高中數(shù)學(xué)錯(cuò)因正解匯總平面解析幾何初步

1、第七章平面解析幾何初步§7.1直線(xiàn)和圓的方程一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1兩點(diǎn)間的距離公式:不論A(1，1)，B(2，2)在坐標(biāo)平面上什么位置，都有d=|AB|=，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線(xiàn)段的長(zhǎng)|AB|=|21|或|AB|=|2-1|.2定比分點(diǎn)公式:定比分點(diǎn)公式是解決共線(xiàn)三點(diǎn)A(1，1)，B(2，2)，P(，)之間數(shù)量關(guān)系的一個(gè)公式，其中的值是起點(diǎn)到分點(diǎn)與分點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線(xiàn)段的數(shù)量之比.這里起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)的位置是可以任意選擇的，一旦選定后的值也就隨之確定了.若以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，P為分點(diǎn)，則定比分點(diǎn)公式是.當(dāng)P點(diǎn)為AB的中點(diǎn)時(shí)，=1，此時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)公式是.3直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系（1）每一條直

2、線(xiàn)都有傾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直線(xiàn)，其斜率與傾斜角之間的關(guān)系是=tan.4確定直線(xiàn)方程需要有兩個(gè)互相獨(dú)立的條件。直線(xiàn)方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線(xiàn)方程的適用范圍.名稱(chēng)方程說(shuō)明適用條件斜截式為直線(xiàn)的斜率b為直線(xiàn)的縱截距傾斜角為90°的直線(xiàn)不能用此式點(diǎn)斜式() 為直線(xiàn)上的已知點(diǎn)，為直線(xiàn)的斜率傾斜角為90°的直線(xiàn)不能用此式兩點(diǎn)式=()，()是直線(xiàn)上兩個(gè)已知點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)不能用此式截距式+=1為直線(xiàn)的橫截距b為直線(xiàn)的縱截距過(guò)（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線(xiàn)不能用此式一般式，分別為斜率、橫截距和縱截距A、B不全為零5兩條直線(xiàn)的夾角。當(dāng)兩直線(xiàn)的斜率,都

3、存在且· -1時(shí)，tan=，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可結(jié)合圖形判斷.另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別.6怎么判斷兩直線(xiàn)是否平行或垂直？判斷兩直線(xiàn)是否平行或垂直時(shí)，若兩直線(xiàn)的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來(lái)判斷；若直線(xiàn)的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來(lái)判斷.（1）斜率存在且不重合的兩條直線(xiàn)1， 2，有以下結(jié)論：12=，且1212·= -1（2）對(duì)于直線(xiàn)1，2 ，當(dāng)1，2，1，2都不為零時(shí)，有以下結(jié)論：12=1212+12 = 01與2相交1與2重合=7點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.（1）已知一點(diǎn)P（）及一條直線(xiàn)：，則點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離d=；（2）兩平行直線(xiàn)1: ，

4、2: 之間的距離d=.8確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件。圓的方程有兩種形式，要知道兩種形式之間的相互轉(zhuǎn)化及相互聯(lián)系（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中（，b）是圓心坐標(biāo)，是圓的半徑；（2）圓的一般方程：（0），圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為=.二、疑難知識(shí)1直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法.（1）方法一直線(xiàn)：；圓：.一元二次方程（2）方法二直線(xiàn): ；圓：，圓心（，b）到直線(xiàn)的距離為d=2兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2，半徑分別為1，2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|O1O2|>1+2兩圓外離；|O1O2|=1+2兩圓外切；| 1-2|<|O1O2|<1

5、+2兩圓相交；| O1O2 |=|1-2|兩圓內(nèi)切；0<| O1O2|<| 1-2|兩圓內(nèi)含.三、經(jīng)典例題例1直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)P（2,3）,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線(xiàn)方程.錯(cuò)解：設(shè)直線(xiàn)方程為:,又過(guò)P(2,3),求得a=5 直線(xiàn)方程為x+y-5=0.錯(cuò)因：直線(xiàn)方程的截距式: 的條件是:0且b0,本題忽略了這一情形.正解：在原解的基礎(chǔ)上,再補(bǔ)充這樣的過(guò)程:當(dāng)直線(xiàn)過(guò)(0,0)時(shí),此時(shí)斜率為:,直線(xiàn)方程為y=x綜上可得:所求直線(xiàn)方程為x+y-5=0或y=x .例2已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的3倍等于它到點(diǎn)A(1,3)的距離的平方,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.錯(cuò)解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y).由已知

6、3 化簡(jiǎn)3=x2-2x+1+y2-6y+9 . 當(dāng)x0時(shí)得x2-5x+y2-6y+10=0 . 當(dāng)x0時(shí)得x2+ x+y2-6y+10=0 . 錯(cuò)因：上述過(guò)程清楚點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的意義及兩點(diǎn)間距離公式,并且正確應(yīng)用絕對(duì)值定義將方程分類(lèi)化簡(jiǎn),但進(jìn)一步研究化簡(jiǎn)后的兩個(gè)方程,配方后得(x-)2+(y-3)2 = 和 (x+)2+(y-3)2 = - 兩個(gè)平方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù),故方程的情況不會(huì)出現(xiàn).正解：接前面的過(guò)程,方程化為(x-)2+(y-3)2 = ,方程化為(x+)2+(y-3)2 = - ,由于兩個(gè)平方數(shù)之和不可能為負(fù)數(shù),故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為: (x-)2+(y-3)2 = (x0)例3m

7、是什么數(shù)時(shí)，關(guān)于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的圖象表示一個(gè)圓？錯(cuò)解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個(gè)圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3， 當(dāng)m=1或m=-3時(shí)，x2和y2項(xiàng)的系數(shù)相等，這時(shí)，原方程的圖象表示一個(gè)圓錯(cuò)因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圓的必要條件，而非充要條件，其充要條件是：A=C0且0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一個(gè)圓，只要A=C0， 得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1) 當(dāng)m=1時(shí)，方程為2x2+2

8、y2=-3不合題意，舍去.(2) 當(dāng)m=-3時(shí)，方程為14x2+14y2=1,即x2+y2=,原方程的圖形表示圓.例4自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)出的光線(xiàn)L射到x軸上，被x軸反射，其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓x2+y2-4x-4y+70相切，求光線(xiàn)L所在的直線(xiàn)方程.錯(cuò)解：設(shè)反射光線(xiàn)為L(zhǎng),由于L和L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，L過(guò)點(diǎn)A(-3，3)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(-3，-3)，于是L過(guò)A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2

9、-25k+120解得kL的方程為y+3(x+3)即4x-3y+30因L和L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)故L的方程為4x+3y+30.錯(cuò)因：漏解正解：設(shè)反射光線(xiàn)為L(zhǎng),由于L和L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，L過(guò)點(diǎn)A(-3，3)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(-3，-3)，于是L過(guò)A(-3，-3).設(shè)L的斜率為k，則L的方程為y-(-3)kx-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圓方程即(x-2)2+(y-2)21，圓心O的坐標(biāo)為(2，2)，半徑r1因L和已知圓相切，則O到L的距離等于半徑r1即整理得12k2-25k+120解得k或kL的方程為y+3(x+3);或y+3(x+3)。即4x-3y+30或3x-4y-30因L和L關(guān)于x軸

10、對(duì)稱(chēng)故L的方程為4x+3y+30或3x+4y-30.例5求過(guò)直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)，且滿(mǎn)足下列條件之一的圓的方程：（1） 過(guò)原點(diǎn)；（2）有最小面積.解：設(shè)所求圓的方程是： 即：（1）因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以，即故所求圓的方程為：.（2） 將圓系方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，有：當(dāng)其半徑最小時(shí)，圓的面積最小，此時(shí)為所求.故滿(mǎn)足條件的圓的方程是.點(diǎn)評(píng)：（1）直線(xiàn)和圓相交問(wèn)題，這里應(yīng)用了曲線(xiàn)系方程，這種解法比較方便；當(dāng)然也可以待定系數(shù)法。（2）面積最小時(shí)即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線(xiàn)與相交弦為直徑時(shí)圓面積最小.例6已知點(diǎn)A()，B()（0）是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿(mǎn)足.設(shè)圓C的方程為（1）證明線(xiàn)段AB是圓

11、C的直徑；（2）當(dāng)圓C的圓心到直線(xiàn)的距離的最小值為時(shí)，求的值.解：（1）證明，（）2（）2，整理得：00設(shè)M（）是以線(xiàn)段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則0即0整理得：故線(xiàn)段AB是圓C的直徑.（2）設(shè)圓C的圓心為C（），則，又0，0，04所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線(xiàn)的距離為，則當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)得2.四、典型習(xí)題1直線(xiàn)截圓得的劣弧所對(duì)的圓心角為 （ ）A. B. C. D.2.已知直線(xiàn)x=a(a0)和圓(x-1)2+y2=4相切 ，那么a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足等式(x-2)2+y2，則的最大值為： .4.設(shè)正方形ABCD（A、B、C、D順時(shí)針排

12、列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a<9），C、D點(diǎn)所在直線(xiàn)l的斜率為.（1）求外接圓圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)及正方形對(duì)角線(xiàn)AC、BD的斜率；（2）如果在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)上，求此拋物線(xiàn)的方程及直線(xiàn)l的方程；（3）如果ABCD的外接圓半徑為2，在x軸上方的A、B兩點(diǎn)在一條以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)上，求此拋物線(xiàn)的方程及直線(xiàn)l的方程.5.如圖，已知圓C：（x+4）2+y2=4。圓D的圓心D在y軸上且與圓C外切。圓 D與y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為(-3，0).（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，3），求APB的正切值；（2）當(dāng)點(diǎn)D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求APB的正切值的

13、最大值；（3）在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，當(dāng)圓D在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQB是定值？如果存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由.§7.2圓錐曲線(xiàn)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1橢圓定義：在平面內(nèi)，到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（定長(zhǎng)大于兩定點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：， （）3橢圓的第二定義:一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(xiàn)的距離的比是一個(gè)內(nèi)常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓 其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做準(zhǔn)線(xiàn)，常數(shù)就是離心率橢圓的第二定義與第一定義是等價(jià)的，它是橢圓兩種不同的定義方式4橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程對(duì)于，左準(zhǔn)線(xiàn)；右準(zhǔn)線(xiàn)對(duì)于，下準(zhǔn)線(xiàn)；上準(zhǔn)線(xiàn)5.焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離（焦參數(shù)）橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程有兩條，這兩條準(zhǔn)線(xiàn)在橢

14、圓外部，與短軸平行，且關(guān)于短軸對(duì)稱(chēng) 6橢圓的參數(shù)方程7雙曲線(xiàn)的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線(xiàn) 即 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距8雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及特點(diǎn)： （1）雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)； 焦點(diǎn)在軸上時(shí)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(,)(2)有關(guān)系式成立，且其中與b的大小關(guān)系:可以為9焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母、項(xiàng)的分母的大小來(lái)確定，分母大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸 而雙曲線(xiàn)是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)判斷焦點(diǎn)所在的位置，即項(xiàng)的系數(shù)是正的

15、，那么焦點(diǎn)在軸上；項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在軸上10雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：（1）范圍、對(duì)稱(chēng)性 由標(biāo)準(zhǔn)方程，從橫的方向來(lái)看，直線(xiàn)x=-,x=之間沒(méi)有圖象，從縱的方向來(lái)看，隨著x的增大，y的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線(xiàn)在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線(xiàn) 雙曲線(xiàn)不封閉，但仍稱(chēng)其對(duì)稱(chēng)中心為雙曲線(xiàn)的中心 （2）頂點(diǎn)頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)：實(shí)軸：長(zhǎng)為2, 叫做半實(shí)軸長(zhǎng) 虛軸：長(zhǎng)為2b，b叫做虛半軸長(zhǎng)雙曲線(xiàn)只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異（3）漸近線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)（） （4）離心率雙曲線(xiàn)的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比，叫做雙曲線(xiàn)的離心率 范圍：雙曲線(xiàn)形狀與e的關(guān)系：，e越大，即漸近線(xiàn)的斜率的絕對(duì)值就大

16、，這時(shí)雙曲線(xiàn)的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊 由此可知，雙曲線(xiàn)的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊 11 雙曲線(xiàn)的第二定義：到定點(diǎn)F的距離與到定直線(xiàn)的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn) 其中，定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn) 常數(shù)e是雙曲線(xiàn)的離心率12雙曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程：對(duì)于來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線(xiàn)，相對(duì)于右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線(xiàn)；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離（也叫焦參數(shù)） 對(duì)于來(lái)說(shuō)，相對(duì)于上焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線(xiàn)；相對(duì)于下焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線(xiàn)拋物線(xiàn)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)13 拋物線(xiàn)定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn) 定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn) 二、疑難知識(shí)橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物

17、線(xiàn)同屬于圓錐曲線(xiàn)，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)過(guò)程以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)都存在著相似之處，也有著一定的區(qū)別,因此，要準(zhǔn)確地理解和掌握三種曲線(xiàn)的特點(diǎn)以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系1等軸雙曲線(xiàn)定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn)，這樣的雙曲線(xiàn)叫做等軸雙曲線(xiàn) 等軸雙曲線(xiàn)的性質(zhì)：（1）漸近線(xiàn)方程為：；（2）漸近線(xiàn)互相垂直；（3）離心率 2共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系如果已知一雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，那么此雙曲線(xiàn)方程就一定是：或?qū)懗?3共軛雙曲線(xiàn)以已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為原雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn) 雙曲線(xiàn)和它的共軛雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在同一圓上 確定雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn)的方法：將1變?yōu)?14拋物線(xiàn)的幾何

18、性質(zhì)（1）范圍因?yàn)閜0，由方程可知，這條拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿(mǎn)足不等式x0，所以這條拋物線(xiàn)在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線(xiàn)向右上方和右下方無(wú)限延伸（2）對(duì)稱(chēng)性以y代y，方程不變，所以這條拋物線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，我們把拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線(xiàn)的軸（3）頂點(diǎn)拋物線(xiàn)和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（4）離心率拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線(xiàn)的距離的比，叫做拋物線(xiàn)的離心率，用e表示由拋物線(xiàn)的定義可知，e=119拋物線(xiàn)的焦半徑公式：拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)， 拋物線(xiàn)， 拋物線(xiàn)，三、經(jīng)典例題例1設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：，求其離心率

19、.錯(cuò)解：由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為：，可得：，從而剖析：由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為是不能確定焦點(diǎn)的位置在x軸上的，當(dāng)焦點(diǎn)的位置在y軸上時(shí)，故本題應(yīng)有兩解，即：或.例2設(shè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓上，求的最大、最小值.錯(cuò)解：因 ，得：，同理得：，故 最大、最小值分別為3,-3.剖析：本題中x、y除了分別滿(mǎn)足以上條件外，還受制約條件的約束.當(dāng)x=1時(shí),y此時(shí)取不到最大值2,故x+y的最大值不為3.其實(shí)本題只需令，則，故其最大值為，最小值為.例3已知雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為，右焦點(diǎn),離心率,求雙曲線(xiàn)方程.錯(cuò)解一： 故所求的雙曲線(xiàn)方程為錯(cuò)解二： 由焦點(diǎn)知故所求的雙曲線(xiàn)方程為錯(cuò)因：這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，而題中并沒(méi)有

20、告訴中心在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯(cuò)誤，而造成解法錯(cuò)誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤解法.解法一： 設(shè)為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)為，右焦點(diǎn)，離心率，由雙曲線(xiàn)的定義知 整理得 解法二： 依題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的中心為,則 解得 ,所以 故所求雙曲線(xiàn)方程為 例4設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是，求這個(gè)橢圓的方程.錯(cuò)解：依題意可設(shè)橢圓方程為則 ，所以 ，即 設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 所以當(dāng)時(shí)，有最大值，從而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求橢圓的方程為錯(cuò)因：盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯(cuò)誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)時(shí)

21、，有最大值，這步推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有考慮到的取值范圍.事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以有，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論.正解：若，則當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值.于是從而解得.所以必有，此時(shí)當(dāng)時(shí)，（從而）有最大值，所以，解得于是所求橢圓的方程為例5從橢圓,(>b>0)上一點(diǎn)M向x軸所作垂線(xiàn)恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1，A、B分別是橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，ABOM設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)QF2AB時(shí)，延長(zhǎng)QF2與橢圓交于另一點(diǎn)P，若F1PQ的面積為20，求此時(shí)橢圓的方程解：本題可用待定系數(shù)法求解b=c, =c，可設(shè)橢圓方程為PQAB,kPQ=-，則PQ的方程為y=(x-c)，代入橢圓方程整理得5x2-

22、8cx+2c2=0，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得,又點(diǎn)F1到PQ的距離d=c ,由故所求橢圓方程為例6已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)解：a=3,b=1,c=2; 則F（-2，0）由題意知：與聯(lián)立消去y得：設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，又因?yàn)锳、B、F都是直線(xiàn)上的點(diǎn)，所以|AB|=點(diǎn)評(píng)：也可利用“焦半徑”公式計(jì)算例7設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，Q為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最大值.解： 依題意可設(shè)P（0,1），Q（），則PQ，又因?yàn)镼在橢圓上，所以，PQ2.因?yàn)?，1，若，則1，當(dāng)時(shí)，PQ取最大值；若1，則當(dāng)時(shí)，PQ取最大值2.例8已知雙曲線(xiàn)的中心在原

23、點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F（2，0）作斜率為的直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于M、N 兩點(diǎn)，且=4，求雙曲線(xiàn)方程解：設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為，由右焦點(diǎn)為（2，0）知C=2，b2=4-2則雙曲線(xiàn)方程為，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，代入雙曲線(xiàn)方程整理得：(20-82)x2+122x+54-322=0 設(shè)M（x1,y1）,N(x2,y2),則， 解得，故所求雙曲線(xiàn)方程為：點(diǎn)評(píng)：利用待定系數(shù)法求曲線(xiàn)方程，運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系將兩根之和與積整體代入，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的整體思想，也簡(jiǎn)化了計(jì)算，要求學(xué)生熟練掌握四、典型習(xí)題1. 設(shè)雙曲線(xiàn)兩焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)Q為雙曲線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),過(guò)F1作F1QF2的平分線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為P,則點(diǎn)P的軌跡

24、是（ ）A.橢圓的一部分 B.雙曲線(xiàn)的一部分C.拋物線(xiàn)的一部分 D.圓的一部分.2已知點(diǎn)(-2，3)與拋物線(xiàn)y2=2px(p0)的焦點(diǎn) 的距離是5，則p= .3.平面內(nèi)有兩定點(diǎn)上，求一點(diǎn)P使取得最大值或最小值，并求出最大值和最小值.4.已知橢圓的離心率為.（1）若圓（x-2）2+(y-1)2=與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)且線(xiàn)段AB恰為圓的直徑，求橢圓方程；（2）設(shè)L為過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且L的傾斜角為600，求的值.5.已知拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F且被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為3，求p的值6.線(xiàn)段AB過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M（m,0）（m>0），端點(diǎn)A、B到x軸距離之積為，

25、以x軸為對(duì)稱(chēng)軸，過(guò)A，O，B三點(diǎn)作拋物線(xiàn) （1）求拋物線(xiàn)方程；（2）若的取值范圍§7.3 點(diǎn)、直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1 點(diǎn)M(x0，y0)與圓錐曲線(xiàn)C：f(x，y)=0的位置關(guān)系已知（ab0）的焦點(diǎn)為F1、F2, （a0,b0）的焦點(diǎn)為F1、F2，(p0)的焦點(diǎn)為F，一定點(diǎn)為P(x0，y0)，M點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，則有：上述結(jié)論可以利用定比分點(diǎn)公式，建立兩點(diǎn)間的關(guān)系進(jìn)行證明2直線(xiàn)AxBC=0與圓錐曲線(xiàn)Cf(x，y)0的位置關(guān)系：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對(duì)于拋物線(xiàn)來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，平行于漸近線(xiàn)的

26、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：設(shè)直線(xiàn):Ax+By+C=0,圓錐曲線(xiàn)C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得:ax2+bx+c=0,=b2-4ac,（若a0時(shí)），0相交 0相離 = 0相切注意：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)相切的必要條件，但不是充分條件二、疑難知識(shí)1橢圓的焦半徑公式：（左焦半徑）,（右焦半徑）,其中是離心率。 焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式： （ 其中分別是橢圓的下上焦點(diǎn)）.焦半徑公式的兩種形式的區(qū)別只和焦點(diǎn)的左右有關(guān)，而與點(diǎn)在左在右無(wú)關(guān) 可以記為：左加右減，上減下加.2雙曲線(xiàn)的焦半徑定義：雙曲線(xiàn)上任意

27、一點(diǎn)M與雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的連線(xiàn)段，叫做雙曲線(xiàn)的焦半徑.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)的焦半徑公式：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)的焦半徑公式： （ 其中分別是雙曲線(xiàn)的下上焦點(diǎn)）3雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦：定義：過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)割雙曲線(xiàn)所成的相交弦。焦點(diǎn)弦公式： 當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)： ；過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：。當(dāng)雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：；過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：。4雙曲線(xiàn)的通徑：定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的相交弦 .5直線(xiàn)和拋物線(xiàn)（1）位置關(guān)系：相交（兩個(gè)公共點(diǎn)或一個(gè)公共點(diǎn)）；相離（無(wú)公共點(diǎn)）；相切（一個(gè)公共點(diǎn)）.聯(lián)立，得關(guān)于x的方程當(dāng)（二次項(xiàng)系數(shù)為零），唯一一個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)

28、）；當(dāng)，則若，兩個(gè)公共點(diǎn)（交點(diǎn)）；，一個(gè)公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；，無(wú)公共點(diǎn) （相離）.（2）相交弦長(zhǎng)：弦長(zhǎng)公式：.（3）焦點(diǎn)弦公式： 拋物線(xiàn)， .拋物線(xiàn)， .拋物線(xiàn)， .拋物線(xiàn)，.（4）通徑：定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱(chēng)軸的相交弦 通徑：.（5）常用結(jié)論：和和.三、經(jīng)典例題例1求過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，使它與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn).錯(cuò)解： 設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為，則它與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為，消去得整理得 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線(xiàn)為正解： 當(dāng)所求直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即直線(xiàn)垂直軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線(xiàn)相切.當(dāng)所求直線(xiàn)斜率為零時(shí)，直線(xiàn)為y = 1平行軸，它正好與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn).一般地，設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)為

29、,則，令解得k = ,所求直線(xiàn)為綜上，滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)為：例2已知曲線(xiàn)C：與直線(xiàn)L：僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的范圍.錯(cuò)解：曲線(xiàn)C：可化為，聯(lián)立，得：，由0,得.錯(cuò)因：方程與原方程并不等價(jià)，應(yīng)加上.正解：原方程的對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)應(yīng)為橢圓的上半部分.（如圖），結(jié)合圖形易求得m的范圍為.注意：在將方程變形時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)注意范圍的變化，這樣才不會(huì)出錯(cuò).例3已知雙曲線(xiàn)，過(guò)P(1,1)能否作一條直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且P為AB中點(diǎn).錯(cuò)解：（1）過(guò)點(diǎn)P且與x軸垂直的直線(xiàn)顯然不符合要求.（2）設(shè)過(guò)P的直線(xiàn)方程為，代入并整理得：，又 解之得：k=2，故直線(xiàn)方程為：y=2x-1,即直線(xiàn)是存在的.正解：接以上過(guò)程，考慮隱含條件

30、“>0”，當(dāng)k=2時(shí)代入方程可知<0，故這樣的直線(xiàn)不存在.yxOACDBP例4已知A、B是圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，CD是垂直于AB的動(dòng)弦，直線(xiàn)AC和DB相交于點(diǎn)P，問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F, 使 | | PE | PF | | 為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ), 設(shè) P ( x, y ), C ( ) , 則 D (), 由A、C、P三點(diǎn)共線(xiàn)得 由D、B、P三點(diǎn)共線(xiàn)得 × 得 又 , ， 代入得 ，即點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上， 故由雙曲線(xiàn)定義知，存在兩個(gè)定點(diǎn)E (, 0 )、F (, 0 )（即此雙曲線(xiàn)的焦

31、點(diǎn)），使 | | PE | PF | | = 2 (即此雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為定值).例5已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線(xiàn)y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OPOQ，PQ=，求橢圓的方程.解：設(shè)所求橢圓的方程為=1. 依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組： 將代入，整理得 ， 設(shè)方程的兩個(gè)根分別為、，則直線(xiàn)y=x+1和橢圓的交點(diǎn)為P(,+1)，Q(,+1)由題設(shè)OPOQ，OP=，可得 整理得 解這個(gè)方程組，得 或 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由式得 (1) 或 (2) 解方程組(1)、(2)得 或故所求橢圓方程為=1 ， 或 =1.例6已知橢圓C1：1，拋物線(xiàn)C2：，且C1、C2的公共弦AB

32、過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)。（1）當(dāng)AB軸時(shí)，求、的值，并判斷拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)是否在直線(xiàn)AB上；（2）若，且拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB上，求的值及直線(xiàn)AB的方程.解：（1）當(dāng)AB軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以0，直線(xiàn)AB的方程為1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，），因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線(xiàn)上，所以，.此時(shí)，拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線(xiàn)AB上. (2)當(dāng)拋物線(xiàn)C2的焦點(diǎn)在直線(xiàn)AB上時(shí)，由（1）知直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為.由消去得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（）、（）.則，是方程的兩根，.因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是C2的焦點(diǎn)的弦，所以AB（2）（2）4，且AB（）（）.從而4所

33、以，即解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)F、（）在直線(xiàn)上，所以，即當(dāng)時(shí)直線(xiàn)AB的方程為；當(dāng)時(shí)直線(xiàn)AB的方程為.四、典型習(xí)題1頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)被直線(xiàn)l：y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為，則拋物線(xiàn)方程為 2.直線(xiàn)m：y=kx+1和雙曲線(xiàn)x2y2=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（2，0）和線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)l在y軸上的截距b的取值范圍為 3試求m的取值范圍. 4 設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=4(x1)交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰好過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F， （1）求直線(xiàn)l的方程； （2）求|AB|的長(zhǎng).5 如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的頂點(diǎn)O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點(diǎn)

34、的坐標(biāo)；(2)求MN中點(diǎn)的軌跡方程.9設(shè)曲線(xiàn)C的方程是yx3-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動(dòng)t,s單 位長(zhǎng)度后得曲線(xiàn)C1.(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)C1的方程；(2)證明曲線(xiàn)C與C1關(guān)于點(diǎn)A()對(duì)稱(chēng)；(3)如果曲線(xiàn)C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s且t0.§7.4軌跡問(wèn)題一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.方程的曲線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程；這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn).2.點(diǎn)與曲線(xiàn)的關(guān)系 若曲線(xiàn)C

35、的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線(xiàn)C上f(x0,y0)=0；點(diǎn)P0(x0,y0)不在曲線(xiàn)C上f(x0,y0)0兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn) 若曲線(xiàn)C1，C2的方程分別為f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,則點(diǎn)P0(x0,y0)是C1，C2的交點(diǎn)方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線(xiàn)就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，曲線(xiàn)就沒(méi)有交點(diǎn).3.圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過(guò)這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線(xiàn)l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線(xiàn).其中定點(diǎn)F(c,0)稱(chēng)為焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為準(zhǔn)線(xiàn)，正常數(shù)e稱(chēng)為離心率.當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓當(dāng)e

36、=1時(shí)，軌跡為拋物線(xiàn)當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線(xiàn)4.坐標(biāo)變換（1）坐標(biāo)變換 在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線(xiàn)的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線(xiàn)的方程.坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱(chēng)移軸.（2）坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（x,y)，在新坐標(biāo)系x Oy中的坐標(biāo)是(x,y).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則(1) 或 (2)公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.二、疑難知

37、識(shí)1.在求曲線(xiàn)軌跡方程的過(guò)程中,要注意：(1)理解題意,弄清題目中的已知和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,進(jìn)行知識(shí)的重新組合；(2)合理進(jìn)行數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的轉(zhuǎn)換,數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言,通過(guò)審題畫(huà)出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計(jì)算的關(guān)系化為能直接進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的關(guān)系式,把不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的語(yǔ)言化為便于數(shù)學(xué)處理的語(yǔ)言；(3)注意挖掘題目中的隱含條件；(4)注意反饋和檢驗(yàn).2.求軌跡方程的基本方法有：(1)直接法：若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則將這些關(guān)系“翻譯”成x,y的關(guān)系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡(jiǎn)、整理.(2)定義法：即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌

38、跡滿(mǎn)足的條件符合某種特殊曲線(xiàn)的定義時(shí),則可根據(jù)這種曲線(xiàn)的定義建立方程.(3)待定系數(shù)法：已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是某種圓錐曲線(xiàn),則可先設(shè)出含有待定系數(shù)的方程,再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件確定待定系數(shù).(4)相關(guān)點(diǎn)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)隨著另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1,y1)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)時(shí),而動(dòng)點(diǎn)Q在某已知曲線(xiàn)上,且Q點(diǎn)的坐標(biāo)可用P點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示,則可代入動(dòng)點(diǎn)Q的方程中,求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.(5)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí),可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y,從而得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 ,消去t,便可得動(dòng)點(diǎn)P的普通方程.另外,還有交軌法、幾何法等.3.在求軌跡問(wèn)題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想是

39、：(1)函數(shù)與方程的思想：求平面曲線(xiàn)的軌跡方程,是將幾何條件(性質(zhì))表示為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方程及函數(shù)關(guān)系；(2)數(shù)形結(jié)合的思想：由曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)求曲線(xiàn)方程是“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合；(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：通過(guò)坐標(biāo)系使“數(shù)”與“形”相互結(jié)合,在解決問(wèn)題時(shí)又需要相互轉(zhuǎn)化.三、經(jīng)典例題例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR|.又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2

40、+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng).設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程. 技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.例2某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適

41、的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切.建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)P的半徑為r,則|PA|+|PO|=1+r+1.5r=2.5點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2.5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圓柱的直徑為 cm.例3 直線(xiàn)L：與圓O：相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.錯(cuò)解：易知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P（5,0），再由，得：，整理得：分析：求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中

42、注意到點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時(shí).例4 已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù),求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線(xiàn).解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0).設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).則由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡(jiǎn)得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(xiàn)(y軸).(2)當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0.點(diǎn)M的軌跡是以(，0)為圓心，為半徑的圓.例5若拋物線(xiàn)y=ax2-1上，總存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直

43、線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：若存在A、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng)，A、B必在與直線(xiàn)y+x=0垂直的直線(xiàn)系中某一條與拋物線(xiàn)y=ax2-1相交的直線(xiàn)上，并且A、B的中點(diǎn)M恒在直線(xiàn)y+x=0上.解：如圖所示，設(shè)與直線(xiàn)y+x=0垂直的直線(xiàn)系方程為y=x+b由 得ax2-x-(b+1)=0 令 0 即 (-1)-4a-(b+1)0 整理得 4ab+4a+10 在的條件下，由可以得到直線(xiàn)y=x+b、拋物線(xiàn)y=ax2-1的交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（,+b）,要使A、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng)，則中點(diǎn)M應(yīng)該在直線(xiàn)y+x=0上，所以有+（+b）=0 即 b=- 代入解不等式得 a因此，當(dāng)a時(shí)，拋物

44、線(xiàn)y=ax2-1上總存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線(xiàn)y+x=0對(duì)稱(chēng).四、典型習(xí)題1.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線(xiàn)的一支D.拋物線(xiàn)2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_.3設(shè)直線(xiàn)2x-y-=0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x+1)2+y2 25的直徑分為兩段，則其長(zhǎng)度之比是 4.已知A、B、C是直線(xiàn)上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，O切直線(xiàn)于點(diǎn)A，又過(guò)B、

45、C作O異于的兩切線(xiàn)，設(shè)這兩切線(xiàn)交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.5.雙曲線(xiàn)=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.6.已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線(xiàn)為，點(diǎn)F2關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線(xiàn)為C，直線(xiàn)l：y=k(x+a)與曲線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.§75綜合問(wèn)題選講一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) (一)直線(xiàn)和圓的方程1理解直線(xiàn)的斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式

46、，掌握直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線(xiàn)方程. 2掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的條件，兩條直線(xiàn)所成的角和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，能夠根據(jù)直線(xiàn)的方程判斷兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系.3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域. 4了解線(xiàn)性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.5了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.6掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.(二)圓錐曲線(xiàn)方程1 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2 掌握雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).3 掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).4了解圓錐曲線(xiàn)的初步應(yīng)用.（三）目標(biāo)1.能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和

47、斜率確定的直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程；從直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線(xiàn)方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄?xiě)出直線(xiàn)的方程，熟練地進(jìn)行直線(xiàn)方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線(xiàn)的方程來(lái)研究與直線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題了.2.能正確畫(huà)出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線(xiàn)性規(guī)劃的意義，知道線(xiàn)性約束條件、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并用之解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，了解線(xiàn)性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會(huì)用線(xiàn)性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.3.理解“曲線(xiàn)的方程”、“方程的曲線(xiàn)”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線(xiàn)的方程的方法.4

48、掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握?qǐng)A的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定方法.5正確理解橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)

49、、離心率、準(zhǔn)線(xiàn)（雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)）等，從而能迅速、正確地畫(huà)出橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)；掌握、b、之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡(jiǎn)單問(wèn)題；理解橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)位置關(guān)系的判定方法.二、疑難知識(shí) 1 直線(xiàn)的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率反映了直線(xiàn)相對(duì)于軸的傾斜程度.當(dāng)斜率存在時(shí)，直線(xiàn)方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為=（R）.因此，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率存在與否，要分別考慮. 直線(xiàn)的截距式是兩點(diǎn)式的特例，、b分別是直線(xiàn)在軸、軸上的

50、截距，因?yàn)?，b0，所以當(dāng)直線(xiàn)平行于軸、平行于軸或直線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.求解直線(xiàn)方程的最后結(jié)果，如無(wú)特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫(xiě)成一般式.當(dāng)直線(xiàn)或的斜率不存在時(shí)，可以通過(guò)畫(huà)圖容易判定兩條直線(xiàn)是否平行與垂直在處理有關(guān)圓的問(wèn)題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對(duì)稱(chēng)性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算.2. 用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要分清焦點(diǎn)在軸上還是軸上，還是兩種都存在. 注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)行、b、間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫(huà)出橢圓.求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題： 正確判斷焦點(diǎn)的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

51、方程為或表示為.若已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是，即，那么雙曲線(xiàn)的方程具有以下形式：，其中是一個(gè)不為零的常數(shù).雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)和（0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線(xiàn)根據(jù)題設(shè)判斷拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線(xiàn)根據(jù)題設(shè)判斷拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的類(lèi)型，再由條件確定參數(shù)的值.同時(shí)，應(yīng)明確拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線(xiàn)方程三者相依并存，知道其中拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線(xiàn)方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).三、經(jīng)典例題例1已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=(0<<1

52、)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1)寫(xiě)出直線(xiàn)的方程；（2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)AB反射后，反射光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)Q. 解: (1 ) 顯然, 于是 直線(xiàn)的方程為； （2）由方程組 解出 、； （3）, . 由直線(xiàn)PT的斜率和直線(xiàn)QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)Q.例2設(shè)P是圓M：(-5)2+(-5)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，它關(guān)于A(9, 0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到點(diǎn)S，求|SQ|的最值.解：設(shè)P(,)，則Q(18-, -)，記P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為+，則S點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： (+)·=-+，即S(-, )其中可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9, -9)的距離，共最大值為最小值為，則|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為.例4已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列，（1）點(diǎn)P的軌跡是什