鄞中物理奧賽培訓(xùn)教材第一版知識(shí)框架

1、第一講 力的種類(lèi)和受力分析【賽點(diǎn)知識(shí)】一、自然界中常見(jiàn)的力我們?cè)谌粘Ｉ钪袝?huì)遇到各種各樣的力，如重力、繩中的張力、摩擦力、地面的支撐力和空氣的阻力等，從最基本的層次看，上述各種力屬于四大范疇：（1）引力；（2）電磁力；（3）弱力；（4）強(qiáng)力。這里我們只介紹開(kāi)頭列舉的那幾種常見(jiàn)的力。（一）萬(wàn)有引力宇宙間存在于任何兩個(gè)有質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)之間的相互吸引力稱(chēng)萬(wàn)有引力。式中，Nm2/kg2 ，為萬(wàn)有引力常量；為A，B兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，表示兩質(zhì)點(diǎn)的距離。重力來(lái)源于地球?qū)ξ矬w的吸引。在地球表面附近，物體的重力大小，方向豎直向下。物體的各個(gè)部分都受到重力的作用，我們把它等效地認(rèn)為是作用在物體的重心上。在一般情況下，在地

2、球表面附近的小范圍可以認(rèn)為重力是不變的。若在大范圍內(nèi)考慮，并計(jì)及地球自轉(zhuǎn)的影響，則同一物體的重力是可變的，重力將隨距地面的高度、不同的緯度而不同，它實(shí)際上是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力。（二）彈力物體在受力產(chǎn)生形變時(shí)，有恢復(fù)原狀的趨勢(shì)，這種抵抗外力力圖恢復(fù)原狀的力就是彈力。對(duì)于彈簧的彈力，在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力和彈簧伸長(zhǎng)（或壓縮）的長(zhǎng)度成正比式中，為彈簧的勁度系數(shù)，由彈簧本身性質(zhì)所決定（如匝數(shù)、材料及彈簧的粗細(xì)等）；為彈簧的形變量，負(fù)號(hào)表示彈力的方向與形變的方向相反，彈簧伸長(zhǎng)時(shí)取正。其它彈力的大小只能據(jù)狀態(tài)求。彈力的方向：應(yīng)為恢復(fù)形變的方向，在實(shí)際問(wèn)題中可理解為垂直接觸面的方向；對(duì)繩子或柔軟體，沿繩方

3、向；對(duì)二力桿則沿桿方向。彈簧的連接：（1）彈簧的串聯(lián)：將勁度系數(shù)分別為的幾個(gè)彈簧串聯(lián)，串聯(lián)后等效的勁度系數(shù)為，則。（2）彈簧的并聯(lián)：將勁度系數(shù)分別為的幾個(gè)彈簧并聯(lián)，在形變相同的情況下，并聯(lián)后等效的勁度系數(shù)為，則。（三）摩擦力兩個(gè)相互接觸的物體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)或者有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，這兩個(gè)物體的接觸面上就會(huì)出現(xiàn)阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的進(jìn)行或阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)發(fā)生的力，這就是摩擦力。前者是滑動(dòng)摩擦力，后者是靜摩擦力。方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)或相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向相反，沿接觸面的切線(xiàn)方向。靜摩擦力大小： 式中，為最大靜摩擦力，；為靜摩擦系數(shù)，它由相互接觸物體的質(zhì)料和表面情況決定，并且有?；瑒?dòng)摩擦力大?。?摩擦力的起因及微觀機(jī)理，尚有許

4、多未知領(lǐng)域，有待進(jìn)一步探討。但實(shí)驗(yàn)指出，接觸面過(guò)于粗糙或過(guò)于光滑又清潔時(shí)，摩擦因數(shù)都會(huì)增大。相對(duì)速度過(guò)小或過(guò)大。滑動(dòng)摩擦因數(shù)也要變化，不過(guò)在通常情況下，這種變化不明顯，可以忽略不計(jì)。所以在一般的分析計(jì)算中，都認(rèn)為摩擦因數(shù)不受接觸面積、接觸面粗糙程度和滑動(dòng)速度的影響，一般給出的摩擦因數(shù)，都是在通常條件下，有實(shí)驗(yàn)測(cè)出的平均值。滾動(dòng)摩擦：滾動(dòng)摩擦的產(chǎn)生是由圓柱體和地面接觸處的形變引起的。滾動(dòng)摩擦一般遠(yuǎn)小于滑動(dòng)摩擦，所以它對(duì)物體的影響我們常不予考慮。以上談的都是固體之間的摩擦問(wèn)題，下面簡(jiǎn)短談?wù)劻黧w與固體之間的摩擦。流體（氣體或液體）不會(huì)對(duì)與它相對(duì)靜止的物體施加摩擦力，但要對(duì)在其中運(yùn)動(dòng)的物體施加阻力。粗

5、略地說(shuō)，在流體的粘滯性較大，運(yùn)動(dòng)物體較小、較慢的情況下，阻力正比于和粘滯性（分別為運(yùn)動(dòng)速度，橫截面積）；在相反的情況下，阻力正比于和，但與粘滯性無(wú)關(guān)。通常在空氣中墜落、行駛或飛翔屬于后一種情況。二、受力分析研究力學(xué)問(wèn)題的第一步工作就是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，正確的受力分析是解力學(xué)問(wèn)題的前提。受力分析可按三種不同性質(zhì)的力依次進(jìn)行，簡(jiǎn)稱(chēng)四步曲。（1）先確定研究對(duì)象，并將“對(duì)象”隔離出來(lái)，必要時(shí)“轉(zhuǎn)換”研究對(duì)象。（2）分析“對(duì)象”受到的外力，按先重力、次彈力、再摩擦力的順序進(jìn)行分析，不要邊分析邊處理力，畫(huà)出示意圖。（3）根據(jù)具體情況將力的合成或分解。（4）寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)條件，解方程，而后分析討論結(jié)果。【賽

6、題精析】例1均勻長(zhǎng)棒一端擱在地面上，另一端用細(xì)線(xiàn)系在天花板上，如圖所示。若細(xì)線(xiàn)豎直，試分析棒的受力情況。例2如圖所示，木板A質(zhì)量為M，以相對(duì)地面的速度在水平面上向東運(yùn)動(dòng)，木板上放一質(zhì)量為的木板B，各接觸面間滑動(dòng)摩擦因數(shù)為，當(dāng)木塊B也有相對(duì)地面向東的速度時(shí)，試分析A、B木塊的受力情況。例3如圖所示，質(zhì)量為的物體恰好能在傾角為的固定斜面上勻速下滑，如在物體上施加一個(gè)力使物體沿斜面勻速上滑，為了使力取得最小值，這個(gè)力與斜面的傾斜角為多大？這個(gè)力的最小值是多少？【習(xí)題精選】1 畫(huà)出圖中各種情況下靜止物體A的受力示意圖（小球均光滑）。2 如圖所示的皮帶傳動(dòng)裝置中，O1 是主動(dòng)輪，O2是從動(dòng)輪，A，B分別

7、是皮帶上與兩輪接觸的點(diǎn)，C，D分別是兩輪邊緣與皮帶接觸的點(diǎn)（為清楚起見(jiàn)，圖中將兩輪與皮帶畫(huà)得略為開(kāi)些，而實(shí)際上皮帶與兩輪是緊密接觸的）。當(dāng)O1順時(shí)針起動(dòng)時(shí)，若皮帶與兩輪間不打滑，則A，B，C，D各點(diǎn)所受摩擦力的方向分別是（ ）A向上、向下、向下、向上B向下、向上、向上、向下C向上、向上、向下、向下D向下、向下、向上、向下3 如圖所示，兩木塊的質(zhì)量分別為和，兩輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)分別為和，上面木塊壓在上面的彈簧上（但不拴接），整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)緩慢向上提上面的木塊，直到它剛離開(kāi)上面彈簧，在這過(guò)程中下面木塊移動(dòng)的距離為（ ）ABCD4 質(zhì)量為的小木塊，停放在水平地面上，它與地面的靜摩擦因數(shù)為，

8、一人想用最小的作用力使木塊移動(dòng)，則最小的作用力=_。5 如圖所示，兩根勁度系數(shù)分別為和的輕彈簧豎直懸掛，下端用光滑細(xì)繩連接，把一光滑的輕滑輪放在細(xì)繩上，求當(dāng)滑輪下掛一重為的物體時(shí)，滑輪下降的距離多大？6 如圖所示，質(zhì)量為的木塊與水平面間無(wú)摩擦，靜止時(shí)各彈簧均處于原長(zhǎng)，在圖中兩種情況下，求受一水平向右的力作用平衡后，木塊移動(dòng)的距離。7 如圖所示，人字形梯置于鉛垂平面內(nèi)，A，B兩處相同，當(dāng)人爬至D處時(shí)系統(tǒng)失去平衡，此時(shí)A，B兩處何處先滑動(dòng)。第二講 有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體平衡【賽點(diǎn)知識(shí)】力可以使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的各點(diǎn)都沿圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的中心在同一直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)叫轉(zhuǎn)動(dòng)軸，而一個(gè)力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的

9、效果取決于力矩（力×力臂）。如果有幾個(gè)力作用在物體上，那么這幾個(gè)力共同對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果取決于它們力矩的代數(shù)和，力矩的代數(shù)和不等于零，物體將作變速轉(zhuǎn)動(dòng)；力矩的代數(shù)和等于零，物體將保持靜止或勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)。實(shí)驗(yàn)證實(shí)：有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和等于零或者說(shuō)合力矩為零，即 或 【賽題精析】例1由邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形均勻薄板構(gòu)成“硬封面簿”，夾在水平放置的、半徑為的光滑圓木上。兩板用帶有鉸鏈的輕桿相連結(jié)，此系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求兩板間的夾角為多大？例2離地面高cm處，水平軸P上裝有均勻桿，桿的長(zhǎng)度cm，質(zhì)量kg，桿偏離豎直方向夾角，靠在位于地面上的半徑cm的球面上，整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，

10、試求球與地面之間以及球與桿之間的摩擦力。例3一支桿秤，其秤錘已丟失，僅留下桿秤及一根細(xì)線(xiàn)，不用其他器材，如何確定丟失的秤錘的質(zhì)量？例4如圖所示，三根長(zhǎng)度均為的輕桿用鉸鏈連接并固定在水平天花板上的A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)相距為，今在鉸鏈C上懸掛一個(gè)質(zhì)量為的重物，要使CD桿保持水平，則在D點(diǎn)上應(yīng)施的最小力為多大？【習(xí)題精選】1 如圖所示，重球置于一光滑木板AB和光滑豎直墻壁之間，木板AB重力不計(jì)，可繞固定光滑鉸鏈A轉(zhuǎn)動(dòng)，在B端施一始終豎直向上的力，使B端緩慢落下，直至AB成水平位置，這個(gè)過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（ ）A力及其力矩都變大B力及其力矩都變小C力變大，力矩變小D力變小，力矩變大2 一均勻的

11、直角三角形木板ABC，可繞通過(guò)C點(diǎn)的水平軸豎直于紙面轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，現(xiàn)用一始終沿直角邊AB的作用于A點(diǎn)的力，使BC邊緩慢地由水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置，在此過(guò)程中，力的大小隨角變化的圖線(xiàn)是圖（ ）3 如圖所示，兩根均勻桿AB和CD，長(zhǎng)均為，重均為，AB桿的A的端用鉸鏈固定在墻壁上，其端與CD桿的C端用鉸鏈連接在一起，使兩根桿均可在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)于桿上某點(diǎn)施一豎直向上的力，使AB桿和CD桿都保持水平，那么施力的作用點(diǎn)到桿的A端的距離為多少？所施加的大小又為多少？4 有六個(gè)完全相同的剛性長(zhǎng)條薄片，其兩端下方各有一個(gè)小突起，薄片及突起的重力均可不計(jì)，現(xiàn)將六個(gè)薄片架在一只水平的碗口上，使每個(gè)薄片一端的小

12、突起搭在碗口上，另一端的小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯視如圖所示，若將一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)放在薄片上的一點(diǎn)，這一點(diǎn)與此薄片中點(diǎn)的距離等于它與小突起的距離，求薄片中點(diǎn)所受的壓力。5 有一長(zhǎng)為，重為的均勻桿AB，A端頂在豎直的粗糙墻壁上，桿端與墻面間的靜摩擦系數(shù)為，B端用一強(qiáng)度足夠且不可伸長(zhǎng)的繩懸掛，繩的另一端固定在墻壁C點(diǎn)，木桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為，如圖所示，求：（1）桿能保持平衡時(shí)，與應(yīng)滿(mǎn)足的條件，（2）桿保持平衡時(shí)，桿上有一點(diǎn)P存在，若在A點(diǎn)與P點(diǎn)間任一點(diǎn)懸掛重物，則當(dāng)重物的重量足夠大時(shí)總可以使平衡破壞，而在P點(diǎn)與B點(diǎn)之間任一點(diǎn)懸掛任意重量的重物，都不能使平衡破壞，求出這一點(diǎn)P與A點(diǎn)

13、的距離。6 輕質(zhì)橫桿OB，O端用鉸鏈固定在墻上，B點(diǎn)用輕繩拉緊，使桿處于水平狀態(tài)，在B點(diǎn)掛重為的物體，如圖所示，AB和OB的夾角為，在把重物的懸點(diǎn)向O端移動(dòng)的過(guò)程中，求墻對(duì)桿的作用力的最小值。7 三個(gè)直徑和重力都相同的圓木柱垛在一起，如圖所示。問(wèn)：圓木柱之間摩擦因數(shù)最小為何值時(shí)，它們才不會(huì)滾散？（設(shè)圓木在地面上不可能滑動(dòng)）8 一根長(zhǎng)度為的桿AB重為，B端壓在粗糙的地面上，A端用一根足夠牢的輕繩斜拉在地上，繩與桿的夾角為，如圖所示，在離B端處有一水平作用力，問(wèn)：（1）桿B端與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)至少為多大，才能維持桿靜止？（2）如果B端與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，那么在AB上有一點(diǎn)D，在AD之間不

14、論施加上多大的水平力，都不會(huì)破壞AB桿的平衡，求D點(diǎn)的位置。9 人對(duì)均勻細(xì)桿的一端施加力，方向垂直于桿，要將桿從地板上慢慢地?zé)o滑動(dòng)地抬到豎直位置，試求桿與地板間的最小摩擦系數(shù)。10 如圖所示，用一段橡皮管將質(zhì)量為的鋼噴管接到豎直水管的一端，試問(wèn)：水的消耗量為多少才使噴管處于水平位置？（噴管的橫截面積為，長(zhǎng)度為，摩擦不計(jì)）11 三根重為，長(zhǎng)為的均質(zhì)桿對(duì)稱(chēng)擱在地上，底端相距也均為，如圖所示，求：（1）A桿頂端所受作用力的大?。浚?）若一重為的人坐在A桿中點(diǎn)，則A桿頂端所受作用力變?yōu)槎嗌伲?2 （山東省1979年復(fù)賽題）今用一均勻的長(zhǎng)為、重為的撬棒把一塊長(zhǎng)為、重為的均勻預(yù)制板支起達(dá)平衡位置，如圖所示

15、，問(wèn)垂直作用于撬棒上端點(diǎn)的作用力是多少？（假定預(yù)制板與撬棒的接觸處是光滑的，地面是粗糙的，角和角都是已知的）第三講 一般物體的平衡【賽點(diǎn)知識(shí)】一般物體的平衡條件是指物體既滿(mǎn)足平動(dòng)的平衡條件，又滿(mǎn)足轉(zhuǎn)動(dòng)的平衡條件，即其中，是指所有力對(duì)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和為零，在滿(mǎn)足，的條件下，可以證明，當(dāng)所有力對(duì)于某一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和為零時(shí)，對(duì)任一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和都等于零。因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)軸O，使方程得以簡(jiǎn)化。上面所表示的只是平衡方程的基本形式，并不是唯一形式。平面一般力系的平衡方程還可以表示為以下兩種形式。1兩個(gè)力矩平衡方程形式，即三個(gè)平衡方程中有兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程，可寫(xiě)為：其中，A

16、，B兩點(diǎn)的連線(xiàn)AB不能與軸垂直。因?yàn)闈M(mǎn)足時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，只可能簡(jiǎn)化為通過(guò)A點(diǎn)的一個(gè)合力。當(dāng)也同時(shí)被滿(mǎn)足時(shí)，若有合力，則它必通過(guò)A，B兩點(diǎn)。但因?yàn)檫B線(xiàn)AB不能與軸垂直，故當(dāng)也成立時(shí)，就充分證明了力系的合力必成立。故其一定是平衡力系，如圖所示。2三個(gè)力矩平衡方程形式，即三個(gè)平衡方程都是力矩方程，可寫(xiě)為：其中，A，B，C三點(diǎn)不能共線(xiàn)。這一結(jié)論讀者可自行論證。這樣，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，每一種形式都只包含有三種獨(dú)立方程。因此，對(duì)一個(gè)受平面一般力系作用的平衡物體，可以也只能列出三個(gè)平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。任何第四個(gè)方程都是前三個(gè)方程的線(xiàn)性組合，而不是獨(dú)立的。至于在實(shí)際應(yīng)

17、用中采用何種形式的平衡方程，完全決定于計(jì)算是否簡(jiǎn)便，要力求避免解聯(lián)立方程的麻煩?！举愵}精析】例1有兩個(gè)質(zhì)量分別為，的光滑小環(huán)，套在豎直放置且固定的光滑大環(huán)中，并用細(xì)繩連接。平衡時(shí)細(xì)繩與豎直線(xiàn)的夾角為，如圖所示。已知細(xì)繩所對(duì)的圓心角為，試證明：。例2如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為，的小環(huán)能沿著一輕繩光滑地滑動(dòng)，繩的兩端固定于直桿上的A，B兩點(diǎn)，桿與水平成角，在桿上又套上1個(gè)輕小環(huán)，繩穿過(guò)輕桿，并使，在其兩側(cè)，環(huán)與直桿間無(wú)摩擦，系統(tǒng)處于平衡時(shí)，角如圖所示，求的值。例3如圖所示，AOB是一把等臂夾子，軸O處的摩擦可以忽略。若想在A，B處用力夾住一圓柱形物體C，則能否夾住與哪些因素有關(guān)？如果這一裝置能夾住C

18、，這些因素應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（不考慮C的重力）例4如圖所示，勻質(zhì)圓柱體夾在木板與豎直墻之間，其質(zhì)量為，半徑為，與墻和木板間的摩擦因數(shù)均為，板很輕，其質(zhì)量可忽略。板的一端O與墻用光滑鉸鏈相連，另一端A掛有質(zhì)量為重物，OA長(zhǎng)為，板與豎直墻夾角，試問(wèn)：至少需要多大才能使系統(tǒng)保持平衡？并對(duì)結(jié)果進(jìn)行討論。例5如圖所示，質(zhì)量為，自然長(zhǎng)度為，彈性系數(shù)為的彈性圈，水平放置于半徑為的固定性球上，不計(jì)摩擦。（1）設(shè)平衡時(shí)繩圈長(zhǎng)，試求。（2）設(shè)，求繩圈的最后平衡位置及長(zhǎng)度。【習(xí)題精選】1 如圖所示，水平放置的兩個(gè)固定的光滑硬桿OA和OB成角，在兩桿上各套輕環(huán)P，Q，兩環(huán)用輕繩相連，現(xiàn)用恒力沿OB桿方向向右拉環(huán)，當(dāng)兩環(huán)

19、穩(wěn)定時(shí)繩的拉力多大？2 跨過(guò)兩個(gè)光滑滑輪的線(xiàn)上，掛有三個(gè)質(zhì)量分別為，和的重物，如圖所示。兩滑輪離懸掛點(diǎn)同一高度。求當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，三個(gè)重物的質(zhì)量之間的關(guān)系？這些條件是否總是能滿(mǎn)足？（不計(jì)摩擦）3 質(zhì)量分別為和的兩個(gè)小球用長(zhǎng)為的輕質(zhì)硬桿相連，在如圖所示位置處于平衡狀態(tài)。桿與桌邊緣部分摩擦因數(shù)為，桌長(zhǎng)為，球和豎直壁間沒(méi)有摩擦。為使桿平衡，問(wèn)參數(shù)，和應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？4 如圖所示，小圓環(huán)A吊著一個(gè)重為的砝碼套在另一個(gè)豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)線(xiàn)，其一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過(guò)固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)重為的砝碼。如果小環(huán)、滑輪、繩子的大小和質(zhì)量以及摩擦都可以忽略不計(jì)，繩子又

20、不可以伸長(zhǎng)，求平衡時(shí)弦AB所對(duì)的圓心角。5 四個(gè)半徑相同的均質(zhì)球在光滑水平面上堆成錐形（俯視見(jiàn)圖所示），下面三球用細(xì)繩縛住。繩與三球心共面，各球重為，求繩內(nèi)張力大小。6 如圖所示，將一長(zhǎng)為，質(zhì)量為且分布均勻的鏈條套在表面光滑的圓錐上，當(dāng)鏈條靜止時(shí)，其張力為，求圓錐頂角。7 如圖所示，邊長(zhǎng)為，質(zhì)量為的立方塊置于傾角為的固定斜面上，半徑為，質(zhì)量為的圓柱依次擱置成一排，物塊與圓柱、圓柱之間、圓柱與斜面均為光滑接觸，但物塊底面粗糙，其與斜面之間的靜摩擦系數(shù)為，試求保持系統(tǒng)靜止時(shí)，最多可依次放置多少個(gè)這種圓柱體？8 如圖所示，AB，BC，CD和DE為質(zhì)量相等，長(zhǎng)度為的四根均勻細(xì)桿，四根桿通過(guò)位于B，C，

21、D的光滑鉸鏈而鉸接起來(lái)，并以端點(diǎn)A和E置于粗糙水平面上，形成對(duì)稱(chēng)弓形，而且在豎直平面內(nèi)保持平衡，若平面與桿間摩擦系數(shù)等于025，試求AE的最大距離及C點(diǎn)離水平面的相應(yīng)高度。9 半徑為，質(zhì)量為的三個(gè)相同的球放在水平桌面上，兩兩相互接觸，用一高為的無(wú)底圓筒將三球剛好套于筒內(nèi)，各處保持無(wú)變形接觸。現(xiàn)取一質(zhì)量亦為，半徑為的第四球置于三球正上方，俯視如圖所示，設(shè)各處?kù)o摩擦系數(shù)均為，試求取何值時(shí)，用手豎直輕輕上提圓筒，能將四球一起提起來(lái)。10 把4塊完全相同的均勻磚塊由下而上依次疊放在桌子邊緣，如圖所示。要使最上面的磚塊伸出桌子邊緣最多，磚應(yīng)如何疊放？磚塊伸出桌子邊緣的最大水平距離是多少？（設(shè)磚長(zhǎng)為）11

22、 兩個(gè)相同長(zhǎng)方體處于如圖所示位置，問(wèn)當(dāng)角為多少，它們才可能平衡？（長(zhǎng)方體與臺(tái)面間摩擦因數(shù)為，長(zhǎng)方體長(zhǎng)為，寬為，它們之間摩擦不計(jì)。）12 如圖所示，在一個(gè)置于水平面上的表面光滑的半徑為的半圓柱面上，置有一條長(zhǎng)為的均勻鏈條，鏈條的質(zhì)量為，其兩端剛好分別與兩側(cè)的水平面相接觸。問(wèn)：此鏈中張力的最大值為多少？13 質(zhì)量為，長(zhǎng)為的均勻桿AB下端靠在墻上，借助繩DC保持傾斜狀態(tài)，如圖所示，繩的一頭系在墻上C點(diǎn)，而另一頭系在桿上D點(diǎn)，。繩和桿分別與墻成角和，試求桿與墻之間一切可能的摩擦因數(shù)值。14 如圖所示，一光滑半球形容器，直徑為，其邊緣恰好與一光滑豎直的墻壁相切，現(xiàn)有一均勻直棒AB，其A端靠在墻上，B端與

23、容器底相接觸，當(dāng)棒傾斜與水平成角時(shí)，棒恰好靜止，求棒的長(zhǎng)度。15 A，B為全同物塊，按如圖所示鉸接于M，N，P三處，M，N在同一水平面上，A，B的重量可不計(jì)。頂邊水平，且各長(zhǎng)3m；側(cè)邊豎直，高4m。今在B的頂上距P 15m處加豎直力N，求B對(duì)鉸鏈P的作用力。第四講 平衡的種類(lèi)和液體靜平衡【賽點(diǎn)知識(shí)】一、物體平衡的種類(lèi)物體平衡的種類(lèi)有：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。它是處于重力場(chǎng)以及其他有勢(shì)場(chǎng)的物體在場(chǎng)作用下的三種平衡情況，處于勢(shì)場(chǎng)的物體和場(chǎng)一起具有勢(shì)能，而物體都有向勢(shì)能較小位置運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)。a穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí)，有一個(gè)力或力矩使之回到平衡位置，這樣的平衡叫穩(wěn)定平衡。而且因穩(wěn)定平衡

24、是使物體處于勢(shì)能最小位置時(shí)的平衡，所以一旦對(duì)它有微小的擾動(dòng)而使它離開(kāi)平衡位置，外界就必須對(duì)它做功，這樣勢(shì)能就增加。b不穩(wěn)定平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí)，它所受到的力或力矩使它偏離繼續(xù)增大，這樣的平衡叫不穩(wěn)定平。所謂的不穩(wěn)定平衡也是指物體處于勢(shì)能最大時(shí)的平衡，使它離開(kāi)平衡位置，外界不必對(duì)它做功，任何微小擾動(dòng)，總引起重力對(duì)它做功，勢(shì)能減小，這樣它將繼續(xù)減小勢(shì)能，再也回不到原來(lái)那個(gè)勢(shì)能最大的位置。c隨遇平衡當(dāng)物體稍稍偏離平衡位置時(shí)，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，它能在新的位置上再次平衡。所謂的隨遇平衡是指處于平衡狀態(tài)的物體，受到微小擾動(dòng)后，勢(shì)能始終保持不變。因此可以在任意位置繼續(xù)保持平衡。二、物體平衡

25、種類(lèi)的判別法（一）受力分析法當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受到外界的擾動(dòng)稍微偏離平衡位置后，如果所受合外力指向平衡位置，則此質(zhì)點(diǎn)的平衡是穩(wěn)定的；如果所受的合外力背離平衡位置，則此質(zhì)點(diǎn)的平衡是不穩(wěn)定的；如果所受的合外力為零，則此質(zhì)點(diǎn)處于隨遇平衡狀態(tài)。（二）力矩比較法對(duì)于有支軸的剛性物體，當(dāng)它受外界擾動(dòng)而偏離平衡位置時(shí)，如果外力會(huì)引起一個(gè)回復(fù)力矩，此力矩有把物體拉回到原平衡位置的傾向，則稱(chēng)物體處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；如果外力會(huì)引起一推斥力矩，它有把物體推離原平衡位置的傾向，則稱(chēng)物體處于不穩(wěn)定平衡態(tài)；如果物體所受合力矩仍為零，則稱(chēng)物體處于隨遇平衡態(tài)。（三）重心升降法對(duì)受重力和支持力作用而平衡的物體（包括質(zhì)點(diǎn)和剛性物件），判斷其平

26、衡種類(lèi)時(shí)，?？捎弥匦纳捣ā＜慈羰刮矬w稍微偏離平衡位置，如是重心升高，則稱(chēng)穩(wěn)定平衡；若物體稍微偏離平衡位置，如其重心降低，則為不穩(wěn)定平衡；而若物體偏離平衡位置如其重心高度不變，則為隨遇平衡。（四）支面判斷法具有支面的物體平衡時(shí)，物體所受重力的作用線(xiàn)一定在支面內(nèi)，如果偏離平衡位置后，重力作用線(xiàn)仍在支面內(nèi)，物體就能回到平衡位置，屬于穩(wěn)定平衡；但如果物體傾斜較大時(shí)，重力的作用線(xiàn)超出支面，重力的力矩，會(huì)使物體繼續(xù)遠(yuǎn)離原來(lái)的位置，即原來(lái)的平衡被破壞，利用這一點(diǎn)，常能為處理平衡種類(lèi)的一些問(wèn)題找到解題的突破口。三、液體靜平衡（一）靜止流體中的壓強(qiáng)液體內(nèi)部某點(diǎn)處的壓強(qiáng)與方向無(wú)關(guān)，可用公式計(jì)算，式中的是指從該點(diǎn)

27、到液面的豎直距離，而不是到液面的距離。對(duì)于連通管來(lái)說(shuō)，凡是在相連通的同種液體的相同高度處其壓強(qiáng)必相等，若不是同種液體，或者雖是同種液體，但中間夾有其他種液體或氣體時(shí)，上述關(guān)系就不一定能成立。對(duì)于盛有多層不同液體的容器內(nèi)的壓強(qiáng)應(yīng)分層計(jì)算，然后疊加起來(lái)。（二）浮力液體對(duì)物體的浮力表示為，式中的為物體浸沒(méi)于液體部分的體積，為液體的密度。液體對(duì)浸在其中的物體的浮力來(lái)自于液體的靜壓強(qiáng)，而液體的靜壓強(qiáng)則來(lái)自于液體的重量，當(dāng)液體作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其視重改變了，液體內(nèi)的靜壓強(qiáng)以及液體對(duì)浸在其中的物體的浮力也隨之而改變。例：木塊漂浮于水面上，若把它們放于以加速度上升的升降機(jī)中，由于液體、木塊超重的倍數(shù)相同（液體的超

28、重相當(dāng)于液體的密度變?yōu)樵瓉?lái)的倍），因而木塊浸入水中的體積將不發(fā)生變化。（三）浮體平衡的穩(wěn)定性浮在流體表面的浮體，所受浮力與重力大小相等、方向相反，處于平衡狀態(tài)，浮體平衡的穩(wěn)定性，將因所受擾動(dòng)方式的不同而異。顯然，浮體對(duì)鉛垂方向的擾動(dòng)，其平衡是穩(wěn)定的，對(duì)于水平方向的擾動(dòng)，其平衡是隨遇的。浮體對(duì)于過(guò)質(zhì)心的水平對(duì)稱(chēng)軸的旋轉(zhuǎn)擾動(dòng)，其平衡的穩(wěn)定性視具體情況而定。以浮于水面的船體為例：當(dāng)船體向右傾斜（即船體繞過(guò)質(zhì)心的水平對(duì)稱(chēng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度）時(shí)，其浮心B將向右偏離，浮力與重力構(gòu)成一對(duì)力偶，力偶矩將促使船體恢復(fù)到原來(lái)的方向，如圖所示，可見(jiàn)船體對(duì)這種擾動(dòng)，其平衡是穩(wěn)定的，但如果船體的重心太高，船體傾斜所造成的力

29、偶矩也可能使船體傾斜加劇，這時(shí)船體的平衡就是不穩(wěn)定的，如圖所示。【賽題精析】例1如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的橢圓環(huán)，其長(zhǎng)軸沿豎直方向，有兩個(gè)完全相同的小圓環(huán)套在橢圓環(huán)上，不計(jì)質(zhì)量的輕線(xiàn)將兩個(gè)小圓環(huán)連接在一起，輕線(xiàn)跨過(guò)位于橢圓焦點(diǎn)F的水平軸，小圓環(huán)與輕線(xiàn)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，不計(jì)各處的摩擦，小圓環(huán)的大小忽略不計(jì)。試分析說(shuō)明，系統(tǒng)屬于哪一種平衡狀態(tài)？例2如圖所示，半徑為的均質(zhì)圓柱體置于水平位置的半徑為的圓柱上，母線(xiàn)互相垂直，設(shè)兩圓柱間靜摩擦系數(shù)足夠大，不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，試求穩(wěn)定平衡時(shí)，和應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系。例3兒童玩具“不倒翁”高m，質(zhì)量g，相對(duì)軸KD對(duì)稱(chēng)分布，不倒翁的下部是半徑cm的部分球面，如圖所示。如

30、果不倒翁放在與水平面傾斜成角的粗糙面上，當(dāng)它的軸KD與豎直方向偏角，則處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，如圖所示。為了使它在水平桌面上失去穩(wěn)定平衡，就要在頭頂K點(diǎn)上固定塑泥，試問(wèn)最少需加多少塑泥？例4一根均勻細(xì)桿懸在水面上不動(dòng)，如圖所示，桿可繞桿上端的水平軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿的長(zhǎng)度為，桿的材料密度為（小于水的密度）。當(dāng)緩慢放下軸時(shí)，桿浸入水中。試求桿與豎直線(xiàn)的偏角與從軸到水面距離的關(guān)系。【習(xí)題精選】1 在蠟燭的底部插入一個(gè)鐵釘后，豎立在水中，蠟燭露出水面1cm，已知蠟燭的密度為水的密度的09倍，現(xiàn)將蠟燭點(diǎn)燃，蠟燭燃燒多長(zhǎng)后才可熄滅？2 用輕繩連接的三個(gè)動(dòng)滑輪組成動(dòng)滑輪組，如圖所示。掛在左、右兩側(cè)滑輪上的重

31、物的質(zhì)量均為，為使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求掛在中間滑輪上的重物的質(zhì)量應(yīng)為多大？?jī)蓚?cè)滑輪與支架之間的摩擦因數(shù)應(yīng)為多少？這種平衡是否穩(wěn)定？（圖中角為已知）3 一根質(zhì)量為的均勻桿，長(zhǎng)為，下端可繞固定水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有兩根水平彈簧，勁度系數(shù)相同，拴在桿的上端，使其處于豎直位置，如圖所示，問(wèn)：彈簧的勁度系數(shù)為何值，才能使桿處于穩(wěn)定平衡？4 如圖所示，用均勻材料制成的浮子，具有由兩個(gè)半徑皆為的球冠圍成的外形（像一粒豆子），浮子的厚度，質(zhì)量為，沿浮子的對(duì)稱(chēng)軸向浮子插入一根細(xì)輻條，穿過(guò)整個(gè)厚度，輻條長(zhǎng)，質(zhì)量為，當(dāng)將浮子輻條向下浸于水中時(shí)，浮子只有少數(shù)體積沒(méi)于水中，浮子的狀態(tài)是穩(wěn)定的嗎？5 如圖所示，邊長(zhǎng)為的均勻立方體

32、，平衡地放在一個(gè)半徑為的圓柱面頂部，假設(shè)靜摩擦因數(shù)很大，足以阻止立方體下滑，試證物體的平衡條件為。6 如圖所示，將一根長(zhǎng)度為的硬鉛絲彎成等臂直角形框架，在兩臂的端點(diǎn)各固定一個(gè)質(zhì)量為的小球，在直角的頂點(diǎn)焊一根長(zhǎng)為的支桿，支桿平分這一頂角，將桿支在支座上。試證：當(dāng)時(shí)平衡為隨遇的；當(dāng)時(shí)，平衡成為穩(wěn)定的（不計(jì)支桿、鉛絲的質(zhì)量）。7 如圖所示，半徑為的球浮于密度分別為和的分層液體的界面處，該分界面正好位于球的直徑平面上，求球所受到的浮力有多大？8 用一根細(xì)線(xiàn)豎直懸掛一根長(zhǎng)為的均勻細(xì)木桿，置于水桶內(nèi)水面上方，如圖所示，當(dāng)水桶緩慢上提時(shí)，細(xì)木桿逐漸浸入水中，當(dāng)木桿浸入水中超過(guò)一定深度時(shí)，木桿開(kāi)始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)象

33、，求（已知木桿密度為，水的密度為）。9 有一密度為，半徑為的半球放在盛有密度為的液體的容器底部，它與容器底部密切接觸（即半球表面與容器底面間無(wú)液體），如圖所示，若液體深度為，問(wèn)半球體對(duì)容器底部的壓力是多大？10 在圖中有一根細(xì)而均勻的棒長(zhǎng)為，一端懸以重為的小球（球的體積可忽略不計(jì)）。設(shè)棒的浮出水面，求棒的重力。11 半徑為的圓環(huán)繞其鉛垂直徑軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，兩質(zhì)量為的珠子用長(zhǎng)為的輕桿相連套在圓環(huán)上，可在圓環(huán)上無(wú)摩擦地滑動(dòng)，試求細(xì)桿在圓環(huán)上的平衡位置，用環(huán)心O與桿心C的連線(xiàn)與鉛垂軸的夾角表示，并分析平衡的穩(wěn)定性（如圖所示）。12 如圖所示，大容器內(nèi)盛有密度為的液體，其內(nèi)放一個(gè)底面積為的圓筒形小

34、容器，其底部接進(jìn)一個(gè)長(zhǎng)為的小口管，兩容器固定不動(dòng)，往小容器內(nèi)注入密度為的有色液體（），直到液體高度為時(shí)為止。此時(shí)小容器的液面與大容器液面相平。打開(kāi)小口管下端開(kāi)口處，就會(huì)發(fā)現(xiàn)重液體從小口管內(nèi)流入大容器，但過(guò)一會(huì)兒輕液體又開(kāi)始從小口管上升，然后又重復(fù)這一過(guò)程，假設(shè)兩種液體不相混合，又忽略表面張力，試求中液體首次從小容器流出的質(zhì)量是多少？輕液體每次流入小容器的質(zhì)量是多少？以后每次循環(huán)從小容器流出的重液體的質(zhì)量又是多少？第五講 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的基本概念【賽點(diǎn)知識(shí)】力學(xué)中研究的運(yùn)動(dòng)，是指物體位置的變動(dòng)，稱(chēng)為機(jī)械運(yùn)動(dòng)。這是最簡(jiǎn)單、最基本的運(yùn)動(dòng)形式，它存在一切運(yùn)動(dòng)形式之中。如何描述運(yùn)動(dòng)使之可以量化處理需要一些基本

35、的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念。一、參考系機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)物體位置在空間中的變動(dòng)，但是任何物體的位置及其變動(dòng)只有相對(duì)于現(xiàn)實(shí)選定的物體或彼此無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體群才有明確的意義。這種被選作運(yùn)動(dòng)依據(jù)的物體或物體群成為參考物。與參考物固連的三維空間稱(chēng)為參考空間。另外，位置變動(dòng)總是伴隨著時(shí)間的變動(dòng)，所謂考察物體的運(yùn)動(dòng)，也就是考察物體的位置變動(dòng)與時(shí)間的關(guān)系。參考空間與固連的時(shí)鐘的組合稱(chēng)為參考系。一般來(lái)說(shuō)，研究運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題，只要描述方便，參考系可以隨便選取。但是在考慮動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，參考系的選擇就受到一定限制，因?yàn)橛行┲匾膭?dòng)力學(xué)規(guī)律（如牛頓三定律）只對(duì)特定的參考系（慣性系）成立。參考系選定后，為了定量地標(biāo)定物體相對(duì)于參考系的位置，還

36、必須在參考系上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。所謂坐標(biāo)系就是固定在參考空間的一組坐標(biāo)軸和用來(lái)確定物體位置的一組坐標(biāo)。常用的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系。物體的運(yùn)動(dòng)完全由參考系選擇決定，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。坐標(biāo)系的不同，只是描述運(yùn)動(dòng)的變量不同而已，對(duì)應(yīng)的物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。二、質(zhì)點(diǎn)實(shí)際物體都有一定的大小、形狀和內(nèi)部結(jié)構(gòu)。在考察物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們僅考察物體的整體運(yùn)動(dòng)，或物體本身的大小比所考察運(yùn)動(dòng)的線(xiàn)度小得多，就可以不計(jì)物體各部分運(yùn)動(dòng)狀況的差別把它抽象成一個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)是一種理想模型，它突出了物體具有質(zhì)量和占有位置這兩個(gè)主要因素，而忽略了形狀、大小及內(nèi)部結(jié)構(gòu)等次要因素。運(yùn)動(dòng)學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)概念使

37、量化物體位置成為可能，而更復(fù)雜的物體運(yùn)動(dòng)可以看成質(zhì)點(diǎn)的組合。三、位移和路程在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的位置可以用從坐標(biāo)原點(diǎn)O指向質(zhì)點(diǎn)P位置的有向線(xiàn)段來(lái)表示，的長(zhǎng)度給出質(zhì)點(diǎn)到O點(diǎn)的距離，的方向可用方向余弦，和決定，由于故有向線(xiàn)段是由，及的長(zhǎng)度中任意三個(gè)參量決定。有向線(xiàn)段是一個(gè)特殊的矢量，稱(chēng)為位置矢量，簡(jiǎn)稱(chēng)位矢，用表示。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，位矢的大小和方向都隨時(shí)間變化，表示某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置，即位矢在一段時(shí)間內(nèi)的變化量稱(chēng)為位移，用表示：如圖所示，位移既有大小又有方向，是一個(gè)矢量，所以上述運(yùn)算遵循矢量運(yùn)算法則。路程是物體通過(guò)的實(shí)際軌跡的長(zhǎng)度。路程只有大小，沒(méi)有方向?？梢赃@樣認(rèn)為，一段時(shí)間內(nèi)的位移是每瞬間內(nèi)位移的矢量

38、和，而路程是這些瞬間位移大小的標(biāo)量和，即：，要注意的是位移反映的是物體的運(yùn)動(dòng)，所以位移總和某段時(shí)間相對(duì)應(yīng)，如圖所示中是表示時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)量的大小和方向，而是表示瞬間的運(yùn)動(dòng)量的大小和方向。四、速度物體以恒定快慢程度在一直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的一種運(yùn)動(dòng)。在勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中，任意時(shí)間內(nèi)的位移和所用時(shí)間的比值都為常量，可以用來(lái)描述運(yùn)動(dòng)的快慢叫做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度。非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)或曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在任意到的比值不再為常量，仍用某段時(shí)間間隔內(nèi)的位移和該段時(shí)間間隔的比值來(lái)描述該段運(yùn)動(dòng)的大致快慢程度，稱(chēng)為該時(shí)間間隔中質(zhì)點(diǎn)的平均速度，用表示。方向沿位移方向，這實(shí)際上是用一段勻速運(yùn)動(dòng)對(duì)原運(yùn)動(dòng)的

39、等效替代。當(dāng)考察的時(shí)間間隔足夠小時(shí)，此時(shí)間內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢和方向可能存在的差別也必然非常小，以致可以忽略不計(jì)，于是當(dāng)時(shí)，上述平均速度的極限就可以精確描寫(xiě)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢和方向，此極限稱(chēng)為時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱(chēng)速度，用表示：五、加速度一般情況下質(zhì)點(diǎn)的速度往往隨時(shí)間變化，與速度的定義類(lèi)似我們可以先尋找最簡(jiǎn)單的變速運(yùn)動(dòng)勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。由于速度隨時(shí)間線(xiàn)性變化則平均速度為：則其運(yùn)動(dòng)位移、時(shí)間、速度及加速度有如下關(guān)系：注意上述運(yùn)算遵循矢量運(yùn)算法則，由于是一直線(xiàn)上的矢量，故可設(shè)定正方向后以標(biāo)量的代數(shù)和形式運(yùn)算。同樣也可以得出平均加速度和瞬時(shí)加速度，分別為：，如圖所示。六、運(yùn)動(dòng)圖像圖像是描述各種運(yùn)動(dòng)的另一種

40、重要形式，勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的圖像如圖所示，圖像中的斜率和面積也有重要含義，合理運(yùn)用可以很直觀地反映運(yùn)動(dòng)。對(duì)于平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)及空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)則需要對(duì)運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中分解，各方向分運(yùn)動(dòng)分別描述。【賽題精析】例1如圖所示為從兩列蒸汽機(jī)車(chē)上冒出的兩股長(zhǎng)幅汽霧拖尾的照片（俯視）。兩列車(chē)沿直軌道分別以速度km/h和km/h行駛，行駛方向如圖所示。求風(fēng)速。例2一總質(zhì)量為的卡車(chē)拖著一質(zhì)量為的車(chē)廂在水平路面上勻速行駛，已知所受阻力和車(chē)重成正比。某時(shí)刻，后面所掛車(chē)廂脫落，司機(jī)維持原有牽引力不變繼續(xù)行駛了距離后發(fā)現(xiàn)車(chē)廂脫落，于是關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，問(wèn)當(dāng)卡車(chē)停下時(shí)候與車(chē)廂相距多少距離？例3螞蟻離開(kāi)巢沿直線(xiàn)爬行，它的速度與到蟻巢中心距

41、離成反比。當(dāng)螞蟻爬到離巢中心m的A點(diǎn)處時(shí)速度是cm/s。試問(wèn)螞蟻從A點(diǎn)爬到距離巢中心m的B點(diǎn)需要多少時(shí)間？例4一些很小的球從豎直對(duì)稱(chēng)軸附近，高度處，無(wú)初速度情況自由落下。碰到半徑為的凹形球面上，小球與球面的碰撞是完全彈性的，試證明在第一次碰撞后，每個(gè)小球都落在球面的最低點(diǎn)（小球間不發(fā)生碰撞）。例5兩位小朋友乙和丙，他們打算玩一會(huì)旋轉(zhuǎn)木馬。乙在半徑為的旋轉(zhuǎn)木馬上，丙在半徑為的旋轉(zhuǎn)木馬上。開(kāi)始時(shí)兩位小朋友的位置如圖所示，考慮到兩個(gè)木馬相互接觸并以相同的角速度向同一方向旋轉(zhuǎn)。試問(wèn)：從乙觀察丙的運(yùn)動(dòng)有什么特點(diǎn)？【習(xí)題精選】1 一架飛機(jī)在高度為10 km上空飛行，機(jī)上乘客看見(jiàn)太陽(yáng)升起。試估計(jì)在飛機(jī)正下方

42、地面上的觀察者還要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間可以看見(jiàn)太陽(yáng)。2 身高的人以的速度在水平面上從路燈的正下方勻速走過(guò)，在某一時(shí)刻，人的影長(zhǎng)為，經(jīng)過(guò)時(shí)間，人的影長(zhǎng)為，求路燈距地面的高度。3 如圖所示為兩個(gè)光滑的斜面，兩斜面高度相同，且AB+BC=AC，今讓小球分別從斜面（a）中的A點(diǎn)和斜面（b）中的點(diǎn)無(wú)初速釋放，若不計(jì)小球在B點(diǎn)損失的能量，試問(wèn)哪種情況下，小球滑至斜面底端歷時(shí)較短？4 將光滑細(xì)管彎成圓角的長(zhǎng)方形，如圖所示固定在豎直平面，B角比C角低，從A角同時(shí)放進(jìn)兩個(gè)小球，一個(gè)沿AB，一個(gè)沿AC滑到D角，問(wèn)哪個(gè)球先到達(dá)D角？5 如圖所示，一輛小車(chē)在軌道MN上行駛的速度可以達(dá)到50 km/h，在軌道外的平地上行駛的速

43、度可達(dá)到40 km/h，與軌道的垂直距離為30 km/h的B處有一基地，如圖所示，問(wèn)小車(chē)從基地B出發(fā)到離D點(diǎn)100 km的A處的過(guò)程中最短時(shí)間需要多少？6 快艇系在湖面很大的湖的岸邊（湖岸線(xiàn)可認(rèn)為是直線(xiàn)），突然系艇的繩松脫，風(fēng)吹著快艇以恒定的速度km/h沿與湖岸成的角漂去。人可沿湖岸以速度km/h行走或在水中以km/h游泳，那么能否追上快艇？當(dāng)快艇速度最大為多大時(shí)人可以追上？7 兩個(gè)物體沿直線(xiàn)相向運(yùn)動(dòng)，初速度分別是和，而加速度為和，加速度方向分別與相應(yīng)的初速度方向相反，要使兩物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中迎面相遇，試求它們間的最大起始距離。8 如圖所示，一質(zhì)點(diǎn)自?xún)A角為的斜面上方O點(diǎn)，沿一光滑斜槽OA下降，如

44、欲使此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)斜面所需的時(shí)間最短，問(wèn)斜槽OA與豎直線(xiàn)所成之角度應(yīng)為何值？9 如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一半徑為的圓環(huán)，同一平面內(nèi)有一點(diǎn)A，由點(diǎn)A到圓環(huán)上任一點(diǎn)M連接光滑直線(xiàn)。在重力作用下，一金屬小環(huán)從A點(diǎn)由靜止出發(fā)滑到M。問(wèn)M點(diǎn)位于何處時(shí)，滑動(dòng)所用的時(shí)間最短？10 如圖所示，AOB是一個(gè)內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角（為了能看清楚，圖中夸大了）。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從C處以速度m/s射出，其方向與AO間的夾角，且OC = 10 m。設(shè)質(zhì)點(diǎn)與桌面間的摩擦可以忽略不計(jì)。質(zhì)點(diǎn)與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時(shí)間極短，可以忽略不計(jì)。試求：（1）經(jīng)過(guò)幾次碰撞后質(zhì)點(diǎn)又回到C處與OA

45、相碰（計(jì)算次數(shù)時(shí)，包括在C處的碰撞）？（2）全過(guò)程經(jīng)歷多少時(shí)間？（3）在此過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)到O點(diǎn)的最短距離是多少？11 設(shè)從空間一點(diǎn)M以同樣的速度沿著同一豎直面內(nèi)各個(gè)不同方向，同時(shí)拋出幾個(gè)物體。試證明，在任一時(shí)刻，這些拋出物體總是處在某一個(gè)圓周上。12 試求在日全食期間月球的影子沿地球表面運(yùn)行的速度。不考慮地球沿軌道運(yùn)行方向的修正值。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)可以認(rèn)為：觀察日食是在赤道上晌午時(shí)進(jìn)行的，地軸垂直月球軌道平面。地球繞地軸運(yùn)行的方向與月球沿軌道繞地球運(yùn)動(dòng)方向一致，如圖所示。地球與月球之間距離為km、地球半徑km。月球上一個(gè)月為地球上28天。計(jì)算時(shí)注意地球到太陽(yáng)的距離比地球到月球的距離遠(yuǎn)得多。13 有一

46、質(zhì)點(diǎn)由A向B作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，A，B間的距離為，已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為，加速度為。如果將分成相等的段，質(zhì)點(diǎn)每通過(guò)的距離，加速度均勻增加，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B時(shí)的速度。14 湖灣成頂角為的楔形，岸上住有一個(gè)漁人；他的房子在A點(diǎn)，如圖所示，從A點(diǎn)到他離湖最近的C點(diǎn)之距離為，而到湖灣的一頭，即到D點(diǎn)之距離為，湖對(duì)岸B點(diǎn)處有漁人好友的房子，點(diǎn)B位置與A點(diǎn)相對(duì)湖灣對(duì)稱(chēng)。漁人擁有一只小船，他可以以速度沿岸步行或以速度乘船載湖中劃行，他從自己家里出發(fā)到好友家里去，求他需要的最短時(shí)間。15 如圖所示，在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC，光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需要的時(shí)間，恰

47、好等于小球從頂點(diǎn)A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需要的時(shí)間，這里假設(shè)鉛垂軌道AB和水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無(wú)碰撞地拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì)。在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖中虛線(xiàn)所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線(xiàn)與水平線(xiàn)交接而成，交接處有極小圓?。ㄗ饔猛希?，軌道均從A點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點(diǎn)劃行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限和下限之比值。第六講 相對(duì)運(yùn)動(dòng)和運(yùn)動(dòng)的合成與分解【賽點(diǎn)知識(shí)】一、運(yùn)動(dòng)的合成與分解運(yùn)動(dòng)的合成與分解是指位移、速度及加速度的合成與分解。因?yàn)槎际鞘噶?，其運(yùn)算都遵守矢量運(yùn)算法則

48、，即平行四邊形定則或三角形法則。一個(gè)物體同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，其表現(xiàn)結(jié)果就是合運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)是同時(shí)存在的，解題時(shí)要注意利用等時(shí)性。各分運(yùn)動(dòng)是相互獨(dú)立的，某一分運(yùn)動(dòng)并不因?yàn)槠渌姆诌\(yùn)動(dòng)的存在和變化而受到影響，分運(yùn)動(dòng)的變化只會(huì)使合運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化。已知兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，其合運(yùn)動(dòng)是惟一的，而將一個(gè)已知運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，可以有無(wú)數(shù)解，需從題中尋找隱含條件來(lái)確定分解方式。把矢量向某個(gè)方向投影時(shí)，必須就另一分量也作出交待。二、相對(duì)運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成包括位移、速度、加速度的合成，遵從矢量合成法則。通常，將相對(duì)觀察者靜止的參照系稱(chēng)為靜止參照系，將相對(duì)觀察者的參照系稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)參照系。物體相對(duì)于靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)

49、，相對(duì)應(yīng)的速度和加速度稱(chēng)為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度；物體相對(duì)于運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)應(yīng)的速度和加速度稱(chēng)為相對(duì)速度和相對(duì)加速度。而運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)于靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為牽連運(yùn)動(dòng)，相對(duì)應(yīng)的速度和加速度稱(chēng)為牽連速度和牽連加速度。以速度為例，這三種速度的矢量關(guān)系為：位移、加速度之間也存在類(lèi)似關(guān)系，但要注意具體運(yùn)算是按平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行的。三、負(fù)矢量、矢量減法和相對(duì)速度負(fù)矢量是跟對(duì)應(yīng)矢量大小相同、方向相反的矢量。有了負(fù)矢量的定義，我們就可以從矢量相加法則推出矢量相減的法則。現(xiàn)在我們來(lái)求兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體之間的相對(duì)速度。如圖所示，如果某甲有一個(gè)向東的速度，則在甲看來(lái)，所有物體相對(duì)于他都向西運(yùn)動(dòng)

50、，速率為，即所有物體有一個(gè)速度。當(dāng)某乙實(shí)際上運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，在甲看來(lái)乙同時(shí)具有兩個(gè)速度和，因而甲觀察到的乙相對(duì)于甲的相對(duì)速度為：同理，乙觀察到的甲相對(duì)于乙的相對(duì)速度為：凡是涉及相對(duì)速度的問(wèn)題都可用這些公式處理。四、剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)是一種較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。但從理論上講，任何剛體的平面運(yùn)動(dòng)都可看作是隨某一點(diǎn)的平動(dòng)與繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。這一點(diǎn)我們稱(chēng)為基點(diǎn)?；c(diǎn)是可任意選取的，不會(huì)影響解題的結(jié)果，平動(dòng)部分與基點(diǎn)的選取有關(guān)，轉(zhuǎn)動(dòng)部分與基點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。如圖所示可知，選A為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的速度即由平動(dòng)速度與轉(zhuǎn)動(dòng)速度合成而得，即由圖可看出，總是垂直于AB連線(xiàn)的。也就是說(shuō)它在AB連線(xiàn)上的投影為零，所以和

51、在AB連結(jié)的投影必相等。故可得結(jié)論：當(dāng)剛體做平面轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)連線(xiàn)上的投影相等。五、輪的直軌道滾動(dòng)半徑為的輪在固定的直軌道上滾動(dòng)時(shí)，輪的中心點(diǎn)O相對(duì)直軌道作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度記為，此輪繞O轉(zhuǎn)動(dòng)角速度便為：輪緣上任何一點(diǎn)P繞O作圓周運(yùn)動(dòng)，速度為，其大小為，方向隨時(shí)在變，點(diǎn)P相對(duì)直軌道的速度便為：需要注意的是，大小雖同為，但方向一般不同。僅當(dāng)P轉(zhuǎn)到最高位置時(shí)兩者方向一致，此時(shí)達(dá)極大值。P轉(zhuǎn)到最低位置時(shí)，即與直軌道接觸時(shí)，彼此方向相反，。六、輪的圓軌道滾動(dòng)輪沿著固定圓軌道滾動(dòng)時(shí)，設(shè)輪心O的圓運(yùn)動(dòng)角速度為，輪繞O轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，如圖所示，輪上點(diǎn)P相對(duì)圓軌道的速度為：式中，為點(diǎn)O相對(duì)圓軌道

52、速度，為P相對(duì)O的速度。兩者大小為：，式中，分別為圓軌道和輪的半徑。當(dāng)P與圓軌道接觸時(shí)，如圖所示，必有，且與反向，因此，大小必相同，即得：便有：?！举愵}精析】例1有一拖輪從港口出發(fā)去攔截一艘正以的速度沿直線(xiàn)航行的輪船，港口離輪船航線(xiàn)的最近點(diǎn)為。當(dāng)輪船離港口時(shí)（但尚未達(dá)最近點(diǎn)）拖輪起航。試證明拖輪追上輪船所必需的最小速率為。若拖輪的航速，試證明輪船可在航行時(shí)間為的一段航線(xiàn)內(nèi)被攔截。例2如圖所示的系統(tǒng)中，A1，A2兩物體均有向下的速度，吊住B物體的兩根繩與豎直方向的夾角都是，試求B物體上升的速度。例3一只狐貍以不變的速度沿直線(xiàn)AB逃跑，一獵犬以不變的速率追擊，其運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍。某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在D處，F(xiàn)D垂直于AB且FD = ，如圖所示，試求獵犬追上狐貍所需要的時(shí)間。例4纏在線(xiàn)軸上的繩子的一頭搭在墻上的釘子A上，如圖所示。以恒定速度拉繩，當(dāng)繩子與豎直方向成角時(shí)，求線(xiàn)軸中心速度。線(xiàn)軸外徑為，內(nèi)徑為，線(xiàn)軸沿水平面作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)。例5膠合板從空中落下，發(fā)現(xiàn)在某個(gè)時(shí)刻a點(diǎn)和b點(diǎn)速度相同：