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文檔簡介
1、1.3.1 函數(shù)基本性質(zhì)單調(diào)性目標(biāo):函數(shù)單調(diào)性的討論與證明一.函數(shù)的單調(diào)性.1.增函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義,如果對于任意的I,當(dāng)時,都有,則稱函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù),相應(yīng)的區(qū)間I則稱為函數(shù)的遞增區(qū)間.直觀上,函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù),就是在區(qū)間I上小的對應(yīng)小的,大的對應(yīng)大的,函數(shù)值隨著的增大而增大. 所以如果函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù),那么在區(qū)間I上函數(shù)的圖象(從左到右)是不斷地上升的.比如函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),圖象(從左到右)上升.比如函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),圖象(從左到右)上升.比如函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),圖象(從左到右)上升.2.減函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義,如果對于任意的I,當(dāng)時,
2、都有,則稱函數(shù)在區(qū)間I上為減函數(shù),相應(yīng)的區(qū)間I則稱為函數(shù)的遞減區(qū)間.直觀上,函數(shù)在區(qū)間I上為減函數(shù),就是在區(qū)間I上小的對應(yīng)大的,大的對應(yīng)小的,函數(shù)值隨著的增大而減小. 所以如果函數(shù)在區(qū)間I上為減函數(shù),那么在區(qū)間I上函數(shù)的圖象(從左到右)是不斷地下降的.比如函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),圖象(從左到右)下降.比如函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),圖象(從左到右)下降.比如函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),圖象(從左到右)下降.3.函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)在區(qū)間I具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,函數(shù)的遞增區(qū)間和函數(shù)的遞減區(qū)間統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 例1.函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)、在區(qū)間上為增函數(shù)
3、,也可以說成函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減、在區(qū)間上單調(diào)遞增. 而區(qū)間和都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.增、減函數(shù)的圖示.例2.下圖是定義在上的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一個單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).注:確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,遵循最大化原則,單調(diào)區(qū)間的端點能閉則閉.5.函數(shù)單調(diào)性的討論或證明(步驟三步走).借助于函數(shù)的圖象,可以粗略地得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,但嚴(yán)格的討論或證明必須按定義的要求進(jìn)行. 具體步驟如下:設(shè)I,且.計算,并討論其符號,以確定或.根據(jù)作出結(jié)論.例3.證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).二.函數(shù)的最大、最小值設(shè)函數(shù)的定義域為.如果存在,使得對于任意的,都有,則稱為函數(shù)的最大值
4、(這時我們也說函數(shù)在點處取得最大值),記為:.如果存在,使得對于任意的,都有,則稱為函數(shù)的最小值(這時我們也說函數(shù)在點處取得最小值),記為:.例4.求下列函數(shù)的最值.關(guān)于函數(shù)的最大、最小值我們有如下的結(jié)論:設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義.如果是閉區(qū)間上的增函數(shù),則函數(shù)在點處取得最小值;在點處取得最大值.如果是閉區(qū)間上的減函數(shù),則函數(shù)在點處取得最大值;在點處取得最小值.例5.求函數(shù)的值域.三.課堂練習(xí):練習(xí).四.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性給定函數(shù),及函數(shù),經(jīng)復(fù)合后得到關(guān)于的復(fù)合函數(shù),設(shè)當(dāng)時,內(nèi)函數(shù)單調(diào),且相應(yīng)的值域區(qū)間為E(E=u|,),如果外函數(shù)在時也是單調(diào)的,那么復(fù)合函數(shù)作為的函數(shù)在時也是單調(diào)的.復(fù)合函數(shù)的單
5、調(diào)性遵循“同增異減”的原則.例6.確定函數(shù)的單調(diào)性.五.單調(diào)函數(shù)的有關(guān)結(jié)論.增函數(shù)與增函數(shù)的和為增函數(shù),減函數(shù)與減函數(shù)的和為減函數(shù).常數(shù)與增函數(shù)的和為增函數(shù),常數(shù)與減函數(shù)的和為減函數(shù).非零常數(shù)與單調(diào)函數(shù)的積仍為單調(diào)函數(shù),且若這個常數(shù)為正,則單調(diào)性不變;若這個常數(shù)為負(fù),則單調(diào)性改變.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)域上有相同的單調(diào)性.偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)域上有相反的單調(diào)性.注意:一些常用的函數(shù)的單調(diào)性(一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等).六.小結(jié)1.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的理解,要注意以下幾點:.函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,反映了函數(shù)在這個區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢,是函數(shù)
6、在區(qū)間上的整體性質(zhì). 因此要證明函數(shù)在上是遞增的,就必須證明對于區(qū)間上任意的兩個值,當(dāng)時,都有成立. 若要證明函數(shù)在上不是遞增的,只要舉出反例就可以了,即只要找到兩個特殊的,當(dāng)時,反而有即可.函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的,所以要受到區(qū)間的限制. 比如函數(shù) 在區(qū)間上都是減函數(shù),但不能說函數(shù)在整個定義域即內(nèi)是減函數(shù). 2.注意求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:.確定函數(shù)的定義域;.將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù);.分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.七.典型例題1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ( ) A. B. C. D. 2.函數(shù)的單調(diào)性為 ( ) A.在上為減函數(shù) B.在
7、上為增函數(shù),在上為減函數(shù) C.不能確定 D.在 上為增函數(shù)3.如果函數(shù)在上是增函數(shù),對于任意的,則下列結(jié)論中不正確的是 ( ) A. B.C. D.4.作出函數(shù)的圖象,并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.5.確定函數(shù)的單調(diào)性.6.確定函數(shù)的單調(diào)性.7.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求的取值范圍.8.設(shè)函數(shù)為R上的單調(diào)函數(shù),求證方程在R上至多有一個實根.9.設(shè)為定義在上的增函數(shù),如果對于任意的,都有.求證.若,解不等式.10.設(shè)函數(shù)是實數(shù)集R上的增函數(shù),令. .求證是R上的增函數(shù);.若,求證:.11.若二次函數(shù)滿足,且. .求的解析式;.若在區(qū)間上不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.12.已知函數(shù),其中. .當(dāng)時,作
8、函數(shù)的圖象;.設(shè)在區(qū)間上的最小值為,求的表達(dá)式.八.補(bǔ)充練習(xí)1.函數(shù)在上是增函數(shù),則的遞增區(qū)間是 ( ) A. B. C. D.2.函數(shù)在定義域M內(nèi)為增函數(shù),且,則下列函數(shù)在M內(nèi)不是增函數(shù)的是 ( ) A. B. C. D.3.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3,最小值為2, 則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.4.函數(shù)在內(nèi)遞減,求實數(shù)的取值范圍.5.求函數(shù)的遞減區(qū)間.6.確定下列函數(shù)的單調(diào)性.7.已知函數(shù).當(dāng)時,求函數(shù)的最小值.若對于任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.8.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.9.已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù),滿足,.求;.若,求的取值范圍.10.函數(shù)是定義在上的減函數(shù),對于任意的、,都
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