高中數(shù)學(xué)教案-條件概率復(fù)習(xí)過程

1、高中數(shù)學(xué)教案-條件概率P(A B)=?P(A )=?例如，擲一顆均勻骰子，例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點，P(A|B)=？擲骰子擲骰子已知事件已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是構(gòu)成的集合就是B，于是于是P(A|B)= 1/3.B中共有中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有能的，其中只有1個在集個在集A中，中，容易看到容易看到)()(636131BPBAPP(A|B)探究問題探究問題61P(B)=?2161 在解決許多概率問題時，往往需要在有某在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加

2、信息些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生發(fā)生的概率，將此概率記作的概率，將此概率記作P(A|B).A,B事件是有聯(lián)系的事件是有聯(lián)系的)()|(APBAPP(A )=3/10， 又如，又如，10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品件正品中有中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 現(xiàn)從這現(xiàn)從這10件中任取一件，件中任取一件，問在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？問在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？ B=取到正品取到正品記記A=取到一等品取到一等品，P(A|B)=？)()(1

3、0710373BPBAP)()(636131BPBAPP(A|B)P(A B )=3/10，107)(BPP(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，計算本例中，計算P(A)時，依時，依據(jù)的前提條件是據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一件產(chǎn)品中一等品的比例等品的比例. A=取到一等品取到一等品， 計算計算P(A|B)時，這個前提條件未變，只時，這個前提條件未變，只是加上是加上“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這個新的條件這個新的條件. 這好象給了我們一個這好象給了我們一個“情報情報”，使我們，使我們得以在新增的條件下導(dǎo)致的某個縮小了的范得以在新增的條件下導(dǎo)致的某個縮小了的范圍內(nèi)來

4、考慮問題圍內(nèi)來考慮問題.)()|(APBAP數(shù)發(fā)生的條件下基本事件在包含的基本事件數(shù)發(fā)生的條件下在ABAABP)|(中包含的基本事件數(shù)中包含的基本事件數(shù)ABA)()(AcardBAcard/ )(/ )(AcardBAcard)()(APBAP【問題】一般【問題】一般 情況下，情況下，P(P(| |) P() P() )，那么，那么P(|) ？ BABA二、條件概率的定義（計算公式）二、條件概率的定義（計算公式）定義定義 設(shè)設(shè)A、B是兩個事件，是兩個事件，且且, 0)( AP則稱則稱)()(APBAPABP）（(1)為在事件為在事件A發(fā)生的條件下，發(fā)生的條件下，事件事件B的的條件概率條件概率.

5、BABA若在事件若在事件A A已發(fā)生的條件下，已發(fā)生的條件下，基本基本事件空間由事件空間由縮小為事件縮小為事件A A，為使，為使 B B 也也發(fā)生發(fā)生 , ,試驗結(jié)果必須是既在試驗結(jié)果必須是既在 A A 中又在中又在B B中的基本事件中的基本事件, ,即此點必屬即此點必屬于于ABAB. . 深化理解深化理解)()(APBAPABP）（1、準(zhǔn)確把握公式的形式。、準(zhǔn)確把握公式的形式。)()(|BPBAPBAP）（在在A發(fā)生的條件發(fā)生的條件下事件下事件B的概率的概率在在B發(fā)生的條件發(fā)生的條件下事件下事件A的概率的概率2、計算條件概率的兩種思維。、計算條件概率的兩種思維。(1) 用上面的公式計算用上面

6、的公式計算;(2)根據(jù)加入條件后改變了的情況來計算根據(jù)加入條件后改變了的情況來計算. 2)從加入條件后改變了的情況去算從加入條件后改變了的情況去算 1) 用定義計算用定義計算:316361)()()|(BPBAPBAP 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點P(A|B）=31B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A所含樣本點所含樣本點個數(shù)個數(shù)例例1 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點點,問問“擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1:

7、)()()|(BPBAPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 設(shè)設(shè)A=擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出第一顆擲出6點點應(yīng)用定義應(yīng)用定義在在B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間中計算中計算21366363例例2: 2:甲、乙兩城市都位于長江下游，根據(jù)一百余年氣象記錄，知甲、乙兩城市都位于長江下游，根據(jù)一百余年氣象記錄，知道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為20%20%和和18%18%，兩地同時，兩地同時下雨的比例為下雨的比例為12%12%，求：，求： （1 1）乙市為雨天時，甲市也為雨天的概率；）乙市為雨天時，甲市也為雨

8、天的概率； （2 2）甲市為雨天時，乙市也為雨天的概率）甲市為雨天時，乙市也為雨天的概率. . 解解 設(shè)設(shè)A A=甲市是雨天甲市是雨天 ，B B=乙市是雨天乙市是雨天 ， P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 則則()0.12(|)0.67,( )0.18P ABP A BP B()0.12(|)0.60,( )0.2P ABP B AP A【例題講解】例例 3 某種動物出生之后活到某種動物出生之后活到20歲的概率為歲的概率為0.7，活到，活到25歲的概率為歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為，求現(xiàn)年為20歲的這種動物活到歲的這種動物活到25歲的概率。歲的概率。解解 設(shè)設(shè)A

9、表示表示“活到活到20歲歲”(即即20)，B表示表示“活到活到25歲歲” (即即25)則則 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率為所求概率為 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP AAB0.560.560.70.75 5BAABB由于故，例例4在在6道題中有道題中有4道理科題和道理科題和2道文科題，如果不放回道文科題，如果不放回的依次抽取的依次抽取2道題道題（1）第一次抽到理科題的概率）第一次抽到理科題的概率（2）第一次與第二次都抽到理科題的概率）第一次與第二次都抽到理科題的概率（3）第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科題的條件下，

10、第二次抽到理科題的概率題的概率.)()()|(BPBAPBAP三、三、兩個事件兩個事件同時發(fā)生概率計算公式同時發(fā)生概率計算公式?)(BAP)()(APBAPABP）（)|()()|()()(BAPBPABPAPBAPB)P(A ,52)AP( ,21A)|P(B,BA,求已知為兩個事件設(shè)例例 5條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個隨機(jī)試驗都是在一定條件下進(jìn)行每一個隨機(jī)試驗都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)的，設(shè)A是隨機(jī)試驗的一個事件，則是隨機(jī)試驗的一個事件，則P(A)是在是在該試驗條件下事件該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小.P(A)與與P(A |B)的區(qū)別在于

11、兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念它們是兩個不同的概念,在數(shù)值上一般也不同在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加“B發(fā)生發(fā)生”這個條件時這個條件時A發(fā)生的可能性大小，發(fā)生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率. 一場精彩的足球賽將要舉行，一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去大家都想去,只好用抽簽的方法來解決只好用抽簽的方法來解決.入場入場券券5張同樣的卡片，只有一張上寫有張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場券入場券”，其余，其余的什么也沒寫

12、的什么也沒寫. 將它們放在一起，洗勻，讓將它們放在一起，洗勻，讓5個人依個人依次抽取次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大. ” 到底誰說的對呢？讓我們用到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下概率論的知識來計算一下,每個每個人抽到人抽到“入場券入場券”的概率到底的概率到底有多大有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到按次序來，誰抽到入場券入場券的機(jī)會都的機(jī)會都一樣大一樣大.”我們用我們用Ai表示表示“第第i個人抽到入場券個人抽到入場券” i1,2,3,4,5.顯然，顯然，P(A1)=1/5，P(

13、)4/51A第第1個人抽到入場券的概率是個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，也就是說，iA則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券”因為若第因為若第2個人抽到個人抽到了入場券，第了入場券，第1個人個人肯定沒抽到肯定沒抽到.也就是要想第也就是要想第2個人抽到入場券，必須第個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，個人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 計算得：計算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答. 同理，第同理，第3個人要抽到個人要抽到“入場券入場券”，必須，必須第第1、第、第2個人都沒有抽到個人都沒有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到每個人抽到“入入場券場券” 的概率都是的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后抽簽不必爭先恐后.也就是說，也就是說， 我們說，在事件我們說，在事件B發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于的條件概率一般地不等于A的無條件概率的無條件概率. 但是，會不會出現(xiàn)但是，會不會出現(xiàn)P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形