中心差分解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題

1、一題目用中心差分格式計(jì)算如下兩點(diǎn)邊值問(wèn)題已知其精確解為二理論作為模型，考慮兩點(diǎn)邊值問(wèn)題：1.11.2假定是給定的常數(shù)。1. 建立差分格式1.區(qū)域網(wǎng)格剖分首先取個(gè)節(jié)點(diǎn)：將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：于是得到區(qū)間的一個(gè)網(wǎng)格剖分。記，稱為網(wǎng)格最大步長(zhǎng)。用表示網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)，的集合，表示內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的集合。取相鄰節(jié)點(diǎn)的中點(diǎn)，稱為半整數(shù)點(diǎn)。則由節(jié)點(diǎn)又構(gòu)成的一個(gè)網(wǎng)格剖分，稱為對(duì)偶剖分。2.微分方程的離散，建立相應(yīng)差分格式用差商代替微商，將方程1.1在內(nèi)點(diǎn)離散化.注意對(duì)充分光滑的，由Taylor展式有1.3 1.5由1.5減1.4，并除以，得1.6令則由1.31.6知，邊值問(wèn)題的解滿足方程： 1.7 其中 1.8為差分算子的

2、截?cái)嗾`差，舍去，便得逼近邊值問(wèn)題1.11.2的差分方程： 1.9i=1,2,N-1，由方程1.71.9，截?cái)嗾`差可表示為 1.10當(dāng)網(wǎng)格均勻，即時(shí)差分方程1.9簡(jiǎn)化為 1.11這相當(dāng)于用一階中心差商，二階中心差商依次代替1.1的一階微商和二階微商的結(jié)果。這個(gè)方程就是中心差分格式。截?cái)嗾`差為： 1.12所以截?cái)嗾`差按或的階為。在此題中， ，因?yàn)閞=0方程1.11的系數(shù)對(duì)角矩陣是三對(duì)角矩陣。我們可以用消元法或迭代法求解方程組1.11.2式1.11用方程組展開(kāi)：寫(xiě)成矩陣形式為：2.收斂性分析根據(jù)1.10我們引進(jìn)誤差則誤差函數(shù)滿足以下差分方程：于是收斂性及收斂速度的估計(jì)問(wèn)題，就歸結(jié)到通過(guò)右端截?cái)嗾`差估

3、計(jì)誤差函數(shù)的問(wèn)題。由1.12我們知，有從而差分方程滿足相容條件。假設(shè)引進(jìn)記號(hào)，設(shè)則可將1.9改寫(xiě)為將差分解表成 2.1其中滿足 2.2而滿足 2.3先估計(jì)，由 2.4據(jù)差分格林公式再利用柯西不等式，有常數(shù)使 2.5將不等式2.6用于2.5右端，則 2.6解差分方程2.2，易得從而這樣， 2.7利用范數(shù)，從2.7推出 2.8因?yàn)橐虼?2.9聯(lián)結(jié)2.12.7及2.9即得差分解的先驗(yàn)估計(jì)： 2.10其中不等式2.10說(shuō)明差分解連續(xù)依賴于右端和邊值，因此差分格式1.11關(guān)于右端及邊值穩(wěn)定.根據(jù)定理1.1 ： 假設(shè)邊值問(wèn)題的解u充分光滑，差分方程按滿足相容條件且關(guān)于右端穩(wěn)定，則差分解按收斂到邊值問(wèn)題的解

4、，且有和相同的收斂階。所以差分方程的解的收斂速度為。三程序代碼：clcclfclfsyms x;a=1; %區(qū)間界點(diǎn)b=2; %區(qū)間界點(diǎn)p=exp(x); %這是p函數(shù)q=sin(x)+1+x; %這是q函數(shù)f=-exp(x)*(2*x+1)+(sin(x)+1+x)*x*(x-1);%這是f函數(shù)r=0; %這是r函數(shù).N=10; %將區(qū)間劃分的等分,這里控制！h=(b-a)/N; %這里確定步長(zhǎng)value_of_f=zeros(N-1,1);%這是fdiag_0=zeros(N-1,1);%確定A的對(duì)角元diag_1=zeros(N-2,1);%確定A的偏離對(duì)角的上對(duì)角元diag_2=zer

5、os(N-2,1);%確定A的偏離對(duì)角的下對(duì)角元X=a:h:b;u_a=0; %邊界條件u_b=2; %邊界條件for j=2:N diag_0(j-1)=(subs(p,x,(X(j+1)+X(j)/2)+(subs(p,x,(X(j-1)+X(j)/2)/(h2)+(subs(q,x,X(j);end %獲取對(duì)角元素for j=3:N diag_2(j-2)=-(subs(p,x,(X(j-1)+X(j)/2)/(h2)-subs(r,x,X(j)/(2*h);end %獲取A的第三條對(duì)角for j=2:N-1 diag_1(j-1)=-(subs(p,x,(X(j+1)+X(j)/2)/

6、(h2)+subs(r,x,X(j)/(2*h);end %獲取A的第二條對(duì)角for j=2:N; value_of_f(j-1)=subs(f,x,X(j);end %獲取F值value_of_f(1)=value_of_f(1)+u_a*(subs(p,x,(X(2)+X(1)/2)/(h2);value_of_f(N-1)=value_of_f(N-1)+u_b*(subs(p,x,(X(N)+X(N+1)/2)/(h2);A=diag(diag_0)+diag(diag_1,1)+diag(diag_2,-1);%組裝系數(shù)矩陣format longU=inv(A)*value_of_f

7、 %差分解%fprintf('%11.5f',U)fprintf('n');dx=X(2:N);precise_value=dx.*(dx-1) %精確解%fprintf('%11.5f',precise_value)deta=U-precise_value' ; %誤差deta_max=max(abs(deta);%最大誤差fprintf('最大的誤差是%fn',deta_max)plot(X(2:N),U,'b*',X(2:N),precise_value,'r-') %差分解與精確解比

8、照表figure();plot(X(2:N),deta) %誤差圖結(jié)果： X的值步長(zhǎng)h2.12.22.32.42.52.62.72.82.9最大誤差0.10.110150.240260.390330.560370.750380.960381.190311.440221.710120.0003800.050.110030.240060.390080.560090.750090.960081.190071.440051.710030.0000950.0250.110000.240010.390020.560020.750020.960021.190021.440011.710010.0000240.01250.110000.240000.390000.560010.750010.960001.190001.440001.710000.000006精確解0.110000.240000.390000.560000.750000.960001.190001.440001.710000以下僅給出步長(zhǎng)為N=20,h=0.05的精確值和差分值圖與誤差圖，其他的只要修改程序中的步