以 故 .4.30 設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為, 求和.解：由二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)積分，可以求得兩個(gè)邊緣密度：，顯然，所以與相互獨(dú)立，從而互不相關(guān)。4.31 設(shè),求和.解：由 得因?yàn)?所以 4.32 設(shè)服從求.解：因服從所以.于是有是關(guān)于隨機(jī)變量的函數(shù),根據(jù)求隨機(jī)變量函數(shù)期望的法則,有.又由于由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故此積分為0,于是=0.第四章 定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：（1）一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)是離散型隨機(jī)變量， （要求絕對(duì)收斂）設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密

23、度為，（要求絕對(duì)收斂）函數(shù)的期望 方差，標(biāo)準(zhǔn)差， 矩定義 設(shè)和為隨機(jī)變量, 為正整數(shù), 稱 為階原點(diǎn)矩(簡(jiǎn)稱階矩陣); 為階中心矩;為階絕對(duì)原點(diǎn)矩;為階絕對(duì)中心矩; 為和的階混合矩;由左邊定義可知:(1) 的數(shù)學(xué)期望是的一階原點(diǎn)矩;(2) 的方差是的二階中心矩;(3)協(xié)方差是和的二階混合中心矩.切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E（X）=，方差D（X）=2，則對(duì)于任意正數(shù)，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。（2）期望的性質(zhì)1. 設(shè)是常數(shù), 則 2若是常數(shù)，則3. 4. 設(shè)獨(dú)立, 則;（3）方差的性質(zhì)1. 設(shè)常數(shù), 則;2

24、. 若是隨機(jī)變量, 若是常數(shù), 則3. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)向量,則特別地, 若相互獨(dú)立, 則注: 對(duì)維情形, 有: 若相互獨(dú)立, 則（4）常見(jiàn)分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n>2)（5）二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望函數(shù)的期望方差協(xié)方差對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，稱它們的二階混合中心矩為X與Y的協(xié)方差或相關(guān)矩，記為，即與記號(hào)相對(duì)應(yīng)，X與Y的方差D（X）與D（Y）也可分別記為與。相關(guān)系數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記作（有時(shí)可簡(jiǎn)記為）。|1，當(dāng)|=1時(shí)，稱X與Y完

25、全相關(guān)：完全相關(guān)1. 2. 若和相互獨(dú)立, 則.3. 若,則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) 使, 而且當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .注: 相關(guān)系數(shù)刻畫(huà)了隨機(jī)變量Y與X之間的“線性相關(guān)”程度.的值越接近1, Y與X的線性相關(guān)程度越高;的值越近于0, Y與Y的線性相關(guān)程度越弱.當(dāng)時(shí), Y與X的變化可完全由X的線性函數(shù)給出.當(dāng)時(shí), Y與X之間不是線性關(guān)系.協(xié)方差矩陣混合矩對(duì)于隨機(jī)變量X與Y，如果有存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點(diǎn)矩，記為；k+l階混合中心矩記為：（6）協(xié)方差的性質(zhì),其中是常數(shù);為任意常數(shù);(6) 若與相互獨(dú)立時(shí),則（7）獨(dú)立和不相關(guān)（i） 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則；反之不真。（ii） 若（X，Y）

26、N（），則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章作業(yè)題解5.1 已知正常男性成人每毫升的血液中含白細(xì)胞平均數(shù)是7300, 標(biāo)準(zhǔn)差是700. 使用切比雪夫不等式估計(jì)正常男性成人每毫升血液中含白細(xì)胞數(shù)在5200到9400之間的概率.解：設(shè)每毫升血液中含白細(xì)胞數(shù)為，依題意得，由切比雪夫不等式，得.5.2 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布, 使用切比雪夫不等式證明 .解：因?yàn)?，所以。故由切比雪夫不等式，得不等式得證.5.3 設(shè)由機(jī)器包裝的每包大米的重量是一個(gè)隨機(jī)變量, 期望是10千克, 方差是0.1千克2. 求100袋這種大米的總重量在990至1010千克之間的概率.解：設(shè)第i袋大米的重量為Xi

27、，(i =1,2,100)，則100袋大米的總重量為。因?yàn)?， 所以 ，由中心極限定理知，近似服從故 5.4 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓 ，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都服從區(qū)間上的均勻分布。記，求的近似值。解：，由定理1，得 即有 5.5 一復(fù)雜的系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成, 在整個(gè)運(yùn)行期間每個(gè)部件損壞的概率為0.1, 為了使整個(gè)系統(tǒng)起作用, 至少要有85個(gè)部件正常工作. 求整個(gè)系統(tǒng)起作用的概率解：設(shè)正常工作的部件數(shù)為X，因?yàn)椴考９ぷ鞯母怕蕿?，所?，有，由中心極限定理知，近似服從故所求的概率為5.6 銀行為支付某日即將到期的債券需準(zhǔn)備一筆現(xiàn)金. 這批債券共發(fā)放了50

28、0 張, 每張債券到期之日需付本息1000元. 若持券人(一人一張) 于債券到期之日到銀行領(lǐng)取本息的概率為0.4,問(wèn)銀行于該日應(yīng)至少準(zhǔn)備多少現(xiàn)金才能以99.9% 的把握滿足持券人的兌換?解：設(shè)領(lǐng)取本息的人數(shù)為X，則。有，由中心極限定理知，近似服從又設(shè)要準(zhǔn)備現(xiàn)金x元，則滿足兌換的概率為依題意，要滿足 ，即要 解之得 故應(yīng)準(zhǔn)備234000元的現(xiàn)金。第五章大數(shù)定律和中心極限定理定義、定理、公式小結(jié)及補(bǔ)充：切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量有期望和方差,則對(duì)于任給, 有. （1）大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：(),則對(duì)于任意的正數(shù)，有特殊情形：若具有相同的數(shù)學(xué)期

29、望，則上式成為伯努利大數(shù)定律設(shè)是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)，有伯努利大數(shù)定律說(shuō)明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，則對(duì)于任意的正數(shù)有（2）中心極限定理列維林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量為具有參數(shù)n, p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有（

30、3）二項(xiàng)定理若當(dāng)，則超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。（4）泊松定理若當(dāng)，則其中k=0，1，2，n，。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。一、第六章習(xí)題詳解6.1 證明（）和(6.2.2)式.證明： (1) (2) 6.2設(shè)是抽自均值為、方差為的總體的樣本, 與分別為該樣本均值。證明與. 證：6.3 設(shè)是抽自均值為、方差為的總體的樣本,證明: (1) (2) 證：(1) (2) 6.4 在例 中, 設(shè)每箱裝n瓶洗凈劑. 若想要n瓶灌裝量的平均阻值與標(biāo)定值相差不超過(guò)0.3毫升的概率近似為95%, 請(qǐng)問(wèn)n至少應(yīng)該等于多少？解：因?yàn)橐李}意有，即于是 ，解之得 所以n應(yīng)至少等于43.6.5 假設(shè)某種類型的電阻

31、器的阻值服從均值 200 歐姆, 標(biāo)準(zhǔn)差10 歐姆的分布, 在一個(gè)電子線路中使用了25個(gè)這樣的電阻.(1) 求這25個(gè)電阻平均阻值落在199 到202 歐姆之間的概率;(2) 求這25個(gè)電阻總阻值不超過(guò)5100 歐姆的概率.解：由抽樣分布定理，知近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，因此(1) (2) 6.6 假設(shè)某種設(shè)備每天停機(jī)時(shí)間服從均值4 小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差0.8小時(shí)的分布.(1) 求一個(gè)月(30天) 中, 每天平均停機(jī)時(shí)間在1到5小時(shí)之間的概率;(2) 求一個(gè)月(30天) 中, 總的停機(jī)時(shí)間不超過(guò)115 小時(shí)的概率.解：(1)(2) 6.7 設(shè)，證明證：分布的概率密度為: ，=6.8 設(shè)總體X

32、N(150，252), 現(xiàn)在從中抽取樣本大小為25的樣本, .解： 已知，6.9 設(shè)某大城市市民的年收入服從均值1.5萬(wàn)元、標(biāo)準(zhǔn)差0.5萬(wàn)元的正態(tài)分布. 現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了100 個(gè)人, 求他們的平均年收入落在下列范圍內(nèi)的概率:(1) 大于1.6萬(wàn)元;(2) 小于1.3萬(wàn)元;(3) 落在區(qū)間1.2，1.6 內(nèi).解：設(shè)X為人均年收入，則，則，得(1) (2) (3) 6.10 假設(shè)總體分布為N(12，22), 今從中抽取樣本. 求(1) 樣本均值X 大于13的概率;(2) 樣本的最小值小于10的概率;(3) 樣本的最大值大于15的概率.解：因?yàn)?，所以，得(1) (2)  設(shè)樣本的最小值為Y

33、，則，于是(3)  設(shè)樣本的最大值為Z，則，于是6.11設(shè)總體，從中抽取容量樣本, 為樣本方差. 計(jì)算.解因?yàn)?由定理2, 得所以于是當(dāng)時(shí), 且第六章 樣本與統(tǒng)計(jì)量定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：（1）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指

34、任一次抽取的結(jié)果時(shí)，表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計(jì)量設(shè)為總體的一個(gè)樣本，稱（）為樣本函數(shù)，其中為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱（）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩，,其中，為二階中心矩。（2）正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示自由度為n-1的分布。F分布設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本

35、，而為來(lái)自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中表示第一自由度為，第二自由度為的F分布。（3）正態(tài)總體下分布的性質(zhì)與獨(dú)立。習(xí)題七解答7.1.設(shè) 為抽自二項(xiàng)分布B(m,p) 的樣本 試求p 的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解:（1）求p 的矩估計(jì)。，因此總體的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此p 的矩估計(jì) （2）求p 的極大似然估計(jì)。參數(shù)P的極大似然函數(shù)為令即 由此得P的極大似然估計(jì) 7.2設(shè)總體為指數(shù)分布 其概率密度函數(shù)為 求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解 設(shè)為X的一個(gè)樣本。（1）求的矩估計(jì)。因?yàn)榭傮w為指數(shù)分布，因此總體的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此的矩估計(jì)（2）求的極大似然估計(jì)。參數(shù)的極大似然函數(shù)

36、為 lnL=似然方程為 =0解得 7.3設(shè)總體為上的均勻分布 求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。 解 設(shè)為X的一個(gè)樣本。（1）求的矩估計(jì)?？傮w的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此的矩估計(jì)。（2）求參數(shù)的極大似然估計(jì)。由總體X的密度函數(shù)知的似然函數(shù)為 由此可以看出，要使似然函數(shù)達(dá)到最大，必須 所以的極大似然估計(jì)為 7.4設(shè)總體為上的均勻分布 求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。解：設(shè)為X的一個(gè)樣本。（1）求的矩估計(jì)。總體的一階原點(diǎn)矩為 按矩法估計(jì)有 因此的矩估計(jì)。（2）求參數(shù)的極大似然估計(jì)。由總體X的密度函數(shù)知的似然函數(shù)為 由此可以看出，要使似然函數(shù)達(dá)到最大，必須 所以的極大似然估計(jì)為 7.5假設(shè)為來(lái)自正態(tài)

37、總體的樣本，其中已知，求 的極大似然估計(jì)。解 似然函數(shù)為 于是 似然方程是 解得的極大似然估計(jì)量為 7.6設(shè)總體的概率密度函數(shù)為（這是指數(shù)分布的另一種形式）.從該總體中抽出樣本,考慮的如下四種估計(jì) (1)這四個(gè)估計(jì)中，哪些是的無(wú)偏估計(jì)？ （2試比較這些估計(jì)的方差。 解：(1)因?yàn)槭菑目傮w中抽出的樣本，所以因此都是的無(wú)偏估計(jì)。(2) 由上述各式知：。 7.7一個(gè)電子線路上電壓表的讀數(shù)X服從上的均勻分布,其中是該線路上電壓的真值,但它是未知的，假設(shè)是此電壓表上讀數(shù)的一組樣本，(1)證明樣本均值不是的無(wú)偏估計(jì)。(2) 求的矩估計(jì)，證明它是的無(wú)偏估計(jì)。解：（1）因?yàn)槭强傮w的一組樣本，所以 因此樣本均值不是的無(wú)偏估計(jì)。(2)令得的矩估計(jì)為 因?yàn)樗允堑臒o(wú)偏估計(jì)。 7.8 設(shè)都是的無(wú)偏估計(jì)，且