直線和圓的方程知識及典型例題

1、直線和圓的方程知識關(guān)系直線的方程一、直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時,其傾斜角為,故直線傾斜角的范圍是.2.直線的斜率:傾斜角不是的直線其傾斜角的正切叫這條直線的斜率,即.注：每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.當(dāng)時，直線垂直于軸，它的斜率k不存在.過兩點、的直線斜率公式二、直線方程的五種形式及適用條件 名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90°的直線不能用此式點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點，k 斜率傾斜角為90°的直線不能用此式兩

2、點式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式Ax+By+C=0(A、B不全為零)A、B不能同時為零數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題直線和圓的方程直線的方程注:確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件,通常用待定系數(shù)法;確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B20）是一一對應(yīng)的.直線的方程例1. 過點和的直線的斜率等于1, 則的值為( )(A) (B) (C)1或3 (D)1或4例

3、2. 若, 則直線2cos3y1=0的傾斜角的取值范圍（ ）(A) (B) (C) (0,) (D) 例4. 連接和兩點的直線斜率為_,與y軸的交點P的坐標(biāo)為_.例5. 以點為端點的線段的中垂線的方程是 .兩直線的位置關(guān)系一、兩直線的位置關(guān)系1. 兩直線平行:斜率存在且不重合的兩條直線l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，則l1l2k1=k2;兩條不重合直線的傾斜角為,則.2.兩直線垂直:斜率存在的兩條直線l1y=k1x+b1,l2y=k2x+b2,則l1l2k1·k2= -1;兩直線l1A1x+B1y+C1=0，l2A2x+B2y+C2=0，則l1l2A1A2+B1B2 =

4、 03. “到角”與“夾角”:直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是.注:當(dāng)兩直線的斜率k1,k2都存在且k1·k2-1時,;當(dāng)直線的斜率不存在時,可結(jié)合圖形判斷.例6. 將直線繞著它與軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn)的角后，在軸上的截距是( )(A) (B) (C) (D) 例7. 將一張畫了直角坐標(biāo)系且兩軸的長度單位相同的紙折疊一次，使點(2，0)與點(2，4)重合，若點（7，3）與點（m ,n）重合，則m+n的值為()(A)4 (B)4(C)10 (D)10例8. 與直線平行且過點的直線的方程是_。例9. 已知二直線和，若，在y軸上的

5、截距為-1，則m=_，n=_.兩直線的位置關(guān)系兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是,當(dāng)兩直線的斜率k1，k2都存在且k1·k2-1時，則有.4.距離公式。已知一點P(x0，y0)及一條直線l：Ax+By+C=0，則點P到直線l的距離d=；兩平行直線l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=。5.當(dāng)直線位置不確定時，直線對應(yīng)的方程中含有參數(shù).含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應(yīng)的直線是有規(guī)律的，即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系.在點斜式方程y-y0=k(x-x0)中，當(dāng)（x0，y0）確定

6、，k變化時，該方程表示過定點（x0，y0）的旋轉(zhuǎn)直線系，當(dāng)k確定，(x0，y0)變化時，該方程表示平行直線系.已知直線l：Ax+By+C=0，則方程Ax+By+m=0（m為參數(shù)）表示與l平行的直線系；方程-Bx+Ay+n=0（n為參數(shù)）表示與l垂直的直線系。已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，直線l2：A2x+B2y+C2=0，則方程A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0表示過l1與l2交點的直線系（不含l2）掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，有時可以優(yōu)化解題思路.例10. 經(jīng)過兩直線11x3y90與12xy190的交點，且過點(3,-2)的直線方程為_.例11. 已知AB

7、C中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求：BC邊上的高所在直線方程；AB邊中垂線方程；A平分線所在直線方程.例12. 已知定點P（6，4）與定直線l1：y=4x，過P點的直線l與l1交于第一象限Q點，與x軸正半軸交于點M，求使OQM面積最小的直線l方程.簡單的線性規(guī)劃線性規(guī)劃當(dāng)點P(x0，y0)在直線Ax+By+C=0上時，其坐標(biāo)滿足方程Ax0+By0+C=0；當(dāng)P不在直線Ax+By+C=0上時，Ax0+By0+C0，即Ax0+By0+C>0或Ax0+By0+C<0。這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直線Ax+B

8、y+C=0上方或下方區(qū)域，其具體位置的確定常用原點（0，0）代入檢驗。利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。簡單的線性規(guī)劃例13. 若點（3，1）和（，6）在直線的兩側(cè)，則實數(shù)的取值范圍是 （D）以上都不對例14. 的三個頂點的坐標(biāo)為，點在內(nèi)部及邊界上運動，則的最大值為，最小值為。例15. 不等式組：表示的平面區(qū)域的面積是 ；例16.20個勞動力種50畝地，這些地可種蔬菜、棉花或水稻，如果種這些農(nóng)作物每畝地所需的勞動力和預(yù)計產(chǎn)值如下表。問怎樣安排才能使每畝都種上農(nóng)作物，所有的勞動力都有工作且農(nóng)作物的預(yù)計產(chǎn)值最高？例17.某集團準(zhǔn)備興辦一所中學(xué)，投資1200萬用于

9、硬件建設(shè).為了考慮社會效益和經(jīng)濟利益，對該地區(qū)教育市場進行調(diào)查，得出一組數(shù)據(jù)列表（以班為單位）如下： 根據(jù)有關(guān)規(guī)定，除書本費、辦公費外，初中生每年可收取學(xué)費600元，高中生每年可收取學(xué)費1500元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個班為宜.根據(jù)以上情況，請你合理規(guī)劃辦學(xué)規(guī)模使年利潤最大，最大利潤多少萬元？ （利潤=學(xué)費收入年薪支出）曲線和方程曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中,當(dāng)曲線C和方程F(x，y)=0滿足如下關(guān)系時： 曲線C上點的坐標(biāo)都是方程F(x，y)=0的解； 以方程F(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上，則稱曲線C為方程F(x，y)=0表示的曲線；方程F(x，y)=0是曲線

10、C表示的方程.注:如果曲線C的方程是F(x ,y)=0，那么點P0(x0 ,y0)在曲線C上的充要條件是F(x0 ,y0)=0 解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線C，如何求出它所對應(yīng)的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。其特征是以數(shù)解形, 坐標(biāo)法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。求曲線方程的步驟:建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化.曲線和方程例18. 點適合方程是點在曲線上的 ( )(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充要條件 (D)什么條件也不是例19.曲線C：與C：的交點數(shù)是（ ）(A)1個 (B) 2個 (C)3個 (D)4個例20. 已知定點，點M與A、B兩點所在直線的斜率之積等于，則點M的軌跡方

11、程是 例22. 如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動點分別作圓、圓的切線（分別為切點），使得.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點的軌跡方程. 圓的方程確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件。一、圓的方程形式:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2,其中（a,b）是圓心坐標(biāo),r是圓的半徑；圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）,圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為r=.圓的參數(shù)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2（r>0）的參數(shù)方程為:（為參數(shù),表示旋轉(zhuǎn)角），參數(shù)式常用來表示圓周上的點。注: 確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件, 通常也用待定系數(shù)法;圓的方程有

12、三種形式，注意各種形式中各量的幾何意義,使用時常數(shù)形結(jié)合充分運用圓的平面幾何知識.圓的直徑式方程： ,其中是圓的一條直徑的兩個端點.（用向量可推導(dǎo)）.二、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交，判定方法有兩種：代數(shù)法：直線：Ax+By+C=0，圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0，聯(lián)立得方程組一元二次方程（2）幾何法：直線:Ax+By+C=0，圓：(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心（a，b）到直線的距離為d=，則三、圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|O1O2|>r1+r2兩圓外離；|O1

13、O2|=r1+r2兩圓外切；| r1-r2|<|O1O2|< r1+r2兩圓相交；| O1O2 |=| r1-r2|兩圓內(nèi)切；0<| O1O2|<| r1-r2|兩圓內(nèi)含。注：直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識，而一般不采用方程組理論（法）.圓的方程四、圓的切線:1.求過圓上的一點圓的切線方程:先求切點與圓心連線的斜率,則由垂直關(guān)系,切線斜率為,由點斜式方程可求得切線方程;2.求過圓外一點圓的切線方程:(幾何方法)設(shè)切線方程為即,然后由圓心到直線的距離等于半徑,可求得,切線方程即可求出. (代數(shù)方法) 設(shè)切線方程為,即代入圓方程得一個關(guān)于的一元二次方程

14、,由,求得,切線方程即可求出.注：以上方法只能求存在斜率的切線,斜率不存在的切線,可結(jié)合圖形求得.過圓上一點的切線方程為.圓的方程例23.若直線與圓相切，則的值為( ) 例24. 兩圓x2+y2-4x+2y+1=0與(x+2)2+(y-2)2=9的位置關(guān)系是（ ）(A)內(nèi)切 (B)相交 (C)外切 (D)相離例25. 已知圓C與圓(x-1)2+y2=1關(guān)于直線y=-x對稱，則圓C的方程為( )(A) (x+1)2+y2=1 (B) x2+y2=1 (C)x2+(y+1)2=1 (D)x2+(y-1)2=1例26. 若直線4x-3y-20與圓有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）(A)-3

15、a7 (B)-6a4 (C)-7a3(D)-21a19例27. 把參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程，結(jié)果是 .例28. 過點的直線被圓截得的弦長為，則此直線的方程為 例29. 圓的方程為x2+y26x8y0，過坐標(biāo)原點作長為8的弦，求弦所在的直線方程。例30.已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓，求實數(shù)m取值范圍；求圓的半徑r取值范圍；求圓心軌跡方程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第七章直線和圓的方程)答案例1.A 例2.B 例3.C 例4. 例5. 例6.B 例7.C 例8. 2x3y100 例9. 0,8, 例10. 例11. 解: kBC=5, BC邊

16、上的高AD所在直線斜率k= AD所在直線方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 AB中點為（3，1），kAB=2, AB中垂線方程為x+2y-5=0設(shè)A平分線為AE，斜率為k，則直線AC到AE的角等于AE到AB的角。 kAC=-1，kAB=2, , k2+6k-1=0, k=-3-（舍），k=-3+ AE所在直線方程為(-3)x-y-2+5=0評注：在求角A平分線時，必須結(jié)合圖形對斜率k進行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè)P(x，y)為直線AE上任一點，則P到AB、AC距離相等，得，化簡即可。還可注意到，AB與AC關(guān)于AE對稱。

17、例12. 解題思路分析：直線l是過點P的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率k作為參數(shù)，還是選擇點Q（還是M）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選k作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。解:設(shè)Q（x0，4x0），M（m，0） Q，P，M共線 解之得： x0>0，m>0 x0-1>0 令x0-1=t，則t>0,40當(dāng)且僅當(dāng)t=1，x0=11時，等號成立,此時Q（11，44），直線l：x+y-10=0評注：例13.B 例14.例15.例16. 種蔬菜20畝,棉花30畝,水稻不種,總產(chǎn)值最高27萬元.例17.解：設(shè)初中x個班，高中y 個班，則設(shè)年利潤為s，則作出（1）、（2）表示的平

18、面區(qū)域，如圖，過點A時，S有最大值，由解得A（18，12）.易知當(dāng)直線1.2x+2y=s即學(xué)?？梢?guī)劃初中18個班，高中12個班,（萬元）. 可獲最大年利潤為45.6萬元. 評 線性規(guī)劃是直線方程的簡單應(yīng)用，是新增添的教學(xué)內(nèi)容，是新大綱重視知識應(yīng)用的體現(xiàn)，根據(jù)考綱要求，了解線性不等式表示的平面區(qū)域，了解線性規(guī)劃的意義并會簡單應(yīng)用，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂內(nèi)容，根據(jù)要求，求出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)，直線性約束條件下作出可行域，然后求線性目標(biāo)函數(shù)在可行域中的最優(yōu)解，歸納如下步驟：根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式，作出可行域，寫出目標(biāo)函數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解但在解答時，格式要規(guī)范，作圖要精確，特別是最優(yōu)解的求法，作時還是比較困難的是函數(shù)方程思想的應(yīng)用.例18.A 例19.D 例20. x2+例21. (x例22. 解：以的中點為原點，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，.由