第56講數(shù)的整除性

1、第 5 講 數(shù)的整除性（一）三、四年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被 2，3，5 和 4，8，9，6 以及 11 整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問(wèn)題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（ 1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（ 2）如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。（ 3）如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（ 4）如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。（ 5）幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)

2、能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除。靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問(wèn)題。例 1 在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù) 7358能分別被9，25 和 8 整除。分析與解：分別由能被9，25 和 8 整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?，25，8 兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被9×25×8=1800 整除，所以七位數(shù)的個(gè)位，十位都是0；再由能被 9 整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個(gè)七位數(shù)是14735800。例 2 由 2000 個(gè) 1 組成的數(shù) 11111 能否被 41 和 271 這兩個(gè)質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因?yàn)?41×271=11

3、111，所以由每 5 個(gè) 1 組成的數(shù)11111 能被 41 和 271 整除。按 “11111” 把 2000 個(gè) 1 每五位分成一節(jié)， 2000÷5=400 ，就有 400 節(jié)，因?yàn)?2000 個(gè) 1 組成的數(shù) 1111 能被 11111 整除，而 11111 能被 41 和 271 整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（ 1）可知，由 2000 個(gè) 1 組成的數(shù) 11111 能被 41 和 271 整除。例 3 現(xiàn)有四個(gè)數(shù)： 76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被 12 整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12 分成兩數(shù)之積：12=12&

4、#215;1=6×2=3×4。要從已知的四個(gè)數(shù)中找出兩個(gè)，使其積能被12 整除，有以下三種情況：（ 1）找出一個(gè)數(shù)能被 12 整除，這個(gè)數(shù)與其它三個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的乘積都能被 12 整除；（ 2）找出一個(gè)數(shù)能被 6 整除，另一個(gè)數(shù)能被 2 整除，那么它們的積就能被 12 整除；（ 3）找出一個(gè)數(shù)能被 4 整除，另一個(gè)數(shù)能被 3 整除，那么它們的積能被 12 整除。2容易判斷，這四個(gè)數(shù)都不能被12 整除，所以第（ 1）種情況不存在。對(duì)于第（ 2）種情況，四個(gè)數(shù)中能被6 整除的只有 76554，而76550，76552 是偶數(shù)，所以可以選76554 和 76550，76554

5、和76552。對(duì)于第（ 3）種情況，四個(gè)數(shù)中只有 76552 能被 4 整除， 76551 和 76554 都能被 3 整除，所以可以選 76552 和 76551，76552 和76554。綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個(gè)數(shù)的乘積能被12 整除的有以下三組數(shù)： 76550 和 76554，76552 和 76554，76551 和76552。例 4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于 43 且能夠被 11 整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于 43；能被 11 整除。因?yàn)槟鼙?11 整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43 的五位數(shù)

6、較少，所以應(yīng)選擇為突破口。有兩種情況：（ 1）五位數(shù)由一個(gè) 7 和四個(gè) 9 組成；（ 2）五位數(shù)由兩個(gè) 8 和三個(gè) 9 組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11 整除？ 9，8，7 如何擺放呢？根據(jù)被 11 整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)3位數(shù)字之和是 16，那么差是 11，就能被 11 整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999 ，99979， 98989 。例 5 能不能將從 1 到 10 的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被 3 整除？分析與解： 10 個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每?jī)蓚€(gè)數(shù)

7、一組共有 5 組，每組的兩數(shù)之和都能被3 整除，推知 110 的和也應(yīng)能被 3 整除。實(shí)際上， 110 的和等于 55，不能被 3 整除。這個(gè)矛盾說(shuō)明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。練習(xí) 51. 已知 4205 和 2813 都是 29 的倍數(shù)， 1392 和 7018 是不是 29的倍數(shù)？2. 如果兩個(gè)數(shù)的和是 64，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除 4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？3.173是個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說(shuō)： “我在這個(gè)中先后填入 3 個(gè)數(shù)字，所得到的 3 個(gè)四位數(shù)，依次可以被 9，11，6 整除?！眴?wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的 3 個(gè)數(shù)字之和是多少？4班有多少名學(xué)生？6. 能不能將從 1 到

8、9 的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被 3 整除？第 6 講 數(shù)的整除性（二）我們先看一個(gè)特殊的數(shù) 1001。因?yàn)?1001=7×11×13 ，所以凡是 1001 的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11 和 13 整除。能被 7，11 和 13 整除的數(shù)的特征：如果數(shù) A 的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被 7 或 11 或 13 整除，那么數(shù) A 能被 7 或 11 或 13 整除。否則，數(shù) A就不能被 7 或 11 或 13 整除。例 2 判斷 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？解：因?yàn)?371-306=65，6

9、5 是 13 的倍數(shù)，不是 7 的倍數(shù)，所以306371 能被 13 整除，不能被 7 整除。例 3 已知 108971 能被 13 整除，求中的數(shù)。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個(gè)位數(shù)是7，若是 13 的倍數(shù)，則必是13 的 9 倍，由13×9-37=80 ，推知中的數(shù)是8。52 位數(shù)進(jìn)行改寫。根據(jù)十進(jìn)制數(shù)的意義，有因?yàn)?100010001各數(shù)位上數(shù)字之和是 3，能夠被 3 整除，所以這個(gè) 12 位數(shù)能被 3 整除。根據(jù)能被 7（或 13）整除的數(shù)的特征， 100010001與（ 100010-1=）100009 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不

10、能被7（或13）整除。同理， 100009 與（ 100-9= ）91 要么都能被 7（或 13）整除，要么都不能被 7（或 13）整除。因?yàn)?91=7×13 ，所以 100010001能被 7 和 13 整除，推知這個(gè)12 位數(shù)能被 7 和 13 整除。分析與解：根據(jù)能被7 整除的數(shù)的特征， 555555 與 999999 都能被 7因?yàn)樯鲜街械忍?hào)左邊的數(shù)與等號(hào)右邊第一個(gè)數(shù)都能被7 整除，所以等號(hào)右邊第二個(gè)數(shù)也能被7 整除，推知 5599 能被 7 整除。根據(jù)能被 7 整除的數(shù)的特征， 99-55=44也應(yīng)能被 7 整除。由44能被 7 整除，易知內(nèi)應(yīng)是6。下面再告訴大家兩個(gè)判斷整

11、除性的小竅門。6判斷一個(gè)數(shù)能否被27 或 37 整除的方法：對(duì)于任何一個(gè)自然數(shù)，從個(gè)位開(kāi)始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或 37）整除，那么這個(gè)數(shù)一定能被27（或 37）整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被27（或 37）整除。例 6 判斷下列各數(shù)能否被 27 或 37 整除：（ 1）2673135；（ 2）8990615496。解：（ 1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。因?yàn)?810 能被 27 整除，不能被 37 整除，所以 2673135 能被 27整除，不能被 37 整除。（ 2）8990615496=8，990，6

12、15，496，8+990+615+496=2，109。2，109 大于三位數(shù)，可以再對(duì)2，109 的各節(jié)求和，2+109=111。因?yàn)?111 能被 37 整除，不能被 27 整除，所以 2109 能被 37 整除，不能被 27 整除，進(jìn)一步推知 8990615496 能被 37 整除，不能被27 整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對(duì)和的各節(jié)求和。判斷一個(gè)數(shù)能否被個(gè)位是9 的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個(gè)位是 9 的數(shù)記為 k9 （= 10k+9 ），其中 k 為自然數(shù)。對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，去掉這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)后，再加上個(gè)位數(shù)的（ k+1）倍。連續(xù)進(jìn)行這一變換。如果最終所

13、得的結(jié)果等于k9，那么這個(gè)數(shù)能被k9 整除；否則，這個(gè)數(shù)就不能被k9 整除。例 7 （1）判斷 18937 能否被 29 整除；（ 2）判斷 296416 與 37289 能否被 59 整除。7解：（ 1）上述變換可以表示為：由此可知， 296416 能被 59 整除， 37289 不能被 59 整除。一般地，每進(jìn)行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當(dāng)被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時(shí)，即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。練習(xí) 61. 下列各數(shù)哪些能被 7 整除？哪些能被 13 整除？88205， 167128 ， 250894， 396500 ，675696， 796842， 805532 ， 75778885。2. 六位數(shù) 17562 是 13 的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？7. 九位數(shù) 876