空間直角坐標系和空間向量典型例題

1、空間直角坐標系與空間向量一、建立空間直角坐標系的幾種方法構建原則：遵循對稱性，盡可能多的讓點落在坐標軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關系或構造垂直關系來建立空間直角坐標系類型舉例如下：（一）用共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系例 1 已知直四棱柱1111中，1 2，底面是直角梯形，A為直角，ABCD AB CDAAABCDAB CD， AB 4， AD 2， DC 1，求異面直線BC1 與 DC所成角的余弦值解析：如圖1，以 D 為坐標原點，分別以DA、 DC、 DD所在直線為x、 y、 z 軸建立空1間直角坐標系，則1（， 1， 2）、 （ 2， 4，），CBuuuur， ， ，uuur

2、BC1(CD (0， 10)，23 2)uuuuruuur設 BC 與 CD 所成的角為，1uuuuruuur317則 cosBC1 gCDuuuuruuurBC1CD17（二）利用線面垂直關系構建直角坐標系例 2如圖 2，在三棱柱ABC A1 B1C1 中， AB側面 BB1C1C， E 為棱 CC1 上異于C、 C1 的一點，1已知AB2，1 2， 1，1求二面角1 1的EAEBBBBCBCCAEB A3平面角的正切值解析：如圖2，以B為原點，分別以1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點垂直BB于平面 AB1 的直線為x 軸建立空間直角坐標系由于 BC 1， BB1 2， AB2 ， BCC

3、1，3在三棱柱 ABC A1B1C1 中，有 B（，）、A（，2 ）、 B1（， 2，）、3，1 ， 、c022333， ，13， ，設且，C10E2a 02a222uuur uuur由 EA EB1，得 EAgEB1 0 ，即3 ， a， 2 g3 ，2a，0223a( a 2) a22a30 ，a1 g a30 ，4422即1331a或a（舍去）故E02，222uuuruuuruuuuruuur，故二面角A EB A 的平面角uuuuruuur由已知有 EAEB1 ， B1 A1EB1的大小為向量 B1 A1與 EA 的夾角11uuuur因 B1A1故 cosuuuruuur3 ，1 ，B

4、A，2)，EA2(0 022uuur uuuur2g2EA B1A1，即 tanuuuruuuur32EA B1 A1（三）利用面面垂直關系構建直角坐標系例 3 如圖 3，在四棱錐 V ABCD中，底面 ABCD是正方形， 側面 VAD是正三角形，平面 VAD底面 ABCD（ 1）證明 AB平面 VAD；（ 2）求面 VAD與面 VDB所成的二面角的余弦值解析：（ 1）取的中點O為原點，建立如圖3 所示的空間直角坐標系AD設 AD 2，則 A（ 1，）、 D（ 1，）、 B（ 1， 2，）、 V（，3 ），uuuruur3 ） AB （，2，），VA （ 1，uuur uur由 ABgVA (

5、0，2，0)g(10， 3) 0 ，得AB VA又 AB AD，從而 AB與平面 VAD內兩條相交直線VA、 AD都垂直， AB平面 VAD；（ 2）設E為的中點，則E1，3DV202uuur3，3，uuur3，3 ，uuur(10，3)EA202EB222DVuuur uuur33g，g，EB DV222(103)0 EB DV又 EA DV，因此 AEB是所求二面角的平面角uuur uuuruuuruuurg21EA EB cos EA，EBuuuruuurEA EB7故所求二面角的余弦值為21 7（四）利用正棱錐的中心與高所在直線構建直角坐標系例 4已知正四棱錐V ABCD中， E為 V

6、C中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為 h（ 1）求 DEB的余弦值；（ 2）若 BE VC，求 DEB的余弦值解析：（ 1）如圖4，以 V 在平面 AC的射影 O為坐標原點建立空間直角坐標系，其中Ox BC，Oy AB，則由 AB 2a， OV h，有 B（ a， a，）、 C（ - a，a，）、 D（ - a， - a，）、 V（ 0，0，h）、aa hE， ，22 2 uuur3ah，uuura3hBE，DE， ，a2a22222uuur uuuruuuruuur22BE gDE6ah，cos BE DEuuuruuur10a2h2，BEDE即 cos DEB6a2h2；10a2h2（ 2

7、）因為E是 VC的中點，又BE VC，uuur uuur3aha， a， h) 0所以 BEgVC0 ，即a， g(，222 3 a2a2h20 ， h2a 222uuur uuur226ah1 ，即cos DEB1這時，cos BE DE10a2h233引入空間向量坐標運算，使解立體幾何問題避免了傳統方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標系進行向量運算，而如何建立恰當的坐標系，成為用向量解題的關鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標系的三條途徑（五）利用圖形中的對稱關系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身對稱性可

8、建立空間直角坐標系例 5 已知兩個正四棱錐 P ABCD與 Q ABCD的高都為 2， AB 4（ 1）證明： PQ平面 ABCD；（ 2）求異面直線 AQ與 PB所成的角；（ 3）求點 P到面 QAD的距離簡解：（ 1）略；（ 2）由題設知， ABCD是正方形，且 AC BD由（ 1）， PQ平面 ABCD，故可分別以直線 CA， DB， QP 為 x， y， z 軸建立空間直角坐標系（如圖1），易得uuuruuuruuur uuuruuur uuurg1，AQ2)，AQ PB(2202) PB(0 22cosuuur uuurAQ PB3AQ PB所求異面直線所成的角是arccos 1 3

9、（ 3）由（ 2）知，點 D (0， 2uuur(2 2，2uuur(0，0， 4) 設 n=（ x，y，z）是平面 QAD的一個法向2，0)，AD2，0)，PQuuuruuurPQ量，則g，2 xz， 1，得點到平面的距離gnn AQ0得0 取xn = (1， 1，2)Pd2 2uuurxy0，QADngAD，n0點評：利用圖形所具備的對稱性，建立空間直角坐標系后，相關點與向量的坐標應容易得出第（3）問也可用“等體積法”求距離二、向量法解立體幾何（一）知識點向量的數量積和坐標運算a, b 是兩個非零向量，它們的夾角為，則數 | a | | b | cos叫做 a 與 b 的數量積（或內積），

10、記作a b ，即 a b| a | | b | cos . 其幾何意義是a 的長度與 b 在 a 的方向上的投影的乘積.其坐標運算是：若 a (x1 , y1 , z1 ), b (x2 , y2 , z2 ) ，則 a b x1 x2y1 y2z1 z2 ； | a |x12y12z12 ,| b |x2 2y22z22； a b x1 x2y1 y2z1 z2 cosa,bx1 x2y1 y2z1 z2222222x1y1 z1x2y2z2（二）例題講解題型：求角度相關1. 異面直線 m, n 所成的角分別在直線 m, n 上取定向量a,b, 則異面直線m, n 所成的角等于向量 a, b

11、 所成的角或其補角（如圖1 所示），則 cos| ab | .| a | b |2.直線 L 與平面所成的角在 L 上取定 AB ，求平面| ABn |的法向量 n（如圖 2 所示） ，再求 cos，|AB| n |則為所求的角 .23 二面角方法一：構造二面角l的兩個半平面、 的法向量 n1 、n2 （都取向上的方向，如圖3 所示），則A nC anmD圖 1bBLB nA圖n1n2l圖3甲若二面角l是“鈍角型” 的如圖3 甲所示，那么其大小等于兩法向量n1 、n2的夾角的補角，即n1n2.n2n1cos| n1 | n2|l3 乙所示，那么其大小等于兩法向量n1 、n2 的l若二面角是“銳

12、角型” 的如圖圖夾角，即 cosn1n2. .n2| n1 | n2 |B方法二：在二面角的棱l 上確定兩個點A、B ，過 A、B 分別在平面、 內求lAn1圖 4出與 l 垂直的向量 n、n （如圖4 所示），則二面角l的大小等于向量 n、n1212的夾角，即 cosn1n2.| n1 | n2|題型：求距離相關1. 異面直線 m、n 的距離分別在直線 m、n 上取定向量 a,b, 求與向量 a、 b 都垂直的向量n ，分別在A nC am、n 上各取一個定點A、B ，則異面直線m、n 的距離 d 等于 AB 在 n 上的mn射影長，即 d| AB n |D圖1bB.| n |證明：設 CD

13、 為公垂線段，取CA a DB b,CDCAABBDCD n(CAAB BD ) n| CDn | | AB n |d | CD | AB n | n |設直線 m, n 所成的角為，顯然 cos| a b | .| a | | b |pnA2.平面外一點p 到平面的距離求平面的法向量 n ，在面內任取一定點A ，點 p 到平面的距離 d 等于 AP 在 n 上的射影長，即| AP n |d.| n |圖5三、法向量例題解析題型：求空間角1、運用法向量求直線和平面所成角r設平面的法向量為n =（ x, y, 1)，則直線 AB 和平面所成的角的正弦值為sin = cos(- )2uuurruu

14、urrAB ? n= |cos< AB ,n >| =uuurrAB ? n2、運用法向量求二面角ur uururuurur uur設二面角的兩個面的法向量為 n1 , n2，則 < n1 , n2>或 -< n1 , n2 >是所求角。 這時要借助圖形來判斷所求角為ur uururuur銳角還是鈍角，來決定< n1 , n2 >是所求，還是 -< n1, n2>是所求角。題型：求空間距離1、求兩條異面直線間的距離r設異面直線 a、 b 的公共法向量為n (x, y, z) ，在 a、 b 上任取一點A、 B，則uuurr| AB ?

15、 n |異面直線 a、 b 的距離： d =AB· cos BAA =r| n |略證：如圖，EF 為 a、 b 的公垂線段，a為過 F 與 a 平行的直線，在 a、 b 上任取一點A、 B，過 A 作 AA / EF，交 a 于 A ，uuuurr則 AA?/ n ，uuurr所以 BAA =< BA, n >（或其補角）uuurr| AB ? n |異面直線 a、 b 的距離 d =AB · cos BAA =r*| n |ra、 b 上的任一向量r ruuur uuurr其中， n的坐標可利用a, b （或圖中的AE, BF ），及 n 的定義得rrr r0nan ? arrr r0nbn ? br解方程組可得n 。2、求點到面的距離求 A 點到平面的距離，設平面的法向量法為rn( x, y,1) ，在內任取一點B，則 A 點到平面的距離：uuurrd = | ABr? n | ，| n |rr, 若方程組無解， 則n 的坐標由 n 與平面內的兩個不共線向量的垂直關系，得到方程組 （類似于前面所述r法向量與 XOY平面平行，此時可改設n (1, y,0) ，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線 a 到平面的距離，設平面的法向量法為一點 B