高中數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 空間幾何體的表面積和體積

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座9）空間幾何體的表面積和體積一課標(biāo)要求：了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）。二命題走向近些年來(lái)在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解。由于本講公式多反映在考題上，預(yù)測(cè)

2、008年高考有以下特色：（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題；三要點(diǎn)精講1多面體的面積和體積公式名稱(chēng)側(cè)面積(S側(cè))全面積(S全)體 積(V)棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺(tái) (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。2旋轉(zhuǎn)

3、體的面積和體積公式名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h(即r2l)r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，R表示半徑。四典例解析題型1：柱體的體積和表面積例1一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2，所有棱長(zhǎng)的和是24cm，求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm、lcm依題意得： 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）（1）得x2+y2+

4、z2=16即l2=16所以l=4(cm)。點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素（對(duì)角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關(guān)系。例2如圖1所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=。（1）求證：頂點(diǎn)A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分線上；（2）求這個(gè)平行六面體的體積。圖1 圖2解析：（1）如圖2，連結(jié)A1O，則A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M，作ONAD交AD于N，連結(jié)A1M，A1N。由三垂線定得得A1MAB，A1NAD。A

5、1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，從而OM=ON。點(diǎn)O在BAD的平分線上。（2）AM=AA1cos=3×=AO=。又在RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=9=，A1O=，平行六面體的體積為。題型2：柱體的表面積、體積綜合問(wèn)題例3（2000全國(guó)，3）一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）A2 B3 C6 D解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b，c，則對(duì)角線l的長(zhǎng)為l=；答案D。點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素棱長(zhǎng)。例4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)

6、，平面EB1C1將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1V2= _ _。解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V1+V2Sh。E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh，V1V2=75。點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。題型3：錐體的體積和表面積PABCDOE例5（2006上海，19）在四棱錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，DAB60，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60，求四棱錐PABCD的

7、體積？解：（1）在四棱錐P-ABCD中，由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角，PBO=60°。在RtAOB中BO=ABsin30°=1, 由POBO，于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面積為2。四棱錐PABCD的體積V=×2×=2。點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。圖例6（2002京皖春文，19）在三棱錐SABC中，SAB=SAC=ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）（）證明：SCBC；（）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二

8、面角的大?。唬ǎ┣笕忮F的體積VSABC。解析：（）證明：SAB=SAC=90°，SAAB，SAAC。又ABAC=A，SA平面ABC。由于ACB=90°，即BCAC，由三垂線定理，得SCBC。（）解：BCAC，SCBC。SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角。在RtSCB中，BC=5，SB=5，得SC=10。在RtSAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°。（）解：在RtSAC中，SA=，SABC=·AC·BC=×5×5=，VSABC=

9、·SACB·SA=。點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題例7ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐BEFG。設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD，EF，CO。 。而GC平面ABCD，且GC2。由，得·點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)

10、鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類(lèi)題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。例8（2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐ABEFD與三棱錐AEFC的表面積分別是S1，S2，則必有（ ）AS1<S2 BS1>S2CS1=S2 DS1，S2的大小關(guān)系不能確定解：連OA、OB、OC、OD，則VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC，而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SA

11、BDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共，故選C點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。題型5：棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問(wèn)題例9（2002北京理，18）如圖924，在多面體ABCDA1B1C1D1中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且ac，bd，兩底面間的距離為h。（）求側(cè)面ABB1A1與底面ABCD所成二面角的大小；（）證明：EF面ABCD；（）在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)

12、常運(yùn)用近似公式V估=S中截面·h來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是V=（S上底面+4S中截面+S下底面），試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明。（注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱(chēng)為該多面體的中截面）圖（）解：過(guò)B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B1作B1GPQ，垂足為G。如圖所示：平面ABCD平面A1B1C1D1，A1B1C1=90°，ABPQ，ABB1P.B1PG為所求二面角的平面角.過(guò)C1作C1HPQ，垂足為H.由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B1PQC1為等腰梯形。PG=（bd），又B1G=h，tanB1PG=（bd），B1PG

13、=arctan，即所求二面角的大小為arctan.（）證明：AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有ABCD，又CD是面ABCD與面CDEF的交線，AB面CDEF。EF是面ABFE與面CDEF的交線，ABEF。AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線，EF在平面ABCD外，EF面ABCD。（）V估V。證明：ac，bd，VV估=2cd+2ab+2（a+c）（b+d）3（a+c）（b+d）=（ac）（bd）0。V估V。點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)

14、算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題?？疾榱丝忌^續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。例10（1）（1998全國(guó)，9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S，中截面的面積是S0，那么（ ）A B C2S0SS DS022SS（2）（1994全國(guó)，7）已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為（ ）A32 B28 C24 D20解析：（1）解析：設(shè)該棱臺(tái)為正棱臺(tái)來(lái)解即可，答案為A；（2）正六棱臺(tái)上下底面面積分別為：S上6··226，S下6··4224，V臺(tái)，答案B。點(diǎn)評(píng)：本題考查棱臺(tái)的中截面問(wèn)題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來(lái)解，此種解法在解選擇題時(shí)很普遍，如選用

15、特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線、特殊圖形等等。題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問(wèn)題例11（2000全國(guó)理，9）一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（ ）A B C D解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2r.S全=2r2+（2r）2=2r2（1+2）.S側(cè)=h2=42r2，。答案為A。點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí)。例12（2003京春理13，文14）如圖99，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則= 。解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加R2·r。恰好是半徑為r的

16、實(shí)心鐵球的體積，因此有r3=R2r。故。答案為。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。圖題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問(wèn)題例13（1）（2002京皖春，7）在ABC中，AB=2，BC=1.5，ABC=120°（如圖所示），若將ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（ ）A BC D（2）（2001全國(guó)文，3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是（ ）圖A3 B3 C6 D9解析：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐CADE與圓錐BADE體積之差，又求得AB=1。，答案D。（2）Sabsin，a2sin60

17、6;，a24，a2，a=2r，r1，S全2rr223，答案A。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。例14（2000全國(guó)文，12）如圖所示，OA是圓錐底面中心O到母線的垂線，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為（ ）A B C D解析：如圖所示，由題意知，r2hR2h，圖r 又ABOCAO，OA2r·R，cos，答案為D。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。題型8：球的體積、表面積例15已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半

18、徑的一半，且，求球的表面積。解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，則，在中，。點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。例16如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。解析：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O，球心到該圓面的距離為d。在三棱錐PABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=a,且P在ABC內(nèi)的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得 =2r,r=a。又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O共線，球的半徑R

19、=。又PO=a，OO=R a=d=,(Ra)2=R2 (a)2，解得R=a,S球=4R2=3a2。點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將PABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱(chēng)性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線，易得球半徑R=a,下略。題型9：球的面積、體積綜合問(wèn)題例17（2006四川文，10）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是（ ）A B C D（2）半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積。解析：（1）如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO底面ABCD，PO=R，所以，

20、R=2，球的表面積是，選D。（2）作軸截面如圖所示，設(shè)球半徑為，則 ，。點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。例18（1）表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。（2）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O1是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O1的體積。解：（1）設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，則作軸截面如圖，又，（2）如圖，設(shè)球O半徑為R，球O1的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O1與平面ACD切于點(diǎn)H 由題設(shè)AOFAEG ，得AO1HAOF ，得點(diǎn)評(píng)：正四面體

21、的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問(wèn)題例19（1）我國(guó)首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長(zhǎng)度等于多少？（地球半徑大約為）（2）在半徑為的球面上有三點(diǎn)，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。解：（1）如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，設(shè)是北緯的緯線長(zhǎng)，答：北緯緯線長(zhǎng)約等于（2）解：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為，設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，所以，球心到截面距離為例20在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為（為地球半徑），求兩點(diǎn)間的球面距離。解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，中，所以，兩點(diǎn)的球面距離等于點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。五思維總結(jié)1正四面體的性質(zhì) 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的(1)全面積：S全=a2；(2)體積：V=a3；(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線段的長(zhǎng)：d=a；(4)內(nèi)切球半徑：r=a；(5)外接球半徑 R=a；(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為