復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用規(guī)律和幾何意義

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算種類雖多，但各種運(yùn)算方式間有聯(lián)系，最本質(zhì)的運(yùn)算方式是代數(shù)形式的運(yùn)算。 多樣性的運(yùn)算使我們研究復(fù)數(shù)問題時有多種可考慮的途徑，以便從中選擇較好的方式，運(yùn)算常用的結(jié)論：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i (a+bi)+(a-bi)=2a (a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2 (a+bi)2=a2-b2+2abi (a,bR)(a-bi)2=a2-b2-2abi (a,bR)等2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i (bN) 3. Z+=2ReZ Z-=2(ImZ)i(其中ReZ,ImZ分別表示復(fù)數(shù)Z的實(shí)部和虛部)4.Z·=Z2=2

2、5.設(shè)w=-+i 則w3=1,1+w+w 2=0,=w2=6. (Z20)7.Z1·Z2=Z1·Z2 =(Z20)8.Z=ZR9.Z=-Z=ki(kR) =Z10.r1(cos1+isin1)r2(cos2+isin2)rk(cosk+isink) =r1r2r3rkcos(1+2+3+k)+isin(1+2+3+ +k)其中r1r2r3rk0 (1、2、3k R)復(fù)數(shù)的幾何意義加法的幾何意義：設(shè)，各與復(fù)數(shù)Z1，Z2對 應(yīng) ，以，為邊的平行四邊形的對角線 就與Z1+Z2對應(yīng)。減法的幾何意義：設(shè)，各與復(fù)數(shù)Z 1，Z2對應(yīng)，則圖中向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是Z2-Z1。Z1-Z2的幾何

3、意義是分別與Z1，Z2對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離。乘法的幾何意義：設(shè)表示復(fù)數(shù)r(cos+isin)(r0)，把繞A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)后再把所得向量的長度變?yōu)樵瓉淼膋倍(k0)得到，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是r(cos+isin)·k( cos+isin)，如果把繞A點(diǎn)按順時針方向進(jìn)行同樣方式的旋轉(zhuǎn) 和伸縮，那么所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是r(cos+isin)·k(cos-isin)除法是乘法的逆運(yùn)算，除法也可表現(xiàn)為乘法的形式，Z1÷Z2=Z1·()因此除法運(yùn)算的幾何意義與乘法運(yùn)算的幾何意義實(shí)質(zhì)相同。復(fù)數(shù)方根的幾何意義：設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，Z的n次方根(n2,nN)對應(yīng)于 從

4、原點(diǎn)出發(fā)且在 原點(diǎn)處n等分圓周角的n個向量，這n個向量的模都是，其中一個向量的輻角是復(fù)數(shù)Z的輻角的n分之一，圖中畫出了模為8的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的三次方根，其中的輻角取輻角的三分之一。由復(fù)數(shù)的幾何意義推導(dǎo)的結(jié)論1.Z1·Z20，則Z1+Z2=Z1-Z2=i (R且0)對應(yīng)的向量2.設(shè)P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z1，點(diǎn)Q對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2，則向量對應(yīng)的 復(fù)數(shù)是Z2-Z13.向量繞點(diǎn)P順時針方向旋轉(zhuǎn)角(0)所得到的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù) 應(yīng)是(Z2-Z1)cos(-)+isin(-)而旋轉(zhuǎn)之后點(diǎn)Q對應(yīng)的復(fù)數(shù)應(yīng)是(Z 2-Z1)cos(-)+isin(-)+Z14.Z-Z1=Z-Z2表示以復(fù)數(shù)Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為端點(diǎn)的線段垂直平分線的方程。5.Z-Z0=r表示以Z0為復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z0為圓心，半徑是r的圓的方程。6.Z-Z1+Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z 1、Z2為焦點(diǎn)，長軸是2a的橢圓方程。 7.Z-Z1-Z-Z2=2a(2aZ1Z2)表示以Z1、Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z1 、Z2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長是2a的雙曲線方程，在復(fù)數(shù)集上的方程主要有三個問題：復(fù)數(shù)集上 方程的求解；根據(jù)方程解的情況討論參數(shù)的取值范圍；與復(fù)數(shù)集上方程有關(guān)的計算或證明。求解復(fù)數(shù)集上的方程主要有以下四種解法：設(shè)Z=x+yi(x，yR)從而轉(zhuǎn) 化為關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的方程。若是復(fù)數(shù)集