《C概率及其運(yùn)算》ppt課件

1、C1.1 隨機(jī)事件隨機(jī)事件C1.2 概率的計(jì)算概率的計(jì)算C1.3 條件概率條件概率 獨(dú)立性獨(dú)立性習(xí)題課習(xí)題課C1 C1.1 隨機(jī)事件隨機(jī)事件B 一、隨機(jī)景象與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)B 二、樣本空間與隨機(jī)事件 B 三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算一、隨機(jī)景象與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)一、隨機(jī)景象與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)1 1、隨機(jī)景象、隨機(jī)景象帶有隨機(jī)性、偶爾性的景象帶有隨機(jī)性、偶爾性的景象特點(diǎn)：特點(diǎn)：當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以察看或進(jìn)展當(dāng)人們?cè)谝欢ǖ臈l件下對(duì)它加以察看或進(jìn)展實(shí)驗(yàn)時(shí)，察看或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果是多個(gè)能夠結(jié)果實(shí)驗(yàn)時(shí)，察看或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果是多個(gè)能夠結(jié)果中的某一個(gè)中的某一個(gè). . 而且在每次實(shí)驗(yàn)或察看前都無而且在每次實(shí)驗(yàn)或察看前都無法確知其結(jié)果，即呈

2、現(xiàn)出偶爾性法確知其結(jié)果，即呈現(xiàn)出偶爾性. . 或者說，或者說，出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果“憑時(shí)機(jī)而定憑時(shí)機(jī)而定. .在一定條件下對(duì)隨機(jī)景象進(jìn)展大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)在一定條件下對(duì)隨機(jī)景象進(jìn)展大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性某種規(guī)律性. .例如例如: : 一門火炮在一定條件下進(jìn)展射擊，個(gè)別一門火炮在一定條件下進(jìn)展射擊，個(gè)別炮彈的彈著點(diǎn)能夠偏離目的而有隨機(jī)性的誤差，炮彈的彈著點(diǎn)能夠偏離目的而有隨機(jī)性的誤差，但大量炮彈的彈著點(diǎn)那么表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，但大量炮彈的彈著點(diǎn)那么表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等. . 隨機(jī)景象的規(guī)律性隨機(jī)景象的規(guī)律性又如又如: : 在一

3、個(gè)容器內(nèi)有許在一個(gè)容器內(nèi)有許多氣體分子，每個(gè)氣體分多氣體分子，每個(gè)氣體分子的運(yùn)動(dòng)存在著不定性，子的運(yùn)動(dòng)存在著不定性，無法預(yù)言它在指定時(shí)辰的無法預(yù)言它在指定時(shí)辰的動(dòng)量和方向動(dòng)量和方向. . 但大量分子的但大量分子的平均活動(dòng)卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)平均活動(dòng)卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性，如在一定的溫度下，定性，如在一定的溫度下，氣體對(duì)器壁的壓力是穩(wěn)定氣體對(duì)器壁的壓力是穩(wěn)定的，呈現(xiàn)的，呈現(xiàn)“無序中的規(guī)律無序中的規(guī)律. . 從外表上看，隨機(jī)景象的每一次察看結(jié)果都是從外表上看，隨機(jī)景象的每一次察看結(jié)果都是隨機(jī)的，但多次察看某個(gè)隨機(jī)景象，便可以發(fā)現(xiàn)，隨機(jī)的，但多次察看某個(gè)隨機(jī)景象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶爾之中存在著必然的規(guī)律在

4、大量的偶爾之中存在著必然的規(guī)律. .概率論的研討對(duì)象概率論的研討對(duì)象 隨機(jī)景象的隨機(jī)景象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 隨機(jī)景象有其偶爾性的一面，也有其必隨機(jī)景象有其偶爾性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表如今大量反復(fù)實(shí)然性的一面，這種必然性表如今大量反復(fù)實(shí)驗(yàn)或察看中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)驗(yàn)或察看中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機(jī)景象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性景象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. 概率論正是研討隨機(jī)景象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的概率論正是研討隨機(jī)景象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科一門學(xué)科. 這里實(shí)驗(yàn)的含義非常廣泛，它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也包括對(duì)事物的某一特征的察看。 其典型的例子有：2、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)、隨機(jī)實(shí)驗(yàn)Experiment 研

5、討隨機(jī)景象，首先要對(duì)研討對(duì)象進(jìn)展察看實(shí)驗(yàn)研討隨機(jī)景象，首先要對(duì)研討對(duì)象進(jìn)展察看實(shí)驗(yàn). . 這里的實(shí)驗(yàn)，指的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)這里的實(shí)驗(yàn)，指的是隨機(jī)實(shí)驗(yàn). .E5：記錄尋呼臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。：記錄尋呼臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6：在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。：在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最高溫度。：記錄某地一晝夜的最高溫度和最高溫度。E1：拋一枚硬幣，察看正面：拋一枚硬幣，察看正面HHeads、反面、反面TTails出現(xiàn)的情況。出現(xiàn)的情況。E2 ：將一枚硬幣拋擲三次，察看正面、反面出現(xiàn)：將一枚硬幣拋擲三次，察看正面、反面出現(xiàn)的情況。的情況

6、。E3：將一枚硬幣拋擲三次，察看出現(xiàn)正面的次數(shù)。：將一枚硬幣拋擲三次，察看出現(xiàn)正面的次數(shù)。E4：拋一顆骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。：拋一顆骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 從察看實(shí)驗(yàn)開場(chǎng)從察看實(shí)驗(yàn)開場(chǎng)這些實(shí)驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：這些實(shí)驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：可以在一樣的條件下反復(fù)進(jìn)展；可以在一樣的條件下反復(fù)進(jìn)展；每次實(shí)驗(yàn)的能夠結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)每次實(shí)驗(yàn)的能夠結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的一切能夠結(jié)果；驗(yàn)的一切能夠結(jié)果；進(jìn)展一次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。進(jìn)展一次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。二、樣本空間與隨機(jī)事件二、樣本空間與隨機(jī)事件定義定義將隨機(jī)實(shí)驗(yàn)將隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E 的一切能夠結(jié)果組成的集合的一切

7、能夠結(jié)果組成的集合稱為稱為 E 的樣本空間，的樣本空間， 記為記為 S 或或。稱實(shí)驗(yàn)稱實(shí)驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集為的子集為 E 的隨機(jī)事件；的隨機(jī)事件；常用集合記號(hào)如常用集合記號(hào)如A，B等表示。等表示。根身手件根身手件 : 有一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；有一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件必然事件 : 樣本空間樣本空間 S 本身；本身；不能夠事件不能夠事件 : 空集空集。樣本空間的元素，即樣本空間的元素，即 E 的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0,

8、1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 E1：拋一枚硬幣，察看正面HHeads、反面TTails出現(xiàn)的情況。 E2 ：將一枚硬幣拋擲三次，察看正面、反面出現(xiàn)的情況。 E3：將一枚硬幣拋擲三次，察看出現(xiàn)正面的次數(shù)。 E4：拋一顆骰子，察看出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。S5 : 0,1,2,3S6 : t | t 0 S7 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 E5：記錄尋呼臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。 E6：在一批燈泡中恣意抽取一只，測(cè)試它的壽命。 E7：記錄某地一晝夜的最高溫度和最高溫度。例如：例如：S2 中事件中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT表示表示 “第一次出現(xiàn)的

9、是正面第一次出現(xiàn)的是正面 S6 中事件中事件 B1=t|t1000表示表示 “燈泡是次品燈泡是次品事件事件 B2=t|t 1000表示表示 “燈泡是合格品燈泡是合格品事件事件 B3=t|t1500表示表示“燈泡是一級(jí)品燈泡是一級(jí)品 稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的一個(gè)樣本點(diǎn)在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)10 包含關(guān)系包含關(guān)系 20 和事件和事件 30 積事積事件件 40 差事差事件件50 互不相容互不相容60 對(duì)立事件對(duì)立事件SABBABABABABASBABA 三三 、事件間的關(guān)系與運(yùn)算、事件間的關(guān)系與運(yùn)算SAB S2 中事件中事件 A=HHH,H

10、HT,HTH,HTT, B=HHH,TTT 20 和事件和事件 30 積事積事件件BABA?BA?BASABSABAS 40 差事差事件件BAABSB50 互不相容互不相容BAASA60 對(duì)立事件對(duì)立事件SBABA AB SAB隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律冪等律: :AAAAAA,交換律交換律: :ABBAABBA, 結(jié)合律結(jié)合律: :CBACBACBACBA分配律分配律: :CABACBACABACBA De Morgan De Morgan定律定律: :AAAA,C1.2 概率的計(jì)算概率的計(jì)算B 一、頻率與概率B 二、概率的定義與性質(zhì)B 三、等能夠概型古典概型B 四、幾何概型

11、一一 、 頻率與概率頻率與概率例如例如 假設(shè)我們希望知道某射手中靶的概假設(shè)我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對(duì)這個(gè)射手在同樣條件下大量射率，應(yīng)對(duì)這個(gè)射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)展察看記錄擊情況進(jìn)展察看記錄.假設(shè)他射擊假設(shè)他射擊n發(fā)，中靶發(fā)，中靶m發(fā)，當(dāng)發(fā)，當(dāng)n很大時(shí)，可很大時(shí)，可用頻率用頻率m/n作為他中靶概率的估計(jì)作為他中靶概率的估計(jì).1. 頻率的定義和性質(zhì) 定義定義 在一樣的條件下，進(jìn)展了在一樣的條件下，進(jìn)展了n 次實(shí)驗(yàn)，次實(shí)驗(yàn)， 在這在這 n 次實(shí)驗(yàn)中，事件次實(shí)驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) nA 稱為稱為 事件事件 A 發(fā)生的頻數(shù)。比值發(fā)生的頻數(shù)。比值 n A / n 稱為事件稱

12、為事件 A 發(fā)生的頻率，并記成發(fā)生的頻率，并記成 fn(A) 。性質(zhì)性質(zhì):)()()()(AfnAfnAfnAAAfkkn 2121;)(12 Sfn則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若,AAAk0123;)(101 Afn 思索在一樣條件下進(jìn)展的思索在一樣條件下進(jìn)展的S 輪實(shí)驗(yàn)輪實(shí)驗(yàn).第二輪實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)次數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n2事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m2次次第S輪實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)次數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)ns事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)ms 次次實(shí)驗(yàn)次數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n1事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m1次次第一輪實(shí)驗(yàn)事件事件A A在各輪實(shí)驗(yàn)中頻率構(gòu)成一個(gè)數(shù)列在各輪實(shí)驗(yàn)中頻率構(gòu)成一個(gè)數(shù)列我們來闡明頻率穩(wěn)定性的含義我們來闡明頻率穩(wěn)定性的含義.,11nm

13、,22nmssnm, 頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的能頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的能夠性大小夠性大小. 雖然每進(jìn)展一連串雖然每進(jìn)展一連串n次實(shí)驗(yàn)，次實(shí)驗(yàn)，所得到的頻率可以各不一樣，但只需所得到的頻率可以各不一樣，但只需 n相當(dāng)相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的大，頻率與概率是會(huì)非常接近的. 因此，概率是可以經(jīng)過頻率來因此，概率是可以經(jīng)過頻率來“丈量丈量的的, 頻率是概率的一個(gè)近似頻率是概率的一個(gè)近似.頻率頻率概率概率這種確定概率的方法稱為頻率方法這種確定概率的方法稱為頻率方法.在實(shí)踐中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常取實(shí)驗(yàn)次在實(shí)踐中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常取實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率的估

14、計(jì)值，數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率的估計(jì)值，關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，需求強(qiáng)調(diào)以下現(xiàn)實(shí)：關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，需求強(qiáng)調(diào)以下現(xiàn)實(shí)： 對(duì)于較大的對(duì)于較大的n，n次實(shí)驗(yàn)中事件次實(shí)驗(yàn)中事件A的頻的頻率，普通與事件率，普通與事件A的概率的概率P相差不大，實(shí)驗(yàn)相差不大，實(shí)驗(yàn)次數(shù)次數(shù)n越大，頻率與概率有較大偏向的情形越大，頻率與概率有較大偏向的情形就越少見就越少見. 概率是頻率穩(wěn)定性的根據(jù)，是隨機(jī)事件規(guī)律概率是頻率穩(wěn)定性的根據(jù)，是隨機(jī)事件規(guī)律的一個(gè)表達(dá)的一個(gè)表達(dá) . 實(shí)踐中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常經(jīng)過作實(shí)踐中，當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常經(jīng)過作大量實(shí)驗(yàn)，用事件出現(xiàn)的頻率去近似概率大量實(shí)驗(yàn)，用事件出現(xiàn)的頻率去近似概率

15、.它的實(shí)際根據(jù)我們將在最后引見它的實(shí)際根據(jù)我們將在最后引見.251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.4880.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 投硬幣正反面闡明投硬幣正反面闡明 頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性nAfn(A)n=500時(shí)時(shí) 實(shí)實(shí) 驗(yàn)驗(yàn) 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 豐豐K 皮爾遜皮爾遜K 皮爾遜皮爾遜 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120210.51810.50960.50160.5005

16、頻率穩(wěn)定頻率穩(wěn)定性性高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)高爾頓釘板實(shí)驗(yàn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 小球在高爾頓板中的小球在高爾頓板中的分布規(guī)律分布規(guī)律 .高爾頓板實(shí)驗(yàn). . . .

17、 . . . 記左圖所示正方形的面積記左圖所示正方形的面積為為 ，其中的四分之一圓圍成，其中的四分之一圓圍成的區(qū)域?yàn)榈膮^(qū)域?yàn)锳. 現(xiàn)向區(qū)域現(xiàn)向區(qū)域 隨機(jī)投點(diǎn)隨機(jī)投點(diǎn)n次，次，由幾何方法可計(jì)算得由幾何方法可計(jì)算得利用頻率和概率的關(guān)系，當(dāng)利用頻率和概率的關(guān)系，當(dāng) n充分大時(shí)，充分大時(shí)，441)()()(22rrAAPArnmAP)( 于是于是nm4頻頻 率率 穩(wěn)定值穩(wěn)定值 概率概率事件發(fā)生事件發(fā)生的頻繁程度的頻繁程度事件發(fā)生事件發(fā)生的能夠性的大小的能夠性的大小頻率的性質(zhì)頻率的性質(zhì)概率的公理化定義概率的公理化定義定義定義 設(shè)設(shè) E 是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，S 是它的樣本空間，對(duì)于是它的樣本空間，對(duì)于

18、 E 的每一個(gè)事件的每一個(gè)事件 A 賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為 稱為事件稱為事件 A 的概率，要求集合函數(shù)的概率，要求集合函數(shù) 滿足滿足 以下條件：以下條件： ;)(120 SP;)(AP 010 )()()(APAPAAP2121則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若,AA2013)(P,)(AP二、概率的定義與性質(zhì)二、概率的定義與性質(zhì)概率的性質(zhì)概率的性質(zhì);)(01 P性質(zhì)性質(zhì)則則是是兩兩兩兩互互不不相相容容事事件件若若性性質(zhì)質(zhì),AAAn212)()()()(APAPAPAAAPnn 2121)()()()()(APBPAPBPABPBA 3性質(zhì)性質(zhì)SAB;)()(APAP

19、15性性質(zhì)質(zhì);)(14 AP性性質(zhì)質(zhì)。性性質(zhì)質(zhì))()()()(ABPBPAPBAP 6SABSAAB 重要推行重要推行: :)()()()()()()()()ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 1)()()()ABPBPABP 2SBA加法公式的推行加法公式的推行 nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211 有有個(gè)事件個(gè)事件對(duì)任意對(duì)任意, 生活中有這樣一類實(shí)驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是： 樣本空間的元素只需有限個(gè)； 每個(gè)根身手件發(fā)生的能夠性一樣。 比如：足球競(jìng)賽中扔硬幣挑邊，圍棋競(jìng)賽中猜先。比如：足球競(jìng)賽中扔硬幣挑邊，圍棋競(jìng)賽中猜先

20、。我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等能夠概型，我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等能夠概型，思索到它在概率論早期開展中的重要位置，又思索到它在概率論早期開展中的重要位置，又把它叫做古典概型。把它叫做古典概型。三、等能夠概型古典概型三、等能夠概型古典概型設(shè)設(shè) S =e1, e2, en , 由古典概型的等能夠性，得由古典概型的等能夠性，得.21ne=PePeP 又由于根身手件兩兩互不相容；所以又由于根身手件兩兩互不相容；所以,nePePePSP 211.,ninePi211 假設(shè)事件假設(shè)事件 A 包含包含 k 個(gè)根身手件，即個(gè)根身手件，即 A =e1, e2, ek , 那么有那么有 ： .)(中中基基本本事事件件總總數(shù)數(shù)包

21、包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)SAnkAP 例例 1 將一枚硬幣拋擲三次。設(shè)：事件將一枚硬幣拋擲三次。設(shè)：事件 A1為為“恰有一次恰有一次出現(xiàn)正面，事件出現(xiàn)正面，事件 A2為為“至少有一次出現(xiàn)正面，求至少有一次出現(xiàn)正面，求 P (A1 ), P (A2 )。 解：根據(jù)前面的記號(hào)，解：根據(jù)前面的記號(hào)，E2 的樣本空間的樣本空間 S2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即，即 S2 中包含有限個(gè)元素，且由對(duì)稱性中包含有限個(gè)元素，且由對(duì)稱性 知每個(gè)根身手件發(fā)生的能夠性一樣，屬于古典概型。知每個(gè)根身手件發(fā)生的能夠性一樣，屬于古典概型。 A1為為“

22、恰有一次出現(xiàn)正面，恰有一次出現(xiàn)正面，A1=HTT, THT, TTH, , = )( =8331nkAPk，.= = )( = )( 87811122 APAP, =)(= T,TT= :8112222nkAPkAAA，由由于于另另解解 事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面，A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH , = )( =877222nkAPk，例例 2 一口袋裝有一口袋裝有 6 只球，其中只球，其中 4 只白球、只白球、2 只紅球。只紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只。思索兩種取球方式：思索兩種取球方式： 放回抽樣放

23、回抽樣 第一次取一只球，察看其顏色后放回袋中，第一次取一只球，察看其顏色后放回袋中， 攪勻后再取一球。攪勻后再取一球。不放回抽樣不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球的球 中再取一球。中再取一球。 分別就上面兩種方式求：分別就上面兩種方式求： 1取到的兩只都是白球的概率；取到的兩只都是白球的概率； 2取到的兩只球顏色一樣的概率；取到的兩只球顏色一樣的概率； 3取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。 解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個(gè)根身手件。解：從袋中取兩球，每一種取法就是一個(gè)根身手件。 設(shè)設(shè) A= “

24、取到的兩只都是白球取到的兩只都是白球 ，A1=“取到的都取到的都是紅球是紅球; B= “ 取到的兩只球顏色一樣取到的兩只球顏色一樣 C= “ 取到的兩只球中至少有一只是白球。取到的兩只球中至少有一只是白球。44406422.)( AP111062221.)(AP8890621221.)()(APCP 有放回抽取有放回抽取: : 無放回抽取無放回抽取:2624CCAP )(262224CCCBP )(262211CCAPCP)()(5550624222.)(BP例例 3 將將 n 只球隨機(jī)的放入只球隨機(jī)的放入 N (N n) 個(gè)盒子中去，求個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率。每個(gè)盒子至多有

25、一只球的概率。 (設(shè)盒子的容量不限設(shè)盒子的容量不限,種種放放法法nNNNN 解：解： 將將 n 只球放入只球放入 N 個(gè)盒子中去個(gè)盒子中去, 共有共有而每個(gè)盒子中至多放一只球而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有共有,)()(種種放放法法nNAnNNN 11.)()(nnNnNANnNNNp 11故故問題改為問題改為: 求至少有一只盒子里有兩個(gè)以上的球的求至少有一只盒子里有兩個(gè)以上的球的概率。概率。.nnNNApP 11 此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如此例可以作為許多問題的數(shù)學(xué)模型，比如用此公式可以得出：用此公式可以得出： nP20 23 30 40 50 64 1000.411 0.507

26、0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997 思索思索N=365, 經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：“在一個(gè)有在一個(gè)有64人的班級(jí)里，至少有兩人同生日人的班級(jí)里，至少有兩人同生日的概率為的概率為 99.7%。例例4 設(shè)有設(shè)有 N 件產(chǎn)品，其中有件產(chǎn)品，其中有 D 件次品，今從中任件次品，今從中任取取 n 件，問其中恰有件，問其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少件次品的概率是多少?種，種，nNC又在又在D件次品中取件次品中取 k 件，一切能夠的取法有件，一切能夠的取法有 種，種，knDNC 在在 N-D 件正品中取件正品中取 n-k 件件, 一切能夠的取

27、法有一切能夠的取法有種種，kDC 解：在解：在 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有件，取法共有不放回抽樣不放回抽樣1由乘法原理知：在由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品件產(chǎn)品 中取中取 n 件，其件，其中恰有中恰有 k件次品的取法共有件次品的取法共有 種種，knDNkDCC 于是所求的概率為：于是所求的概率為：nNknDNkDCCCp 此式即為超幾何分布的概率公式。此式即為超幾何分布的概率公式。2 2 有放回抽樣有放回抽樣從從N件產(chǎn)品中有放回地抽取件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進(jìn)展陳列，件產(chǎn)品進(jìn)展陳列，能夠的陳列數(shù)為能夠的陳列數(shù)為 個(gè)，將每一陳列看作根身個(gè)，將每一陳列看作根身手件，總數(shù)為手件

28、，總數(shù)為 。而在而在 N 件產(chǎn)品件產(chǎn)品 中取中取 n 件，其中恰有件，其中恰有 k件次品件次品的取法共有的取法共有 于是所求的概率為：于是所求的概率為：nNknkknDNDC )(nNknkknnknkknNDNDCNDNDCP )()()(1此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。例例5 5 在在 12000 12000 的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問取的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被到的整數(shù)既不能被 6 6 整除，又不能被整除，又不能被 8 8 整除的整除的概率是多少？概率是多少？解：設(shè)解：設(shè) A 為事件為事件“取到的整數(shù)能被取到的整數(shù)能被 6 整除，整除，B B

29、為為“取到的整數(shù)能被取到的整數(shù)能被 8 8 整除，整除，,33462000333 由由于于).()()()(),()()(ABPBPAPBAPBAPBAPBAP 其其中中1為：為：6 6，1212，181998 181998 共共 333 333 個(gè)，個(gè)，所以能被所以能被 6 6 整除的整數(shù)整除的整數(shù)那么所求的概率為：那么所求的概率為：,)(2000333 APAB 為為“既被既被 6 整除又被整除又被 8 整除或整除或“能被能被 24 整除整除.)(,)(:2000832000250 ABPBP同同理理得得.)()()(432000500120008325033311 ABPBPAPp于是所

30、求的概率為：于是所求的概率為：其中其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，例例 6 魔法學(xué)院假設(shè)將魔法學(xué)院假設(shè)將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到葛名新生隨機(jī)地平均分配到葛來芬多、斯萊特林、拉文克勞來芬多、斯萊特林、拉文克勞3 個(gè)學(xué)院中去，這個(gè)學(xué)院中去，這 15 名新生中有名新生中有 3 人是哈利波特、榮恩與妙麗人是哈利波特、榮恩與妙麗 。問：。問：(1)他們他們3 人被分配到人被分配到3 個(gè)不同的學(xué)院的概率是多少？個(gè)不同的學(xué)院的概率是多少？(2)他們他們3 人被分配到同一個(gè)學(xué)院的概率是多少？人被分配到同一個(gè)學(xué)院的概率是多少？解：解：15名新生平均分配到名新生平

31、均分配到 3 個(gè)學(xué)院中去的分法總數(shù)為：個(gè)學(xué)院中去的分法總數(shù)為：55510515CCC ,! 512345! 5678910! 51112131415 !5!5!5!15 (1) 將哈利波特、榮恩與妙麗分配到將哈利波特、榮恩與妙麗分配到 3 個(gè)學(xué)院，個(gè)學(xué)院，使每個(gè)學(xué)院都有一人的分法共有使每個(gè)學(xué)院都有一人的分法共有 3! 種。種。種種，) !(/ !44412他們他們3 人被分配到人被分配到3 個(gè)不同的學(xué)院的分法總數(shù)為：個(gè)不同的學(xué)院的分法總數(shù)為：)! 4! 4! 4/(!12! 3于是所求的概率為：于是所求的概率為：.!/!27470912555515444123555154441231 p其他其

32、他 12 名新生平均分配到名新生平均分配到 3 個(gè)學(xué)院中的分法共有個(gè)學(xué)院中的分法共有三人分配在同三人分配在同一學(xué)院內(nèi)一學(xué)院內(nèi).0659. 0916!15! 2! 5!123! 5! 5! 5!15/! 5! 5! 2!1232 p其他其他12名新生，一個(gè)學(xué)院分名新生，一個(gè)學(xué)院分2名，名，另外兩學(xué)院各分另外兩學(xué)院各分5名名(2)哈利波特、榮恩與妙麗分配到同一個(gè)學(xué)院的哈利波特、榮恩與妙麗分配到同一個(gè)學(xué)院的概率為：概率為：例例 7 某接待站在某一周曾接待過某接待站在某一周曾接待過 12 次來訪，知一切次來訪，知一切這這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)展的。問能否可以次接待都是在周二和周四進(jìn)展的。問能

33、否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，各來訪者在解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定，各來訪者在一周的任一天中去接待站是等能夠的，那么，一周的任一天中去接待站是等能夠的，那么，12 次接待來訪者都在周二、周四的概率為次接待來訪者都在周二、周四的概率為: 212/712=0.0000003，即千萬分之三。，即千萬分之三。人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)際中總結(jié)得到人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)際中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的稱之為實(shí)踐推斷原理。中幾乎是不發(fā)生的稱之為實(shí)踐推斷原理。如今概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而推斷如今概率很

34、小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即以為其接待時(shí)間是有規(guī)接待站不是每天都接待來訪者，即以為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。定的。 幾何概型思索的是有無窮多個(gè)、等能夠結(jié)果的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。幾何概型思索的是有無窮多個(gè)、等能夠結(jié)果的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。四、幾何概型四、幾何概型首先看下面的例子首先看下面的例子:會(huì)面問題會(huì)面問題 例例1 甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 0 到到 T 這段時(shí)間內(nèi)這段時(shí)間內(nèi), 在預(yù)定在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面地點(diǎn)會(huì)面. 先到的人等候另一個(gè)人先到的人等候另一個(gè)人, 經(jīng)過時(shí)間經(jīng)過時(shí)間 t ( tT ) 后離去后離去. 設(shè)每人在設(shè)每人在0 到到T 這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)辰到這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)辰

35、到 達(dá)該地是等能夠的達(dá)該地是等能夠的 , 且兩人到達(dá)的時(shí)辰互不牽連且兩人到達(dá)的時(shí)辰互不牽連. 求甲、乙兩人能會(huì)面的概率求甲、乙兩人能會(huì)面的概率. 解解 的的時(shí)時(shí)分分別別為為甲甲、乙乙兩兩人人到到達(dá)達(dá)設(shè)設(shè)yx,刻刻, 那么那么 .0,0TyTx 兩人會(huì)兩人會(huì) 面的充要條件面的充要條件 . tyx 假設(shè)以假設(shè)以 x, y 表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo)表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo) , 那么那么 xoytxy tyx t T T故所求的概率為故所求的概率為 p 正正方方形形面面積積陰陰影影部部分分面面積積 222)(TtTT .)1(12Tt 普通，設(shè)某個(gè)區(qū)域 D (線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域，具有測(cè) 度 mD(長(zhǎng)度，面積

36、，體積)。假設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E 相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)恣意地取點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等能夠的，那么稱此類實(shí)驗(yàn)為 幾何概型。 假設(shè)實(shí)驗(yàn) E 是向區(qū)域內(nèi)恣意取點(diǎn)，事件 A 對(duì)應(yīng)于點(diǎn)落在 D 內(nèi)的某區(qū)域 A，那么.)(DAmmAP C1.3 條件概率條件概率 獨(dú)立性獨(dú)立性B一、條件概率一、條件概率B二、乘法定理二、乘法定理B三、全概率公式和貝葉斯公式三、全概率公式和貝葉斯公式 B四、獨(dú)立性四、獨(dú)立性一、條件概率一、條件概率 . , 為反面為反面為正面為正面設(shè)設(shè)TH例例1 將一枚硬幣拋擲兩次將一枚硬幣拋擲兩次, 察看其出現(xiàn)正反面的情況察看其出現(xiàn)正反面的情況. ,”“HA至至少少有有一一次次為為為為設(shè)設(shè)事事件件兩兩為

37、為設(shè)設(shè)事事件件“B次擲出同一面次擲出同一面. .發(fā)發(fā)生生的的概概率率發(fā)發(fā)生生的的條條件件下下現(xiàn)現(xiàn)求求已已知知事事件件BA分析分析 . , , , TTTHHTHHS ，2142)( BP,TTHHBTHHTHHA ,43)( AP)(ABP,41 將事件將事件A 曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件曾經(jīng)發(fā)生的條件下事件B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率記為記為 , )(ABP31)( ABP. )(BP )()(APABP )()()(BPABPBAP 同理可得同理可得 為事件為事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率. 定義定義 ,是是兩兩個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)BA,0)( AP且且稱稱

38、 )(ABP)()(APABP .發(fā)發(fā)生生的的條條件件概概率率發(fā)發(fā)生生條條件件下下事事件件為為在在事事件件BA,)B(0P當(dāng)當(dāng)條件概率的性質(zhì)：條件概率的性質(zhì)： 01 ABPB，有有非非負(fù)負(fù)性性：對(duì)對(duì)任任意意事事件件 ；規(guī)規(guī)范范性性：12 ASP 11213nnnnnABPABPBBB則則兩兩互互不不相相容容，兩兩，事事件件可可列列可可加加性性：如如果果隨隨機(jī)機(jī)例例2 一個(gè)盒子裝有一個(gè)盒子裝有4只產(chǎn)品只產(chǎn)品, 其中有其中有3只一等品只一等品, 二等品二等品. 從中取產(chǎn)品兩次從中取產(chǎn)品兩次, 每次任取一只每次任取一只, 作不放作不放回抽樣回抽樣. ,”“第第一一次次取取到到的的是是一一等等品品為為

39、設(shè)設(shè)事事件件 A,”“第第二二次次取取到到的的是是一一等等品品為為事事件件B試求條件概試求條件概 . )(ABP率率解解 此為古典概型問題此為古典概型問題. 先將產(chǎn)品編號(hào)先將產(chǎn)品編號(hào), 1,2,3號(hào)為號(hào)為一等品一等品; 4號(hào)為二等品號(hào)為二等品. ,),(表表示示第第一一次次以以ji,號(hào)號(hào)分分別別取取到到第第 i第二次第二次 .號(hào)產(chǎn)品號(hào)產(chǎn)品第第j1 1只只的的樣樣本本空空間間為為：試試驗(yàn)驗(yàn)ES ),2 , 1(),3 , 1(),4 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),4 , 2(,),1 , 4(),2 , 4(,)3 , 4(A ),2 , 1(),3 , 1(),4 , 1(),1

40、 , 2(),3 , 2(),4 , 2(),1 , 3(),2 , 3(,)4 , 3(AB ),2 , 1(),3 , 1(),1 , 2(),3 , 2(),1 , 3(.)2 , 3(由定義由定義, 得條件概率得條件概率 )(ABP)()(APABP 129126 .32 . )(ABP接接含含義義求求也也可可按按照照條條件件概概率率的的直直.A就就是是,9個(gè)個(gè)元元素素中中有有A),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1(其其中中只只有有,)2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(B屬屬于于故可得故可得 )(ABP96 .32 ,發(fā)發(fā)生生以以后后當(dāng)當(dāng)事事件件A所所有有可可能能的

41、的結(jié)結(jié)果果的的集集合合試試驗(yàn)驗(yàn)E二、乘法定理二、乘法定理 乘法定理乘法定理 ,0)( AP設(shè)設(shè)那么有那么有)(ABP ).()(APABP推行推行 ,為為事事件件設(shè)設(shè)CBA,0)( ABP且且那么有那么有 )(ABCP )(ABCP)(ABP. )(AP普通普通, ,21個(gè)個(gè)事事件件為為設(shè)設(shè)nAAAn,2 n且且 ,0)(121 nAAAP那么有那么有 )(21nAAAP )(121 nnAAAAP)(2211 nnAAAAP)(12AAP).(1AP例例3 ,只只紅紅球球設(shè)設(shè)袋袋中中裝裝有有 r.只只白白球球t每次自袋中任每次自袋中任取一只球取一只球, 察看其顏色然后放回察看其顏色然后放回,

42、 只只與與所所并并再再放放入入a取出的那只球同色的球取出的那只球同色的球. 假設(shè)在袋中延續(xù)取球四假設(shè)在袋中延續(xù)取球四次次, 試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率. 解解 ,“)4 , 3 , 2 , 1(次次取取到到紅紅球球第第表表示示事事件件以以iiAi .,43四次取到白球四次取到白球分別表示第三分別表示第三則則AA所求概率為所求概率為 )(4321AAAAP )(3214AAAAP)(213AAAP)(12AAP)(1AP atrat3 atrt2 atrar .trr 波波利利亞亞傳傳染染病病數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)模模型型例例3 袋中有一個(gè)

43、白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出袋中有一個(gè)白球與一個(gè)黑球，現(xiàn)每次從中取出一球，假設(shè)取出白球，那么除把白球放回外再加一球，假設(shè)取出白球，那么除把白球放回外再加進(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹骨笕×诉M(jìn)一個(gè)白球，直至取出黑球?yàn)橹骨笕×薾次都未次都未取出黑球的概率取出黑球的概率 次次都都未未取取出出黑黑球球取取了了設(shè)設(shè)nB niiAi，次次取取出出白白球球第第21 那么那么nAAAB21 由乘法公式，我們有由乘法公式，我們有解：解： nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221 nn11 n例例 4 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)突設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，

44、第一次落下時(shí)突破的概率為破的概率為 1/2 ，假設(shè)第一次落下未突破，第二次落，假設(shè)第一次落下未突破，第二次落下突破的概率為下突破的概率為 7/10 ,假設(shè)前兩次落下未突破，第三假設(shè)前兩次落下未突破，第三次落下突破的概率為次落下突破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未突。求透鏡落下三次而未突破的概率。破的概率。 )()|()|()()(112213321APAAPAAAPAAAPBP 解：以解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件表示事件“透鏡第透鏡第 i 次落下突破，次落下突破， 以以 B 表示事件表示事件“透鏡落下三次而未突破，有：透鏡落下三次而未突破，有：.)()(2003211

45、10711091 1. 樣本空間的劃分樣本空間的劃分 1B2B3B1 nBnB三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式 定義定義 ,的的樣樣本本空空間間為為試試驗(yàn)驗(yàn)設(shè)設(shè)ES為為nBBB,21,的的一一組組事事件件E假設(shè)假設(shè) ;, 2 , 1,) i (njijiBBji ,)ii(21SBBBn .,21的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為樣樣本本空空間間則則稱稱SBBBn定理定理 ,SE的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn),的的事事件件為為EA,21的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為SBBBn, 2 , 1(0)( iBPi且且),n那么那么 )(AP )()(11BPBAP)()(22BPBAP )

46、()(nnBPBAP 稱為全概率公式稱為全概率公式. 2.全概率公式全概率公式 ,), 2 , 1(0)(niBPi 由由假假設(shè)設(shè),)( jiABAB且且,ji , 2 , 1,nji 得到得到 )(AP )(1ABP)(2ABP )(nABP )()(11BPBAP)()(22BPBAP ).()(nnBPBAP 證證 由于由于 A AS )(21nBBBA ,21nABABAB闡明闡明 全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單事分解為假設(shè)干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題件的概率計(jì)算問題,最后運(yùn)用概率的

47、可加性求出最最后運(yùn)用概率的可加性求出最終結(jié)果終結(jié)果. 圖示圖示 A1B2B3B1 nBnB化整為零各個(gè)擊破化整為零各個(gè)擊破 例例5 有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，知其中由一廠生知其中由一廠生產(chǎn)的占產(chǎn)的占 30%， 二廠消費(fèi)的占二廠消費(fèi)的占 50%，三廠消費(fèi)的占三廠消費(fèi)的占 20%， 又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%, 1%, 1%, 問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少少? 解解 設(shè)事件設(shè)事件 A 為為“任取一件為次品任取一件為次品,. 3, 2, 1,”“ iiBi廠廠的的產(chǎn)產(chǎn)品品任任取取一一件件為為為為

48、事事件件321BBB,S jiBB . 3 , 2 , 1, ji,S30%20%50%2%1%1%由全概率公式得由全概率公式得 . )()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAP )(AP ,3 . 0)(1 BP,5 . 0)(2 BP,2 . 0)(3 BP,02. 0)(1 BAP,01. 0)(2 BAP,01. 0)(3 BAP)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP 故故2 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 .013. 0定理定理 .SE的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn),的的事事件件為為EA,21的

49、的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為SBBBn,0)( AP且且0)( iBP,), 2 , 1(ni 那那么么 )(ABPi ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni 此式稱為貝葉斯公式此式稱為貝葉斯公式. 3. 貝葉斯公式貝葉斯公式 )(ABPi )()(APABPi ,)()()()(1 njjjiiBPBAPBPBAP., 2 , 1ni ,2 n若若在在公公式式中中取取,1BB 記記為為并并將將,2BB 就就是是則則那么那么, 全概率公式和貝葉斯公式變?yōu)槿怕使胶拓惾~斯公式變?yōu)?)(AP )()(BPBAP, )()(BPBAP )(ABP )()(APABP

50、.)()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAP 證證 由條件概率的定義及全概率公式得由條件概率的定義及全概率公式得 例例6 某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由三家元件 制造廠提供的制造廠提供的. 根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù) 元件制造廠元件制造廠次品率次品率提供元件的份額提供元件的份額1230.020.010.030.150.800.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)是均勻混合的設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)是均勻混合的, 且無區(qū)且無區(qū) 別的標(biāo)志別的標(biāo)志. (1) 在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件, 求它是求它是 次品的概

51、率次品的概率; (2) 在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件, 假設(shè)已假設(shè)已 知取到的是次品知取到的是次品, 為分析此次品出自何廠為分析此次品出自何廠, 需求出需求出 此次品由三家工廠消費(fèi)的概率分別是多少此次品由三家工廠消費(fèi)的概率分別是多少. 試求這試求這 些概率些概率. 解解 ,“取取到到的的是是一一只只次次品品”表表示示設(shè)設(shè) A)3 , 2 , 1( iBi.家家工工廠廠提提供供的的”“所所取取到到的的產(chǎn)產(chǎn)品品是是由由第第表表示示i,321的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分是是樣樣本本空空間間 SBBB而且有而且有 易知易知, ,15. 0)(1 BP,80. 0)(2 BP,05. 0)(

52、3 BP,02. 0)(1 BAP,01. 0)(2 BAP.03. 0)(3 BAP(1) 由全概率公式由全概率公式 )(AP)()(11BPBAP )()(22BPBAP )()(33BPBAP .0125. 0(2) 由貝葉斯公式由貝葉斯公式 )(1ABP)()()(11APBPBAP 0125. 015. 002. 0 .24. 0)(2ABP,64. 0 )(3ABP.12. 0 以上結(jié)果闡明以上結(jié)果闡明, 這只次品來自第這只次品來自第2家工廠的能夠性家工廠的能夠性 最大最大. 例例7 對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果闡明對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果闡明, 當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí)當(dāng)機(jī)器調(diào)整良好時(shí), 產(chǎn)品的合格率為

53、產(chǎn)品的合格率為98%, 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種缺點(diǎn)時(shí)而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種缺點(diǎn)時(shí), 其合格率為其合格率為55%. 每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí), 機(jī)器調(diào)整機(jī)器調(diào)整良好的概率為良好的概率為95%. 試求知某日早上第一件產(chǎn)品試求知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)是合格品時(shí), 機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少? 解解 ,“產(chǎn)品合格”“產(chǎn)品合格”為事件為事件設(shè)設(shè) A“機(jī)機(jī)器器調(diào)調(diào)為為事事件件B整良好整良好. ,98. 0)( BAP,55. 0)( BAP知知 ,95. 0)( BP,05. 0)( BP. )(ABP所求的概率為所求的概率為 由貝葉斯公式由貝葉斯公式 )(ABP)()()()

54、()()(BPBAPBPBAPBPBAP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0這就是說這就是說, 當(dāng)消費(fèi)出的第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)當(dāng)消費(fèi)出的第一件產(chǎn)品是合格品時(shí), 此此 時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為時(shí)機(jī)器調(diào)整良好的概率為0.97. 上題中概率上題中概率 0.95 是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的, 叫做先驗(yàn)概率叫做先驗(yàn)概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后驗(yàn)概率叫做后驗(yàn)概率. 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率 例例8 根據(jù)以往的臨床記錄根據(jù)以往的臨床記錄, 某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)具某種診斷癌

55、癥的實(shí)驗(yàn)具有如下效果有如下效果: ,”“試試驗(yàn)驗(yàn)反反應(yīng)應(yīng)為為陽陽性性表表示示若若以以A,”“被被診診斷斷者者患患有有癌癌癥癥表表示示事事件件C)(CAP則有則有,95. 0 .95. 0)( CAP如今對(duì)自然人群進(jìn)展普查如今對(duì)自然人群進(jìn)展普查, 設(shè)被實(shí)驗(yàn)的人患有癌癥的概率為設(shè)被實(shí)驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005, )(CP也就是也就是,005. 0 . )(ACP試求試求解解 ,95. 0)( CAP已已知知)(CAP )(1CAP ,05. 0,005. 0)( CP,995. 0)( CP 由貝葉斯公式由貝葉斯公式 以以)(ACP )()()()()()(CPCAPCPCAPCPCAP .

56、087. 0此題結(jié)果闡明此題結(jié)果闡明, ,95. 0)( CAP雖雖然然,95. 0)( CAP這兩個(gè)概率都比較高這兩個(gè)概率都比較高. 但假設(shè)將此實(shí)驗(yàn)用于普查但假設(shè)將此實(shí)驗(yàn)用于普查, 那么有那么有 ,087. 0)( ACP亦即正確性只需亦即正確性只需8.7%. 假設(shè)不留意假設(shè)不留意 這一點(diǎn)這一點(diǎn), 將會(huì)得出錯(cuò)誤的診斷將會(huì)得出錯(cuò)誤的診斷. 四、事件的相互獨(dú)立性四、事件的相互獨(dú)立性 那么有那么有, )()(BPABP .發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 1. 引例引例 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b

57、只白球每次從中取出一球，只白球每次從中取出一球，取后放回令：取后放回令：A= 第一次取出白球第一次取出白球 ，B= 第二次第二次取出白球取出白球 ， ,babAP ,222baabBAPbabABP 由由BAABB BAPABPBP 得：得： babbaabbab 222 APABPABP bab 取后放回取后放回這闡明，事件這闡明，事件 A 能否發(fā)生對(duì)事件能否發(fā)生對(duì)事件 B 能否發(fā)生在能否發(fā)生在概率上是沒有影響的，即事件概率上是沒有影響的，即事件 A 與與 B 呈現(xiàn)出某呈現(xiàn)出某種獨(dú)立性現(xiàn)實(shí)上，由于是有放回摸球，因此在種獨(dú)立性現(xiàn)實(shí)上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球時(shí)，袋中球的總數(shù)未變，并且

58、袋中的第二次取球時(shí)，袋中球的總數(shù)未變，并且袋中的黑球與白球的比例也未變，這樣，在第二次摸出黑球與白球的比例也未變，這樣，在第二次摸出白球的概率自然也未改動(dòng)白球的概率自然也未改動(dòng) BPABP 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b 只白球每次從中取出一球，只白球每次從中取出一球，取后不放回令：取后不放回令：A= 第一次取出白球第一次取出白球 ， B= 第二次取出白球第二次取出白球 ，那么，那么 babAP 111 babaabBAPbababbABP BAPABPBP 得：得： 111 babaabbababbbab APABPABP 而而，11 bab BPABP這闡明，事件這闡明，事件 A 與

59、事件與事件 B 不相互獨(dú)立現(xiàn)實(shí)上，不相互獨(dú)立現(xiàn)實(shí)上，由于是不放回摸球，因此在第二次取球時(shí)，袋中由于是不放回摸球，因此在第二次取球時(shí)，袋中球的總數(shù)變化了，并且袋中的黑球與白球的比例球的總數(shù)變化了，并且袋中的黑球與白球的比例也發(fā)生變化了，這樣，在第二次摸出白球的概率也發(fā)生變化了，這樣，在第二次摸出白球的概率自然也應(yīng)發(fā)生變化或者說，第一次的摸球結(jié)果自然也應(yīng)發(fā)生變化或者說，第一次的摸球結(jié)果對(duì)第二次摸球一定是有影響的對(duì)第二次摸球一定是有影響的由此，我們引出事件獨(dú)立性的概念由此，我們引出事件獨(dú)立性的概念 事件事件 A 與與 事件事件 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 闡明闡明 2.定義定義 ,是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)B

60、A)(ABP,相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件BA假設(shè)滿足等式假設(shè)滿足等式 )()(BPAP .,獨(dú)獨(dú)立立簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱BA容易知道容易知道, ,0)( AP若若,0)( BP相相互互則則BA,.,互互不不相相容容不不能能同同時(shí)時(shí)成成立立獨(dú)獨(dú)立立與與BA與事件與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān). 是指事件是指事件 A 的發(fā)生的發(fā)生事件獨(dú)立性的性質(zhì)：事件獨(dú)立性的性質(zhì)：1假設(shè)事件假設(shè)事件A 與與 B 相互獨(dú)立，而且相互獨(dú)立，而且 0AP BPABP 則則2必然事件必然事件S與恣意隨機(jī)事件與恣意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； 不能夠事件不能夠事件與恣意隨機(jī)事件與恣意隨機(jī)事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立3)假設(shè)