洛侖茲曲線的繪制與基尼系數(shù)的定積分計(jì)算

1、.專業(yè)整理 .用 Excel 表達(dá)貧富不均洛侖茲曲線的繪制及基尼系數(shù)的定積分計(jì)算在反貧困工作中有兩項(xiàng)重要的統(tǒng)計(jì)工具： 洛侖茲曲線和基尼系數(shù)， 它們使用、 整理大量調(diào)查數(shù)據(jù)所繪制的圖形、 曲線及計(jì)算結(jié)果， 可以用來(lái)說(shuō)明社會(huì)收入差距大小， 貧富兩極分化程度。這些工作可以使用 Excel 來(lái)處理。根據(jù)本人近年實(shí)踐，總結(jié)介紹如下。1. 洛侖茲曲線洛侖茲曲線研究的是國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配問(wèn)題，這是美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家洛侖茲提出來(lái)的。它先將一國(guó)或一地區(qū)人口按收入由低到高排隊(duì)，然后考慮收入最低的任意百分比人口所得到的收入百分比。 例如最低的 10%、20%、30%的人口等等所得到的收入比例分別為 1.09%、4.

2、16%、9.21%等等，如表 1 所示，最后將這樣得到的人口累計(jì)百分比和收入累計(jì)百分比的對(duì)應(yīng)關(guān)系制成圖表，即得到洛侖茲曲線，如圖0 所示。表 1. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 0上圖即為洛倫茲曲線，其橫坐標(biāo)是相對(duì)人口累計(jì)百分比，縱坐標(biāo)是收入累計(jì)百分比。如果收入是絕對(duì)均等的（當(dāng)然這只是一種理想化的狀態(tài)）， 每 1%的人口都得到1%的收入，累計(jì) 99%的人口就得到累計(jì) 99%的收入，則收入分配是完全平等的，累計(jì)收入曲線就是上圖中的對(duì)角線 OL，圖中標(biāo)明是“絕對(duì)均等線”。假如收入分配絕對(duì)不均等 （當(dāng)然這也是一種設(shè)想的狀態(tài)） ，幾乎所有的人口均一無(wú)所有，即 99%的人完全沒(méi)有收入， 而所有的收入都在1

3、% 的人手中， 即 1%的人擁有 100%的收入， 累計(jì)分配曲線是由橫軸和右邊垂線組成的折線OAL。圖中標(biāo)明是“絕對(duì)不均等線” , 一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)國(guó)家、 一個(gè)地區(qū)的收入分配，既不是完全不平等， 也不是完全平等， 而是介于兩者之間，那么相應(yīng)的洛侖茲曲線既不是折線OAL，也不是對(duì)角線 OL，而是介于兩者之間的就是中間那條向橫軸突出的 OCL曲線。洛侖茲曲線的彎曲程度具有重要意義。一般來(lái)說(shuō)它的彎曲程度反映了收入的不平等程度，彎曲程度越大，收入分配程度越不公平。洛倫茲曲線和對(duì)角線之間的那塊月牙形區(qū)域（圖中斜線區(qū)域） 可以看成是貧富之間的那條溝坎。 這塊月牙形區(qū)域面積 S 大小，可以用來(lái)表征實(shí)際收入分配

4、與理想境界的差距：這塊月牙形區(qū)域面積S 越大，洛倫茲曲線彎曲度越大，月牙彎得越大，它和對(duì)角線離開(kāi)得越遠(yuǎn)，說(shuō)明收入差距越大， 貧富兩極分化越嚴(yán)重。反之， 這塊月牙形區(qū)域面積 S 越小，洛倫茲曲線越平緩，月牙彎得越小， 它和對(duì)角線靠得越近，說(shuō)明社會(huì)收入差距越小，貧富兩極分化越不明顯。用 Excel 繪制洛侖茲曲線 , 主要使用面積圖，先繪制絕對(duì)平均區(qū)域的對(duì)角線三角形面積圖，并以某顯著顏色圖案著色。 再繪制洛侖茲曲線，選擇一個(gè)前景色著色，掩蓋前者的一部分以后， 就可見(jiàn)到月牙形的曲邊形， 從而為基尼系數(shù)的計(jì)算做了準(zhǔn)備。 繪制洛侖茲曲線的步驟如下：. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .【步驟 01】：選擇單元格C

5、2:C12 作圖表， 進(jìn)入【圖表向?qū)?-4步驟之 1- 圖表類型】，選擇“面積圖”第一行第一個(gè)“面積圖。顯示各種樹(shù)脂隨時(shí)間或類別而變化的趨勢(shì)線”，如圖1：圖 1【步驟2】：進(jìn)入“下一步”，添加標(biāo)題“洛侖茲曲線”，取消圖例，完成后對(duì)系列、坐標(biāo)軸數(shù)據(jù)格式等格式調(diào)整后所得圖形如圖2：. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 2【步驟 03】：取消網(wǎng)格線，將系列部顏色調(diào)整為黑色斜線條，如圖3：圖 3【步驟 04】：選擇圖表，右鍵選“源數(shù)據(jù)”，添加系列2，其值通過(guò)右端小按鈕選取輸入為“=Sheet2!$B$2:$B$12”，如圖4：. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 4【步驟 05】：確定后，加上 X 軸、 Y 軸標(biāo)

6、題，取消 X 軸數(shù)據(jù)標(biāo)志，調(diào)整系列 2 部顏色，手工使用文本框?qū)懭?O、 A、L、 B、 C和漢字，插入箭頭，并長(zhǎng)按 Ctrl 鍵，將這些加入容和原圖標(biāo)都選中疊加，右鍵選“組合”- “組合”，從而完成洛侖茲曲線圖的繪制，如圖5 所示。. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 52. 基尼系數(shù)洛倫茲曲線常用來(lái)形象化地說(shuō)明問(wèn)題，它不可能用一個(gè)確切的數(shù)字來(lái)表示收入差異的總體水平， 國(guó)際通用的衡量這種水平的最常用的是基尼系數(shù)?；嵯禂?shù)是從洛倫茲曲線推導(dǎo)出來(lái)的，用以測(cè)定洛倫茲曲線背離完全均等狀況的程度?；嵯禂?shù)的計(jì)算是這樣的：設(shè)：洛倫茲曲線和對(duì)角線之間的那塊區(qū)域（圖中斜線區(qū)域）面積為S，絕對(duì)不均等折線和絕對(duì)均等對(duì)

7、角線圍成的三角形OAL區(qū)域的面積為 P基尼系數(shù) G S P。關(guān)于基尼系數(shù)的解讀，應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：當(dāng)收入分配完全均等時(shí)，S0，于是，G0；當(dāng)收入分配完全不均等時(shí)，SP ，G1；現(xiàn)實(shí)生活中，基尼系數(shù)總是介于0 和 1之間，即 0 G 1 ；基尼系數(shù)越大說(shuō)明收入分配越不平等，基尼系數(shù)越小，表明收入分配越趨于均等。聯(lián)合國(guó)有關(guān)組織規(guī)定：若收入的基尼系數(shù) 0.2表示收入分配絕對(duì)平均；收入的基尼系數(shù)介于0.2 0.3表示比較平均；收入的基尼系數(shù)介于0.3 0.4表示相對(duì)合理；收入的基尼系數(shù)介于0.4 0.5表示收入差距較大；收入的基尼系數(shù) 0.6 以上表示收入分配差距懸殊。對(duì)于基尼系數(shù)的具體計(jì)算，關(guān)鍵在于

8、幾個(gè)圖形的面積計(jì)算。其中：OAL的面積為 0.5(OL 是邊長(zhǎng)為1 的正方形的對(duì)角線 ). 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .曲邊形 OALC的面積則不能用初等數(shù)學(xué)的方式求得，可用定積分求曲線OCL下面積。為此，先要確定曲線 OCL方程。由于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不是連續(xù)曲線， 事先也無(wú)確定方程，這些數(shù)據(jù)都是一些離散的點(diǎn)，因此，我們利用Excel 作出它們的散點(diǎn)圖（而不是前面的面積圖），再使用添加趨勢(shì)線的方式，求得這條擬合趨勢(shì)線的方程，再利用定積分求得該曲線下面積。下面，以上面例子的數(shù)據(jù)說(shuō)明求解過(guò)程?！厩蠡嵯禂?shù) 步驟 01 】：選擇單元格 C2:C13,進(jìn)入【圖表向?qū)?-4步驟之1- 圖表類型】對(duì)話框 , 選擇“

9、X Y 散點(diǎn)圖” , 在“下一步”取消圖例，完成后得到圖6 所示 XY 散點(diǎn)圖。選擇散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)，右鍵選擇“添加趨勢(shì)線”，見(jiàn)圖6：圖 6【求基尼系數(shù) 步驟 02 】：在【添加趨勢(shì)線】對(duì)話框中，切換到“類型”選項(xiàng)卡，在“趨勢(shì)預(yù)測(cè) / 回歸分析類型”中，可以根據(jù)題意及定積分計(jì)算方便，選擇“多項(xiàng)式”，“階數(shù)”可調(diào)節(jié)為 2（視曲線與點(diǎn)擬合程度調(diào)節(jié)） ，如圖 7：. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 7【求基尼系數(shù) 步驟 03 】：切換到“選項(xiàng)”選項(xiàng)卡，選中“顯示公式”復(fù)選框，“設(shè)置截距=0”視情況也可選中，如圖 8，確定后，如圖 9，其中的公式，就是通過(guò)回歸求得的擬合曲線的方程。圖 8. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)

10、整理 .圖 9【求基尼系數(shù)步驟 04 】：為求曲邊形OALC的面積， 可用定積分求曲線OCL下面積， 先用不定積分求其原函數(shù)：再求其定積分： F(1)-F(0) 0.335( 此題計(jì)算比較簡(jiǎn)單， 只需口算即可得到解答。 如實(shí)際計(jì)算比較復(fù)雜 , 可再次利用 Excel 輸入公式計(jì)算 , 此處不再贅述。 )即 曲邊形 OALC的面積 =0.335S(月牙形面積 ) OAL的面積 - 曲邊形 OALC的面積 0.5-0.335 0.165【求基尼系數(shù)步驟 05 】：基尼系數(shù)G S( 月牙形面積 ) OAL的面積 0.165 / 0.5. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 . 0.33該基尼系數(shù)介于0.3 0.4

11、表示收入分配相對(duì)合理。求基尼系數(shù)的關(guān)鍵是：其一：使用離散的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出XY散點(diǎn)圖，并用“添加趨勢(shì)線”的方式，求出擬合曲線的方程， 方程的類型和次數(shù)可視擬合程度調(diào)整， 不過(guò)選擇多項(xiàng)式的話， 在之后的使用積分求原函數(shù)的公式比較方便；其二： 在擬合曲線的方程確定后，使用定積分計(jì)算曲線下面積，計(jì)算月牙形面積，最后即可求得基尼系數(shù)?！玖?xí)題； 利用某市2005 年統(tǒng)計(jì)年鑒提供數(shù)據(jù)，繪制當(dāng)年該市洛侖茲曲線圖，并求基尼系數(shù)】表城市居民家庭生活基本情況(2005 ，按收入水平分組)指標(biāo)總平均 低收入戶中等偏下戶中等收入戶中等偏上戶高收入戶調(diào)查戶數(shù)( 戶)1000200200200200200平均每人家庭全部收入

12、( 元 )266771063715853180173035060323表 2作出輔助圖標(biāo)后，所作洛侖茲曲線如圖10：圖 10做散點(diǎn)圖，添加趨勢(shì)線，擬合方程選多項(xiàng)式，次數(shù)分別選擇二次（圖11）、三次 ( 圖 12) 和四次( 圖 13) ，顯然對(duì)于二次曲線，線外數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，三次曲線還有個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)散落在線外，只有四次曲線擬合較好。. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 11 數(shù)據(jù)點(diǎn)落在曲線外較多圖 12 仍有部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)落在曲線外. 學(xué)習(xí)幫手 .專業(yè)整理 .圖 13 數(shù)據(jù)點(diǎn)和曲線擬合較好即采用四次曲線 :432Y= 1.9953X- 2.6705X+ 1.4836X+ 0.1918X曲邊形 OALC的面積 =0.321869S(月牙形面積 ) OAL的面積 - 曲邊形 OALC的面積 0.5-0.321869 0.178135【求基尼系數(shù)步驟 05 】：基尼系數(shù)G S( 月牙形面積 ) OAL的面積 0.178135 / 0.5 0.35627 0.36該基尼系數(shù)介于0.3 0.4表示該市2005 年居民收入分配相對(duì)合理。特別要指出的是： 雖然對(duì)于基尼系數(shù)在我國(guó)研究中的適用性還存在一定的爭(zhēng)議，但作為國(guó)際通用的常用指標(biāo)之一，仍然可以用來(lái)衡量社會(huì)不平等程度的重要指標(biāo)，能夠在一定程度上反映社會(huì)收入分配中存在的問(wèn)題。聯(lián)合國(guó)開(kāi)發(fā)計(jì)劃署（ UNDP）委托中國(guó)發(fā)展研究基金會(huì)組織撰寫的中國(guó)人類發(fā)展報(bào)