級高數(shù)(上)試卷與答案

1、.南昌大學(xué) 2006 2007 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷一、填空題 ( 每空 3分，共 15分) :1.函數(shù) f ( x)x1lg(5 x)23x的定義域為 _.2.ex ,x0,設(shè)函數(shù) f ( x )x0,ln( a x ),則 a 為_值時 , f ( x ) 在 x=0 處連續(xù) .( a>0)3. 若函數(shù) f ( x ) 在 x=0 可導(dǎo) , 且 f (0)=0,則 limf ( x )_.x 0x4. 設(shè) f ( x )x , 在1, 4上使 Lagrange( 拉格朗日 ) 中值定理成立的_.5. 設(shè) F ( x)2 xsin t2dt , 則 dF ( x ) _.0二、單項

2、選擇題( 每題 3 分，共 15 分):1.x0 是函數(shù) f ( x )x sin 1 的().x(A) 跳躍間斷點(diǎn) . (B)可去間斷點(diǎn) .(C)無窮間斷點(diǎn) .(D)振蕩間斷點(diǎn) .2. 設(shè)曲線 ye1x 2與直線 x1相交于點(diǎn) P,曲線過點(diǎn) P 處的切線方程為 ().(A)2xy10.(B)2xy30.(C)2xy30.(D)2xy20.3. 若函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , x1 和 x2 是區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)任意兩點(diǎn) ,且 x1x2 , 則至少存在一點(diǎn)使().(A)f (b)f ( a)f '()(ba),其中 ab.(B)f (b)f ( x1

3、)f '()( bx1 ),其中 x1b.(C)f ( x2 )f ( x1 )f '()( x2x1 ),其中 x1x2 .(D)f ( x2 )f (a)f '()( x2a),其中 ax2 .4.設(shè)函數(shù) f ( x ) 在 (,) 上連續(xù) ,則 df ( x )dx等于 ().(A) f ( x ). (B) f ( x )dx.(C)f ( x )C. (D)f '( x )dx .5. 設(shè)dd4存在 ,Idxf ( x )dxdx3 f ( x)dxf '( x )dx則I().(A) 0.(B)f ( x ).(C)2 f ( x ). (D

4、)2 f ( x )C .三、計算下列極限( 共 2 小題 ,每小題 7 分,共 14 分) :1.1cos x 2lim.x 0 1 cos x2. lim (sin x ) tan x .x2.四.解下列各題 ( 共 3 小題,每小題 7 分,共 21 分):1. 設(shè)1x求 y ''(0).y ln1x2 ,2.設(shè)函數(shù) yy( x ) 由方程 ln( x2y)x 3 ysin x 確定 ,求 y '(0).x t f (u 2 )du,3. 設(shè)0其中 f ( u) 具有二階導(dǎo)數(shù) ,且 f ( u) 0,2yf (t 2 ) ,求 d 2 y dx2 .五 . 求下列

5、不定積分 ( 共 2 小題 , 每小題 7 分, 共 14 分):1dx.x(1 x8 )1、2. x sin 2 xdx .12六. 已知 f (2), f '(2) 0, 及0 f ( x)dx 1,21x 2 f ''(2x)dx.(7 分)求0.2 x 2七. 已知函數(shù) y, 試求其單增、單減區(qū)間 , (1 x )2并求該函數(shù)的極值和拐點(diǎn).(9分)八. 設(shè) f ( x) 在 a,) 上連續(xù) , f ''( x ) 在 (a,) 內(nèi)存在且大于零 ,記 F ( x )f ( x ) f ( a) 內(nèi)單調(diào)x( x a). 證明 : F ( x ) 在

6、( a,a增加. (5分 )南昌大學(xué) 2006 2007 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷及答案一、填空題 ( 每空 3分，共 15分) :1.函數(shù) f ( x)x21lg(5x)x3的定義域為 （ 2x3 與 3x5;）2.ex ,x0,設(shè)函數(shù) f ( x )x ),x0,ln( a則 a 為（ e ）值時 , f ( x ) 在 x=0 處連續(xù) .( a>0)3. 若函數(shù) f ( x ) 在 x=0 可導(dǎo) , 且 f (0)=0,則 limf ( x )（ f '(0)）x 0x4. 設(shè) f ( x )x , 在1, 4上使 Lagrange( 拉格朗日 ) 中值定理成立的（ 9/4

7、）一、 5.設(shè) F (x )2xsin t2 dt, 則 dF ( x )（ 2sin(4 x2 )dx ）0二、單項選擇題( 每題 3 分，共 15 分):.1. x 0 是函數(shù) f ( x )1x sin 的( B ).x(A) 跳躍間斷點(diǎn) . (B)可去間斷點(diǎn) .(C)無窮間斷點(diǎn) .(D)振蕩間斷點(diǎn) .2. 設(shè)曲線 ye1x 2與直線 x1相交于點(diǎn) P,曲線過點(diǎn) P 處的切線方程為 ( C ).(A)2xy10.(B)2xy30.(C)2xy30.(D)2xy20.3. 若函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , x1 和 x2 是區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)任意兩點(diǎn) ,且

8、x1x2 ,則至少存在一點(diǎn)使(C ).(A)f (b)f ( a)f '( )(b a),其中 ab.(B)f (b)f ( x1 )f '()( bx1 ),其中 x1b.(C)f ( x2 )f ( x1 )f '()( x2x1 ),其中 x1x2 .(D)f ( x2 )f (a)f '()( x2a),其中 ax2 .4. 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在 (,)上連續(xù) ,則 d f ( x )dx 等于 ( B ).(A)f ( x ).(B)f ( x)dx .(C)f ( x )C .(D)f '( x )dx.5. 設(shè)dd4存在 ,Idxf

9、( x )dxdx3 f ( x)dxf '( x )dx則I ( D).(A) 0.(B)f ( x ).(C)2 f ( x ).(D)2 f ( x )C .三、計算下列極限( 共 2 小題 ,每小題 7 分,共 14 分) :1cos x 21.lim.x 0 1 cos x解：Q x0時，1cos x :1x 2 ， 1cosx 2 :1x 221x 42221cosx 21x4lim22limcosxx 0 1x 0 12x22. lim (sin x ) tan x .x2解： (1)令 ysin xtan xln ytan x lnsinx(2) lim ln ylim

10、 tan x lnsinxxx22lnsinx1 cos xlimlimsin x0cot xcsc2xxx22(3)lim (sin x )tan xlim ylim eln ye01x2x2x2四.解下列各題 (共 3小題, 每小題 7分,共 21 分):1.設(shè)1x求 y ''(0).yln1x2 ,解：Qyln1x1x )ln(1 x 2 ).1x2ln(12.112 x112xy'2 1 x1 x 221 x1 x 2 .LL3分112(1x 2 ) 4x 211x 2y ''2 (1x ) 2(1x 2 )22(1 x )2(1x 2 ) 2

11、.于是113LL7分y ''(0).222. 設(shè)函數(shù) yy( x ) 由方程 ln( x2y)x 3 ysin x 確定 ,求 y '(0).解：方程兩邊對 x 求導(dǎo) , 得12xy '3x2 yx 3 y' cos x.LL4分x 2y當(dāng)x0時,由原方程得 y1,代入上式得 y'(0)1.LL7分xt f (u 2 )du,3. 設(shè)0其中 f ( u) 具有二階導(dǎo)數(shù) ,且 f ( u)0,yf (t 2 )2,d 2 y求dx2 .解:dy4tf ( t 2 ) f '( t 2 ),dxdtf (t 2 ).dt.dydx2d ydy

12、dtdxdtd4tf (t 2 ) f '( t2 )2 ).f (t 2 )4tf '( tdyddydx4 f '( t 2 ) 8t 2 f ''( t2 )dxdtdxdxf (t 2 ).dt五. 求下列不定積分( 共 2 小題 , 每小題 7 分, 共 14 分):x(11x8 ) dx.1、x8x 711dx8=111dx8解:(1 x8 ) dx8x8 1 x88x 81 x8原式 =ln | x |18| C.ln |1 x82. x sin 2 xdx .解:原式x 1 cos2 x dx1xdx1x cos2 xdx224x 21x

13、 sin 2 x1C.44cos2 x8六. 已知 f (2)1, f '(2)0, 及 02 f ( x)dx 1,2求1x 2 f''(2 x)dx.(7分)0解:設(shè) t2 x ,則1x2 f ''( x)dx12t 2f ''( t )dt0204.1t2 f '( t ) 22 2 tf'( t )dt12 2 tdf ( t )800801 t f ( t ) 22f (t )dt1(1 1) 0.4004七. 已知函數(shù) y2 x 2, 試求其單增、單減區(qū)間 ,2(1 x )并求該函數(shù)的極值和拐點(diǎn) .(9分)解:

14、4x8 x4y '(1 x)3 ,y''(1 x)4 .令 y '0, 得x0; 令 y ''0, 得 x1.2x (, 1/2)1/ 2(1/ 2,0) 0(0,1) (1,)y '-0+-y ''-0+y拐點(diǎn)極小值故(0,1)為單增區(qū)間 , (,0) 和(1,)為單減區(qū)間 ; 函數(shù)在 x0 處取得極小值 ,極小值為 0。點(diǎn) (1/ 2,2/ 9) 為拐點(diǎn) .八. 設(shè) f( x) 在 a,)上連續(xù),f ''( x ) 在 (a,) 內(nèi)存在且大于零 ,記 F ( x )f ( x )f ( a)xa增加. (5分 )( xa). 證明 : F ( x ) 在 ( a,) 內(nèi)單調(diào)證明 : F '( x )1f '( x )xaf ( x)f (a)xa.由拉格朗日中值定