DAC信噪比公式來源

1、MT-001W DEVICES指南Page # of 7MT-001Page # of 7MT-001q = 1 LSB揭開一個公式(SNR = 6.02N + 1.76dB)的神秘面紗,以及為什么我們要予以關(guān)注作者：Walt Kester簡介 接觸ADC或DAC時您一定會碰到這個經(jīng)常被引用的公式，用于計算轉(zhuǎn)換器理論信噪比 (SNR)。與其盲目地相信表象，不如從根本上了解其來源，因為該公式蘊(yùn)含著一些微妙之 處，如果不深入探究，可能導(dǎo)致對數(shù)據(jù)手冊技術(shù)規(guī)格和轉(zhuǎn)換器性能的誤解。記住，該公式 代表的是完美N位ADC的理論性能。您可以比較 ADC的實際SNR與理論SNR，看看二者有 何異同。本教程首先推

2、導(dǎo)N位模數(shù)轉(zhuǎn)換器(ADC)的理論量化噪聲，知道均方根量化噪聲電壓后，就 可以計算理論信噪比(SNR)。此外還會分析過采樣對SNR的影響。量化噪聲模型理想轉(zhuǎn)換器對信號進(jìn)行數(shù)字化時，最大誤差為 土 ？ LSB,如圖1的一個理想N位ADC的傳遞 函數(shù)所示。對于任何橫跨數(shù)個 LSB的交流信號，其量化誤差可以通過一個峰峰值幅度為q(一個LSB的權(quán)重)的非相關(guān)鋸齒波形來近似計算。對該近似法還可以從另一個角度來看 待，即實際量化誤差發(fā)生在土 ？ q范圍內(nèi)任意一點的概率相等。雖然這種分析不是百分之百 精確，但對大多數(shù)應(yīng)用是足夠準(zhǔn)確的。DIGITALOUTPUTANALOGINPUTERROR (INPUT -

3、OU圖1:理想N位ADC的量化噪聲貝爾實驗室的W. R. Bennett1948年發(fā)表的經(jīng)典論文（參考文獻(xiàn)1）中，分析了量化噪聲的實際 頻譜。采用上述簡化假設(shè)，他的詳細(xì)數(shù)學(xué)分析可以簡化為圖1所示。繼Bennett的經(jīng)典論文之后，還有其它一些關(guān)于轉(zhuǎn)換器噪聲的重要論文和著作 （參考文獻(xiàn)2-6）。圖2更詳細(xì)地顯示了量化誤差與時間的關(guān)系。同樣，一個簡單的鋸齒波形就能提供足夠準(zhǔn) 確的分析模型。鋸齒誤差的計算公式如下：等式1e(t) = st, q/2s < t < +q/2s.e（t ）的均方值可以表示為:等式2進(jìn)行簡單的積分和簡化可得:e2 (t)=q212等式3Page 2 of 7MT

4、-001Page # of 7MT-001因此，均方根量化誤差為:均方根量化噪聲圖2 :量化噪聲與時間的關(guān)系Page # of 7MT-001Page # of 7MT-001鋸齒誤差波形產(chǎn)生的諧波遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過DC至fs/2的奈奎斯特帶寬，然而，所有這些高階諧波必 須折回（混疊）到奈奎斯特帶寬并相加，產(chǎn)生q/ V1的均方根噪聲。正如Bennett所指出的（參考文獻(xiàn)1），量化噪聲近似于高斯分布，幾乎均勻地分布于從DC至fs/2的奈奎斯特帶寬。這里假設(shè)量化噪聲與輸入信號不相關(guān)。在某些條件下，當(dāng)采樣時鐘和信號通過諧波相關(guān)時，量化噪聲將與輸入信號相關(guān)，能量集中在信號的諧波中，但均方 根值仍然約為q/ V1

5、。理論信噪比現(xiàn)在可以通過一個滿量程輸入正弦波來計算：、討、滿量程輸入正弦波 二v(t) =si n(2 nt).等式52因此，輸入信號的均方根值為：N滿量程輸入的均方根值=q等式62J2因此，理想N位轉(zhuǎn)換器的均方根信噪比為:SNR = 20logiorms value of FSinputrms value of qua ntizat ion n oise等式7SNR = 20log102Ologio2N+ 2OlogioSNR = 6.02N + 1.76dB,DC 至"2 帶寬范圍等式8等式9Benn ett論文說明：雖然量化噪聲的實際頻譜相當(dāng)復(fù)雜，難以分析，但推導(dǎo)出等式9的簡化

6、分析對大多數(shù)應(yīng)用足夠準(zhǔn)確。然而，必須再次強(qiáng)調(diào)，均方根量化噪聲是在DC至fs/2的完整奈奎斯特帶寬范圍內(nèi)進(jìn)行測量。量化噪聲模型 許多應(yīng)用中，實際目標(biāo)信號占用的帶寬 BW小于奈奎斯特帶寬(參見圖3)。如果使用數(shù)字濾 波來濾除帶寬BW以外的噪聲成分，則等式中必須包括一個校正系數(shù)(稱為處理增益”， 以反映SNR的最終提高，如等式10所示。SNR= 6.02N + 1.76dB+10log10s ,帶寬 BW范圍.等式 1010 2?BW以兩倍以上的信號帶寬的速率對信號進(jìn)行采樣的過程稱為過采樣”過采樣、量化噪聲整形和數(shù)字濾波均是工-型轉(zhuǎn)換器的重要概念，不過任何 ADC架構(gòu)都可以采用過采樣技術(shù)。Proce

7、ss Gain圖3 :顯示處理增益的量化噪聲頻譜處理增益的意義可以通過下例說明。在許多數(shù)字基站或其它寬帶接收機(jī)中，信號帶寬由許 多獨立的通道組成，一個ADC對整個帶寬進(jìn)行數(shù)字化處理。例如，美國的模擬蜂窩無線電 系統(tǒng)(AMPS)由416個30 kHz帶寬通道組成，占用的帶寬約為 12.5 MHz。假設(shè)采樣速率為 65 MSPS,并且使用數(shù)字濾波來分離各個30 kHz通道。在這些條件下，過采樣導(dǎo)致的處理 增益為：處理增益=10log10fs = 10log10 653 =30.3dB.等式 112?BW2 X30 X103將處理增益加入ADC SNR規(guī)格，便得到30 kHz帶寬內(nèi)的SNR。上例中，

8、如果ADC SNR規(guī)格為65 dB(DC至f/2)，則30 kHz通道帶寬內(nèi)的SNR提高到95.3 dB經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)字濾波后)圖4顯示了一個結(jié)合過采樣和欠采樣的應(yīng)用。目標(biāo)信號的帶寬為BW，以載波頻率fc為中心。采樣頻率可以遠(yuǎn)低于fc，所選的采樣頻率使得目標(biāo)信號位于其奈奎斯特區(qū)的中心。通 過模擬和數(shù)字濾波消除目標(biāo)信號帶寬以外的噪聲，從而獲得等式10所示的處理增益。ZONE 1ZONE 30.5fs fs 1.5fs 2fs 2.5fs 3fs3.5fsProcess Gain圖4 :欠采樣和過采樣結(jié)合所產(chǎn)生的處理增益量化噪聲與輸入信號之間的相關(guān)性容易令人誤解 雖然噪聲的均方根值可通過q/ V1計

9、算精確近似值，但在某些條件下，頻域成分可能與交 流輸入信號高度相關(guān)。例如，低幅度周期性信號的相關(guān)度大于高幅度隨機(jī)信號的相關(guān)度。通常假設(shè)理論量化噪聲表現(xiàn)為白噪聲，均勻地分布在DC至fs/2的奈奎斯特帶寬范圍。但是，事實并非全然如此。在強(qiáng)相關(guān)的情況下，量化噪聲集中在輸入信號的各次諧波上，這 正是我們不希望看到的。在多數(shù)實際應(yīng)用中，ADC的輸入是一段頻率(總是會與一些不可避免的系統(tǒng)噪聲相加)，因 此量化噪聲往往是隨機(jī)的。然而，在頻譜分析應(yīng)用中(或者使用頻譜純凈的正弦波作為輸入對ADC執(zhí)行FFT)，量化噪聲與信號的相關(guān)度取決于采樣頻率與輸入信號的比值。圖5的示例說明了這種情況，其中使用一個4096點F

10、FT來分析一個理想12位ADC的輸出。在左邊的FFT圖(A)中，采樣頻率(80.000 MSPS)與輸入頻率(2.000 MHz)的比值恰好選擇為 40,最差諧波比基波低大約77 dB。右圖(B)顯示了將輸入頻率略微偏移到2.111 MHz的效 果，表現(xiàn)出隨機(jī)性相對較高的噪聲頻譜，此時 SFDR約為93 dBc，受FFT噪底尖峰限制。兩 種情況下，所有噪聲成分的均方根值均近似于 q/ V12理論SNR因此為74 dB)，但在第一種情 況下，噪聲因為相關(guān)性而集中在基波諧波上。(A) CORRELATED NOISE0SFDR = 77 dBcSNR = 74 dBc00-J5044/00fs =

11、 80.000 MSPS, f in = 2.000 MHz0 05101520253035400-.50SFDR = 93 dBcSNR = 74 dBc二100. 11 -15000(B) UNCORRELATED NOISEfs = 80.000 MSPS, f in = 2.111 MHz0510152025303540FREQUENCY- MHzFREQUENCY- MHz圖5:采樣時鐘與輸入頻率的比值對理想12位ADC量化噪聲頻譜的影響，4096點FFT(A)相關(guān)噪聲，(B)非相關(guān)噪聲注意，從ADC看到的諧波失真的這種變化是采樣過程的偽像，由量化誤差與輸入頻率的相 關(guān)性引起。在實際

12、ADC應(yīng)用中，量化誤差一般表現(xiàn)為隨機(jī)噪聲，原因是寬帶輸入信號具有 隨機(jī)性，而且通常會有少量的系統(tǒng)噪聲充當(dāng) 擾動”信號，使量化誤差頻譜進(jìn)一步隨機(jī)化。理解上述原理非常重要，因為 ADC的單音正弦波FFT測試是公認(rèn)的性能評估方法之一。為 了精確測量ADC的諧波失真，必須采取措施確保測試設(shè)置能夠真正測量ADC失真，而不是量化噪聲相關(guān)性引起的偽像。因此，必須正確選擇頻率比，有時還要將少量噪聲(擾 動)與輸入信號相加。利用模擬頻譜分析儀測量 DAC失真時，也應(yīng)采取同樣的防范措施。SNR、處理增益和FFT噪底的關(guān)系圖6顯示了一個理想12位 ADC的FFT輸出。注意，F(xiàn)FT噪底的平均值約為滿量程以下107dB

13、,但12位ADC的理論SNR為74 dB。FFT噪底并非ADC的SNR,因為FFT像是一個帶寬為 fs/M的模擬頻譜分析儀，其中M為FFT中的點數(shù)。由于FFT的處理增益，理論FFT噪底因而 比量化噪底低10log10(M/2) dB。對于 SNR為74 dB的理想 12位ADC，4096點 FFT將產(chǎn)生 10log10(4096/2) = 33 dB的處理增益，因此總FFT噪底為74 + 33 = 107 dBc。事實上，F(xiàn)FT噪底可以通過提高FFT點數(shù)來進(jìn)一步降 低，就像模擬頻譜分析儀的噪底可以通過縮小帶寬來降低一樣。因此，利用FFT測試ADC時，必須確保FFT足夠大，使得失真能夠與FFT噪

14、底本身區(qū)別開。多次FFT的平均值無法進(jìn) 一步降低噪底，只能減小各個噪聲譜成分幅度之間的差異。圖6 :理想12位ADC的噪底，使用4096點FFT參考文獻(xiàn)1. W. R. Bennett, "Spectra of Quantized Signals,'Bell System Technical Journal Vol. 27, July 1948, pp. 446471.2. B. M. Oliver, J. R. Pierce, and C. E. Shannon, "The Philosophy of PCM,'Proceedings IRE Vol. 3

15、6, November 1948, pp. 1324-1331.3. W. R. Bennett, "Noise in PCM Systems,"Bell Labs Record Vol. 26, December 1948, pp. 495-499.4. H. S. Black and J. O. Edson, "Pulse Code Modulation,AIEE Transactions, Vol. 66, 1947, pp. 895-899.5. H. S. Black, "Pulse Code Modulation," Bell La

16、bs Record Vol. 25, July 1947, pp. 265-269.6. K. W. Cattermole, Principles of Pulse Code Modulation, American Elsevier Publishing Company, Inc., 1969, New York NY, ISBN 444-19747-8.7. Walt Kester, An alog-Digital Co nversion, An alog Devices, 2004, ISBN 0-916550-27-3, Chapter 2. Also Available as The

17、 Data Con version Han dbooK Elsevier/New nes, 2005, ISBN 0-7506-7841-0, Chapter 2.8. Hank Zumbahle n, Basic Lin ear Desig n, An alog Devices, 2006, ISBN: 0-915550-28-1. Also available as Linear Circuit Design Handbook, Elsevier-Newnes, 2008, ISBN-10: 0750687037, ISBN-13: 9780750687034. Chapter 5.Cop

18、yright 2009, Analog Devices, Inc. All rights reserved. Analog Devices assumes no responsibility for customer product design or the use or application of customers' products or for any infringements of patents or rights of othewhich may result from Analog Devices assistance. All trademarks and logos are property of their respective holders.In