略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)

1、略談數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的解題與教學(xué)杭州市蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué)沈良311202（本文發(fā)表于數(shù)學(xué)通訊教師刊2012 年第 12 期）1 問題的提出例 1對(duì)任意實(shí)數(shù) x0, y0 ，若不等式 xxy a(x2 y) 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的最小值為（）A.62B.2 2C.62D. 24443這是市里高三期末統(tǒng)測(cè)時(shí)的一道選擇題，或許是筆者的孤陋寡聞， 對(duì)此題筆者似乎還是初次相見。 求解中分離變量后轉(zhuǎn)化為求的函數(shù)xxy 的最大值， 那么如何求這樣一個(gè)函數(shù)x2y的最值呢。筆者正是抓住這個(gè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征展開思考，“ xxy ”是個(gè)二元齊次函數(shù)，x2y“二元”與“齊次”都成為解題的突破口，依此分別從以下三方面來思考。

2、xxxxyyyt2tx（設(shè)t ），然后方法 1 抓住“齊次”特征，巧施換元。=xx2 y2t 22yy求導(dǎo)解決。1 ykx1 yxxyxkxxk方法 2 抓住“ xy ”結(jié)構(gòu)，巧用基本不等式。k2=x2 yx2 yx2 y2 k12 k1xyxy22k ，要使22k 為常數(shù)，只要x2 yx2 y方法 3抓住“二元”結(jié)構(gòu)，巧賦“一元”函數(shù)。設(shè)2k12 2k ，即可求解。12xxyf ( x)（其中 y為參數(shù)），然x2 y后求導(dǎo)解決 （這里運(yùn)用的是高等數(shù)學(xué)里二元函數(shù)用偏導(dǎo)求最值的想法，對(duì)中學(xué)生不做要求） 。從以上的解題分析中，不難使我們感受到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)解題的幫助，往往特殊的結(jié)構(gòu)特征會(huì)成為解題的

3、突破口。本例中，“齊次式”成為換元的理由、“xy ”成為使用基本不等式的原因、 “二元”成為“降維”的因素，所以正是抓住了這些特征明顯的結(jié)構(gòu)才使得問題迎刃而解。2 何謂“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”文 1 中指出，通常將數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為兩大類：一類為純數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即純粹為了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要而提出的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 如代數(shù)結(jié)構(gòu)、 序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等。 另一類為一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能而強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛關(guān)聯(lián)性， 在此前提下提出的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 如與數(shù)的知識(shí)有關(guān)的復(fù)數(shù)的分類結(jié)構(gòu)、 方程或方程組的同解變換結(jié)構(gòu)、 數(shù)學(xué)應(yīng)用上的各式各樣的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)、解題或證明的程序結(jié)構(gòu)等等。本文闡述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)更傾向于后者，

4、泛指數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等內(nèi)容中表現(xiàn)的外在形式和蘊(yùn)含的內(nèi)在本質(zhì)、邏輯思維的統(tǒng)一體，特別指特征明顯、 屬性顯然、易于識(shí)別聯(lián)系的結(jié)構(gòu)。這是一個(gè)模糊的概念，它可以是某一個(gè)具體的代數(shù)式、幾何圖形，也可以是某一種抽象的模型結(jié)構(gòu)、推理方法等。3結(jié)構(gòu)觀下的解題上述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在解題中往往起著關(guān)鍵作用，解題者可以通過對(duì)結(jié)構(gòu)的感知、識(shí)別、 聯(lián)想、歸納、類比、轉(zhuǎn)化、建構(gòu)等方式實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)。而對(duì)其應(yīng)用解決一般經(jīng)歷如下過程：感知結(jié)構(gòu)、識(shí)別特征；聯(lián)想結(jié)構(gòu)、尋找聯(lián)系；應(yīng)用結(jié)構(gòu)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。3.1感知結(jié)構(gòu)、識(shí)別特征感知結(jié)構(gòu)、 識(shí)別特征指解題者對(duì)所解決的結(jié)構(gòu)能有效識(shí)別，識(shí)別其形式、特征、功能、可能的解決策略等，

5、這是解題的基礎(chǔ)。這也就要求解題者有相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)，否則解題也將失敗。如上中，解題者若不明遇到齊次式可以嘗試換元那方法1 就會(huì)失敗，若不明遇“ xy ”可嘗試不等式那方法 2 就會(huì)失敗，若不明遇“二元”可用參變量法“降維”那方法 3 就會(huì)失敗，所以解題者的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)成為解題的基礎(chǔ)。另一方面，對(duì)結(jié)構(gòu)的不同識(shí)別會(huì)產(chǎn)生不同的策略，這也正是例1 中有三種解法的原因，不同策略又會(huì)帶來不同的優(yōu)越性，從這個(gè)角度上說如果有可能解題者應(yīng)對(duì)解題策略做個(gè)優(yōu)劣分析，從而博觀約取、擇優(yōu)入取。3.2聯(lián)想結(jié)構(gòu)、尋找聯(lián)系聯(lián)想結(jié)構(gòu)、 尋找聯(lián)系指解題者對(duì)識(shí)別的結(jié)構(gòu)通過聯(lián)想的方式將其與相關(guān)的知識(shí)、方法緊密聯(lián)系起來。往往解題中一些特征明

6、顯的結(jié)構(gòu)，成為連接知識(shí)點(diǎn)、方法鏈的紐帶。 通過這些結(jié)構(gòu)，使解題者做出某種直覺判斷與聯(lián)想思考，從而實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。例 2.ABC 中，已知內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a、 b、 c ，且 a1, A,求ABC 面3積的最大值。分析： S ABC1 bc sin A ，而“ bc ”會(huì)令我們聯(lián)想到關(guān)于角A 的余弦定理，即有2a 2b2c 2bc ，而對(duì)于 “ b2c 2 ”、“ bc ”又會(huì)令我們聯(lián)想到基本不等式，轉(zhuǎn)化為 “ bc ”，即 1b 2c2bcbc ，從而解決問題。從以上的分析中，不難看到正是通過“bc ”這個(gè)因子，由面積公式聯(lián)想到余弦定理再聯(lián)想到基本不等式，所以“ bc ”這

7、個(gè)結(jié)構(gòu)式是座“橋” ，通過聯(lián)想搭起了三者的聯(lián)系。那么如何來實(shí)現(xiàn)聯(lián)想？似乎知識(shí)總在那里，關(guān)鍵看解題者能否提取。這就要求解題者：其一能識(shí)別結(jié)構(gòu)， 即前文所述對(duì)結(jié)構(gòu)的有效識(shí)別，特別是對(duì)特征明顯的結(jié)構(gòu)的識(shí)別。如本例中，通過面積公式產(chǎn)生的“bc ”這個(gè)結(jié)構(gòu)，就要求在解題者熟悉余弦定理與不等式前提下才能對(duì)“ bc ”能做出識(shí)別、判斷與轉(zhuǎn)化。其二能建立知識(shí)的框架體系，在這個(gè)體系下熟悉知識(shí)結(jié)構(gòu)間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、遷移、發(fā)展等。如對(duì)高中生而言就需要建立函數(shù)、不等式、方程的聯(lián)系，建立向量、幾何、代數(shù)、三角間的聯(lián)系，建立求函數(shù)最值的模型結(jié)構(gòu)與匹配的方法間的聯(lián)系等。3.3應(yīng)用結(jié)構(gòu)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)應(yīng)用結(jié)構(gòu)、 實(shí)現(xiàn)目標(biāo)指解題者對(duì)結(jié)

8、構(gòu)識(shí)別、聯(lián)想之后， 在核心思想與方法的指導(dǎo)下進(jìn)一步應(yīng)用結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)。那么具體如何應(yīng)用結(jié)構(gòu)呢？這里主要提及兩個(gè)關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化與合情推理。（ 1）轉(zhuǎn)化結(jié)構(gòu)，尋求化歸轉(zhuǎn)化一詞在數(shù)學(xué)中內(nèi)涵非常豐富，未知與已知的轉(zhuǎn)化、簡(jiǎn)單與復(fù)雜的轉(zhuǎn)化、正向與反向的轉(zhuǎn)化、 一般與特殊的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化等等。具體方法有等價(jià)變形、換元法、 代換法、構(gòu)造法等。 但另一方面轉(zhuǎn)化又具有靈活性和多樣性的特點(diǎn)， 沒有統(tǒng)一的模式可遵循， 很多時(shí)候容易導(dǎo)致解題者陷入困境。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下，要求解題者能充分依據(jù)問題提供的信息，立足結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)的特征，利用動(dòng)態(tài)的思維去實(shí)現(xiàn)問題的有效轉(zhuǎn)化。例 3.（ 2012 浙江卷理科高考第15 題）ABC 中，

9、 M 是 BC 的中點(diǎn)， AM3 , BC10 ，則 AB AC =_.分析：本題蘊(yùn)含了深刻的轉(zhuǎn)化思想，而且從結(jié)構(gòu)的不同角度分析，會(huì)引申出諸多的思考。從向量法分析，則可以考慮未知與已知的互化。若“未知化已知”則只需將ABAC轉(zhuǎn)化為 ( AMMB ) ( AMMC ) 求解；若“已知化未知” ，則可以將 AM 、BC 轉(zhuǎn)化為 AB 、AC ，事實(shí)上有 2 AMAB AC、BCACAB ，通過平方容易求得AB AC 的值，這里的轉(zhuǎn)化正是向量線性運(yùn)算中的平行四邊形法則結(jié)構(gòu)。從幾何法分析，則要尋求在“AM3,BC10 ”條件下 AB、 AC 究竟存在著怎樣的聯(lián)系，它對(duì) ABAC 問題的解決到底起著什么

10、作用。事實(shí)上，不難令我們想到尋找AMC 、AMB之間的聯(lián)系，觀察到AMC 與AMB的互補(bǔ)關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為cosAMC cos AMB 0，得到 AB 2AC 268 。而“ AB 2AC 2 ”這一結(jié)構(gòu)對(duì)于求解ABAC 又會(huì)令我們聯(lián)想到2( ACAB)2222AB AC 或者是 AB AC =BCABAC222| AB | AC | cosBAC = ABACBC，殊途同歸， 或許這也就是結(jié)構(gòu)帶給我們的魅力。2從解析法分析，則需要將形轉(zhuǎn)化為數(shù)研究，即利用解析法探究常量（定點(diǎn)）與變量（動(dòng)點(diǎn)）的聯(lián)系。本題ABC中 B、C兩點(diǎn)為定點(diǎn)，A 為動(dòng)點(diǎn)，但在AM3 的條件下A 的軌跡為圓（去掉兩點(diǎn)），所以當(dāng)

11、以M為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系時(shí)，設(shè)A 坐標(biāo)為( x, y)，則有“ x2y 29 ”，而 ABAC 恰恰又可以轉(zhuǎn)化為 “x 2y 225 ”，問題迎刃而解。另一方面，若從點(diǎn)A 的軌跡為圓這個(gè)結(jié)構(gòu)思考，可設(shè)A 坐標(biāo)為 (3cos,3sin) 解決問題。從特殊值法分析，可將一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，即將ABC特殊化為ABAC的等腰三角形，從而猜想結(jié)果。盡管略失嚴(yán)謹(jǐn)，但也不失為一種智慧的體現(xiàn)。不難看出結(jié)構(gòu)觀下，解題者通過結(jié)構(gòu)特征的指引能做出更合理有效的轉(zhuǎn)化，從而使轉(zhuǎn)化的方向、 途徑變得更清晰。本例中， 向量線性運(yùn)算的平行四邊形法則結(jié)構(gòu)使未知化已知或已知化未知變得更清晰；幾何法中得到的定值“AB2AC 2

12、”使“ AB AC ”的轉(zhuǎn)化變得更清晰；解析法中形轉(zhuǎn)數(shù)，數(shù)的研究中“x 2y2 ”的出現(xiàn)使“ AB AC ”求解變得更清晰，等等。 可以看到， 結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)化中起著一種高屋建瓴的作用，所以對(duì)結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化應(yīng)立足結(jié)構(gòu)特征，并利用動(dòng)態(tài)的思維適時(shí)做出調(diào)整。（ 2）合情推理結(jié)構(gòu)，尋求猜想數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)觀下，結(jié)構(gòu)的另一種重要的處理方式是合情推理，即解題者立足結(jié)構(gòu)特征，通過歸納與類比的方式進(jìn)一步認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)、 應(yīng)用結(jié)構(gòu)。 歸納， 體現(xiàn)的是對(duì)結(jié)構(gòu)從特殊到一般地認(rèn)識(shí)過程；類比，體現(xiàn)的是對(duì)相似結(jié)構(gòu)處理方法、過程或者結(jié)果等的遷移過程。例 4.數(shù)列 an 中， a1 =1，anan 11 n， Sna 5a252 a35n 1 a，

13、則( )1n5n an56Sn_ .n5n a n分析 1：本題中數(shù)字 “ 5”起了一個(gè)橋梁的作用， 溝通了 an a n(1) n6Sn1、Sn 、5n三者的聯(lián)系。同時(shí)，為了利用結(jié)構(gòu)式“anan 1(1) n ”，可類比“錯(cuò)位相減法” ，使用“錯(cuò)5位相加法”實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，有：Sna15a25 2 a35n 1 an ，5Sn5a15 2 a25n 1 an 15n an +，得 6Sn 5n an a15(a1a2 ) 52 (a2a3 )5n 1 (an1an ) = n ，從而原式為 1。那本題何以由類比錯(cuò)位相減法想到錯(cuò)位相加法呢？難道真是靈感嗎。事實(shí)上錯(cuò)位相減法的本質(zhì)是錯(cuò)位相減中使指數(shù)式次

14、數(shù)相等的作差， 而后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和； 而本題中通過“5”的次數(shù)觀察，乘“ 5”錯(cuò)位之后可觀察到“ 5”的次數(shù)相等，從而聯(lián)想到錯(cuò)位相減法，在“ana n 1( 1 ) n5”條件下就不難求解，這就是由結(jié)構(gòu)派生出的過程與方法的類比。分析 2：本題若從n=1 、2 開始進(jìn)行歸納猜想也能猜得結(jié)果。但引起我們思考的是為什么可以用歸納猜想解決問題，背后隱藏的一般性思考是什么。不難發(fā)現(xiàn)是數(shù)列結(jié)構(gòu)式中“ n ”起了作用：“ n ”是自然數(shù)，可以從1,2,3 開始進(jìn)行特殊化列舉，從而特殊化結(jié)果可以幫助我們猜想一般性結(jié)果。一般地，數(shù)列問題中對(duì)結(jié)構(gòu)式中“ n ”的特殊化解讀成為我們認(rèn)識(shí)數(shù)列、解決數(shù)列問題的一種重

15、要方法。這正是結(jié)構(gòu)中變量的作用，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由靜到動(dòng)解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想。4 結(jié)構(gòu)觀下的教學(xué)結(jié)構(gòu)觀下的教學(xué)，指教學(xué)中，更突顯結(jié)構(gòu)的地位，使學(xué)生的學(xué)習(xí)、解題、反思等學(xué)習(xí)活動(dòng)都能適度地從結(jié)構(gòu)的形式、 特征與功能等角度出發(fā)思考， 從而進(jìn)一步優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、完善學(xué)生的數(shù)學(xué)框架等。而要使得學(xué)生的學(xué)習(xí)能從結(jié)構(gòu)角度深刻思考，則需在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化結(jié)構(gòu)。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)是外在形式和內(nèi)在本質(zhì)的統(tǒng)一體，對(duì)于外在形式或許記憶就能區(qū)分聯(lián)系，但對(duì)于內(nèi)在本質(zhì)的掌握就要求學(xué)生必須內(nèi)化。內(nèi)化結(jié)構(gòu)具體包括內(nèi)化結(jié)構(gòu)的特征是什么、其相應(yīng)處理方法是什么、 為什么可以這樣處理、其相關(guān)相近結(jié)構(gòu)又是什么、如若適度

16、變式其影響又是什么等等，只有當(dāng)學(xué)生真正深刻理解這一系列問題時(shí)，才能做到“心中既有結(jié)構(gòu)、心中又無結(jié)構(gòu)” ，真正實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)觀下的解題與學(xué)習(xí)。而要實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)的深刻內(nèi)化，一方面，需在教學(xué)中更多地用系統(tǒng)論觀點(diǎn)與高觀點(diǎn)去引領(lǐng)結(jié)構(gòu)觀教學(xué)： 其一、 多滲透數(shù)學(xué)思想方法， 體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在結(jié)構(gòu)觀解題中的統(tǒng)攝作用，如前文所述的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及歸納、類比的猜想方法等；其二、多滲透通解通法，體會(huì)通解通法在結(jié)構(gòu)觀解題中的一般意義，如前文所述的換元法、錯(cuò)位相減法等；其三、多溝通知識(shí)間聯(lián)系， 體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)、 方法的有機(jī)整體性， 從而使數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)脈絡(luò)更清晰；其四、多進(jìn)行變式教學(xué)，體會(huì)變式教學(xué)下數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的發(fā)生發(fā)展、異化遷移等。另一方面，需在教學(xué)中