相似存在性問題

1、相似存在性問題解析相似存在性問題分析思路（ 1）定方向： 直角三角形相似 ；等腰三角形相似；一般三角形相似（ 2）定分類： 結(jié)合已知選用恰當(dāng)?shù)姆诸惙椒ㄟM(jìn)行分類。 （ SSS、 SAS、 AA）（ 3）定解法：（ 1）無角相似； 恰當(dāng)?shù)倪x擇相似三角形對應(yīng)邊的比建立方程求解（2）有角解直； 出現(xiàn)特殊角度的可以考慮解直角三角形。（ 4）定結(jié)果： 將結(jié)果匯總。模型一：直角三角形相似問題例 1：如圖，矩形 OABC 在平面直角坐標(biāo)系中位置，A(6，0) ， C (0， 3) ，直線 y3x4與 BC 邊相交于 D 點(diǎn)（1）求點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（2）若拋物線yax29 x 經(jīng)過點(diǎn) A ，試確定此拋物線的表達(dá)

2、式；4（ 3 ）設(shè)（ 2）中的拋物線的對稱軸與直線OD 交于點(diǎn) M ，點(diǎn) P 為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P、 O、 M 為頂點(diǎn)的三角形與 OCD 相似，求符合條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)yP2PA1OM6xB3CDy3 x4分析：（ 1）定方向： OCD是兩條直角邊分別為3 和 4 的直角三角形。則為直角三角形的相似問題。（ 2）定分類： 如上圖， POM與 Rt OCD已經(jīng)有一對內(nèi)錯(cuò)角 PMO= COD。所以 POM只要還有一個(gè)直角就可以利用 AA 判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況：OPM=90°和POM=90°（3）定解法： 求 P 點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)為3，只需要求縱坐標(biāo)P1P2 。

3、由于 P1 P2 是 Rt POM斜邊的一部分。所以利用直角邊和斜邊對應(yīng)成比例建立方程求解。（ 4）定結(jié)論： 兩種情況匯總。解：（ 1）點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (4， 3) （2）拋物線的表達(dá)式為y3x29x 84（3）情形一： 當(dāng) OPM=90°時(shí)，易證： Rt POM1 Rt CDO 拋物線的對稱軸x 3，點(diǎn) P1 的坐標(biāo)為 P1 (3，0)情形二： 當(dāng) POM=90°時(shí)，由 y3 x可得： M (3,9)494OP1 3, P1 M415則 OMOP12P1M 24設(shè) P2 (3, a)則 P2M915a； OM； OD=5， OC=3，CD=444 Rt P2 MO Rt

4、 DOC；P2 MOM；解之： a 4DOOC點(diǎn) P2 的坐標(biāo)為 P2 (3，4) ，y2PPA1OM6xB3CDy3 x4P2 MOM；解之： a3 Rt P2 MO Rt ODC；CD(舍去 )DO8綜上所述： P1(3，0) ， P2(3，4)練習(xí) 1：已知二次函數(shù) yax2bx c（ a0 ）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(10)， ，B(2，0) ，C (0， 2) ，直線 x m （ m 2 ）與 x 軸交于點(diǎn) D （1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線 x m （ m2 ）上有一點(diǎn) E （點(diǎn) E 在第四象限 ），使得 E、 D、B 為頂點(diǎn)的三角形與以 A、O、C 為頂點(diǎn)的三角形相似，求E 點(diǎn)坐標(biāo)

5、（用含m 的代數(shù)式表示） ；yABDxO12x=m-2C答案：（ 1） yx23x 2（2） AO1，CO2，BDm2 EDB AOC ，yAOCOEDBD12，EDm2m 2 ED，2ABDxO12x=m點(diǎn) E 在第四象限，E12 m-2Cm，2EEDB COAAOCOBD，ED12 ，ED2m 4，m 2ED點(diǎn)E在第四象限，E2 (m 42m)2m； E2( m，4 2m)綜上所述： E1 m，2點(diǎn)睛： 若去掉“ 點(diǎn) E 在第四象限 ” 這個(gè)條件，則還有兩種情況，它們都位于x 軸的上方?？梢岳?對稱性 求解更為簡潔。例 2：如圖，拋物線經(jīng)過A(4，0)， B(1，0)， C (0， 2)

6、 三點(diǎn)（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為，是否存在P點(diǎn)，使得以， ，MA P M為頂點(diǎn)的三角形與 OAC 相似若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；分析：（ 1）定方向： OAC是兩條直角邊分別為2 和 4 的直角三角形。則為直角三角形的相似問題。（2）定分類： OAC是一個(gè)直角三角形。只要夾直角的兩條對應(yīng)邊成比例就可以利用SAS判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況：PM長邊、 AM短邊和PM短邊、 AM長邊。但是由于 P 點(diǎn)位置不確定，所以P 點(diǎn)又有三種情況，如下圖。所以共有6 種情況。yyyPO BAMOBAxO BAxx14

7、1 M414M-2C-2C-2CPP（ 3）定解法： 求 P 點(diǎn)坐標(biāo)，由于 PM和 AM易于表示且是 Rt PAM兩條直角邊。所以利用兩條直角邊對應(yīng)成比例建立方程求解。（ 4）定結(jié)論： 兩種情況匯總。解：（ 1） y1 x25 x 222（2）存在 設(shè) P(m,1m22情形一： 當(dāng) m1時(shí)，PM1 m25 m 2；MA2252)m2y4 m ；AO=4； OC=2。若 PMA COAPMMA； m10(舍去 )； m2（4舍去）；COOA若 PMA OCAPMMAMO BA4(舍去 )； m43；14OACA； m3-2則 P( 3, 14)C情形二： 當(dāng)1m4時(shí)，P125；yPMmmm2MA

8、4； AO=4； OC=2。2 2 若 PMA COAPMMA； m12； m 2（4舍去）；COOA若 PMA OCAxPMMA； m34(舍去 )； m45(舍去 )；OACA則 P(2，1)情形三： 當(dāng) m4時(shí)，PM1m25m 2；MAm 4 ；AO=4； OC=2。22O BPA1M4-2Cxy若 PMA COAPMMA； m10(舍去 )； m26；COOA若 PMA OCAPMMA4(舍去 )； m4 5O BOA； m3AMCA14則 P(5， 2)-2C綜上所述： P( 3,14) 、 P(2，1) 、 P(5， 2)Px練習(xí) 2：如圖，已知拋物線2與 x 軸交于yy x 1、

9、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)過點(diǎn)A作APA BCCB交拋物線于點(diǎn)P（ 1）求 A、 B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)（ 2）在 x 軸上方 的拋物線上是否存在一點(diǎn) M，過 M作 MG x 軸于點(diǎn) G，使以 A、 M、 G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由yPAoBxC分析：yyPMPMAoGGxAoxBBCC答案：（ 1） A( 1,0)B(1,0)C(0,1)（ 2）存在， M點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 2,3) ， ( 4 , 7) ， (4,15) 3 9模型二：等腰三角形相似問題例 3：如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn) D(0， 7 3 ) ，且頂點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 4，該圖象在 x 軸

10、9上截得的線段AB 的長為 6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使 EAB與 ABC相似如果存在，求出點(diǎn)E 的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由分析：（ 1）定方向： ABC是等腰三角形。則為等腰三角形的相似問題。（2）定分類： OAC是一個(gè)直角三角形。只要夾直角的兩條對應(yīng)邊成比例就可以利用SAS判定這兩個(gè)三角形相似。所以分為兩種情況：PM長邊、 AM短邊和PM短邊、 AM長邊。但是由于 P 點(diǎn)位置不確定，所以P 點(diǎn)又有三種情況，如下圖。所以共有6 種情況。yEGDxOABGC（ 3）定解法： 求 P 點(diǎn)坐標(biāo)，由于 PM和 AM易于表示且是 Rt PAM兩條直角邊。所以利用兩

11、條直角邊對應(yīng)成比例建立方程求解。（ 4）定結(jié)論： 兩種情況匯總。解：（ 1） y= 3 (x-4)2 39（2）由（ 1）得： A(1， 0) ，B(7 ， 0)，C(4， 3 )易證： AC=BC,且 ACB=120°。情形一： AB為腰： 以 A 為圓心， AB為半徑構(gòu)造BEA ABC,o則 AE=AB=6， BAE=120，o在 Rt AEG中： AE=6， EAG=60G EG=3 3 ， AG=3，此時(shí)點(diǎn) E(-2 ， 3 3)，經(jīng)檢驗(yàn) : E(-2 ， 3 3 ) 都在拋物線上情形二：AB 為腰： 以 B 為圓心， BA為半徑構(gòu)造BEA CBAyo則 BE=AB=6， A

12、BE=120，Eo在 Rt AEG中： BE=6， EBG=60EG=3 3， BG=3，點(diǎn)(10 ， 33 )D經(jīng)檢驗(yàn) : E(10 ， 3 3 ) 都在拋物線上OABG情形三： AB為底： 當(dāng)點(diǎn) Q在 x 軸下方時(shí)，QAB就是 ACB，C此時(shí)點(diǎn) Q的坐標(biāo)是 (4 ，3 ) ，綜上所述，點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 (10 ， 33 )或(-2 ，3 3)或(4， 3)點(diǎn)睛： 由于 E 的坐標(biāo)可能不在拋物線上，所以“經(jīng)檢驗(yàn) ”必不可少。練習(xí)3：如圖，拋物線ya(x1)(x5) 與 x 軸的交點(diǎn)為M、N直線 ykxb 與 x 軸交于 P( 2，0) 與 y 軸交于 C，若 A、B 兩點(diǎn)在直線ykxb 上且

13、AO=BO= 2 ，AO BOD為線段 MN的中點(diǎn)。 OH為 Rt OPC斜邊上的高(1)OH的長度等于； k=， b=(2) 是否存在實(shí)數(shù) a，使得拋物線 y a(x 1)(x 5) 上有一點(diǎn) F滿足以 D、 N、 E 為頂點(diǎn)的三角形與 AOB相似若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式x答案： OH=1,k3 ， b2 333（2） AOB為等腰直角三角形。情形一： DN為腰： 以 D 為圓心， DN為半徑構(gòu)造等腰直角EDN AOB,點(diǎn) E(2， 3)則 y1 (x 1)( x 5)3情形二： DN為底： 以 B 為圓心， BA為半徑構(gòu)造等腰直角BEA CBA點(diǎn) E，則 y2 (x1)( x5)912綜上所述， y( x 1)( x 5) 或 y( x 1)( x 5)39例 1：拋物線y2( x2) 21 的圖像如圖所示，直線x=3 與拋物線相交于點(diǎn)B，過原點(diǎn)O與拋物線的頂點(diǎn)A 的直線與 x