經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(上)-函數(shù)與極限的筆記整理

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（上）筆記整理目錄一、函數(shù)21.函數(shù)的兩個(gè)要素22.求定義域的方法23.分段函數(shù)34.常用的三角函數(shù)值35.函數(shù)的有界性36.函數(shù)的奇偶性37.判斷函數(shù)的單調(diào)性48.基本初等函數(shù)：49.復(fù)合函數(shù)410.初等函數(shù)411常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)5二、極限61.極限的幾種常用記號(hào)72.定義1.1073.左極限與右極限74.定理1.175.分段函數(shù)討論分段點(diǎn)處的極限76.極限的運(yùn)算8（1）limxf（x）=f（）8（2）00型，未定式8（3）型，未定式。97.兩個(gè)重要極限12（1）limx0sinxx=112（2）limx1+1xx=elimx01+x1x（P31）148.無窮小與無窮大159.函數(shù)的

2、連續(xù)性15【總結(jié)：極限運(yùn)算的題型】181. limxf（x）=f（）182.00型，未定式。183.型，未定式。194.1型，未定式。195. 無窮小×有界函數(shù)=無窮小（0）196. 分段函數(shù)中，求分段點(diǎn)處的極限。197.函數(shù)的連續(xù)19附件：數(shù)學(xué)作業(yè)19第一次19第二次20第三次(3月21日)20第四次(3月29日)20一、函數(shù)1. 函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則2.求定義域的方法：【會(huì)做書上P5的例2的（1）（2）（3）】分母0偶次根號(hào)內(nèi)0對(duì)數(shù)中的真數(shù)0【練習(xí)】書P45，4（1）（2）（6）這三道題根據(jù)上邊的知識(shí)點(diǎn)就能做出來了。求定義域取并集。（6）y=lg（3-x）x-1 解：

3、由題得，3-x>0x-1>0x<3x<-1或x>1此函數(shù)的定義域?yàn)椋?，-1）（1,3）3.分段函數(shù)：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)；分段函數(shù)的定義域取并集4.常用的三角函數(shù)值角度0（2）2sin010cos10-1tan0不存在05.函數(shù)的有界性（了解，書P8圖）（1）從圖像上看，函數(shù)的有界性是指：圖像被兩條平行于x軸的直線y=M，y=-M夾住了。（2）常見的有界函數(shù)：y=c常數(shù)函數(shù)；y=sinx；y=cosx，以及由這些有界函數(shù)經(jīng)過復(fù)雜的運(yùn)算后所得到的。6.函數(shù)的奇偶性（書P8）（1）常見的奇函數(shù)：y=x奇；y=sinx（2）常見的偶函數(shù)：y=x偶 ；y=cosx；y=c

4、注意：奇函數(shù)可以認(rèn)為是的，偶函數(shù)可以認(rèn)為是+的。判斷奇偶性時(shí)直接帶符號(hào)。但函數(shù)的奇偶性與它前邊的正負(fù)號(hào)無關(guān)。7.判斷函數(shù)的單調(diào)性（P9）（1）求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)0，為增函數(shù)導(dǎo)數(shù)0，為減函數(shù)（2）圖像從左到右圖像上升為增函數(shù)圖像下降為減函數(shù)8.基本初等函數(shù)：（書P11）（1）“基本”指的是函數(shù)的原型：自變量的位置是一個(gè)字母（2）其他函數(shù)還沒講9.復(fù)合函數(shù)（P16）（1）復(fù)合函數(shù)是由若干個(gè)基本的或簡(jiǎn)單的函數(shù)通過代入得到的（2）分解復(fù)合函數(shù)：由外向里，層層分解到基本的或簡(jiǎn)單的函數(shù).書上的分解復(fù)合函數(shù)題得答案都是倒著的，你把順序改過來就對(duì)了。【書P7的（1）（6），補(bǔ)充：y=esin2x+4，解：y=eu，u=

5、v2，v=sint，t=x+4】（3）y=sin3x=（sinx）310.初等函數(shù)（P17）初等函數(shù)只能用一個(gè)式子來表示，所以除了分段函數(shù)外，其他函數(shù)都是初等函數(shù)。11常用經(jīng)濟(jì)函數(shù)（P3941）書上有概念和公式，看懂就行了。主要記住線性的函數(shù)，均衡價(jià)格。【會(huì)做書上P40的例1、例2】【書P47 ，22】 解：R=130Q,0<Q700700×130+Q-700×130×90%,700<Q1000所以，R=130Q,0<Q70091000+117Q-700,700<Q1000【書P48，23】解：C(q)=2000+15qR(q)=20q保本

6、C（q）=R（q）2000+15q=20qq=400【書p48,26】解：設(shè)線性成本函數(shù)為c=a+bq由題得，【例題】游戲機(jī)每臺(tái)賣110元，固定成本7500元，可變成本為每臺(tái)60元。（1） 要賣多少臺(tái)，廠家才可保本（收回投資）？（2）若賣100臺(tái)，廠家盈利或虧損多少？（3）要獲得1250元的利潤(rùn)，要賣多少臺(tái)？解：（1）C（x）=C（固）+C（變）=7500+60xR（x）=110x保本C（x）= R（x）X=150（2） C（100）=7500+6000=13500R(100)=110×100=11000虧損= C（100）-R(100)=2500（3） L（x）=R（x）-C（x）

7、=1250110x-7500-60x=1250X=175二、極限（P21，重點(diǎn)講P21的第2個(gè)極限：xx0時(shí)函數(shù)的極限）1.極限的幾種常用記號(hào)xx0，x從x0兩側(cè)方向無限接近x0，xx0 xx0+，x從x0右側(cè)方向無限接近x0，xx0 xx0-，x從x0左側(cè)方向無限接近x0，xx0x，x無限增大x+，x的值無限增大x-，x的值無限減小2.定義1.10（P21）極限A是常數(shù)，y越來越接近A；yA與x在x0處是否有定義無關(guān)3.左極限與右極限（P21）知道左極限是limxx0-fx=A，右極限是limxx0+fx=A，就行了。不需要看懂定義。4.定理1.1（P22）5.分段函數(shù)討論分段點(diǎn)處的極限，遇

8、分段點(diǎn)處左、右表達(dá)式不同時(shí)，必須考慮左右極限。（會(huì)做P22例5）【練習(xí)題】已知fx=3x2-a，x<12x+4，x1在x=1處有極限，求a解：Limx1-3x2-a=3-a（左極限，見1的） limx1+2x+4=6（右極限，見1的） x=1處有極限3-a=6a=-3【根據(jù)知識(shí)點(diǎn)4、5所知，函數(shù)有極限，說明左極限=右極限】6.極限的運(yùn)算（P25）【會(huì)做下邊的例題】（1）limxf（x）=f（），將后的“”代入f（x）中。（做任何題得方法都是先代入，看看該怎樣做。分子分母沒有得0或的，或只有一項(xiàng)得0或的，直接代入做，看第1步。若分子分母都為0的，看第2步。若分子分母中都為的，看第3步。）若

9、0k，則lim f（x）=0；若k0，則lim f（x）=若k，則=； 若k，則=0（2）00型，未定式。分解因式，約分有根號(hào)，有理化limx0sinxx=1lim0sin=1【見下邊7的（1）】洛必達(dá)法則（還沒講）（3）型，未定式。limxaxnbxm=0，上小下大最高次冪，上大下小ab（最高次冪前的系數(shù)比），上=下 洛必達(dá)法則（還沒講）【例題：求極限】 limx3x2-9x-3（00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx3x+3x-3x-3=limx3（x+3）=6 limx1x2-4x+3x2+x-2（00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx1x-1（x-3）x-1（x+2）=

10、limx1x-3x+2=-23 limx0x+1-1x（00型，未定式）【有根號(hào)，分子有理化】=limx0（x+1-1）（x+1+1）x·（x+1+1）=limx0xx·（x+1+1）=limx01（x+1+1）=12 limx2x-2x+7-3（00型，未定式）【有根號(hào)，分母有理化】=limx2x-2（x+7+3）（x+7-3）（x+7+3）=limx2x-2（x+7+3）x-2=limx2x+7+3=6 limx2x2+x+13x2-2=23（型，未定式）【分子與分母的最高次方都是2，上=下，得前邊的系數(shù)比】 limx2x2+x+13x3-2x=0（型，未定式）【分子的

11、最高次方是2，分母的最高次方是3，上小下大，得0】 limx2x3+13x2-2=（型，未定式）【分子的最高次方是3，分母的最高次方是2，上大下小，得】【課上的練習(xí)】 limx-22x2-x+1=11（直接把-2代入） limx3x-3x+1=0（把3代入，得0k=0） limx-1x-3x+1=（把-1代入，得k0=） limxx2+12=（把代入，得k=） limx1x+3=0（把代入，得k=0） limx4x2-5x+4x2-2x-8（00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx4x-1x-4x+2x-4 =limx4x-1x+2 =limx436 =limx412 limx1x2-1

12、x-1 （00型，未定式）【分解因式，再代入】=limx1x+1x-1x-1 =limx1（x+1） =2 limx2x+13x-2=23（型，未定式）【分子與分母的最高次方都是1，上=下，得前邊的系數(shù)比】limx3x2-5x4x3-2=0（型，未定式）【分子的最高次方是2，分母的最高次方是3，上小下大，得0】limxx3-56x2+2x=（型，未定式）【分子的最高次方是3，分母的最高次方是2，上大下小，得】【書上P46，12（1）（8）、（11）】（1） 直接代入。（2）先代入，得0k=0（3）直接代入。（4）先代入，得k0=（5）先代入，得00型，因式分解。limx1x2-12x2-x-1

13、 =limx1x+1x-1x-12x+1=limx1x+12x+1=23（6）先代入，得00型，因式分解。limx04x3-2x2+x3x2+2x = limx0x·（4x2-2x+1）x·（3x+2）=limx04x2-2x+13x+2=12（7）先代入，得型，未定式。【分子與分母的最高次方都是1，上=下，得前邊的系數(shù)比】（8）先代入，得型，未定式?！痉肿拥淖罡叽畏绞?，分母的最高次方是3，上小下大，得0】（11）先代入，得00型，因式分解。limx3x2-5x+6x2-8x+15 =limx3x-2（x-3）x-3（x-5）=limx3x-2x-5 =- 127.兩個(gè)重

14、要極限（P29）【會(huì)做下邊的例題】（1）limx0sinxx=100型，含三角函數(shù)lim0sin=1【見上邊6的（2）的】做題時(shí)要把它化成這種形式來做?！纠}：求極限】limx-10sin（x-1）x-1=1limx1sin（x-1）x-1=1 limx1sinx2-1x-1=limx1sinx2-1（x+1）x2-1=x+1=2limx1sinx-1x2-1=limx1sin（x-1）x-1x+1=1x+1=12limx0sinkxx=k，如limx0sin5xx=sin5x·5x·5=5limx0sin3xsin4x=sin3x3x·3xsin4x4x

15、3;4x=34limx0tanxx=limx0sinxcosx·1x=limx0sinxx·1cosx=limx01cosx=1【書上P46，13（1）（6）】（1）同上的（6）limx0x-sinxx+cosx =limx0x-sinxx·xx+sinxx·x=limx0x-sinxxx+sinxx=limx01-sinxx1+sinxx=limx01-11+1=0（2）limx1+1xx=elimx01+x1x（P31）【會(huì)做下邊的例題】1型，未定式。括號(hào)內(nèi)為“1+”（見下邊例題的第2、3道）括號(hào)內(nèi)“+”后邊的式子與外邊的指數(shù)互為倒數(shù)。求極限時(shí)，指數(shù)

16、中出現(xiàn)的“+、-的所有常數(shù)” 都去掉，對(duì)題目無影響。（見下邊例題的第4道）【例題：求極限】 limx（1+2x）x（1型）=limx（1+2x）x2·2=e2 limx（1-23x）4x（1型）=limx1+（2-3x）-3x2·（-83）=e-83【注意括號(hào)內(nèi)必須為（1+），此題為“1-”。最好把負(fù)號(hào)放在x的前邊】 limx01-2x13x（1型）=limx01+-2x1-2x·-23=e-23 limx（1+35x）2x+1（1型）=limx（1+35x）2x=limx（1+35x）5x3·65=e65【本題中指數(shù)后邊的加減常數(shù)，對(duì)題目無影響，所以在

17、第1步中先直接去掉。】8.無窮小與無窮大l 知道極限為0的函數(shù)就是無窮小，就行了。l 無窮大的倒數(shù)是無窮小。l 恒不為0的無窮小的倒數(shù)為無窮大。l 記住p24的性質(zhì)1.2【0（無窮?。?#215;有界函數(shù)（見函數(shù)的5.）=0】9.函數(shù)的連續(xù)性（書P33）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下3個(gè)條件： f（x）在點(diǎn)x0處有定義 limx0f（x）存在（左極限=右極限） limx0f（x）=f（x）函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則其圖像在點(diǎn)x0處不斷開。若3條中有一條不滿足，稱x0為間斷點(diǎn)?！纠}】設(shè)fx=x，x16x-5，x>1，討論f（x）在x=1處的連續(xù)性。解： f（1）=1 limx1

18、-x=1 limx1+（6x-5）=1 limx1f（x）=1 limx1fx=1=f（1） 即函數(shù)在x=1處連續(xù)【滿足3個(gè)條件就可以了】【練習(xí)】已知fx=sin3xx，x0b，x=0（1+x）1x+a，x0 在x=0處有極限，求a、b 在x=0處連續(xù)，求a、b【分析：有極限，只要“左極限=右極限”就可以了，不用管中間。連續(xù)，則需要滿足3個(gè)條件，“左極限=右極限=中間”】解： limx0-（1+x）1x+a=e+a limx0+sin3xx=3 f（x）在x=0處有極限e+a=3，a=3-ebR f（0）=blimx0f（x）=3 f（x）在x=0處連續(xù)b=3，此時(shí)a=3-e【作業(yè)中的題】已知

19、fx=x·sin3x+a，x<0b+1，x=0ex-2，x>0 在x=0處有極限，求a、b 在x=0處連續(xù)，求a、b解：limx0-（x·sin3x+a）=a 【x·sin3x=0，用到了“無窮小×有界函數(shù)=無窮小0”的知識(shí)點(diǎn)。】limx0+ex-2=-1 f（x）在x=0處有極限a=-1，bRf（0）=b+1limx0fx=-1 f（x）在x=0處連續(xù)b+1=-1，此時(shí)a=-1【總結(jié)：極限運(yùn)算的題型】1. limxf（x）=f（），將后的“”代入f（x）中。（做任何題得方法都是先代入，看看該怎樣做。分子分母沒有得0或的，或只有一項(xiàng)得0或的，直接代入做，看第1步。若分子分母都為0的，看第2步。若分子分母中都為的，看第3步。）若0k，則lim f（x）=0；若k0，則lim