全國高中物理競賽難題

1、四、（20分）某些非電磁量的測量是可以通過一些相應(yīng)的W 17422的右側(cè)的整個表裝置轉(zhuǎn)化為電磁量來測量的。一平板電容器的兩個極扳豎莖上直放置在光滑的水平平臺上，極板的面積為S,極板間的W距離為d。極板1固定不動，與周圍絕緣；極板2接地，.S且可在水平平臺上滑動并始終與極板1保持平行。極板2半?yún)⒌膬蓚€側(cè)邊與勁度系數(shù)為k、自然長度為L的兩個完全相至同的彈簧相連，兩彈簧的另一端固定.圖預(yù)17-4-1是這性頻1741一裝置的俯視圖.先將電容器充電至電壓U后即與電源斷開，再在極板面上施以均勻的向左的待測壓強(qiáng)p;使兩極板之間的距離發(fā)生微小的變化，如圖預(yù)17-4-22上的靜電作用力不致引所示。測得此時電容器

2、的電壓改變量為AU。設(shè)作用在電容器極板起彈簧的可測量到的形變，試求待測壓強(qiáng)p圖預(yù)17-5-1五、（20分）如圖預(yù)17-5-1所示，在正方形導(dǎo)線回路所圍的區(qū)域AA2A3A4內(nèi)分布有方向垂直于回路平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間以恒定的變化率增大，回路中的感應(yīng)電流為I=1.0mA.已知AA2、A3A4兩邊的電阻皆為零；A4A邊的電阻R=3.0kQ,A2A3邊的電阻R2=7.0kG。1 .試求AA2兩點間的電壓U12、%A3兩點間的電壓U23、A3A4兩點間的電壓U34、A4A兩點間的電壓U41o2 .若一內(nèi)阻可視為無限大的電壓表V位于正方形導(dǎo)線回路所在的平面內(nèi)，其正負(fù)端與連線位置分別如圖預(yù)1

3、7-5-2、圖預(yù)17-5-3和圖預(yù)17-5-4所示，求三種情況下電壓表的讀數(shù)U1、U2、U3OAtAi聊1752郵1753六、（20分）絕熱容器A經(jīng)一閥門與另一容積比A的容積大得很多的絕熱容器B相連。開始時閥門關(guān)閉，兩容器中盛有同種理想氣體，溫度均為30C,B中氣體的壓強(qiáng)為A中的2倍。現(xiàn)將閥門緩慢打開，直至壓強(qiáng)相等時關(guān)閉。問此時容器A中氣體的溫度為多少？假設(shè)在打開到關(guān)閉閥門的過程中處在A中的氣體與處在B中的氣體之間無熱交換.已知每摩爾該氣體5的內(nèi)能為U=RT,式中R為普適氣體恒量，T是熱力學(xué)溫度.2七、（20分）當(dāng)質(zhì)量為m的質(zhì)點距離一個質(zhì)量為M、半徑為R的質(zhì)量均勻分布的致密天體圖預(yù)17-?中心

4、的距離為r（r>R）時，其引力勢能為EP=GMm/r,其中G=6.67x1011Nm2%一2為萬有引力常量.設(shè)致密天體是中子星，其半徑R=10km,質(zhì)量M=1.5MO（1Mo=2.0M1030kg,為太陽的質(zhì)量）.1 .1Kg的物質(zhì)從無限遠(yuǎn)處被吸引到中子星的表面時所釋放的引力勢能為多少？2 .在氫核聚變反應(yīng)中，若參加核反應(yīng)的原料的質(zhì)量為m,則反應(yīng)中的質(zhì)量虧損為0.0072m,問1kg的原料通過核聚變提供的能量與第1問中所釋放的引力勢能之比是多少？3.天文學(xué)家認(rèn)為：脈沖星是旋轉(zhuǎn)的中子星，中子星的電磁輻射是連續(xù)的，沿其磁軸方向最強(qiáng)，磁軸與中子星的自轉(zhuǎn)軸方向有一夾角（如圖預(yù)17-7所示），在地

5、球上的接收器所接收到的一連串周期出現(xiàn)的脈沖是脈沖星的電磁輻射。試由上述看法估算地球上接收到的兩個脈沖之間的時間間隔的下限.圖預(yù)17-8八、（20分）如圖預(yù)17-8所示，在水平桌面上放有長木板C,C上右端是固定擋板P,在C上左端和中點處各放有小物塊A和B,A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不計，A、B之間和B、P之間的距離皆為L。設(shè)木板C與桌面之間無摩擦，A、C之間和B、C之間的靜摩擦因數(shù)及滑動摩擦因數(shù)均為N;A、B、C(連同擋板P)的質(zhì)量相同.開始時，B和C靜止，A以某一初速度向右運動.試問下列情況是否能發(fā)生？要求定量求出能發(fā)生這些情況時物塊A的初速度vo應(yīng)滿足的條件，或定量說明不能發(fā)生的理由.

6、(1)物塊A與B發(fā)生碰撞；(2)物塊A與B發(fā)生碰撞(設(shè)為彈性碰撞)后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞；(3)物塊B與擋板P發(fā)生碰撞(設(shè)為彈性碰撞)后，物塊B與A在木板C上再發(fā)生碰撞；(4)物塊A從木板C上掉下來；(5)物塊B從木板C上掉下來.第十七屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題參考解答、參考解答四、參考解答因電容器充電后與電源斷開，極板上的電量保持不變，故兩板之間的電壓U應(yīng)與其電容C成反比；而平板電容器的電容C又與極板間的距離d成反比；故平板電容器的兩板之間的電壓與距離d成正比，即U=Ad(1)式中A為比例系數(shù)。極板2受壓強(qiáng)作用而向左移動，并使彈簧變形。設(shè)達(dá)到平衡時，極板2向左移動的距離為Ad,電容器的電

7、壓減少了UJ,則有U-AU=A(d-M)(2)由(1)與(2)式得(3)極板2移動后，連接極板2的彈簧偏離其原來位置日角，彈簧伸長了AL,如圖預(yù)解17-4所示，彈簧的彈力在垂直于極板的方向上的分量與加在極板2上的壓力平衡，即有pS=2k=Lsin二(4)因為8是小角，由幾何關(guān)系知sin71=d：dL國預(yù)解17,4(5)解(3)、(4)、(5)式得2kd3*P二-5pL2SU(6)五、參考解答1.設(shè)回路中的總感應(yīng)電動勢為E,根據(jù)楞次定律可知，電路中的電流沿逆時針方向,按歐姆定律有E=I(RR2)=10V(1)由對稱性可知，正方形回路每條邊上的感應(yīng)電動勢相等，設(shè)為E1，等效電路如圖預(yù)解17-5-1

8、所示。有E1=E/4=2.5V根據(jù)含源電路歐姆定律，并代入數(shù)值得(2)度股解giU12-王1-2.5V(3)U23=舊2-E1=4.5V(4)U34=-E1=N.5V(5)U41=IR1-E1=0.5V(6)2.三種情況下的等效電路分別如圖預(yù)解17-5-2、17-5-3、17-5-4。對圖預(yù)解17-5-2中的AV1A4A回路，因磁通量變化率為零，回路中的總電動勢為零，這表明連接A4、Ai兩端的電壓表支路亦為含源電路，電壓表的讀數(shù)等于由正端(+)到負(fù)端(一)流過電壓表的電流Iv乘以電壓表的內(nèi)阻RV,因Rv阻值為無限大，Iv趨近于零(但I(xiàn)vR為有限值)，故得IR1IVRV=IR-U1=0解得U1

9、=IR1 =3.0V圖預(yù)解17-5*2圖預(yù)解17.5.3碰解17-54同理，如圖預(yù)解17-5-3所示，回路AV2A4Al的總電動勢為E,故有(8)IR1IvRv=IR1U2=E解得U2 =E -IR1(9)代入數(shù)據(jù)得(10)U2=7.0V如圖預(yù)解17-5-4所示，回路AV3A4A的總電動勢為零，而A3A4邊中的電阻又為零，故(11)U3=IvRv=0六、參考解答設(shè)氣體的摩爾質(zhì)量為N,容器A的體積為V,閥門打開前，其中氣體的質(zhì)量為M。壓強(qiáng)為p,溫度為T。由pV =RT得JpVM=711）因為容器B很大，所以在題中所述的過程中，容器B中氣體的壓強(qiáng)和溫度皆可視為不變。根據(jù)題意，打開閥門又關(guān)閉后，A中

10、氣體的壓強(qiáng)變?yōu)?p,若其溫度為T',質(zhì)量為M',則2pVRT進(jìn)入容器A中的氣體的質(zhì)量為M =M M =-pV i - R T T設(shè)這些氣體處在容器 B中時所占的體積為AV,則、， M CTV =RT2p因為B中氣體的壓強(qiáng)和溫度皆可視為不變，為把這些氣體壓入容器 對這些氣體做的功為W =2p . V由（3）、 （ 4）、 （ 5）式得2TW = pV 1T容器A中氣體內(nèi)能的變化為U 4 2.5R(T T)(2)(3)(4)A ,容器B中其他氣體(5)(6)因為與外界沒有熱交換，根據(jù)熱力學(xué)第一定律有W = . U由（2）、 （ 6）、 （ 7）和（8）式得(8)結(jié)果為2T-1 =2

11、 2.5 1 -(9)T =353.5 K七、參考解答1 .根據(jù)能量守恒定律，質(zhì)量為 m的物質(zhì)從無限遠(yuǎn)處被吸引到中子星的表面時所釋放的引力勢能AEi應(yīng)等于對應(yīng)始末位置的引力勢能的改變，故有(1)代入有關(guān)數(shù)據(jù)得歪定2.0M1016 J，kgTm2 .在氫核聚變反應(yīng)中，每千克質(zhì)量的核反應(yīng)原料提供的能量為正222 =0.0072 c2 m(2)(3)所求能量比為lE2 / m 1胃一.E1/m 31(4)3.根據(jù)題意，可知接收到的兩個脈沖之間的時間間隔即為中子星的自轉(zhuǎn)周期，中子星做高速自轉(zhuǎn)時，位于赤道處質(zhì)量為AM的中子星質(zhì)元所需的向心力不能超過對應(yīng)的萬有引力，否則將會因不能保持勻速圓周運動而使中子星

12、破裂，因此有2 RM m tm - R - -R2(5)式中T切為中子星的自轉(zhuǎn)角速度，(6)T為中子星的自轉(zhuǎn)周期.由（5）、 （6）式得到. _2 二R3MG代入數(shù)據(jù)得(8)-4.4104s故時間間隔的下限為 4.4 10 4 s八、參考解答1.以m表示物塊A、B和木板C的質(zhì)量，當(dāng)物塊A以初速vo向右運動時，物塊A受到木板C施加的大小為Nmg的滑動摩擦力而減速，木板C則受到物塊A施加的大小為Mmg的滑動摩擦力和物塊B施加的大小為f的摩擦力而做加速運動，物塊則因受木板C施加的摩擦力f作用而加速，設(shè)A、B、C三者的加速度分別為aA、aB和ac,則由牛頓第二定律，有.Lmg=maA/mg-f=mac

13、f=maB事實上在此題中，aB=ac,即B、C之間無相對運動，這是因為當(dāng)aB=ac時，由上式可得,1,f=-kmg(1)它小于最大靜摩擦力Nmg.可見靜摩擦力使物塊B、木板C之間不發(fā)生相對運動。若物塊A剛好與物塊B不發(fā)生碰撞，則物塊A運動到物塊B所在處時，A與B的速度大小相等.因為物塊B與木板C的速度相等，所以此時三者的速度均相同，設(shè)為vi,由動量守恒定律得mv0=3m%在此過程中，設(shè)木板C運動的路程為s,則物塊A運動的路程為S1+L,如圖預(yù)解17-8所示.由動能定理有1212-mv1-mv0=-mg(s1+L)(3)1 22 (2m)V1"mgs(4)或者說，在此過程中整個系統(tǒng)動能

14、的改變等于系統(tǒng)內(nèi)部相互間的滑動摩擦力做功的代數(shù)和(3)與(4)式等號兩邊相加)，即(5)1(3m)v2-1mv(2=-JmgL式中L就是物塊A相對木板C運動的路程.解(2)、(5)式，得(6)即物塊A的初速度V0=j3gL時，A剛好不與B發(fā)生碰撞，若V0>73gL,則A將與B發(fā)生碰撞，故A與B發(fā)生碰撞的條件是V、,3gL2.當(dāng)物塊A的初速度v0滿足（7）式時，A與B將發(fā)生碰撞，設(shè)碰撞的瞬間，A、B、C三者的速度分別為Va、Vb和VC,則有V a>VbVb=Vc（8）在物塊A、B發(fā)生碰撞的極短時間內(nèi)，木板C對它們的摩擦力的沖量非常小，可忽略不計。故在碰撞過程中，A與B構(gòu)成的系統(tǒng)的動量

15、守恒，而木板C的速度保持不變.因為物塊A、B間的碰撞是彈性的，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，又因為質(zhì)量相等，由動量守恒和機(jī)械能守恒可以證明（證明從略），碰撞前后A、B交換速度，若碰撞剛結(jié)束時，A、B、C三者的速度分別為vA'、vB'和vC'，則有V a'=VbVb'"VaVc'=Vc由（8）、（9）式可知，物塊A與木板C速度相等，保持相對靜止，而B相對于A、C向右運動，以后發(fā)生的過程相當(dāng)于第1問中所進(jìn)行的延續(xù)，由物塊B替換A繼續(xù)向右運動。若物塊B剛好與擋板P不發(fā)生碰撞，則物塊B以速度vB從板C板的中點運動到擋板P所在處時，B與C的速度相等.因A與C

16、的速度大小是相等的，故A、B、C三者的速度相等，設(shè)此時三者的速度為V2.根據(jù)動量守恒定律有mv0=3mv2（10）A以初速度vo開始運動，接著與B發(fā)生完全彈性碰撞，碰撞后物塊A相對木板C靜止，B到達(dá)P所在處這一整個過程中，先是A相對C運動的路程為L,接著是B相對C運動的路程為L,整個系統(tǒng)動能的改變，類似于上面第1問解答中（5）式的說法.等于系統(tǒng)內(nèi)部相互問的滑動摩擦力做功的代數(shù)和，即111V （3m）vf-mv0=-mg2L（11）解（10）、（11）兩式得v0=聞gL（12）即物塊A的初速度vo=，6NgL時,A與B碰撞，但B與P剛好不發(fā)生碰撞，若Vo>j6NgL,就能使B與P發(fā)生碰撞，

17、故A與B碰撞后，物塊B與擋板P發(fā)生碰撞的條件是VoAj6gL（13）3 .若物塊A的初速度vo滿足條件（13）式，則在A、B發(fā)生碰撞后，B將與才板P發(fā)生碰撞，設(shè)在碰撞前瞬間，A、B、C三者的速度分別為vA、vB和vC,則有Vb>Va=Vc（14）B與P碰撞后的瞬間，A、B、C三者的速度分別為vA“'、vB"和vC7則仍類似于第2問解答中（9）的道理，有Vb=VcVc=VbVa=Va（15）由（14）、（15）式可知B與P剛碰撞后，物塊A與B的速度相等，都小于木板C的速度，即vC>vA=Vb（16）在以后的運動過程中，木板C以較大的加速度向右做減速運動，而物塊A和B

18、以相同的較小的加速度向右做加速運動，力口速度的大小分別為ac=2NgaA=aB=Ng（17）1加速過程將持續(xù)到或者A和B與C的速度相同，二者以相同速度V0向右做勻速運動，或者木塊A從木板C上掉了下來。因此物塊B與A在木板C上不可能再發(fā)生碰撞。4 .若A恰好沒從木板C上掉下來，即A到達(dá)C的左端時的速度變?yōu)榕cC相同，這時三者的速度皆相同，以V3表不由動量守恒有3mv3=mv0（18）從A以初速度vo在木板C的左端開始運動，經(jīng)過B與P相碰，直到A剛沒從木板C的左端掉下來，這一整個過程中，系統(tǒng)內(nèi)部先是A相對C的路程為L;接著B相對C運動的路程也是L;B與P碰后直到A剛沒從木板C上掉下來，A與B相對C運動的路程也皆為L.整個系統(tǒng)動能的改變應(yīng)等于內(nèi)部相互間的滑動摩擦力做功的代數(shù)和，即1.01-（3m）v