系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定(羅斯陣列)

1、6-6 系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其判定所有工程實(shí)際系統(tǒng)的工作都應(yīng)該具有穩(wěn)定性，所以對系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究十分重要。本 節(jié)將介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義及其判定方法。、系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義若系統(tǒng)對有界激勵(lì) f(t) 產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng) 也是有界的， 即當(dāng) 時(shí)，若有(式中和 均為有界的正實(shí)常數(shù) ) ，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有穩(wěn)定性研究不同問題時(shí)， “穩(wěn)定”的定義不盡相同。這里的定義是“有界輸入、有界輸出”意 義下的穩(wěn)定。，否則即為不穩(wěn)定系統(tǒng)或系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性?？梢宰C明，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要與充分條件，在時(shí)域中是系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) h(t) 絕對可積，即< ( 6-36)證明 設(shè)激勵(lì) f(t) 為有界，即式中， 為有

2、界的正實(shí)常數(shù)。又因有故有(6-37)由此式看出，若滿足<則一定有畢即 也一定有界。式中 為有界的正實(shí)常數(shù)。由式 (6-36) 還可看出，系統(tǒng)具有穩(wěn)定性的必要條件是(6-38)式(6-36) 和式 (6-38) 都說明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性描述的是系統(tǒng)本身的特性， 它只取決于系統(tǒng)的結(jié) 構(gòu)與參數(shù)，與系統(tǒng)的激勵(lì)和初始狀態(tài)均無關(guān)。若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，則式 (6-36) 和式 (6-38) 可寫為6-39)(6-40)二、系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可以在時(shí)域中進(jìn)行，也可以在 s 域中進(jìn)行。在時(shí)域中就是按式 (6- 36)和式(6-38) 判斷，已如上所述。下面研究如何從 s 域中判斷。1. 從 H(

3、s) 的極點(diǎn)即 D(s)=0 的根分布來判定若系統(tǒng)函數(shù) H(s) 的所有極點(diǎn)均位于 s 平面的左半開平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若 H(s) 在 j 軸上有單階極點(diǎn)分布，而其余的極點(diǎn)都位于 s 平面的左半開平面，則系 統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。若 H(s) 的極點(diǎn)中至少有一個(gè)極點(diǎn)位于 s 平面的右半開平面，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若在 j 軸上有重階極點(diǎn)分布，則系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。2. 用羅斯準(zhǔn)則判定用上述方法判定系統(tǒng)的穩(wěn)定與否， 必須先要求出 H(s) 的極點(diǎn)值。但當(dāng) H(s) 分母多項(xiàng)式 D(s) 的冪次較高時(shí)，此時(shí)要具體求得 H(s) 的極點(diǎn)就困難了。所以必須尋求另外的方法。其 實(shí)，在判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，并不

4、要求知道 H(s) 極點(diǎn)的具體數(shù)值，而是只需要知道 H(s) 極 點(diǎn)的分布區(qū)域就可以了。利用羅斯準(zhǔn)則即可解決此問題。羅斯判定準(zhǔn)則的內(nèi)容如下：多項(xiàng)式 D(s)的各項(xiàng)系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)；多項(xiàng)式中無缺項(xiàng) (即s的冪從 n到 0， 項(xiàng)也不缺 ) 。這是系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件。若多項(xiàng)式 D(s) 各項(xiàng)的系數(shù)均為正實(shí)常數(shù)，則對于二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的；但若系統(tǒng)的 階數(shù) n> 2時(shí)，系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還須排出如下的羅斯陣列。設(shè)陣列中第 1、第 2 行各元素的意義不言而喻，第3 行及以后各行的元素按以下各式計(jì)算：則羅斯陣列的排列規(guī)則如下 (共有 n+1 行)：如法炮制地依次排列下去，共有 (n+1) 行，最

5、后一行中將只留有一個(gè)不等于零的數(shù)字。 若所排出的數(shù)字陣列中第一列的 (n+1) 個(gè)數(shù)字全部是正號， 則 H(s) 的極點(diǎn)即全部位于 s 平面的左半開平面，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的；若第一列 (n+1) 個(gè)數(shù)字的符號不完全相同，則符號改 變的次數(shù)即等于在 s 平面右半開平面上出現(xiàn)的 H(s) 極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，因而系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。在排列羅斯陣列時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)如下的兩種特殊情況：(1) 陣列的第一列中出現(xiàn)數(shù)字為零的元素。此時(shí)可用一個(gè)無窮小量( 認(rèn)為是正或負(fù)均可 ) 來代替該零元素，這不影響所得結(jié)論的正確性。(2) 陣列的某一行元素全部為零。當(dāng) D(s)=0 的根中出現(xiàn)有共軛虛根 時(shí)，就會 出現(xiàn)此種情況。此時(shí)可利

6、用前一行的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)輔助的 s 多項(xiàng)式 P(s) ，然后將 P(s) 對 s 求導(dǎo)一次，再用該導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成新的一行，來代替全為零元素的行即可；而輔助多項(xiàng)式P(s)=0 的根就是 H(s) 極點(diǎn)的一部分。例 6-22 已知 H(s) 的分母 D(s)=s4+2s3+3s2+2s+1 。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：因 D(s) 中無缺項(xiàng)且各項(xiàng)系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：可見陣列中的第一列數(shù)字符號無變化， 故該 H(s) 所描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 即 H(s) 的極 點(diǎn)全部位于 s 平面的左半開平面上。例 6-23 已知 。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：因

7、中無缺項(xiàng)且各項(xiàng)系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)，滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：可見陣列中的第一列數(shù)字符號有兩次變化，即從 +2變?yōu)?2 ，又從-2 變?yōu)?21。故 H(s)的極點(diǎn)中有兩個(gè)極點(diǎn)位于 s 平面的右半開平面上，故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例 6-24 已知 。試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解： 因 D(s)=s5+2s4+2s3+4s2+11s+10 中的系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)且無缺項(xiàng)， 滿足系統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下：4 行的第一個(gè)元素成為 (- ) ，使陣列無由于第 3 行的第一個(gè)元素為 0，從而使第法繼續(xù)排列下去。對于此種情況，可用一個(gè)任意小的正數(shù) 來代替第 3

8、行的第一個(gè)元素 0， 然后照上述方法繼續(xù)排列下去。 在計(jì)算過程中可忽略含有 , 的項(xiàng)。最后將發(fā)現(xiàn)， 陣列第一列數(shù)字符號改變的次數(shù)將與無關(guān)。按此種處理方法，繼續(xù)完成上面的陣列：可見陣列中第一列數(shù)字的符號有兩次變化， 即從 變?yōu)?又從變?yōu)?6。故 H(s)的極點(diǎn)中有兩個(gè)極點(diǎn)位于 s 平面的右半開平面上，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例 6-25 已知 。試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： 因 中無缺項(xiàng)且各項(xiàng)系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)， 滿足系 統(tǒng)為穩(wěn)定的必要條件，故進(jìn)一步排出羅斯陣列如下： 可見第 4 行全為零元素。 處理此種情況的方法之一是： 以前一行的元素值構(gòu)建一個(gè) s 的多項(xiàng) 式 P(s) ，即 將式(6-41) 對

9、 s求一階導(dǎo)數(shù)，即現(xiàn)以此一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成原陣列中全零行 ( 行) 的元素，然后再按原方法繼續(xù)排列下去?？梢婈嚵兄械牡谝涣袛?shù)字符號沒有變化，故 H(s) 在 s 平面的右半開平面上無極點(diǎn)，因而系 統(tǒng)肯定不是不穩(wěn)定的。但到底是穩(wěn)定的還是臨界穩(wěn)定的，則還須進(jìn)行下面的分析工作。令解之得兩個(gè)純虛數(shù)的極點(diǎn)：。這說明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。實(shí)際上，若將 D(s) 分解因式，即為可見 H(s)共有 4個(gè)極點(diǎn)： ,位于 軸上； ，位于 s 平 面的左半開平面。故該系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。例 6-26 圖 6-38 所示系統(tǒng)。試分析反饋系數(shù) K 對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖 6-38解：解之得欲使此系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是 中的各項(xiàng)系數(shù)均為大于零的實(shí)常數(shù)，故應(yīng)有 K&