立體幾何專題

1、專題五 立體幾何5.1 三視圖與直觀圖(1課時(shí))【知識(shí)要點(diǎn)】1 三視圖： 正視圖：從前往后 側(cè)視圖：從左往右 俯視圖：從上往下2 畫三視圖的原則： 。 3直觀圖：斜二測(cè)畫法4斜二測(cè)畫法的步驟：（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；（2）.平行于y軸的線長(zhǎng)度 ，平行于x，z軸的線長(zhǎng)度 ；【基礎(chǔ)演練】1如圖是由大小相同的長(zhǎng)方體木塊堆成的幾何體的三視圖，則此幾何體共由_塊木塊堆成2一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如下圖所示（左），則該多面體的體積為 3一個(gè)幾何體的三視圖如上圖（右），則它的表面積為_(kāi).4 2014·新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖

2、，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A6 B6 C4 D4 圖【典例分析】例1.如圖所示的直觀圖，其平面圖形的面積為（ ） A3B.C6D3【方法小結(jié)】例2.已知一個(gè)正三棱錐的正視圖如右圖所示，則此正三棱錐的側(cè)面積等于 . 【方法小結(jié)】例3.已知一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則其體積為 .【方法小結(jié)】【鞏固提升】1.【2012高考湖南】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（ ）2某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是（ ）32 48 3如下圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是_ 4某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中

3、，最大的是（ ）8 10 5 2015·全國(guó)卷 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖1­4所示若該幾何體的表面積為1620，則r()A1 B2 C4 D8專題五 立體幾何5.2 體積與表面積（1課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式2空間幾何體的表面積和體積公式3空間幾何體的表面積1棱柱、棱錐的表面積： 各個(gè)面面積之和2 圓柱的表面積 ； 3 圓錐的表面積 ；4 圓臺(tái)的表面積 ； 5 球的表面積 。4空間幾何體的體積1柱體的體積 ； 2錐體的體積 ； 3臺(tái)體的體積 ； 4球體的體積 ?！净A(chǔ)演

4、練】1長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、2的長(zhǎng)方體的表面積為（ ） 26 52 2 2013·新課標(biāo)全國(guó)卷 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A168 B88 C1616 D8163半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積是（ ） 42016·全國(guó)卷 如圖1­1，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18 C20 D28【典例分析】例1.某棱錐的三視圖如右圖所示，求該棱錐的表面積(單位：)【方法小結(jié)】例2.球的表面積為324，其內(nèi)接正四棱柱的高是14，求這個(gè)正四棱柱的表面積.【方法小結(jié)】【鞏

5、固提升】1有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如右下(單位：)，則該幾何體的表面積為 () 2底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的對(duì)角線長(zhǎng)分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為（ ）130 140 150 1603圓臺(tái)上、下底面面積分別是、，側(cè)面積是，這個(gè)圓臺(tái)的體積是() 4一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是、，則這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是 5如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面BC1D是面積為6的直角三角形，求此三棱柱的體積專題五 立體幾何5.3 平行關(guān)系（1課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1判定線線平行的方法（1）平行于同一直線的兩直線互相 ；（2）如果一條直線和一個(gè)平

6、面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交的 和這條直線平行；（3）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的 平行；（4）線面垂直的性質(zhì)：如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線 （5）利用中位線的性質(zhì)；2直線與平面平行的判定如果平面外一條直線和這個(gè)平面平面內(nèi) 平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的 直線與另一個(gè)平面平行3兩個(gè)平面平行的判定一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條 直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；依據(jù)垂直于同一 的兩平面平行來(lái)判定；利用面面平行傳遞性依定義【基礎(chǔ)演練】1下列四個(gè)命題：（1）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線；（2）和兩條異面直

7、線都垂直的直線有且只有一條；（3）和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面；（4）若與是異面直線，與是異面直線，則與是異面直線.其中真命題個(gè)數(shù)為（ ） 3 2 1 02，是兩個(gè)不重合平面，是兩條不重合直線，那么的一個(gè)充分條件是（ ） 且 ，且 ，且 ，且3已知正方體，下面結(jié)論中，正確的結(jié)論是 （1）；（2）平面平面 ；（3）；（4）平面.4 2016·全國(guó)卷 ，是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題：如果mn，m，n，那么. 如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號(hào))【典例分析】例1已知是三棱柱，

8、是的中點(diǎn).求證：平面.【方法小結(jié)】例2在直四棱柱中，底面為等腰梯形，且，在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面/平面？若存在，求點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【方法小結(jié)】【鞏固提升】1給出下列四個(gè)命題：垂直于同一直線的兩條直線互相平行.垂直于同一平面的兩條直線互相平行.若直線，與同一個(gè)平面所成的角相等，則與相互平行.若直線，是異面直線，則與直線，都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題是 .2 已知、b、c為三條不重合直線，、為三個(gè)不重合的平面，直線均不在平面內(nèi)，給出下列幾個(gè)命題： 其中正確的有_.ABPGFEDC3（北京2011）如右圖，在四面體中，,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：平面； （2）求證：四

9、邊形為矩形.專題五 立體幾何5.4 線線、線面垂直關(guān)系 （2課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1兩直線垂直的判定：轉(zhuǎn)化為證線面垂直2.直線和平面垂直的判定：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條 直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面 ；一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也 于另一個(gè)平面；【基礎(chǔ)演練】1設(shè)為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是（ ） 2給定下列四個(gè)命題：（1）若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；（2）若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；（3）垂直于同一直線的兩條直線相互平行；（4

10、）若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與一個(gè)平面也不垂直其中為真命題的是（ ） （1）和（2） （2）和（3） （2）和（4） （3）和（4）32013 年高考全國(guó)新課標(biāo)已知m, n 為異面直線，m平面，n平面 .直線l 滿足lm，ln，l /，l /, 則：（A）且l （B）且l（C）與相交，且交線垂直于l （D）與相交，且交線平行于l42008 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷已知平面平面，= l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC【典例分析】例1已知四棱錐中，垂直于矩形所在的平面

11、，分別是的中點(diǎn)，證明：平面.【方法小結(jié)】例2已知長(zhǎng)方體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，OPDCABAAAA高=，為 的中點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：.【方法小結(jié)】【鞏固提升】1四棱錐SABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）ACSBAB平面SCDSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角2對(duì)于平面和直線m、n，給出下列命題若mn,則m、n與所成的角相等；若m,mn,則n;若m與n是異面直線，且m,則n與相交.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A)0 (B)1 (C)2 (D)33在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（

12、1）證明；（2）證明平面專題五 立體幾何5.5 面面的垂直關(guān)系（2課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)平面垂直的判定：判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條 ，那么這兩個(gè)平面互相垂直.（在一個(gè)面中找另一個(gè)面的一條垂線：在一面內(nèi)作兩面交線的垂線，即為所求）；定義法：找一個(gè)平面與這兩個(gè)平面都垂直相交，證明兩交線 為直角. 性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于 的直線與另一個(gè)平面垂直。【基礎(chǔ)演練】1在四棱錐中，底面，且底面各邊都相等，是上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足 _ 時(shí)，平面平面（只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可） 22013 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷已知m, n 為異面直線，m平面，n平面 .直線l 滿足lm，

13、ln，l /，l /, 則：( ) （A）且l （B）且l（C）與相交，且交線垂直于l （D）與相交，且交線平行于l 32008 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷已知平面平面，= l，點(diǎn)A，Al，直線ABl，直線ACl，直線m，m，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是（ ）A. ABm B. ACm C. AB D. AC 42016 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷, 是兩個(gè)平面，m,n 是兩條直線，有下列四個(gè)命題：（1）如果m n,m ,n / / ，那么 ；（2）如果m ,n / / ，那么m n ；（3）如果 / / ,m ， 那么m / / ；（4）如果m / /n, / / ，那么m 與 所成的角和n 與 所

14、成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號(hào)）【典例分析】例1.是矩形所在平面外一點(diǎn)，平面，求證:平面平面【方法小結(jié)】例2.如圖，在中，是上的高，沿把折起，使.證明：平面平面.【方法小結(jié)】【鞏固提升】1若，表示平面，a，b表示直線，則a的一個(gè)充分條件是（ ）A ，且aB = b，且abC ab，且bD ，且a2如圖，已知四邊形ABCD是正方形，PA平面ABCD，則圖中所有互相垂直的平面共有 （ ）A8對(duì)B7對(duì)C6對(duì)D5對(duì)3如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí)，平面MBD平面PCD.4已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，分別取邊BC

15、、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P.（1）求證：APEF；（2）求證：平面APE平面APF.專題五 立體幾何5.6 兩異面直線所成的角（2課時(shí)） 【知識(shí)要點(diǎn)】1異面直線所成角：直線是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)，分別引直線、，則把直線和所成的_,叫做異面直線和所成的角.2.兩條異面直線所成角的范圍是_.3.若兩條異面直線所成的角是_，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.【基礎(chǔ)演練】1. 正方體中：(1)與所成的角是_；(2)與所成的角是_.2. 如圖，在正方體中，分別為與的中點(diǎn)，為底面的中心，則與所成的角為 ( ) 30° 6

16、0° 90° 45º 3.正四面體中，與所成的角為_(kāi).42014 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷直三棱柱ABC-A1B1C1 中，BCA=90°，M，N 分別是A1B1，A1C1 的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM 與AN 所成的角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【典例分析】例1如圖，在三棱錐中，求異面直線與所成角的余弦值.【方法小結(jié)】例3已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點(diǎn).求與所成的角的余弦值. 【方法小結(jié)】【鞏固提升】1一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論：ABEF AB與CM成600 EF與MN是異面直線 MNCD，其中正確

17、的是 （ ）A B C D 2. 空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，與所成的角的余弦值為_(kāi).3已知空間四邊形中，分別為、的中點(diǎn).則異面直線與所成的角的余弦值為 . 4（2011北京理16）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.(1)求證：平面；(2)若求與所成角的余弦值專題五 立體幾何5.7 直線與平面所成的角（2課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1.定義： 2.圖形:3.取值范圍： 【基礎(chǔ)演練】1.在正方體中，與平面所成的角為_(kāi).2.在三棱錐中,，且,則與底面所成角為_(kāi).3.如圖，正三棱柱的9條棱長(zhǎng)均相等，則與面所成的角的余弦值為_(kāi). 42015 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)改編（本小題滿分12 分）如圖，長(zhǎng)方體中，

18、AB =16， BC =10， = 8 ，點(diǎn) E ， F 分別在 ， 上，過(guò)點(diǎn)E ，F(xiàn) 的平面 與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形,則直線AF 與平面 所成角的正弦值為 ?！镜淅治觥坷?.如圖，四面體中，兩兩垂直，0，0，為中點(diǎn).（1）求證：（2）求與平面所成角的正切值【方法小結(jié)】32016 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理）第19 題（本小題滿分12 分）如圖，四棱錐P ABCD 中，PA 底面ABCD ， AD 􀀦 BC ， AB = AD = AC = 3，PA = BC = 4，M 為線段AD 上一點(diǎn)，AM = 2MD，N 為PC 的中點(diǎn)（I）證明MN 平面PAB ；

19、（II）求直線AN 與平面PMN 所成角的正弦【方法小結(jié)】【鞏固提升】1在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面正三角形的邊長(zhǎng)為1，則與側(cè)面所成的角的大小是 22008 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理數(shù)改編如圖，已知點(diǎn)P 在正方體ABCD ABCD的對(duì)角線BD上，PDA = 60°則DP 與CC 所成角的大小為 ；DP 與平面AADD 所成角的大小為 2如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)，平面，為中點(diǎn)（1）證明：/平面；（2）證明：平面；（3）求直線與平面所成角的正切值專題五 立體幾何（理科專用）5.8 二面角（2課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1二面角：從一條直線出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角2二面角的平面角

20、：以二面角的棱上 一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.3. 二面角的平面角范圍是 4.求法：(1)定義法；(2)垂面法；(3)三垂法【基礎(chǔ)演練】1.若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行與另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面,則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系為是( )相等 互補(bǔ) 相等或互補(bǔ) 不能確定2.在正四面體中，為中點(diǎn)，二面角的平面角的余弦值為_(kāi).3. 在正方體-中，二面角大小為_(kāi)；二面角的余弦值為_(kāi).42014 年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理數(shù)改編則 為 ?！镜淅治觥坷?. （2009陜西19）如圖，直三棱柱中，CBAC1B11.(1)證明：；(2)求二面角AB的大小. 【方

21、法小結(jié)】例2.（2008湖南18）如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，是的中點(diǎn)，底面，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的大小.【方法小結(jié)】【鞏固提升】1.是正方體棱的中點(diǎn)，則面與面所成的角（銳角）為余弦值為 .2.在直三棱柱中，且異面直線與所成的角等于，設(shè).ABCA1B1C1（1）求的值； （2）求平面與平面所成的銳二面角的大小.3（2008天津19）ABCDP如圖，在四棱錐中，底面是矩形已知，（1）證明平面；（2）求異面直線與所成的角的正切值；（3）求二面角的正切值專題五 立體幾何（理科專用）5.9 立體幾何中的向量方法（3課時(shí)）【知識(shí)要點(diǎn)】1.異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩

22、異面直線l1,l2的方向向量,則  a與b的夾角l1與l2所成的角范圍 (0,)  求法 cos=   2.直線和平面所成角的求法:如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面的法向量為n,直線l與平面所成的角為,兩向量e與n的夾角為,則有sin=|cos|=_ 3.二面角的求法:a.如圖,AB,CD是二面角-l-兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小=_.b.如圖,n1,n2分別是二面角-l-的兩個(gè)半平面,的法向量,則二面角的大小滿足cos=_或_.【基礎(chǔ)演練】1兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是()A平行 B相交 C垂直 D不確定2已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量是n(6，3,6)，則下列點(diǎn)P中在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1) CP(4,4,0) DP(3，3,4)3如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是.4(人教A版教材習(xí)題改編)已知a(2，3,