1對策論的基本概念

1、1對策論的基本概念對策模型的三個基本要素：1.局中人：參與對抗的各方；2.策略集：局中人選擇對付其它局中人的行動方案稱為策略；某局中人的所有可能策略全體稱為策略集；3 .一局勢對策的益損值：局中人各自使用一個對策就形成了一個局勢，一個局勢決定了各局中人的對策結(jié)果（量化）稱為該局勢對策的益損值齊王賽馬”齊王在各局勢中的益損值表（單位：千金）1對策論的基本概念F面矩陣稱齊王的贏得矩陣：1對策論的基本概念二人有限零和對策（又稱矩陣對策）：局中人為2;每個局中人的策略集的策略數(shù)目都是有限的；每一局勢的對策均有確定的損益值， 并且對同一局勢的兩個局中人的益損值之和為其中：齊王的策略集&=1,2,

2、3,4,5,6,田忌的策略集:S2=1,2,3,4,5,6。311131A=-11111111-11-1111-11-13311-131113零。通常將矩陣對策記為：G=Si,S2,ASi:甲的策略集；S2：乙的策略集;A:甲的贏得矩陣。齊王賽馬”是一個矩陣策略4 2矩陣對策的最優(yōu)純策略在甲方的贏得矩陣中：A=aijmxni行代表甲方策略i=1,2,，m；j行代表乙方策略j=1,2,，n；aij代表甲方取策略i,乙方取策略j,這一局勢下甲方的益損值。此時乙方的益損值為-aj（零和性質(zhì)）。在考慮各方采用的策略時，必須注意一個前提，就是雙方都是理智的，即雙方都是從各自可能出現(xiàn)的最不利的情形選擇一種

3、最為有利的情況作為決策的依據(jù)。5 2矩陣對策的最優(yōu)純策略例：甲乙乒乓球隊進(jìn)行團(tuán)體對抗賽，每隊由三名球員組成，雙方都可排成三種不同的陣容，每一種陣容可以看作一種策略，雙方各選一種策略參賽。比賽共賽三局，規(guī)定每局勝者得1分，輸者得-1分，可知三賽三勝得3分，三賽二勝得1分，三賽一勝得-1分,三賽三負(fù)得-3分。甲隊的策略集為Sl=1,2,3,乙隊的策略集為&=1,2,3。根據(jù)以往比賽的資料，有甲隊的贏得矩陣為A,如下所示，請問這次比賽各隊采用哪種陣容上場最為穩(wěn)妥？6 2矩陣對策的最優(yōu)純策略矩陣 A A 中每行的最小元素分別為 1,1,-3-3, ,-1-1。在這些最少贏得中最好的結(jié)果是 1,

4、1,故甲隊會采取策略1,無論對手采取何策略，甲隊至少彳 4141 分。對于乙隊， 1,2,3 可能帶來的最少贏得，即 A A 中每列的最大元素，分別為 3,1,33,1,3 乙隊會采取2策略，確保甲隊不會超過 1 1 分。1和2分別稱為局中人甲隊、乙隊的最優(yōu)策略。由于雙方必然選擇這一種策略，所以，這種策略又稱為最優(yōu)純策略。這種最優(yōu)純策略只有當(dāng)贏得矩陣 A=A=（a a）中等式成立時，雙方才有最優(yōu)純策略，并把（1, ,2）稱為對策 GG純策略下的解，又稱（1, ,2）為對策 G G 勺鞍點。把其值V 稱之為對策 G=SG=S1,S S2,AA的值。2矩陣對策的最優(yōu)純策略例某單位采購員在秋天決定冬

5、季取暖用煤的儲量問題，已知在正常的冬季氣溫條件下要消耗15噸煤，在較暖和較冷的天氣下要消耗10噸和20噸。假定冬天的煤價隨天氣寒冷程度而有所變化，在較暖和、正常、較冷的氣候條件下每噸煤價分別為10元、15元、20元。又設(shè)冬季時煤炭價格為每噸10元。在沒有關(guān)于當(dāng)年冬季準(zhǔn)確的氣象預(yù)報的條件下，秋天儲煤多少噸能使得單位的支出最少？解：局中人I為采購員，局中人II為大自然，采購員有三個策略，買10噸、15噸、20噸。分別記為1,2,30大自然也有三個策略：暖、正常、冷，分別記為1,2,3。2矩陣對策的最優(yōu)純策略贏得矩陣如下:在此表上計算，有得故（3,3）為對策 G G 勺解，在=-200=-200設(shè)矩

6、陣對策G=S1,S2,A。當(dāng)maxminaijminmaxaij時，不存在最優(yōu)純策略。例：設(shè)一個贏得矩陣如下：min595A=max6策略2866imax89min8當(dāng)甲取策略2,乙取策略1時，甲實際贏得8比預(yù)期的多2,乙當(dāng)然不滿意?？紤]策略1到甲可能取策略2這一點，乙采取策略20若甲也分析到乙可能采取策略2這一點，取策略1,則贏得更多為9。此時，對兩個局中人甲、乙來說，沒有一個雙方均可接受的平衡局勢，其主要原因是甲和乙沒有執(zhí)行上述原則的共同基礎(chǔ)，即maxminaijminmax創(chuàng)。一個自然的想法：對甲（乙）給出一個選取不同策略的概率分布，以使甲（乙）在各種情況下的平均贏得（損失）最多（最少）

7、-即混合策略。求解混合策略的問題有圖解法、迭代法、線性方程法和線性規(guī)劃法等，我們這里只介紹線性規(guī)劃法，其他方法略。例：設(shè)甲使用策略1的概率為Xi,使用策略2的概率為X2,并設(shè)在最壞的情況下，甲贏得的平均值為V（未知）。59A=STEP1861）Xi+X2=1Xi,X202）無論乙取何策略，甲的平均贏得應(yīng)不少于V:對乙取1：5X1+8X2V對乙取2：9X1+6X2V注意V0,因為A&元素為正。STEP2作變換：X1=X1/V;X2=X2/V得到上述關(guān)系式變?yōu)椋篨1+X2=1/V（V愈大愈好）待定5X1+8X219X1+6X21X1,X20所以，V=7返回原問題：X1=X1V=1/3X2=

8、X2V=2/3于是甲的最優(yōu)混合策略為:以1/3的概率選1,以2/3的概率選2,最優(yōu)值V=7。例：求解“齊王賽馬”問題。已知齊王的贏得矩陣A求得建立線性模型：minX1+Xs.t.5X1+8%19X1+6X21X1,X20X1=1/21X2=2/211/V=X1+X2=1/7故不存在純策略問題下的解，可求其混合策略。A中有負(fù)元素，可以取k=2,在A的每個元素上加2得到A如下:建立對G=Si,S2,A)中求甲方最佳策略的線性規(guī)劃如下：Minx1+X2+X3+X4+X5+X6約束條件：5XI+3X2+3X3+X4+3X5+3X613X1+5x2+X3+3x4+3x5+3x613x1+3x2+5x3+

9、3x4+3x5+X613x1+3X2+3X3+5X4+X5+3X61x1+3X2+3X3+3X4+5X5+3X613x1+X2+3X3+3X4+3X5+5X61xi0,i=1,2,6可解得解為：X1=X4=X5=0,X2=X3=X6=0.111,V=3,X1=X4=X5=0,X2=X3=X6=1/3,即X,*=(0,1/3,1/3,0,0,1/3)，所以甲的最優(yōu)策略為作出策略2、3、6的概率都為0.333,.而作出1、4、5的概率為0)止匕時VG=V=3。同樣可以建立對策G=S1,S2,A中求乙方最佳策暗的線性規(guī)劃如下:Miny1+y2+y3+y4+y5+y6約束條件：5y1+3y2+3y3+

10、3y4+y5+3y613y1+5y2+3y3+3y4+3y5+y6w13y1+y2+5y3+3y4+3y5+3y6w1y1+3y2+3y3+5y4+3y5+3y613y1+3y2+3y3+y4+5y5+3y613y1+3y2+y3+3y4+3y5+5y6110y1+yz+12y3V1x1,x2,x30y1,y2,y30得到X1=0.25,x2=0.50,x3=0.25;_y1=0.25,y2=0.50,y3=0.25。即此對策的解為X*=(0.25,0.50,0.25)T,7=(0.25,0.50,0.25)1V=V-k=0。例4甲乙兩個企業(yè)生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，甲企業(yè)可以采取的策略措施有: :

11、（1 1）降低產(chǎn)品價格；提高產(chǎn)品質(zhì)量；（3 3）推出新產(chǎn)品。乙企業(yè)考慮采取的策略措施有（1 1）增加廣告費用；（2 2）增設(shè)維修網(wǎng)點，加強(qiáng)售后服務(wù)；（3 3）改進(jìn)產(chǎn)品性能。由于甲乙兩個企業(yè)財力有限，都只能采取一個措施。假定這兩個企業(yè)所占有的市場總份額一定，由于各自采取的措施不同，通過預(yù)測今后兩個企業(yè)的市場占有份額變動情況如下表，試求出這兩個企業(yè)各自的最優(yōu)策略。解：易知此對策無純策略意義下的解。把A的每一個元素加上12,得到A建立線性規(guī)劃模型如下:Minx1+X2+X3Maxyi+yz+y3S.T.22X1+20 x2)16x1+17x2+22x3115x1+7x2+20 x31x1,x2,x3

12、0得到：22y1+6y2+15y3120y1+17y2+7y3122y2+20y30 x1=0.027,x2=0.020,x3=0.023;y1=0.0225,y2=0.0225,y3=0.025。V=14.29。x1=0.3858,x2=0.2858,x3=0.3286;y=0.3215,y2=0.3215,y3=0.3572即此對策的解為X*=(0.3858,0.2858,0.3286)T,Y*=(0.3215,0.3215,0.3572)NKG-k=2.29o優(yōu)超原則：假設(shè)矩陣對策甲方贏得矩陣若存在兩行（列），G=S1,S2,A)A=aijmns行(列)的各元素均優(yōu)于t行(列)的元素，即asjatjj=1,2n(aisaiti=1,2m)稱甲方策略s優(yōu)超于t（s優(yōu)超于t）。優(yōu)超原則：當(dāng)局中人甲方的策略t被其它策略所優(yōu)超時，可在其贏得矩陣A中劃去第t行（同理，當(dāng)局中人乙方的策略t被其它策略所優(yōu)超時，可在矩陣A中劃去第t歹U），如此得到階數(shù)較小的贏得矩陣A,其對應(yīng)的矩陣對策G=Si,S2,A與G=Si,S2,A等價，即解相同。例.設(shè)甲方的益損值，贏得矩陣為3250A=739被第3、4行所優(yōu)超被第3行所優(yōu)超46875.560883得到73959Ai