考研數(shù)學(xué)一數(shù)一線代大題匯編

1、.2017（20） ( 本題滿分11 分 ) 設(shè)3矩陣 A(1,2,3 ) 有 3 個(gè)不同的特征值，3122（ I ）證明： r (A)2 ;（II ）若123 ，求方程組Ax的解 .（21）（本題滿分11 分）設(shè)二次型f ( x1 , x2 , x3 )2x12x22ax322x1 x28x1 x32x2 x3 在正交變換 xQy 下的標(biāo)準(zhǔn)形為1 y122 y22 ，求 a 的值及一個(gè)正交矩陣Q 。201611122（20）（本題滿分11 分）設(shè)矩陣 A2a1 , B1a11aa12當(dāng) a 為何值時(shí)，方程AXB 無解、有唯一解、有無窮多解？011（21）（本題滿分11 分）已知矩陣A2300

2、00（I ）求 A99（II ）設(shè) 3 階矩陣 B(,2 ,3) 滿足 B2BA，記 B100(1,2 ,3)將 1, 2,3分別表示為1,2 , 3 的線性組合。2015(20) ( 本題滿 11分 )設(shè)向量組 1 , 2 , 3內(nèi)R3 的一個(gè)基， =2 +2 k ， =2 ，3=1+ k +1 3.11322（I ）證明向量組123為 R3的一個(gè)基 ;（II ）當(dāng) k 為何值時(shí)，存在非0 向量 在基 1, 2, 3 與基123 下的坐標(biāo)相同，并求所有的.(21) ( 本題滿分 11 分)023120設(shè)矩陣A133相似于矩陣 B =0b0.12a031.(I) 求 a, b 的值；（II ）

3、求可逆矩陣P，使 P1 AP 為對(duì)角矩陣 .201420)( 本題滿分 11分 )1234設(shè)矩陣 A0111 ， E 為三階單位矩陣 .1203(I) 求方程組 Ax 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(II) 求滿足 AB E 的所有矩陣 B . (21)( 本題滿分 11 分)11L10L0111L10L02證明 n 階矩陣與MM相似 .M M MMM M11L10L0n2013（20）（本題滿分11 分）1a01C使得 AC CAB ，并求所有設(shè) A, B1，當(dāng) a, b 為何值時(shí)，存在矩陣10b矩陣 C。（21）（本題滿分11 分）22設(shè) 二 次 型 f x1, x2 , x3 2 a1 x1 a2

4、 x2 a3 x3b1 x1 b2 x2 b3x3， 記a1b1a2,b2。a3b3（I ）證明二次型f 對(duì)應(yīng)的矩陣為 2 TT；（ II）若,正交且均為單位向量，證明二次型f 在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型2 y12y22。2012（20）（本題滿分11 分）1a001設(shè) A01a01001，0aa0010（）計(jì)算行列式A.（）當(dāng)實(shí)數(shù) a 為何值時(shí)，方程組 Ax有無窮多解，并求其通解 .（21）（本題滿分11 分）101已知 A011，二次型 f (x1, x2, x3 )xT (AT A)x 的秩為 210a0a1（）求實(shí)數(shù) a 的值；（）求利用正交變換x Qy 將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形20112

5、0、（本題滿分11 分）設(shè)向量組 1(1,0,1) T，2(0,1,1)T，3(1,3,5)T不能由向量組 1(1,1,1) T，2(1,2,3)T ，3(3,4, a)T 線性表示；（1）求 a 的值；（2）將 1 ,2 ,3 用1 ,2 ,3 線性表示；21、（本題滿分 11 分）1111A 為 3 階實(shí)對(duì)稱矩陣， A 的秩為2，且 A0000- 1111求（ 1） A 的特征值與特征向量（ 2） 矩陣 A2010(20)( 本題滿分 11分)設(shè)向量組 1(1,0,1)T ， 2(0,1,1)T ， 3(1,3,5)T ，不能由向量組1(1,1,1)T ，2 (1,2,3) T ，3 (3

6、, 4, a)T 線性表示(I) 求 a 的值；(II) 將 1, 2, 3由 1, 2, 3線性表示(21)( 本題滿分11 分 )1111A 為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，A 的秩為 2，即 r A2，且A 00001111(I) 求 A 的特征值與特征向量；(II)求矩陣 A2009.(20)( 本題滿分11 分)11a設(shè) A01， b1, 已知線性方程組Ax b 存在兩個(gè)不同的解 .1( I )求, a ；(II)求方程組 Axb 的通解 .(21)( 本題滿分11分 )已知二次型f (x1, x2 , x3 )xT Ax 在正交變換 xQy 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 y12y22,且Q的第三列為 (2 ,0

7、,2)T.22( I )求矩陣 A；(II)證明 AE 為正定矩陣 , 其中 E 為 3 階單位矩陣 .2008(20)( 本題滿分11 分)設(shè)1111A111, 110422()求滿足 A21, A231 的所有向量2 ,3 ；( ) 對(duì)( ) 中的任意向量2 ,3,證明： 1,2 ,3 線性無關(guān) .(21)( 本題滿分11 分)設(shè)二次型f x1, x2 , x3ax12ax22a 1 x322x1 x3 2x2 x3( ) 求二次型f 的矩陣的所有特征值；( ) 若二次型f 的規(guī)范形為y12y22 , 求 a 的值 .2007(20)( 本題滿分10 分)ATT ，,是三維列向量，T 為的

8、轉(zhuǎn)置，T 為的轉(zhuǎn)置(I) 證 r ( A)2 ；(II) 若 , 線性相關(guān)，則 r ( A) 2 . (21)( 本題滿分 12 分).2a1a22aO設(shè)矩陣 AOO12a2aTB1,0,L ,0，現(xiàn)矩陣 A 滿足方程 AXB，其中 XTx1,L , xn ，n n(I)求證 A n 1 an(II)a 為何值，方程組有唯一解，求 x1(III) a 為何值，方程組有無窮多解，求通解2007(21)( 本題滿分11分)x1x2x30設(shè)線性方程組x12x2ax30(1)x14x2a2 x30與方程x12x2x3a1(2)有公共解，求a 得值及所有公共解.(22)( 本題滿分11 分)設(shè) 3 階實(shí)

9、對(duì)稱矩陣A 的特征值1 1,2 2,32, 1 (1, 1,1)T 是 A 的屬于1 的一個(gè)特征向量 , 記 BA54 A3E，其中 E為 3階單位矩陣 .(I) 驗(yàn)證 1 是矩陣 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值與特征向量；(II) 求矩陣 B.2006(20)( 本題滿分9 分 )x1x2 x3x41已知非齊次線性方程組4x13x25x3x41 有 3 個(gè)線性無關(guān)的解ax1x23x3bx41(I) 證明方程組系數(shù)矩陣 A的秩 r A 2 ;(II)求 a,b 的值及方程組的通解 .(21)( 本題滿分9 分 )3 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的各行元素之和均為3,向量TT設(shè)11,2,1,20,

10、 1,1 是線性方程組 Ax0 的兩個(gè)解 .(I) 求 A 的特征值與特征向量(II)求正交矩陣 Q 和對(duì)角矩陣, 使得 Q T AQ.200520)( 本題滿分 9分 )已知二次型f ( x1 , x2 , x3 ) (1 a) x12(1 a) x222x322(1 a)x1 x2 的秩為 2.(I) 求 a 的值；(II)求正交變換xQy ，把 f ( x1 , x2 , x3 ) 化成標(biāo)準(zhǔn)形；(III) 求方程 f (x1 , x2 , x3 ) =0 的解 .(21)( 本題滿分9 分 )123已知 3 階矩陣 A 的第一行是 (a,b,c), a,b,c 不全為零， 矩陣 B246

11、( k 為常數(shù) ) ，36k且 AB 0, 求線性方程組Ax 0 的通解 .2004(20)( 本題滿分9 分 )設(shè)有齊次線性方程組(1a) x1x2xn0,2x1(2a) x22xn0,2)( nnx1nx2( na) xn0,試問 a 取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解.(21)( 本題滿分9 分 )123設(shè)矩陣 A143 的特征方程有一個(gè)二重根，求a 的值，并討論 A 是否可相似1a5對(duì)角化 .2003九 、( 本題滿分10 分)322010設(shè)矩陣 A232， P101 ， BP 1A*P，求 B2E 的特征值與特征223001向量，其中 A* 為 A 的伴隨矩陣，E為 3 階單位

12、矩陣 .十 、( 本題滿分8 分 )已知平面上三條不同直線的方程分別為.l1 : ax2by3c0 ， l 2 : bx2cy3a0 ， l 3 : cx2ay3b0 .試證 :這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為abc0.2002九、 ( 本題滿分6 分)已知 4階方陣 A ( 1,2, 3,4 ),1,2 , 3, 4 均為 4 維列向量，其中 2 , 3,4 線性無關(guān)， 1 223. 如果1234，求線性方程組 Ax的通解 .十、 ( 本題滿分8 分)設(shè) A, B 為同階方陣，(1) 如果 A, B 相似，試證 A, B 的特征多項(xiàng)式相等 .(2) 舉一個(gè)二階方陣的例子說明 (1) 的逆命

13、題不成立 .(3) 當(dāng) A, B 均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，試證(1) 的逆命題成立.2001九、 ( 本題滿分6 分)設(shè)1,2 ,L, s 為線性方程組Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，1t1 1t2 2 ,2t12 t 2 3,L ,st1 st2 1 , 其中 t1 , t2 為實(shí)常數(shù) . 試問 t1 ,t2滿足什么關(guān)系時(shí)，1,2 ,L,s 也為 Ax0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 .十、 ( 本題滿分 8分 )已知 3階矩陣 A 與三維向量 x ,使得向量組 x, Ax , A2 x 線性無關(guān)，且滿足A3x 3Ax2 A2 x(1)記 Px, Ax, A2 x ,求 2階矩陣 B,使A PBP1;(2)計(jì)算行列式AE

14、 .2000十、 ( 本題滿分 6 分)1000設(shè)矩陣 A 的伴隨矩陣 A*0100,且 ABA 1BA 13E, 其中 E 為4階單10100308位矩陣，求矩陣B .十一、 ( 本題滿分 8分 ).某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將1 熟練工支援6其他生產(chǎn)部門， 其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊，新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有 2 成為熟練工 . 設(shè)第 n 年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為xn , yn 記5成向量xn. (1)求xn 1xn的關(guān)系式并寫成矩陣形式：xn 1xn;ynyn 1與ynyn 1Ayn(2)驗(yàn)證 14, 21是 A

15、的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；11當(dāng) x11xn1(3)2時(shí)，求yn.y11121999十、 ( 本題滿分 8分 )a1c設(shè)矩陣 A5b3, 其行列式A1, 又 A 的伴隨矩陣A* 有一個(gè)特征值0 ，1c0a屬于0 的一個(gè)特征向量為(1,1,1)T , 求 a,b, c 和 0 的值 .十一、 ( 本題滿分 6分 )設(shè) A 為m 階實(shí)對(duì)稱矩陣且正定，B為m× n實(shí)矩陣， BT 為 B的轉(zhuǎn)置矩陣，試證：BTAB為正定矩陣的充分必要條件是B的秩 rBn .1998十、（本題滿分6 分）已知二次曲面方程x2ay 2z22bxy2xz2yz 4 可以經(jīng)過正交變換xyP化為橢圓

16、柱面方程2424, 求 a, b 的值和正交矩陣P.z十一、（本題滿分4 分）設(shè) A 是 n 階矩陣 , 若存在正整數(shù) k, 使線性方程組 A k x 0 有解向量 ,且 A k 1 0.證明 : 向量組 , A ,L , A k 1是線性無關(guān)的.十二、（本題滿分5 分）已知方程組.a11x1a12 x2La1,2 n x2 n0a21x1a22 x2La2,2 n x2n0( )Man1 x1an 2 x2Lan ,2 n x2n0的一個(gè)基礎(chǔ)解析為 (b , b,L ,b)T ,( b,b,L, b)T ,L ,( b, b,L , b)T . 試寫出線11 121,2 n21222,2 n

17、n1n 2n,2 n性方程組b11 y1b12 y2Lb1,2 n y2 n0( )b21 y1b22 y2Lb2,2 n y2n0Mbn1 y1bn2 y2Lbn ,2n y2n0的通解 , 并說明理由 .1997七、 (本題共 2 小題 , 第(1) 小題 5 分, 第(2) 小題 6分, 滿分 11 分)(1) 設(shè) B 是秩為 2的 54 矩陣 , 1,1,2,3T , 1,1,4, 1T , 5,1, 8,9 T 是123齊次線性方程組Bx0 的解向量 , 求 Bx0 的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.1212(2) 已知 1是矩陣 A5a3的一個(gè)特征向量.11b21) 試確定 a, b 參數(shù)

18、及特征向量 所對(duì)應(yīng)的特征值 .2) 問 A 能否相似于對(duì)角陣 ?說明理由 .八、（本題滿分5 分）設(shè) A 是 n 階可逆方陣 , 將 A 的第 i 行和第 j 行對(duì)換后得到的矩陣記為B.(1) 證明 B可逆.(2) 求AB 1.1996八、（本題滿分6 分）設(shè)A IT其中I是n 階單位矩陣是 n 維非零列向量T是 的轉(zhuǎn)置 . 證明, (1)A2A 的充分條件是T 1.(2)T當(dāng) 1時(shí) , A 是不可逆矩陣 .九、（本題滿分8 分）已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 )5x125x22cx322x1 x2 6x1 x36x2 x3 的秩為 2,.(1) 求參數(shù) c 及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的

19、特征值 .(2) 指出方程 f ( x1, x2 , x3 ) 1表示何種二次曲面 .1995八、（本題滿分7 分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的特征值為 11, 231,對(duì)應(yīng)于1的特征向量為01, 求A.11九、（本題滿分6 分）設(shè) A 為 n 階矩陣 , 滿足 AAI (I 是 n 階單位矩陣, A是 A 的轉(zhuǎn)置矩陣), A0, 求AI .1994八、（本題滿分 8 分）設(shè)四元線性齊次方程組x1x20()為,x2x40又已知某線性齊次方程組( ) 的通解為 k1 (0,1,1,0) k2 ( 1,2, 2,1).(1) 求線性方程組 ( ) 的基礎(chǔ)解析 .(2) 問線性方程組 ( ) 和 ( )

20、 是否有非零公共解 ?若有 , 則求出所有的非零公共解 . 若沒有, 則說明理由 .九、（本題滿分6 分）設(shè) A 為 n 階非零方陣, A * 是 A 的伴隨矩陣, A 是 A 的轉(zhuǎn)置矩陣 , 當(dāng) A *A 時(shí) , 證明A0.1993七、（本題滿分8 分）已知二次型f (x1 , x2 , x3 )2x123x223x322ax2 x3 (a 0) 通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形f y122 y225 y32 , 求參數(shù) a 及所用的正交變換矩陣 .八、（本題滿分6 分）設(shè) A 是 nm矩陣 ,B 是 mn 矩陣 ,其中 nm, I 是 n 階單位矩陣 , 若 ABI,證明 B的列向量組線性無關(guān).19

21、92八、（本題滿分7 分）設(shè)向量組 , , 線性相關(guān) , 向量組 , , 線性無關(guān) , 問 :123234.(1) 能否由2 , 3線性表出 ?證明你的結(jié)論 .1(2) 能否由1,2 , 3線性表出 ?證明你的結(jié)論 .4九、（本題滿分 7 分）設(shè)3階矩陣 A的特征值為 1 1, 2 2, 33, 對(duì)應(yīng)的特征向量依次為1111123 ,又向量 2 .1, 2, 31493(1) 將 用 , 線性表出 .1 23(2) 求 A n(n 為自然數(shù) ).1991七、（本題滿分8 分）已知(1,0,2,3), (1,1,3,5),(1, 1, a2,1),(1,2,4, a8)及1234 (1,1,b3,5).(1)a 、 b 為何值時(shí) , 不能表示