高中函數(shù)值域的12種解法(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中函數(shù)值域的12種求法一、觀察法通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。例1求函數(shù)y3(23x) 的值域。點撥：根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)，先求出(23x) 的值域。解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(23x)0，故3(23x)3。函數(shù)的知域為3，。點評：算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性，即：（1）被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）值的非負(fù)性。本題通過直接觀察算術(shù)平方根的性質(zhì)而獲解，這種方法對于一類函數(shù)的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習(xí)：求函數(shù)yx(0x5)的值域。（答案：值域為：0，1，2，3，4，5）二、反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時，則其反函數(shù)的定義域就是原函

2、數(shù)的值域。例2求函數(shù)y(x1)/(x2)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，再求出其定義域。解：顯然函數(shù)y(x1)/(x2)的反函數(shù)為:x(12y)/（y1）,其定義域為y1的實數(shù),故函數(shù)y的值域為yy1,yR。點評：利用反函數(shù)法求原函數(shù)的定義域的前提條件是原函數(shù)存在反函數(shù)。這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一。練習(xí)：求函數(shù)y(10x10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函數(shù)的值域為yy1或y1）三、配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時,可以利用配方法求函數(shù)值域。例3：求函數(shù)y(x2x2)的值域。點撥：將被開方數(shù)配方成完全平方數(shù)，利用二次函數(shù)的最值求。

3、解：由x2x20,可知函數(shù)的定義域為x1，2。此時x2x2(x1/2)29/40，9/4，0(x2x2)3/2,函數(shù)的值域是0，3/2。點評：求函數(shù)的值域不但要重視對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。配方法是數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法。練習(xí)：求函數(shù)y2x5(154x)的值域。（答案:值域為yy3）四、判別式法若可化為關(guān)于某變量的二次方程的分式函數(shù)或無理函數(shù),可用判別式法求函數(shù)的值域。例4求函數(shù)y(2x22x3)/(x2x1)的值域。點撥：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為自變量的二次方程，應(yīng)用二次方程根的判別式，從而確定出原函數(shù)的值域。解：將上式化為（y2）x2(y2)x(y3)0（）當(dāng)y2時,由

4、(y2)24（y2）(y3)0，解得：2x10/3當(dāng)y2時,方程()無解。函數(shù)的值域為2y10/3。點評：把函數(shù)關(guān)系化為二次方程F(x,y)0，由于方程有實數(shù)解，故其判別式為非負(fù)數(shù)，可求得函數(shù)的值域。常適應(yīng)于形如y(ax2bxc)/(dx2exf)及yaxb±(cx2dxe)的函數(shù)。練習(xí)：求函數(shù)y1/(2x23x1)的值域。（答案：值域為y8或y0）五、最值法對于閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)yf(x),可求出yf(x)在區(qū)間a，b內(nèi)的極值,并與邊界值f(a)，f(b)作比較，求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y的值域。例5已知(2x2x3)/(3x2x1)0,且滿足xy1,求函數(shù)zxy3x的值域

5、。點撥：根據(jù)已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標(biāo)函數(shù)消元、配方，可求出函數(shù)的值域。解：3x2x10，上述分式不等式與不等式2x2x30同解，解之得1x3/2，又xy1，將y1x代入zxy3x中，得zx24x(1x3/2)，z(x2)24且x1，3/2,函數(shù)z在區(qū)間1，3/2上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。當(dāng)x1時，z5；當(dāng)x3/2時，z15/4。函數(shù)z的值域為z5z15/4。點評：本題是將函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對開區(qū)間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數(shù)的值域。練習(xí)：若x為實數(shù)，則函數(shù)yx23x5的值域為（ ）（答案：D）。A（，） B7， C0，） D5，）六、圖象法通過觀察函

6、數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域。例6求函數(shù)yx1(x2)2 的值域。點撥：根據(jù)絕對值的意義，去掉符號后轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，作出其圖象。 2x1 (x1)解：原函數(shù)化為y 3 (1x2) 2x1 (x2)它的圖象如圖所示。 y321-1O x顯然函數(shù)值y3，所以，函數(shù)值域3，。點評：分段函數(shù)應(yīng)注意函數(shù)的端點。利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的值域，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。是解決問題的重要方法。求函數(shù)值域的方法較多，還適應(yīng)通過不等式法、函數(shù)的單調(diào)性、換元法等方法求函數(shù)的值域。七、單調(diào)法利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域。例1求函數(shù)y4x(13x)，(x/3)的值域。點撥：由已知的函數(shù)是復(fù)合函

7、數(shù)，即g(x)(13x)，yf(x)g(x)，其定義域為x1/3，在此區(qū)間內(nèi)分別討論函數(shù)的增減性，從而確定函數(shù)的值域。解：設(shè)f(x)4x，g(x)(13x )，(x1/3)，易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而yf(x)g(x)4x(13x) 在定義域為x1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)g(1/3)4/3，因此，所求的函數(shù)值域為y|y4/3。點評：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y3(4x) 的值域。（答案：y|y3）八、換元法以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變

8、量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域。例2求函數(shù)yx3(2x1) 的值域。點撥：通過換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為某個變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值，確定原函數(shù)的值域。解：設(shè)t(2x1)， (t0) 則x1/2(t21)。于是y1/2(t21)3t1/2(t1)241/247/2.所以，原函數(shù)的值域為y|y7/2。點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y(x1)x的值域。（答案：y|y3/4）KEFBC九、構(gòu)造法根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合。例3求函數(shù)y(x24x5

9、)(x24x8)的值域。點撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)(x2)21(2x)222如圖，作一個AD4，AB3的矩形ABCD，EFAD且BE1，H為EF中點，K為EF上任意一點。xHDA設(shè)HKx，則EK2x，KF2x，AK(2x)222，KC(x2)21。由三角形三邊關(guān)系知，AKKCAC5。當(dāng)A、K、C三點共線時取等號。原函數(shù)的知域為y|y5。點評：對于形如函數(shù)y(x2a)±(cx)2b（a，b，c均為正數(shù)），均可通過構(gòu)造幾何圖形，由幾何的性質(zhì)，直觀明了、方便簡捷。這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。練習(xí)：求函數(shù)y(x29)(5x)24的值域

10、。（答案：y|y52）十、比例法對于一類含條件的函數(shù)的值域的求法，可將條件轉(zhuǎn)化為比例式，代入目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而求出原函數(shù)的值域。例4已知x，yR，且3x4y50,求函數(shù)zx2y2的值域。點撥：將條件方程3x4y50轉(zhuǎn)化為比例式，設(shè)置參數(shù)，代入原函數(shù)。解：由3x4y50變形得，(x3)/4(y1)/3k(k為參數(shù))x34k，y13k，zx2y2(34k)2(143k)2(5k3)21。當(dāng)k3/5時，x3/5，y4/5時，zmin1。函數(shù)的值域為z|z1。點評：本題是多元函數(shù)關(guān)系，一般含有約束條件，將條件轉(zhuǎn)化為比例式，通過設(shè)參數(shù)，可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為單函數(shù)的形式，這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法，具有一定的創(chuàng)

11、新意識。練習(xí)：已知x，yR，且滿足4xy0，求函數(shù)f(x，y)2x2y的值域。（答案：f(x，y)|f(x，y)1）十一、利用多項式的除法例5求函數(shù)y(3x2)/(x1)的值域。點撥：將原分式函數(shù)，利用長除法轉(zhuǎn)化為一個整式與一個分式之和。解：y(3x2)/(x1)31/(x1)。1/(x1)0，故y3。函數(shù)y的值域為y3的一切實數(shù)。點評：對于形如y(axb)/(cxd)的形式的函數(shù)均可利用這種方法。練習(xí)：求函數(shù)y(x21)/(x1)(x1)的值域。（答案：y2）十二、不等式法例6求函數(shù)y3x/(3x1)的值域。點撥：先求出原函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)自變量的取值范圍，構(gòu)造不等式。解：易求得原函數(shù)的反函數(shù)為yl/3x/(1x)，由對