利用空間曲線的一般方程計(jì)算其曲率和撓率（Word）

1、利用空間曲線的一般方程計(jì)算其曲率和撓率殷璞(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)摘要空間曲線由一般方程由給出時(shí)，本文給出了計(jì)算曲線曲率和撓率的公式.關(guān)鍵詞曲率撓率 曲線的一般方程Determine the Curvature and Torsion of a Space Curveby the General EquationYin Pu(College of Mathematics and Information Science, Northwest Normal University, Lanzhou730070,Gansu)Abstract : In this p

2、aper, give the general equation of a space curve ,we calculate the formulas of the curvature and torsion. Key words: curvature; torsion; the general equation of a space curve 曲線的曲率描述的是曲線的切向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度,即曲線的彎曲程度;曲線的撓率其絕對(duì)值描述的是曲線的副法向量(或密切平面)對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度,即曲線的扭曲程度.計(jì)算曲線的曲率和撓率一般是利用曲線的自然(弧長(zhǎng))參數(shù)方程進(jìn)行推導(dǎo)的,所以曲線的方程由一般方

3、程給出時(shí),首先要改寫成參數(shù)方程,然后再計(jì)算曲線的曲率和撓率.但是有些方程不容易改寫成自然參數(shù)方程,本文就從曲線的一般方程出發(fā)直接推導(dǎo)計(jì)算曲線的曲率和撓率的公式.下面,設(shè)曲線是兩光滑曲面的交線,且是滿秩的.一、計(jì)算曲線的曲率設(shè)所求曲線為,其中為弧長(zhǎng).則 . (1) 將方程(1)式中的兩式對(duì)求導(dǎo),有1 / 26 (2)記向量 , (3)則曲線的單位切向量的方向平行于的方向.在局部,選擇弧長(zhǎng)的增加方向,使得單位切向量的方向就是的方向,那么,有 (4)又由(3)式知 . (5)=. (6)且由(4)式和(5)式可知=.=. =. (7)將(4)式兩端對(duì)弧長(zhǎng)求導(dǎo),由Frenet公式,有+ (8)這里,是

4、單位主法向量. 將(4)式與(8)式兩端分別作外積 (9)這里,是單位副法向量. 因?yàn)? =(10) = =. (11)將(10)式和(11)式代入(9)式,有=. (12)由(3)式知=. (13)=.(14)則由(5)式和(14)式,有= = (15)=.由(5)式和(13)式,有= (16)= 又由(3)式和(12)式,有= (17)由(15)式和(16)式,有. (18)令 (19)將(7)式、(19)式代入(18)式,有 (20)同理,有 (21) (22) 將(20)式、(21)式和(22)式代入(17)式,有 (23)由(3)式,(23)式可變?yōu)?+2+2+2+. = . (24

5、)令 =. (25) =. (26)則 = (27)兩端取向量長(zhǎng)度,得曲線的曲率為 . (28)二、計(jì)算曲線的撓率將(27)式兩端關(guān)于弧長(zhǎng)求導(dǎo),有 =. (29) 將(27)式和(29)式兩端作外積,得 =. (30)對(duì)(30)式兩端向量取長(zhǎng)度,有=. (31)則曲線的撓率為 . (32)這里,分別由(3),(13),(14),(25),(26)式計(jì)算. ,計(jì)算式分別為下面(33),(34)式: (33)其中, (34).其中, .三、舉例 例 設(shè)曲線是二次曲面,的交線,求曲線的曲率和撓率.解 記 則 , 由式,有, ,. 由(9)式,得,. 由式和式,及(25)式、(26)式,可以得到 . . 由式, 式和式,有 . 由式和(5)式,有 . 將式和式代入公式(27),有曲率.下面,求這條曲線的撓率.由公式(30),有 =. 利用式和式,有. 由式和式,得撓率為參考文獻(xiàn)1 黃宣國(guó). 空間解析幾何, 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社, 2003.2 梅向明, 黃敬