山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)九年級數(shù)學(xué) 例談因式分解中的數(shù)學(xué)思想方法

1、 山東省濱州市無棣縣埕口中學(xué)九年級數(shù)學(xué) 例談因式分解中的數(shù)學(xué)思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容(基本要求)的整體結(jié)構(gòu)有兩根強(qiáng)有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識又蘊(yùn)藏著思想方法，二者好比鳥之雙翼，須臾不離，缺一不可從教育的角度來看，數(shù)學(xué)的思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要，這是因?yàn)橹R的記憶是暫時的，思想與方法的掌握是永久的；知識只能使學(xué)生受益于一時，思想與方法將使學(xué)生受益于終生日本學(xué)者米山國藏指出：“無論是對于科學(xué)工作者，技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)的知識只是第二位的”世界著名數(shù)學(xué)家波利亞在60年代曾作過統(tǒng)計，普通中學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后在其工作中

2、需要用到數(shù)學(xué)的(包括數(shù)學(xué)家在內(nèi))約占全部學(xué)生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識正是基于這樣的分析，波利亞認(rèn)為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生未來用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(即是指一般性的思想方法或思維模式)”這就是說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須重視數(shù)學(xué)思想方法自從把數(shù)學(xué)思想方法納入基礎(chǔ)知識范疇以后，如何在學(xué)習(xí)中貫徹數(shù)學(xué)的思想方法，這已成為人們普遍關(guān)注的問題本文歸納了用十字相乘法進(jìn)行分解因式學(xué)習(xí)中應(yīng)注意的幾種數(shù)學(xué)思想方法供參考1觀察、試驗(yàn)的思想方法在數(shù)學(xué)中，觀察、試驗(yàn)是一種基本的研究方法，它可以用來引導(dǎo)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、啟迪問題解決的思路用

3、十字相乘法進(jìn)行分解因式不像整式乘法那樣可按法則計算，而是需要根據(jù)所給多項式的特點(diǎn)進(jìn)行觀察，試驗(yàn)才能解決例如，無論是簡單的二次三項式a2-7a-18的因式分解，還是復(fù)雜的二元二次多項式3x2+5xy-2y2+x+9y-4的分解因式，都需要進(jìn)行細(xì)心的觀察、多次的試驗(yàn)，將二次項系數(shù)(或二次項)與常數(shù)項各自分解為二數(shù)(或兩個多項式)的合理乘積，使得交叉相乘后相加的和必須是一次項系數(shù)(或一次項)，來達(dá)到分解因式的目的因此，要把觀察、試驗(yàn)的思想方法貫穿于整塊內(nèi)容教學(xué)的全過程，經(jīng)過反復(fù)運(yùn)用觀察、試驗(yàn)的方法，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識2變量思維變量與常量既是對立的，又是統(tǒng)一的辯證地看待字母它具有常量與變量的雙重

4、身份，常給我們研究問題帶來很大的方便對簡的二次三項式用十字相乘法進(jìn)行分解因式后，將這些等式里的字母看作變量，進(jìn)行變量代換，能為解一些復(fù)雜的因式分解問題提示一種可行的思路例如，用十字相乘法對二次三項式a2-7a-18分解因式后，引導(dǎo)學(xué)生將等式a2-7a-18=(a-9)(a+2)中的字母a進(jìn)行變量變換，即將a變?yōu)閤2，得x4-7x2-18=(x2-9)(x2+2)；將a變?yōu)閤2-3x，得(x2-3x)2-7(x2-3x)-18=(x2-3x-9)(x2-3x+2)通過變元，把字母變成多項式，反過來，如果將某些多項式看作一個字母，利用換元法進(jìn)行因式分解，那么學(xué)生的思維就自然而流暢了3整體思想有些多

5、項式，表面上看較復(fù)雜，若能注意到題目中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡，化難為易整體思想的教學(xué)可按以下兩步進(jìn)行：(1)通過換元明確整體思想例1 分解因式：(x2+x)2-14(x2+x)+24在變量思想的指導(dǎo)下，我們很快地想到用換元法對例1進(jìn)行分解因式，即設(shè)x2+x=u，則原式=u2-14u+24=(u-2)(u-12)=(x2+x-2)(x2+x-12)=(x+2)(x-1)(x+4)(x-3)在此基礎(chǔ)上，抓住換元法的特點(diǎn)是把x2+x看作一個整體，明確整體思想(2)通過解題發(fā)展整體思想例2 分解因式：(x2-3x+2)(x2-3x-4)-72在整體思想的指導(dǎo)下，我們也很容易地得到

6、以下的幾種解題方案方案1：將x2-3x看作一個整體，則原式=(x2-3x)2-2(x2-3x)-80=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)方案2：將x2-3x+2看作一個整體，則原式=(x2-3x+2)2-6(x2-3x+2)-72=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)方案3：將x2-3x-4看作一個整體，則原式=(x2-3x-4+6)(x2-3x-4)-72=(x2-3x-4)2+6(x2-3x-4)-72=(x-5)(x+2)(x2-3x+8)以上兩例，正是由于整體思想，使得繁與簡、新與舊達(dá)到和諧的統(tǒng)一4類比思想數(shù)學(xué)問題的相似性在數(shù)學(xué)中普遍存在根據(jù)多項式與多項式之間的異同點(diǎn)，抓住其本質(zhì)

7、特征，運(yùn)用類比思想去處理，則能將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題例3 分解因式：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15本題若直接給出“原式=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15那就失去了一次培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)能力的機(jī)會將例2與例3的結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比即如下框圖：發(fā)現(xiàn)：(1)后面方框內(nèi)都是常數(shù)；(2)前面方框內(nèi)都是x的4次式于是猜想：可將乘積(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)轉(zhuǎn)化為二個二次三項式(它們的一次項和二次項相同)的乘積有了猜想的結(jié)論，明確了解題的方向，再觀察系數(shù)特點(diǎn)，就會較快地發(fā)現(xiàn)：(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)15=(x2+8x+7)(x2+8x+15)+15，從而轉(zhuǎn)化為已解過的問題初中數(shù)學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教材中，有些數(shù)學(xué)思想方法比較明顯，便于我們在教學(xué)和學(xué)習(xí)中滲透與提