leslie人口增長模型模型

1、人口增長預(yù)測模型摘要本文建立了我國人口增長的預(yù)測模型.對各年份全國人口總量增長的中短期和長期 趨勢作出了預(yù)測，并對人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等一系列評價指標(biāo)進(jìn)行了預(yù)測。最后提 出了有關(guān)人口控制與管理的措施。模型I：建立了 Logistic人口阻滯增長模型.利用附件2中數(shù)據(jù).結(jié)合網(wǎng)上査找 補(bǔ)充的數(shù)據(jù)，分別根據(jù)從1954年、1963年、1980年到2005年三組總?cè)丝跀?shù)據(jù)建立模 型，進(jìn)行預(yù)測.把預(yù)測結(jié)果與附件1國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告中提供的預(yù)測值進(jìn) 行分析比較。得岀運(yùn)用1980年到2005年的總?cè)丝跀?shù)建立模型預(yù)測效果好.擬合的曲線 的可決系數(shù)為0. 9987o運(yùn)用1980年到2005年總?cè)丝跀?shù)據(jù)預(yù)測

2、得到2010年、2020年、 2033年我國的總?cè)丝跀?shù)分別為13. 55357億、14. 18440億、14. 70172億.模型II：考慮到人口年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的彫響，建立了按年齡分布的女性模型 （Leslie模型人 以附件2中提供的2001年的有關(guān)數(shù)據(jù).構(gòu)造Leslie矩陣.建立相應(yīng) Leslie模型；然后.根據(jù)中外專家給岀的人口更替率1.8構(gòu)造Leslie矩陣.建立相 應(yīng)的Leslie模型。首先，分別預(yù)測2002年到2050年我國總?cè)丝跀?shù)、勞動年齡人口數(shù)、老年人口數(shù)（見 附錄8）然后再用預(yù)測求得的數(shù)據(jù)分別對全國總?cè)丝跀?shù)、勞動年齡人口數(shù)的發(fā)展情況進(jìn) 行分析.得出：我國總?cè)丝谠?010年達(dá)

3、到14. 2609億人.在2020年達(dá)到14. 9513億人. 在2023年達(dá)到峰值14. 985億人；預(yù)測我國在短期內(nèi)勞動力不缺，但須加強(qiáng)勞動力結(jié)構(gòu) 方面的調(diào)整。其次.對人口老齡化問題、人口撫養(yǎng)比進(jìn)行分析。得到我國老齡化在加速.預(yù)計本 世紀(jì)40年代中后期形成老齡人口高峰平臺.60歲以上老年人口達(dá)4. 45億人.比重達(dá) 33. 277%； 65歲以上老年人口達(dá)3. 51億人，比重達(dá)25. 53%；人口撫養(yǎng)呈現(xiàn)增加的趨勢。再次.討論我國人口的控制，預(yù)測出將來我國育齡婦女人數(shù)與生育旺盛期育齡婦女 人數(shù).得到育齡婦女人數(shù)在短期內(nèi)將達(dá)到高峰.隨后又下降的趨勢的結(jié)論。最后.分別對模型丨與模型II進(jìn)行殘差

4、分析、優(yōu)缺點評價與推廣。關(guān)鍵詞Logistic人口模型Leslie人口模型 人口增長預(yù)測MATLAB軟件一、背景知識,中闔是一個人口大國人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。我國人口發(fā) 展經(jīng)歷了多個階段.近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點.例如.老齡化進(jìn)程加 速、出生人口性別比持續(xù)升高.以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的 增長。全面建設(shè)小康社會時期是我國社會快速轉(zhuǎn)型期，人口發(fā)展面臨著前所未有的復(fù)雜 局面.人口安全面臨的風(fēng)險依然存在二、相關(guān)數(shù)據(jù),附件1國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報告附件2人口數(shù)據(jù)（中國人口統(tǒng)計年鑒中的部分?jǐn)?shù)據(jù)）及其說明根據(jù)己有數(shù)據(jù)三、要解決的問題：1、試從中國的實

5、際情況和人口増長的上述特點出發(fā)，參考附件2中的相關(guān)數(shù)據(jù)（也 可以搜索相關(guān)文獻(xiàn)和補(bǔ)充新的數(shù)據(jù)）.建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型.并由此對中國人 口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測；特別要指出你們模型中的優(yōu)點與不足之處。2、利用所建立模型的預(yù)測結(jié)果.參照附件1的相關(guān)敘述對反映中國人口增長特點 的一系列指標(biāo)如人口老齡化、人口撫養(yǎng)比等進(jìn)行分析預(yù)測。3、根據(jù)模型的計算結(jié)果.對未來人口發(fā)展高峰進(jìn)行預(yù)測并針對中國人口的調(diào)控和 管理進(jìn)行分析。§2、問題分析人口的變化受到眾多方面因素的影響因此對人口的預(yù)測與控制也就十分復(fù)雜.很 難在一個模型中綜合考慮到各個因素的影響。為了更好的解決此問題.我們分析了題目 以

6、及附錄1中所給的相關(guān)信息，考慮到可以根據(jù)對人口增長不同的評價指標(biāo)及不同的時 期建立多個模型分別加以討論。、從附件1中.我們看到過左些專家對中國的總?cè)丝跀?shù)做7 2010年、2020 年分別達(dá)到13. 6億人和14. 5億人.2033年前后達(dá)到峰值15億人左右的預(yù)測。因而， 我們也可以先對總?cè)丝诘脑鲩L趨勢做出自己的預(yù)測與專家預(yù)測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較.對于預(yù)測 所要用到的一些相關(guān)數(shù)據(jù).我們作了相應(yīng)的補(bǔ)充.由此我們建立了模型I：阻滯增長模 型。二、模型I只考慮了人口總數(shù).對人口總數(shù)進(jìn)行了預(yù)測分析。但實際中在對人口進(jìn) 行分析時.按年齡段分布的人口結(jié)構(gòu)是非常重要的。在人口總數(shù)一定時，不同年齡段的 人的生育率和死亡

7、率是不同的.它們對人口未來發(fā)展的影響也是很不一樣的。為了討論 不同年齡段的人口分布對人口增長的影響.我們依據(jù)附件2建立了模型1【：按年齡分布 的Leslie模型。三、由模型1和模型II的結(jié)果我們預(yù)測了人口總數(shù)的發(fā)展趨勢，由模型II的計算結(jié) 果我們還能夠得到各年份處在各年齡段的人口數(shù)量、男女比率的預(yù)測值。根據(jù)這些預(yù)測 值我們可以計算出反映人口增長特點的其他指標(biāo).由此我們可以對模型的計算結(jié)果進(jìn)行 進(jìn)一步的分析。§3、合理的假設(shè)1、社會穩(wěn)定，不會發(fā)生重大自然災(zāi)害和戰(zhàn)爭9，碼不隨時間而變化2、超過90歲的婦女（老壽星）都按90歲年齡計算3、在較短的時間內(nèi)，平均年齡變化較小，可以認(rèn)為不變4、不

8、考慮移民對人口總數(shù)的影響§4、名詞解釋與符號說明一、名詞解釋1、總和生育率一一指一定時期（如某一年）各年齡組婦女生育率的合計數(shù)，說明 每名婦女按照某一年的各年齡組生育率度過育齡期.平均可能生育的子女?dāng)?shù).是衡量生 育水平最常用的指標(biāo)之一。2、更替水平一一指這樣一個生育水平，同一批婦女生育女兒的數(shù)量恰好能替代她 們木身.一旦達(dá)到生育更替水平，岀生和死亡將逐漸趨于均衡.在沒有國際遷入與遷岀 的情況下.人口將最終停止增長.保持穩(wěn)定狀態(tài)。3、人口撫養(yǎng)比一一指人口總體中非勞動年齡人口數(shù)與勞動年齡人口數(shù)之比。通常 用百分比表示。說明每100名勞動年齡人口大致要負(fù)擔(dān)多少名非勞動年齡人口。用于 從人口

9、角度反映人口與經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基本關(guān)系。根據(jù)勞動年齡人口的兩種不同定義（15-59歲人口或15-64歲人口），計算總撫養(yǎng)有兩種方式4、人口老齡化一一指人口中老年人比重日益上升的現(xiàn)象。促使人口老齡化的直接 原因是生育率和死亡率降低.主要是生育率降低。一般認(rèn)為.如果人口中65歲及以上 老年人口比重超過或60歲及以上老年人口比重超過10%那么該人口就屬于老年 型。5、出生人口性別比一一是活產(chǎn)男嬰數(shù)與活產(chǎn)女嬰數(shù)的比值，通常用女嬰數(shù)量為100 時所對應(yīng)的男嬰數(shù)來表示。正常情況下.出生性別比是由生物學(xué)規(guī)律決定的，保持在 103107之間。二、符號說明序號符號意義1:t表示年份（選定初始年份的 = 0）2r人口增

10、長率3：X人口數(shù)量4：Xm自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量5：R2可決系數(shù)6：=1,2, -n?在時間段r第！年齡組的人口總數(shù)1:9(2 0,2,90)第年齡組的生育率8：dg0d,2,90)第！年齡組的死亡率9：s,Q=0d,2,90)第！年齡組的存活率10：LLeslie矩陣11：N2001年全國人口總數(shù)12：1J2001年城市總?cè)丝?3；2001年鎮(zhèn)總?cè)丝?4：一 X2001年鄉(xiāng)總?cè)丝?5：q(0),i =1,2,m2001年第i年齡段的人口總數(shù)16：v,0 = 1,2,3)/ = 1,23時分別表示市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的女孩出生率r：厶(j)丿時段具有勞動能力的人口18：PG)社會的撫養(yǎng)

11、比指數(shù)19:k總和生育率20：丿時段i年齡組中女性所占的百分比§5、模型的建立與求解模型I，阻滯增長模型（Logistic模型）13、模型的準(zhǔn)備阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增 長的阻滯作用.對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口 增長率廣的影響上，使得廠隨著人口數(shù)量X的增加而下降。若將廠農(nóng)示為X的函數(shù)r（x）。 則它應(yīng)是減函數(shù)。于是有： = r(x)x dtx(0) = x0(1)4#對廣（x）的一個最簡單的假定是.設(shè)廣（X）為X的線性函數(shù).即/（X）= 1“ _ sx （廠 > 0 , s0）（2）設(shè)自然資源和

12、環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量心當(dāng)x = xm時人口不再增長.即 增長率r（xw） = o,代入（2）式得S =厶，于是（2）式為r(x) = r(l-)將（3）代入方程（1）得:(4)x(0) = x0解方程（4）可得:(5)x(t) =21 + (1)廠二.模型的建立為了對以后一定時期內(nèi)的人口數(shù)做出預(yù)測.我們首先從中國經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫 （httD：/21186. 245. 155/index. aspx）上査到我國從1954年到2005年全國總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)如表1。表1 各年份全國總?cè)丝跀?shù)（單位：千萬）年份195419551956195719581959196019611962總?cè)丝?0 261

13、.562.864 666.067.266.265 967.3年份196319641965196619671968196919701971總?cè)丝?9 170.472.574 576.378 580.783 085.2年份197219731974197519761977197819791980總?cè)丝?7 189.290.992 493.795 096.25997 598 705年份198119821983198419851986198719881989總?cè)丝?00 1101 654103.008104 357105.851107 5109 3111 026112.704年份199019911992

14、199319941995199619971998總?cè)丝?14 333115 823117 171118517119 850121 121122.389123.626124761年份1999200020012002200320042005總?cè)丝?25 786126 743127 627128 453129 227129 9881307561、將1954年看成初始時刻即20 則1955為21.以次類推.以2005年為£ = 51 作為終時刻。用函數(shù)（5）對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，運(yùn)用Matlab編程（程序見 附錄1）得到相關(guān)的參數(shù)xm =180.9871,/-= -0.0336,可以

15、算出可決系數(shù)（可決系數(shù)是判 別曲線擬合效果的一個指標(biāo)人工（刃-汀R2 =1-送=0.9959S（Yx-y）2X=1由可決系數(shù)來看擬合的效果比較理想所以得到中國各年份人口變化趨勢的擬合曲 線：x(O =180.98711 | 180.987100皿60.2(6)根據(jù)曲線（6）我們可以對2010年（心56 ）、2020年（f = 66 ）、及2033年（f = 79 ） 進(jìn)行預(yù)測得（單位：千萬）：x（56） = 138.6161, x（66） = 148.5400, x（79） = 158.6028結(jié)果分析:從附錄1所給信息可知從1951年至1958年為我國第一次出生人口高峰. 形成了中國人口規(guī)模

16、“由緩到快”的增長基礎(chǔ)；因此這段時期人口波動較大.可能影響 模型結(jié)果的準(zhǔn)確性。1959、1960、1961年為三年自然災(zāi)害時期.這段時期人口的增長受 到很大影響1962年處于這種影響的滯后期.人口的增長也受到很大影響。總的來說 1951-1962年的人口增長的隨機(jī)誤差不是服從正態(tài)分布.由于上面的曲線擬合是用最小二乘法.所以很難保證擬合的準(zhǔn)確性。因此我們再選 擇1963年作為初始年份對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。2、將1963年看成初始時刻即t = 0,以2005年為£ = 32作為終時刻。運(yùn)用Matlab 編程（程序見附錄2）得到相關(guān)的參數(shù)xw =151.4513,r = 0.0484可以

17、算出可決系數(shù) R2 = 0.9994得到中國各年份人口變化趨勢的另一擬合曲線：x(0 =151.4513i+ 151.451369.1(7)根據(jù)曲線（7）我們可以對2010年（2 47 ）、2020年（t = 57 ）、及2033年（f = 70 ） 進(jìn)行預(yù)測得（單位：千萬）：x（47） = 134.9190 , x（57） = 140.8168 , x（70） = 145.5908結(jié)果分析：1963年-199年其間人口的增長基本上是按照自然的規(guī)律增長特別 是在農(nóng)村是這樣.城市受到收入的影響.生育率較低.但都有規(guī)律可尋?？偟膩碚f.人 口增長的外界大的干擾因素基本上沒有.可以認(rèn)為這一階段隨機(jī)誤差

18、服從正態(tài)分布； 1980-2005年這一時間段，雖然人口的增長受到國家計劃生育政策的控制，但計劃生育 的政策是基本穩(wěn)定的這一階段隨機(jī)誤差也應(yīng)服從正態(tài)分布（當(dāng)然均值與方差可能不同） 因此用最小二乘法擬合所得到的結(jié)果應(yīng)有較大的可信度。3、從1980-2005年.國家計劃生育政策逐漸得到完善及貫徹落實，這個時期的人 口增長受到國家計劃生育政策的控制，人口的增長方式與上述的兩個階段都不同。因此 我們進(jìn)一步選擇1980年作為初始年份2005年作為終時刻進(jìn)行擬合。運(yùn)用Matlab編程 （程序見附錄3）得到相關(guān)的參數(shù)rw= 153.5351,r =0.0477可以算岀可決系數(shù)R2 = 0.9987得到中國各

19、年份人口變化趨勢的第三條擬合曲線:x(0 =153.53511+(空竺-1)嚴(yán)798.705(8)根據(jù)曲線（7）我們可以對2010年（£ = 30人2020年（f = 40 ）、及2033年（253） 進(jìn)行預(yù)測得（單位：千萬）：x(30) = 135.5357 , x(40) =141.8440, x(53) = 147.0172結(jié)果分析：這一時期.國家雖然對人口大增長進(jìn)行了干預(yù).但國家的計劃生育的政 策是基本穩(wěn)定的.在此其間沒有其他大的干擾.所以人口增長的隨機(jī)誤差應(yīng)服從正態(tài)分 布。所以我們的結(jié)果應(yīng)是比較可信的。我們分別根據(jù)擬合曲線（6）、（）、（8）對各年份中國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測得到結(jié)

20、果如 表2：衣2各年份全國總?cè)丝谟貌煌瑪M合曲線預(yù)測數(shù)（單位：T萬）年份全國總?cè)丝陬A(yù)測（單位：千萬）預(yù)測曲線（6）預(yù)測曲線（7）預(yù)測曲線（8）2000126.7649126.3338126 4732003130.5141129.230312951682006134 1131 8447132 27582009137 516134 1926134 76382012140.7577136.2S17136 99712015143.8231138 1607138 99332018146.7117139 819140 7712021149 4251141.2856142 34892024151.966214

21、2.579143 74522027154 3392143 7168144 97782030156 5494144.7157146 06322033158.6028145 5S08147 01722036160.5063146.3562147 85412039162.267147.0247148 58712042163 8924147 6C77149 22842045165 3903148.1158149 78862048166 7683148.558150 2775由上表可以看出：用擬合曲線（6）預(yù)測得到的數(shù)據(jù)比較大，在2024年總?cè)丝诰图?經(jīng)超過了 151.9662千萬而且一直以比較快的速度

22、增長到2048年達(dá)到了 166.7683千萬。 用擬合曲線（7）預(yù)測得到的數(shù)據(jù)偏小.到2048年人口只有148.558千萬。相比較而言 用擬合曲線（8）預(yù)測的數(shù)據(jù)比較接近附件1中的預(yù)測。畫出圖形如圖1：10#模型II:按年齡分布的Leslie模型仞一、模型的準(zhǔn)備將人口按年齡大小等間隔地劃分成w個年齡組（譬如每10歲一組），模型要討論在 不同時間人口的年齡分布，對時間也加以離散化.其單位與年齡組的間隔相同。時間離 散化為20丄,2.設(shè)在時間段上第！年齡組的人口總數(shù)為77,（0,/=1,2, ，定義向量 （0 = hi（02（0<模型耍研究的是女性的人口分布牝）隨t的變化規(guī)律，從而進(jìn)一步研究

23、總?cè)丝跀?shù)等指標(biāo)的變化規(guī)律。設(shè)第！年齡組的生育率為勺即®是單位時間第】年齡組的每個女性平均生育女兒的 人數(shù)；第】年齡組的死亡率為d即久是單位時間第】年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之 比.St=i-dt稱為存活率。設(shè)b,、S,不隨時間r變化，根據(jù)耳、S,和4（r）的定義寫出4（。 與nt （t +1）應(yīng)滿足關(guān)系:(9)必 + 1) = £ 也(0>1“田(f+ 1) =(0j = 12,，加一 1在（9）式中我們假設(shè)®中己經(jīng)扣除嬰兒死亡率.即扣除了在時段t以后出生而活不 到t + 1的那些嬰兒。若記矩陣(10)S 4 bns】00L= 0:00 Si °則

24、(9)式可寫作n(f + 1) = Ln(t)(11)當(dāng)Z、n(O)B知時，對任意的2 1,2,有n(t) = Hn(Q)(12)若(10)中的元素滿足(i ) st > 0 , / = 1,2 ,-1 ；(ii ) i>t > 0 ,z = 1,2 - 9m ,且至少一個耳>0。 則矩陣厶稱為Leslie矩陣。只要我們求岀Leslie矩陣厶并根據(jù)人口分布的初始向量n(0) 我們就可以求岀t時 段的人口分布向量Mt)。二、模型的建立我們以2001年為初始年份對以后各年的女性總數(shù)及總?cè)丝跀?shù)進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)附件2 中所給數(shù)據(jù).以一歲為間距對女性分組。(1)計算2001年處在各

25、個年齡上的婦女人數(shù)的分布向量(0),(/= 0X2,- ,90+)： 附件2給了 2001年中國人口抽樣調(diào)査數(shù)據(jù)，提取為表3表3城市男147907城市女147465鎮(zhèn)男30279鎮(zhèn)女77976鄉(xiāng)男394690鄉(xiāng)女372242根據(jù)抽樣調(diào)査的結(jié)果.可以算岀2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)人口占2001年全國總?cè)丝诘?比率分別為：pt = 0.242, p： =0.1297,久=0.6283我們由表1數(shù)據(jù)知2001年全國總?cè)丝?Zo =127.627 (單位，千萬).因此可以算岀 2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的總?cè)丝诜謩e為(單位，千萬)：6 = Pj x 二。=30.885 > 二二=p： x 二°

26、 = 16.548 .二鼻=p, x 二。=80.194根據(jù)附件2給的2001年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)各個年齡段的女性比率.可以分別算出2001 年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)處在第詫=0,2,90+)年齡段的女性的總數(shù)分別為 如(0) %(0)，心(0)。以城市為例設(shè)2001年城市中處在】年齡段婦女占城市總?cè)丝诒?率分別另則如(0)=乙(鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似)。于是可以算出2001年處在第 i(i二0,2,90十)年齡段上的婦女總?cè)藬?shù)n, (0) =如(0) + n2i (0) + g (0)(見附錄 7)。(2)計算處在第比=0,2,90+)年齡段的每個女性平均生育女兒的人數(shù) 旅=0丄,2,90+)。附件2中分別給出了 20

27、01年城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女(15歲一49歲) 的生育率(此處應(yīng)該是包含男孩和女孩)1(1=0,30+) (/ <15或1>49時都為0)則 可以分別算出2001年處在第比=0,90+)年齡段的城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)育齡婦女總共 生育的小孩數(shù)(包含男孩和女孩)，記為：WT5J6,49),49)，丹屛二小“,49)。以城市為例計算2fb(/=15J6,-,49)：施(2 156,49) =久水如(0)(2 15JL6,49)(鎮(zhèn)、鄉(xiāng)類似)。附件2中還分別給出了 2001年市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)的男女岀生人口性別比q ,c2 ,c3 (女100計).據(jù)此可以分別計算岀城市、鎮(zhèn)、鄉(xiāng)女孩的出生率v, = 0 =

28、1,23)。由此 100+ c,就可以求出2001年處在第詫=15,49)年齡段的每個女性平均生育女兒的人數(shù)： 咕弘+0=15,-,49).% (0)49由于總和生育率：S=£b, =1.389經(jīng)計算得到總和生育率小于18誤差很大.我們 1-15對生育率進(jìn)行修正：bx = (1.8 x V1- S)/S+1) * bx具體計算結(jié)果見附錄7o 計算第1年齡段的女性總存活率率久Q = 0,2,90+):記第"2 0,2,90+)年齡段的女性的死亡率為心。附件2中分別給出了城市、鎮(zhèn)、 鄉(xiāng)處在第1( = 0J,2,90+)年齡段的女性死亡率du ,d2f ,(1=04,2,90+)

29、 則處在第I年齡段的女性總死亡率d衛(wèi)=0,2,90+)為：% =血 5(0)+婦仙(°)+婦仙(0)( = 090+),4 (0)于是總存活率為：s,=l-d,見附錄4。用EXCEL對計算出來的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理.然后運(yùn)用 MATLAB軟件進(jìn)行編程，計算出Leslie矩陣，于是口J以用上血(12)式n(t)=厶5(0)進(jìn)行預(yù)測。三、對模型結(jié)果作進(jìn)一步討論我國人口發(fā)展形勢復(fù)雜，目前人口的低生育水平面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，下面我們分別 從如下方面分析預(yù)測我國人口發(fā)展將要面臨的復(fù)雜局面。(1)人口總量與勞動力人口的發(fā)展變化根據(jù)考慮種群結(jié)構(gòu)的Leslie離散模型.利用2001年的數(shù)據(jù)建立人口預(yù)測模型。

30、通過分析.計算出我國人口的預(yù)測值.對應(yīng)作出的我國勞動年齡人口與總?cè)丝诘恼劬€圖 如下：圖2我國全國總?cè)丝谂c勞動年齡人口折線圖根據(jù)圖2可以知道從2001年到2023年預(yù)測我國全國總?cè)丝谑浅尸F(xiàn)上升趨勢的隨 后幾年呈現(xiàn)緩慢下降的趨勢?？?cè)丝谠?010年、2020年分別達(dá)到14.2609億人和14.9513 億人.在2023年達(dá)到峰值14.985億人，在2033年達(dá)到14.7455億人。把預(yù)測數(shù)值與附 件2中所提供的預(yù)測數(shù)值進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)我們預(yù)測的未來人口的高峰期提前10年。這 一方面可能由我國男女的出生性別比例中女性所占的比例較小的原因；另一方面.我們 計算岀人口更替率僅為1. 42 （此為5年的均值

31、）.而中外專家對我國90年代中期以來的 人口更替率的計算結(jié)果為1.8 （見附錄10）,兩者相差甚遠(yuǎn).這說明附錄-一提供的數(shù)據(jù) 可能不夠真實，從而導(dǎo)致了我國人口峰值的預(yù)測年份提前。根據(jù)圖2我國勞動年齡人口龐大15-64歲的勞動年齡人口 2010年為10. 4421億 人.2013年將達(dá)到高峰10. 4852億人隨后勞動年齡人口呈現(xiàn)下降的趨勢。由此.可知 在相當(dāng)長的時間內(nèi)，我國不缺勞動力，但需要加強(qiáng)勞動力結(jié)構(gòu)性的調(diào)整，同時由于我國 計劃生育等宏觀政策的影響.近幾年總和生育率己降低到1.8并將穩(wěn)定在1.8的水平 上.所以經(jīng)過較長的時期.我國的勞動年齡人口將有所降低。（2）人口老齡化與人口撫養(yǎng)比通過計

32、算分析人口結(jié)構(gòu)持續(xù)老齡化，運(yùn)用Leslie離散模型，通過MATLAB軟件計算 岀我國60歲以上與65歲以上的老齡人口數(shù).做出散點圖如下：我國老年人口預(yù)測f-60老年人-55-老年人圖3我國老年人口預(yù)測值的折線圖從圖3可以直觀的看出我國老齡人口在持續(xù)增加.說明我國老齡化進(jìn)程在加速。同時做出未來我國老齡人口占總?cè)丝诘谋壤恼劬€圖如下:區(qū)我國老年人口占總?cè)丝诘谋壤r護(hù)褂於褂少爐橈0心0®電a年份t-60老年人占總?cè)藬?shù)的比例一»-65老年人占總?cè)藬?shù)的比例圖4我國老冷人口占總?cè)丝陬A(yù)測比例的折線圖從圖3圖4得到：2001年我國60歲以上老年人口己達(dá)到1. 5538億人.占總?cè)丝?的11

33、.5693%。到2020年.60歲以上老年人口將達(dá)到2. 907億人比重為19. 443%； 65歲 以上老年人口將達(dá)到2. 0628億人比重從2000年的8. 008蹭長到13. 797%。預(yù)計本世紀(jì) 40年代中后期形成老齡人口高峰平臺,60歲以上老年人口達(dá)4. 45億人，比重達(dá)33. 277%； 65歲以上老年人口達(dá)3. 51億人.比重達(dá)25. 53%.綜上可知我國老齡人口數(shù)量大.老齡 化速度快.高齡趨勢明顯.加上我國人口基數(shù)大.所以我國是個老齡人口多的國家。老齡化也在一定程度上導(dǎo)致了我國人口撫養(yǎng)比的不斷增高。下面計算人口撫養(yǎng)比指 數(shù)：設(shè)1”與1112分別為男性與女性中具有勞動能力的年齡組

34、.則j時段具有勞動 能力的人口為bhL(j) = £1 -瓦(j)N(i, j) + E 匕(j)N(i, j),xhi«li而N(j)-L(j)為j時段由社會撫養(yǎng)的失去勞動能力與老人或尚未具有勞動能力的為成年 人的數(shù)量。定義社會的撫養(yǎng)比指數(shù)°(j)=N(i)L(j).即平均每一勞動者撫養(yǎng)的無勞動LQ)能力的人數(shù)。我們以014歲為沒有勞動能力的兒童，以15-64歲為具有勞動能力的年 齡勞動人口，以65歲及以上的為老齡人口。首先，通過MATLAB編程計算出2002到2051 年0-14歲、15-64歲、65歲及5以上三段的人數(shù)；其次.根據(jù)人口撫養(yǎng)比的含義.計 算出每

35、一年份的人口撫養(yǎng)比得岀人口撫養(yǎng)比。得出的每年人口撫養(yǎng)比的折線圖如下：14人口撫養(yǎng)比0.70.60.5 富0.4 0.30.20. 1 0年份總撫養(yǎng)比圖5預(yù)測人口撫養(yǎng)比從圖5可以看岀預(yù)測的以后各年的人口撫養(yǎng)比呈增長的趨勢。人口撫養(yǎng)比比較高 主要原因有：每年新生嬰兒數(shù)目在增加；老齡化的加劇.老齡人口數(shù)量大；15-64歲年 齡段中的人的殘疾、生病而無勞動能力等。（3）人口調(diào)控與管理現(xiàn)階段我國生育水平的不穩(wěn)定性，根據(jù)建立的Leslie模型，運(yùn)用MATLAB軟件計 算出2000年到2050年我國育齡婦女（15-49歲）人口.并做出的散點圖如下：圖6未來我國育齡婦女（15-49歲）人口預(yù)測從圖6中可以看出

36、我國育齡婦女（15-49歲）人口在2010年左右到達(dá)到高峰,7未來我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)預(yù)測從圖7我們發(fā)現(xiàn).我國生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)在2012年將達(dá)到高峰. 到2025年左右有進(jìn)入一個小低谷，然后再2037年左右有達(dá)到一個小高峰。第二個我國 生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)小高峰的原因在于在2012年人口岀生高峰期的女嬰 到2037年時達(dá)到生育旺盛期.因此.在2025年生育旺盛期育齡婦女（20-29）人數(shù)達(dá) 到低谷時有回升的形勢。§6、誤差分析與靈敏度分析一、模型的殘差分析*1、運(yùn)用Mat lab軟件計算出用1954年到2005年的總?cè)丝跀?shù)進(jìn)行擬

37、合產(chǎn)生的殘差, 再利用EXCEL作出殘差的散點圖如下：殘差分析系列1圖8殘差分析從圖8可以看出殘差在坐標(biāo)軸x = 0上下波動.但是.不是呈現(xiàn)正態(tài)分布.并且殘 差絕對值之和為57.9992是比較大.因此擬合的效果不太好。2、利用1963年到2005年的總?cè)丝跀?shù).根據(jù)Logistic模型的形式，用Mat lab軟 件進(jìn)行擬合，并求出殘差序列，再利用EXCEL進(jìn)行處理，并作出殘差散點圖如下：殘差分析系列2圖9殘差分析圖通過圖9.可以看出殘差值大致分布在坐標(biāo)軸k的上下呈現(xiàn)對稱分布又有Mat lab 軟件計算出擬合的殘差絕對值之和為27. 8046.因此效果較好。3、利用1980年到2005年的人口總數(shù)

38、居.同樣運(yùn)用Matlab. EXCEL軟件進(jìn)行分析、 處理，作出散點圖如下：殘并分析年份 系列3圖10殘差分析圖通過Matlab軟件計算.得出擬合的殘差絕對值之和為10. 1699.從圖10可以看出. 圖形基本關(guān)于坐標(biāo)軸x = 0對稱.所以你和效果比較好。二、靈敏度分析：1、在不同的總合生育率上下按照前面的方法分別計算從2001年到2050年全國人 口總數(shù)的預(yù)測值（程序見附錄6）并畫岀圖形如圖11165130125160155150Y 145tt- 1401352005 2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045 2050 年份圖笛：在不同的k值下對各年份全

39、國總?cè)丝跀?shù)的預(yù)測由圖11可以看出當(dāng)上值很小時人口增長比較緩慢，達(dá)到峰值后人口數(shù)量很快下降 出現(xiàn)嚴(yán)重負(fù)增長；當(dāng)上值很大時人口增長速度很快.達(dá)到峰值后下降的速度緩慢，在此 情況下人口數(shù)量急劇膨脹。只有當(dāng)七值適中時，總?cè)丝谠鲩L才比較穩(wěn)定。2、再在不同的總和生育率上下按照前面的方法分別計算從2001年到2050年全國 老齡化變化趨勢（程序見附錄6）,并畫出圖形如圖120.652000 2005 20102015 2020 2025 2030 2035 2040 20452050年份6 O-550MSX9貉袍5 a圖12：在不同的k值下對各年份老齡化變化趨勢由圖12可以看出圮值越小.老齡化增大的速度越快

40、；七值越大老齡化指數(shù)增長平緩 年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，有利于社會發(fā)展。由以上分析口J知國家在制定人口政策時妥多方面考慮.如果只看重對人口總數(shù)的控 制可能導(dǎo)致社會老齡化嚴(yán)重、勞動力不足這顯然是不利于社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的；相反如果為 了防止社會老齡化加快而放任人口的增長.也會導(dǎo)致社會人口過多對資源和壞境帶來巨 大壓力.因此只有掌握好一個“平衡點”正確制定政策才能使國民經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長，人民 生活水平不斷提高。§7、模型的評價與推廣一、模型的優(yōu)點，1、在用模型1對各年全國人口總數(shù)預(yù)測時結(jié)合實際情況，分別用不同時間段的數(shù) 據(jù)擬合確定了三個預(yù)測函數(shù).并對三個函數(shù)預(yù)測的數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比分析.使模型的計算 結(jié)果更加準(zhǔn)確

41、。2、利用EXCEL軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理并作出各種平面圖.簡便.直觀、快捷；3、運(yùn)用多種數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計算，取長補(bǔ)短，使計算結(jié)果更加準(zhǔn)確；4、在模型I【中我們充分考慮到不同年齡的個體具有不同的生育能力和死亡率.采 用leslie模型，建立年齡結(jié)構(gòu)的離散模型.并通過合理假設(shè).在時間跨度不大的前提 下，對人口數(shù)量僅此進(jìn)行了預(yù)測，得到人口數(shù)量變化趨勢圖2與w國家人口發(fā)展戰(zhàn)略研 究：人口發(fā)展預(yù)測課題中未來我國總?cè)丝?，勞動人口及人口扶養(yǎng)比預(yù)測及未來我國 人口老齡化預(yù)測趨勢圖基本一致。因為原始數(shù)據(jù)得到的人口總和生育率跟實際情況不 符.我們對此進(jìn)行了合理修正，使預(yù)測更為準(zhǔn)確。在模型I中我們還進(jìn)行了參差分析， 在

42、模型I【中我們對不同的平均婦女生育胎數(shù)下人口總數(shù)及老齡化趨勢進(jìn)行了分析.得到 適合平均生育胎數(shù)的最佳值。二、模型的缺點：在模型假設(shè)中我們®及pt不隨時段的變遷而改變這一理想狀態(tài)下，但出生率及死亡 率會隨時間的變化而有所該變，本模型沒有建立Q與死亡率隨時間變化的動態(tài)模型，因 而存在一定的誤差；三、模型的改進(jìn)*隨著人民的生活水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生的改善，各年齡的死亡率不斷下降，存活率 不斷提髙。因此我們可以対Leslie模型進(jìn)行進(jìn)一步改變：記丿時段!年齡組中女性所占的百分比為&S 并設(shè)為育齡女性的年齡組.則丿時 段新生兒為=仏 NQ -1,丿)，21,，加我們引入控制變量力億丿)，

43、使得=1這里I. = 49 , h(i,j)稱為女性生育模式，我們將lestie矩陣變so（J）Aj) = 0其中0 Smi(j) 0o 0) 0) oB(J)=.0在一定時期內(nèi)s,Q）（這里j從0到90）0為平均生育胎數(shù).hQ,j）和&（丿）可視為 與丿無關(guān)的常數(shù).我們可以通過控制結(jié)婚年齡和生育兩胎間的年齡差來求力Q,丿）的最佳 值.從而達(dá)到控制人口數(shù)量和年齡結(jié)構(gòu)的目的。四、模型的推廣:本文首先不考慮年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響.建立Logistic人口預(yù)測模型；然后. 逐步改進(jìn).考慮年齡結(jié)構(gòu)對人口增長的影響.建立Leslie模型.對人口增長進(jìn)行預(yù)測. 這種由簡到繁.逐步加深的思路.可以

44、應(yīng)用到較復(fù)雜問題的處理上。參考文獻(xiàn)1 姜啟源，謝金星，葉俊數(shù)學(xué)模型M.北京:.2003年8月第三版；2 姜啟源.數(shù)學(xué)模型M.北京：高等教育出版社.1987年4月第一版；3 于洪彥.Excel統(tǒng)計分析與決策M(jìn).北京:高等教育出版社.2006年4月；4 胡守信，李柏年基于MATLAB的數(shù)學(xué)實驗M.北京:科學(xué)出版社.2004年6月；5 揚(yáng)啟帆，康旭升，等.數(shù)學(xué)建模M.北京：高等教育出版社.2006年5月；于學(xué)軍一中國人口科學(xué)2000年第2期，時間:2000-4-6,中國人口信息網(wǎng).20附錄附錄1:t=0:51;%令1954年為初始年x=60.261.562. 864. 666 67.266.265.

45、967.369. 170. 472. 574.576.378. 580. 783 85.287. 189.290.992.493.79596. 25997.598. 705 100. 1101. 654 103. 008104.357105. 851107.5109.3111. 026112. 704 114. 333115. 823 117. 171 11&517 119. 85121. 121 122. 389 123. 626 124. 761 125. 786 126. 743127. 627128. 453129. 227 129. 988130.756;c, d=solve

46、C c/(l+(c/60. 2-l)*exp(-5*d)=67. 2',' c/(l+(c/60. 2-l)*exp(-20*d)=90. 9',' c',' d'); %求初始費(fèi)數(shù)bO= 241. 9598, 0. 02985;%初始參數(shù)值fun=inline(，b(l). /(l+(b(l)/60. 2-1). *exp(-b(2). *t)'， b', ' t');Lbl, rl, jlj=nlinf it(t, x, fun, bO)y= 180.9871./(l+( 180. 9871/60. 2

47、-l).+exp( -0. 0336. *t);%非線性擬合的方程plot(t. x,', t, y,' -or*) %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖Rl=rl. 2R2=(x-man(x). "2;R=1-R1/R2%可決系數(shù)W=sum(abs(rl)%殘羽絕對值之和附錄2:t=46:3:94y= 180.9871./(1+( 180. 9871/60. 2-l).*exp( -0. 0336. *t)%對總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測t=0:42; %令1963年為初始年x=69. 1 70.472.574.576.378.580.783 85.287. 189.290.992.

48、493.795 96.259 97.598.705 100. 1101.654 103.008 104.357 105.851 107.5109. 3111. 026 112. 704 114. 333 115. 823 117. 171 118. 51; 119. 85 121. 121 122. 389 123. 626 124. 761125. 786 126. 743 127. 627 128. 453 129. 227 129. 988 130.756;c, dissolve (I c/(l+(c/69. l-l)*exp(-5*d)=7& 5',' c/(l

49、+(c/69. 1-1)*exp(-20*d)=103. 008*， c', d ');%求初始參數(shù)b0=134. 36& 0.056610;%初始參數(shù)值fun= mlineC* b(l). /(l+(b(l)/69. 1-1). *exp(-b(2). *t)*， b', ' t');bl, r 1, jl =nlinf it (t, x, fun, bO)y=151. 4513./(1+(151. 4513/69. 1-1). *exp( -0. 0484. *t); %非線性擬合的方程Plot(t, x,', t, y,'

50、-or* ) %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖Rl=rl. "2;R2=(x-mean(x). 2;R=1-R1/R2%可決系數(shù)W=sum(abs(rl)殘垂絕對值之和附錄3：t=37:3:85y=151. 4513./(1+(151. 4513/69. 1-1). *exp( -0. 0484. *t)H對總?cè)?1 進(jìn)行預(yù)測t=0:25; %令1980年為初始年x=98. 705100. 1101. 654 103. 008 104. 357 105. 851 107.5109.3111. 026 112. 704 114. 333115. 823 117. 171 118. 51

51、7 119. 85121. 121 122. 389 123. 625 124. 761 125. 786 126. 743 127. 627 128. 453129. 227 129. 988 130. 756;c, d=solve(，c/仃+(c/98. 705-l)*exp(-5*d) ) = 105. 851',' c/仃+(c/98. 705-l)*exp(-8*d)=111. 026', 'c','d'); %求初始參數(shù)b0= 109. 8216, 0. 19157;%初始參數(shù)值fun= lnlmeC* b(l). /(l+(

52、b(l)/98. 705-1). *exp(-b(2). *t)*, b*,' t );bl, rl, jl=nlinf it (t, x, fun, bO)y= 153. 5351. /(1+(153. 5351/98. 705-1). *exp( -0. 0477. *t); %非線性擬合的方程Plot(t, x,' X , t, y,' -or* ) %對原始數(shù)據(jù)與曲線擬合后的值作圖Rl=rl. "2;R2=(x-mean(x). 2;R=1-R1/R2%可決系數(shù)W=sum(abs(rl)怙戈卑絕對值之和t=20:3:53y= 153. 5351.7(1

53、+(153. 5351/98. 705-1). *exp( -0. 0477. *t)%4總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測附錄4：計算014歲，1564歲.65歲及以上的程序、繪畫岀未來我國育齡人數(shù)的程序N=0.680891272 0. 58459172 0. 584558207 0. 692220217 0. 72411021 0. 775536041 0. 8473689180. 834418703 0.917922042 0. 951466819 1. 070015717 1. 249256063 1. 199263988 1. 2021985251. 274218917 1. 111050839 0.

54、992314425 0. 893797544 0. 874657347 0. 984356877 0. 859576778 0. 852153460. 908644181. 2035665721. 2206434420. 9104201120. 8979448071. 2729739951.2367363190.9601576460.8805393231. 3285135761. 3907264150.9142587131.0190867241. 2549924030. 9807651110. 9539805681.042186671.3338194450.6466840690.9274299561. 1148237311. 1031861230.7856606230. 8510077591. 1928671991. 224703070.7016275920.8254823590. 8079428230.7365520020. 690432040.605802950.6155106240. 5547856630.503701350. 4800517620.4687228170. 4553640590.4843865410. 4473446810. 4