高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第六版)課件第六章 1.元素法幾何應(yīng)用

1、abxoyix1x1 ix1 nx(1)將將a,b分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間(2)任取任取i xi-1, xi, 計(jì)算計(jì)算f(i)xi(3)作和作和 iinixfS )(1(4)取極限取極限 i iinixf )(lim10 badxxf)()(xfy (1)將將a,b分成分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間(2)任取任取i xi-1, xi, 計(jì)算計(jì)算f(i)xi(3)作和作和 iinixfS )(1(4)取極限取極限 iinixf )(lim10 badxxf)(abxoy)(xfy 設(shè)想設(shè)想a,b分的無(wú)限細(xì)，分的無(wú)限細(xì)，xdxx (1)(2)兩步合為：兩步合為：計(jì)算計(jì)算 dxxf)(3)(4)兩步合為

2、：兩步合為： badxxf)(（1）選取一個(gè)變量）選取一個(gè)變量 x為積分變量，為積分變量，（2）設(shè)想把區(qū)間）設(shè)想把區(qū)間a,b分的無(wú)限細(xì)，分的無(wú)限細(xì)， badxxfU)(3) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上作定積分，得上作定積分，得 并確定它的變化區(qū)間并確定它的變化區(qū)間a,b；在任一小區(qū)間在任一小區(qū)間求出部分量求出部分量: dU=f(x)dx； x,x+dx上，上，即得所求的量即得所求的量 xyo)(1xfy )(2xfy abdxdxxfxfdA)()(12 badxxfxfA)()(12xyo)(1ygx )(2ygx cddydyygygdA)()(12 dcdyygygA)()(12解解).4 ,

3、 8(),2, 2( 422xyxy選選 y 為積分變量為積分變量4, 2 ydyyydA)24(2 xy22 4 xy例例1 計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線 和直線和直線xy22 4 xy所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積. dyyyA 422)24(4232642 yyy=18dy選選 x 為積分變量為積分變量dxxdA221 dxxxdA)42(2 dxxA 2022dxxx)42(82 xy22 4 xydxdx解解橢圓方程橢圓方程 tbytaxsincos aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab taxcos 令令0 tax20 tx例例2 求橢圓求

4、橢圓12222 byax的面積的面積. 寫出下列圖形的面積的定積分表示式：寫出下列圖形的面積的定積分表示式：2.由由 y =ex與該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線及與該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線及y軸圍成的圖形。軸圍成的圖形。 1.由曲線由曲線xxeyey ,及直線及直線x=1所圍成的圖形所圍成的圖形其中其中 連續(xù)連續(xù)xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21面積面積.)(212 dA)( 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( 與與)( 0)( 及射線及射線圍成一曲邊扇形，求其面積圍成一曲邊扇形，求其面積例例3 求阿基米德螺線求阿基米德螺線 (a 0)上相應(yīng)于上相應(yīng)于 從從0到到 的一段與極軸圍成圖形的面積的一段與極軸圍成圖形

5、的面積 a 2-30-20-10010203040-30-20-100102030o a解解.)(21220 daA 20326a解解.232a daA202)cos1(212 da)coscos21(202 02sin2a例例4 求心形線求心形線)cos1( a所圍圖形的面積所圍圖形的面積( a 0) da)2cos1(2102 2a 221a 022sin21a小小 結(jié)結(jié)面積的求法：面積的求法：一、直角坐標(biāo)：一、直角坐標(biāo)：（1）選擇合適的積分變量，寫出面積元素）選擇合適的積分變量，寫出面積元素 （2）積分計(jì)算。）積分計(jì)算。先畫出圖形先畫出圖形二、極坐標(biāo)：二、極坐標(biāo)：（1）轉(zhuǎn)化成曲邊扇形問(wèn)題

6、）轉(zhuǎn)化成曲邊扇形問(wèn)題（2）利用曲邊扇形面積公式：）利用曲邊扇形面積公式：.)(212 dA寫出下列圖形面積在極坐標(biāo)下的定積分表示式：寫出下列圖形面積在極坐標(biāo)下的定積分表示式：1. 由由 及及 所確定圖形所確定圖形. cos3 cos1.cos9232 d 302)cos1(dA2.螺線螺線 a的第一與第二圈之間及極軸所圍圖形的第一與第二圈之間及極軸所圍圖形 -30-20-10010203040-30-20-100102030o xoabxdxx 若一個(gè)立體在若一個(gè)立體在x軸上的投影區(qū)間為軸上的投影區(qū)間為a,b, ,)(dxxAdV .)( badxxAVA(x)為過(guò)點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)x且垂直于且垂直于x

7、軸的截面面積，軸的截面面積，A(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù), 求立體體積求立體體積V.RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122.tan323 R例例5 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角并與底面交成角, 計(jì)算這平面截圓柱體計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積所得立體的體積解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRh

8、VRR 22.212hR 例例6 求以半徑為求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積的正劈錐體的體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)2)()(xfxA xxyo體積為體積為dxxfVba)(2 )(xfy 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線 y=f(x)、直線、直線 x=a、x=b 及及x 軸軸所圍成的曲邊梯形繞所圍成的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積？而成的旋轉(zhuǎn)

9、體體積？積分變量為積分變量為 xa,b截面面積：截面面積：例例7 證明底圓半徑為證明底圓半徑為r高為高為h的圓錐體的體積為：的圓錐體的體積為：hrV231 證證建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖yrhPxoxhry 直線直線OP方程為方程為dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr a aoyx解解,323232xay 332322xay ,aax dxxaVaa33232 .105323a 例例8 求星形線求星形線 ( a 0 )繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)323232ayx 構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xyo)(yx cddyyVdc2)( 直線直線 y=c,

10、y=d 及及 y 軸所圍成的曲邊梯形軸所圍成的曲邊梯形)(yx 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為:解解dxxyVax)(220 022)cos1(2ta 0323)coscos3cos31(2dtttta.532a a 2a )(xy分別繞分別繞 x 軸、軸、),sin(ttax )cos1(tay 例例9 求擺線求擺線的一拱與的一拱與 y=0 所圍成的圖形所圍成的圖形,y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 dtta)cos1( dyyxVay)(2202

11、dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222)cos1()sin(tadtta 022)cos1()sin(tadtta 2023sin)sin(tdttta.633a 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積 練練 習(xí)習(xí)1.由由)0( 22 ppxy),2(pp處的法線所處的法線所和它在和它在圍成的圖形繞圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. .2.由由xy22 和和x=0, y=1圍成的圖形繞圍成的圖形繞y=1旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. .小小 結(jié)結(jié)一、旋轉(zhuǎn)體體積一、旋轉(zhuǎn)體體積 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線 y=f(x

12、)、直線、直線 x=a、x=b 及及x 軸所圍軸所圍成的曲邊梯形，成的曲邊梯形，1.繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體：軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體：dxxfVba2)( 2.繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體：軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體：dxxfxVbay| )(|2 二、平行截面面積已知立體體積二、平行截面面積已知立體體積 平行截面面積為：平行截面面積為：A(x) 體積體積.)( badxxAVxoyAB1M2M1 nM,10MMA 依次連接相鄰分點(diǎn)依次連接相鄰分點(diǎn),接折線，其長(zhǎng)為接折線，其長(zhǎng)為且每個(gè)小弧段的長(zhǎng)度都趨向于零時(shí)且每個(gè)小弧段的長(zhǎng)度都趨向于零時(shí),得內(nèi)得內(nèi)0M nM 稱此曲線弧為稱此曲線弧為可求

13、長(zhǎng)的可求長(zhǎng)的。|11 niiiMM的極限存在，的極限存在，設(shè)曲線弧設(shè)曲線弧AB,在弧上插入在弧上插入分點(diǎn)分點(diǎn)稱此稱此極限極限為曲線弧為曲線弧 AB的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多,|11 niiiMMBMn ,xNMTRxdxx yodydxds22)()(dydxds 弧微分：弧微分：是否所有的曲線弧是否所有的曲線弧都是可求長(zhǎng)的？都是可求長(zhǎng)的？定理：光滑或分段光滑定理：光滑或分段光滑的曲線弧是可求長(zhǎng)的。的曲線弧是可求長(zhǎng)的。如何求弧長(zhǎng)如何求弧長(zhǎng)xy1sin xoyabxdxx 22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線

14、弧為 y=f(x)(bxa 其中其中 y=f(x) 在在 a,b上有一階上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)導(dǎo)數(shù), 取積分變量為取積分變量為 x在在a,b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 x, x+dx小切線段的長(zhǎng)小切線段的長(zhǎng): x=g(y)(dyc x=g(y)在在c,dy在在c,d y, y+dydyx21 dyxds21 .12dyxsdc 解解,21xy ,1dxxds 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab bax23)1(32 例例10 計(jì)算曲線計(jì)算曲線 2332xy 相應(yīng)于相應(yīng)于x從從a到到b的一段弧的長(zhǎng)度的一段弧的長(zhǎng)度.曲線弧為曲線弧為,)()( tytx)( t22)()(dydxds 2222)()(dttdtt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 其中其中 在在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) )(),(tt , 解解 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx例例11 求星形線求星形線 ( a 0)的全長(zhǎng)的全長(zhǎng) 323232ayx 曲線弧為曲線弧為)( )( sin)(cos)(yx)( 22)()(dydxds ,)()(22 d弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 ds)( 其中其中 在在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) )( , 例例