平面向量及其運算

1、1、向的概念： 向量：既有大小又有方向的量，向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小。 零向量：長度為o的向量，記為6其方向是任意的，6與任意向戢平行。 單位向量：模為1個單位長度的向戢. 相等向量：長度相等且方向相同的向屋. 平行向屋(共線向最)：方向相同或相反的非零向雖.2、向:加減法： 求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 向量的減法向量？加上E的相反向量，叫做：與E的差。即：a b= a+(b)；a-h可以表示為從5的終點指向&的終點的向最(&、F有共同起點. 實數(shù)與向量的積:實數(shù)入與向量N的積是一個向量,記作X5,它的長度與方向規(guī)定

2、如下:(I)|歷| = |久|問：(II)當(dāng)兄0時入&的方向與&的方向相同；當(dāng)兄0時，"的方向9&的方向相反：當(dāng)久=0時，沏=0,方向是任意的. 兩個向量共線定理：向量方與非零向量萬共線O有且只有一個實數(shù)久，使得b=Aa3、平面向量的坐標(biāo)表示(1) 平面向量的/標(biāo)表示：平面內(nèi)的任一向童N可表示成ci = xi +yj ,記作5=(x,y).(2) 平面向量的坐標(biāo)運算：若Ag, '1)» (心，門)，則AB =yx2 xryr. 若N =(召,yj,方= (q,yj,則a±b = (xl±x2,yl±y2)y 心刃

3、丿 若 A(Xj，兒B(x2,yJ 則 AB = (x2-xl.y2-yl) 若a = (x2,y2),則a/fbox-x =0 若a = (xl,yl),b = (x2,y2), a-b = xl-x2-i-yl-y2 若N丄5 ,則人5 + ”兒=o注意：與X軸、y軸方向相同兩個單位向戢j、j是同一平面內(nèi)的兩個不共線向戢，那么對于這一平血內(nèi)的任一向Sa .有且只有一對實數(shù)入1,入2使5 = x 1 f + x2 j我們把不共線向量i、/叫做表示這一平面內(nèi)所有向戢的一組基底；基底不惟一，關(guān)鍵是不共線：* 由定理可將任一向雖a在給出基底i、j的條件下進行分解； 基底給定時，分解形式惟一.入1，

4、心是被N, i、j唯一確定的數(shù)量。 向量運算運算律：b（Q 土b）e = e±bC=e（±6）閃=滬=|科(0 + 6).-町命-宀所-殲；(加)“2(打) = &(疝)(久旳 (Q ± F ± 2Q 5 + 滬=± 2Q 方 +4、平面向毘的數(shù)童積：(1)“投影”的櫃念：b I©叫做向童5在a方向上的投影.（2）db = dp|cos<9（a6,6.0* <<9< 180*）；規(guī)定0 d = 0；幾何意義，數(shù)量積刁5等于N的長度與5在刁方向上投影I 5 |cos的乘積設(shè)Q和萬都是非辛向量，則ci丄bo

5、d b = 0.當(dāng)0與6同向時，a-b = ab； 當(dāng)萬與5反向時，a-5 = -|d|5|l aa = a2=ci或同二pb申艸.(4) 運算律：ab = b(； ®(AJ) b = A(« /?) = a (xi)； (d + /?)-c = « c + /?-c(5) 坐標(biāo)運算：若a = (x9y),則 a = jr + y2,或a = yjx2 + y2 :設(shè)非寒向量(7 =(石,刀)，Z?=(x2,y2)» 則a-fe = x1x, + y1y2 ；萬丄h <=>xtx2 + yty2 = 0.1. 己Hia = (cosa, su

6、m), b = (cos0, sm 0),其中 0 vav0v/r.TTTTTTTT(i)求證：a + b與ci _ b互相垂1： 若k a+ b與ka- b( k H 0)的長度相等，求0 a2. (2013-江蘇)已知向S a = (cos a, sin a), b = (cos0, sin甸,0<fi<a<n.(1)若ab=y2t 求證：aLbx (2)設(shè) c=(0,l)» 若a+D=c,求 a, 0 的值.3. 已知ABC'的三個內(nèi)角A.B,C所對的邊分別為a,b,c,向量加=(4, l), = (cos冷，cosZ4),且加=孑.(1)求角A的大小

7、：若“=羽，試判斷處取得最大值時A4FC的形狀.4. 設(shè)函數(shù)代x)=(rb,其中向雖a=(2cosxl), b=(cosx, 3sin2.v). xGR.(1)若fix)=l3且xW扌,j» 求 x；若> = 2sui2a的圖象按向M c = (m, “)(1餐;)T移肓得到y(tǒng)=JtA)的圖象，求實數(shù)；、H的值。5. 已知向戢鬲=3/-4J> OB =6i-3j；疋二(5-/n) i- (4+zn) j、其中i.丿分別是直角坐標(biāo) 系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量。(1)若乩B、Q能構(gòu)成三角形.求實數(shù)h應(yīng)滿足的條件:(2)若磁為直角三角形，且ZW為直角求實數(shù)加的值。1. 下

8、列命題中正確的是()A.OA-OB = ABB. ABBA = O c. 6-1 = 6d. AB + BC + CD = AD2. 設(shè)點4(2,0), B(4,2),若點P在直線43上，且|A|= 2|aA|,則點P的坐標(biāo)為( )A. (11) B(L-l) C. (3J)或(1,一 1) D.無數(shù)多個3. 若平面向量厶與向量方=(1廠2)的夾角是180°,且I引=3石，則b = )A. (3,6)B. (3,-6) c. (693)D. (6：3)4. 向量方= (2,3), 5 = (-1,2),若ma + b a-2b平行,則也等于A. 2 B 2 C D2 25. 若方上是

9、非零向量且滿足(a-2b)丄(b-2a)丄5，則萬與乙的夾角是()A.竺 B.蘭 C. Zrl D.竺633631-6. = (-,sina) b = (cosa,-)» 且(ill b ,則銳角 a 為()A. 30° B. 60° c. 75° D. 45°7. 若 | tz = L151= 2,c = n + 5 口.c丄a,則向爭a與厶的夾角為8. 已知向Mo = (1,2). fe = (-23)> c = (4J),若用:和了表示;，則;二.9若a =1. b =2, a與乙的夾角為60°,若(3& + 5切丄(ma-5),則】的值為10.若菱形ABCD的邊長為2則