南航戴華《矩陣論》第七章_矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)

1、第第7 7章章 矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)矩陣函數(shù)與矩陣值函數(shù)7.1 7.1 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)7.2 7.2 矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)7.3 7.3 矩陣值函數(shù)在微分方程組中的應用矩陣值函數(shù)在微分方程組中的應用7.47.4* * 特征對的靈敏度分析特征對的靈敏度分析7.1 7.1 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)7.1.1 7.1.1 矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示7.1.2 7.1.2 矩陣函數(shù)的另一種定義矩陣函數(shù)的另一種定義7.1.1 矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示矩陣函數(shù)的冪級數(shù)表示冪級數(shù)冪級數(shù)的的能夠展開為能夠展開為一元函數(shù)一元函數(shù)設設zzfCAnn)(, 定義定義7.1.1 0)(kkkzczf即即記為記為為

2、矩陣函數(shù)為矩陣函數(shù)的和定義的和定義則將收斂矩陣冪級數(shù)則將收斂矩陣冪級數(shù)時時的譜半徑的譜半徑當矩陣當矩陣徑為徑為并且該冪級數(shù)的收斂半并且該冪級數(shù)的收斂半),(,)(.0AfAcRAARkkk 0)(kkkAcAf時時有有因因為為當當 | z nzznzze!1! 2112 1253)!12(1)1(! 51! 31sinnnznzzzz nnznzzz242)!2(1)1(! 41! 211cos矩陣冪級數(shù)矩陣冪級數(shù)對任意對任意可知可知由推論由推論,2 . 3 . 6nnCA 1253)!12(1)1(! 51! 31nnAnAAA nnAnAAI242)!2(1)1(! 41! 21即即他們的

3、和分別記為他們的和分別記為都是收斂的都是收斂的,cos,sin,.AAeA nAAnAAIe!1! 212 1253)!12(1)1(! 51! 31sinnnAnAAAA nnAnAAIA242)!2(1)1(! 41! 21cos.cos,sin,為矩陣三角函數(shù)為矩陣三角函數(shù)為矩陣指數(shù)函數(shù)為矩陣指數(shù)函數(shù)稱稱AAeA nAnAAI!1! 212定理定理7.1.1則則如果如果設設,BAABCAnn AAAAeeiAeeAAiAeiAiAiAiAiAsin)sin(cos)cos()(21sin)(21cossincosBAABBAeeeee 的定義，可得的定義，可得和和由由AAeAcossin

4、,推論推論 7.1.1則則設設,nnCA ;)(,)1(1AAAAAAeeIeeee .)(,)2(mAmAeem 則則為整數(shù)為整數(shù)設設定理定理7.1.2則則如果如果設設,BAABCBAnn ;cossin)1(22IAA 則則如果如果,)2(BAAB AAABABABAAAABABABA22sincos2cossinsincoscos)cos(cossin22sinsincoscossin)sin(7.1.2 矩陣函數(shù)的另一種定義矩陣函數(shù)的另一種定義設矩陣設矩陣A的最小多項式為的最小多項式為)16. 1 . 7()()()()(2121kmkmmm 如果如果對任意函數(shù)對任意函數(shù)個互異特征值個

5、互異特征值的的為為其中其中),(.,21zfkAk kifffimiii, 2 , 1, )(,),(),()1( .)()(), 2 , 1)(,),(),(,)()(,)1(上的值上的值的譜的譜在在為為并稱并稱有定義有定義的譜的譜在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)存在存在AAzfkifffAAzfimiii .)()()()()(,)()(,212121上具有相同的值上具有相同的值譜譜的的在在和和的充分必要條件是的充分必要條件是則則是兩個多項式是兩個多項式和和設設AAppApApppCAnn 定理定理7.1.3 定義定義7.1.2滿足滿足如果存在多項式如果存在多項式上有定義上有定義的譜的譜在在數(shù)數(shù)函函的

6、最小多項式為的最小多項式為設矩陣設矩陣)(,)()(),16. 1 . 7( pAAzfCAnn 1, 2 , 1, 2 , 1),()()()( iijijmjkifp 則定義矩陣函數(shù)則定義矩陣函數(shù) f (A)為為)()(ApAf 給定一組數(shù)給定一組數(shù)個正整數(shù)且個正整數(shù)且是是個互異數(shù)個互異數(shù)是是設設.,12121 kiikkmmkmmmk 定理定理7.1.4kifffimiii, 2 , 1,1,1 ,0, 使使得得的的多多項項式式則則存存在在次次數(shù)數(shù)小小于于)( pm)20. 1 . 7(1, 1 , 0, 1,)(,)( ijiijmjkifp .)()20. 1 . 7(插值多項式插值

7、多項式稱為稱為的多項式的多項式通常把滿足條件通常把滿足條件Hermitep 則則有定義有定義上上的譜的譜在在如果函數(shù)如果函數(shù)是一個塊對角矩陣是一個塊對角矩陣設矩陣設矩陣,)()().,(1AAzfAAdiagACAsnn 定理定理7.1.5)(,),()(1sAfAfdiagAf 定理定理7.1.6則則上有定義上有定義的譜的譜在在并且函數(shù)并且函數(shù)使得使得如果存在可逆矩陣如果存在可逆矩陣設設,)()(,1AAzfPAPBPCBAnn 1)()( PAPfBf其中其中 )()(! 11)()()!1(1)(! 11)()()1(iiiiniiiiffffnffJfi 且且(7.1.25)給出的矩陣

8、函數(shù)給出的矩陣函數(shù)f (A)與與 A的的Jordan標準形標準形 J中中Jordan塊的排列次序及變換矩陣塊的排列次序及變換矩陣P 的選取均無關的選取均無關。則則上有定義上有定義的譜的譜在在若函數(shù)若函數(shù)標準形為標準形為的的設矩陣設矩陣,)()(),13. 1 . 7(AAzfJordanCAnn 定理定理7.1.7)25. 1 . 7()(,),()()(111 PJfJfPdiagPJPfAfs).(,)(),()(,)()(,2121nnnnfffzfAAzfCA 為為的特征值的特征值則則上有定義上有定義的譜的譜在在函數(shù)函數(shù)的特征值為的特征值為設矩陣設矩陣 定理定理 7.2

9、 矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)7.2.1 7.2.1 矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)7.2.2 7.2.2 矩陣值函數(shù)的分析運算矩陣值函數(shù)的分析運算7.2.1 矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù) 定義定義7.2.1矩陣矩陣則則上的實函數(shù)上的實函數(shù)定義在區(qū)間定義在區(qū)間都是都是設設nmbanjmixaij ,),(), 2 , 1, 2 , 1)(nmmnmmnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxA )()()()()()()()()()(212222111211稱為定義在稱為定義在(a,b)上的上的矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)。 特別地，當特別地，當n = 1時，得到時，得到向量值函數(shù)向量值函數(shù)。通常用通常用 等形式表示等形式表示

10、。)(x定義定義7.2.2 區(qū)間區(qū)間(a,b)上上 mn 矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù) A(x)不恒等于不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為零的子式的最高階數(shù)稱為A(x)的的秩秩，記為，記為rank (A(x) )。特別地，如果特別地，如果A(x)是區(qū)間是區(qū)間(a,b)上上 n 階矩陣值函數(shù)，并階矩陣值函數(shù)，并且且rank( A(x) ) = n，則稱，則稱A(x)為為滿秩滿秩的的。 定義定義7.2.3都有都有對任何對任何使得使得階矩陣值函數(shù)階矩陣值函數(shù)如果存在如果存在函數(shù)函數(shù)階矩陣值階矩陣值上上是區(qū)間是區(qū)間設設),(),()(,),()()(baxxbxBnnbaxaxAijij IxAxBxBxA )(

11、)()()(則稱則稱 A(x)在在(a,b)上上可逆可逆，并稱，并稱 B(x)為為 A(x)的逆矩陣，的逆矩陣，記為記為A-1(x) 。定理定理7.2.1 n 階矩陣值函數(shù)階矩陣值函數(shù) A(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上可逆的上可逆的充分必要條件是充分必要條件是| A(x)|在在(a,b)上處處不為零，并且上處處不為零，并且)()(1)(1xAadjxAxA 其中其中 )()()()()()()()()()(212221212111xAxAxAxAxAxAxAxAxAxAadjnnnnnn是是 A(x)的伴隨矩陣值函數(shù)，的伴隨矩陣值函數(shù)， Aij(x)是是A(x)中元素中元素aij (x)的的代

12、數(shù)余子式。代數(shù)余子式。7.2.2 矩陣值函數(shù)的分析運算矩陣值函數(shù)的分析運算 定義定義7.2.4即即處有極限處有極限在在的所有元素的所有元素如果如果矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)階階上的上的是區(qū)間是區(qū)間設設,),()()(,),()()(0baxxaxAnmbaxaxAijij ), 1, 1()(lim0njmiaxaijijxx 記記為為處處有有極極限限在在則則稱稱為為固固定定常常數(shù)數(shù)其其中中,)(,0 xxxAaij AxAxx )(lim0.)(nmijRaA 其中其中), 1, 1()()(lim00njmixaxaijijxx ).()(lim,)(000 xAxAxxxAxx 且且記記為為處

13、處連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱則則并且并且數(shù)數(shù)矩陣值函矩陣值函上的上的是區(qū)間是區(qū)間如果如果,)(lim,)(lim),(,),()(),(000BxBAxAbaxnmbaxBxAxxxx ;)()(lim)1(0BAxBxAxx .)(lim)2(0kAxkAxx 則則并且并且矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)上的上的是區(qū)間是區(qū)間矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)上的上的是區(qū)間是區(qū)間若若,)(lim,)(lim),(,),()(,),()(000BxBAxAbaxqnbaxBnmbaxAxxxx 即即處連續(xù)處連續(xù)在在的所有元素的所有元素如果如果,)()(0 xxxaxAij .)()(lim0ABxBxAxx 定義定義7.2.5

14、并且并且可導可導內(nèi)內(nèi)或在或在處處在在則稱矩陣值函數(shù)則稱矩陣值函數(shù)導導可可內(nèi)內(nèi)或在或在處處在點在點的所有元素的所有元素如果如果陣值函數(shù)陣值函數(shù)矩矩上的上的是區(qū)間是區(qū)間設設,),()(,),(),(), 1, 1)()(.),()()(00baxxxAbabaxxnjmixaxAnmbaxaxAijij )()()(000 xadxxdAxAijxx .)(,), 2 , 1, 2 , 1)()(,.)(000處解析處解析在在則稱矩陣值函數(shù)則稱矩陣值函數(shù)的解析函數(shù)的解析函數(shù)處處都是都是元素元素的所有的所有若若特別地特別地處的導數(shù)處的導數(shù)在在稱為稱為xxxAxxnjmixaxAxxxAij .),(

15、)(,),()(上的解析矩陣值函數(shù)上的解析矩陣值函數(shù)區(qū)間區(qū)間為為則稱則稱內(nèi)任一點都解析內(nèi)任一點都解析在區(qū)間在區(qū)間如果如果baxAbaxA矩陣值函數(shù)的導數(shù)運算具有下列性質(zhì)矩陣值函數(shù)的導數(shù)運算具有下列性質(zhì)：; 0)()()1( dxxdAxA條件是條件是是常數(shù)矩陣的充分必要是常數(shù)矩陣的充分必要;)()()()()2(dxxdBdxxdAxBxAdxd ;)()()()()()()3(dxxdAxkxAdxxdkxAxkdxd .)()()()()()()4(dxxdCxAxCdxxdAxCxAdxd 則則的的可可微微函函數(shù)數(shù)是是如如果果,)()5(ttfx dxxdAtftfdxxdAxAdtd)

16、()()()()( 因為因為矩陣乘法沒有交換律矩陣乘法沒有交換律，一般地，對正整數(shù)，一般地，對正整數(shù) m1和可導的和可導的 n 階矩陣值函數(shù)階矩陣值函數(shù) A(x)dxxdAxAmxAdxdmm)()()(1 定理定理7.2.2 如果如果 n 階矩陣值函數(shù)階矩陣值函數(shù) A(x)在在(a,b)上可逆且上可逆且 可導，則可導，則)()()()(111xAdxxdAxAdxxdA 定義定義7.2.6并稱并稱上可積上可積在在則稱矩陣值函數(shù)則稱矩陣值函數(shù)上可積上可積在區(qū)間在區(qū)間的所有元素的所有元素如果如果陣值函數(shù)陣值函數(shù)矩矩上的上的是區(qū)間是區(qū)間設設,)(,), 1, 1)()(.,)()(baxAbanj

17、mixaxAnmbaxaxAijij baijbadxxadxxA)()( 為為 A(x)在在a,b上的上的積分積分。矩陣值函數(shù)的積分具有如下性質(zhì)：矩陣值函數(shù)的積分具有如下性質(zhì)：;)()()()()1( bababadxxBdxxAdxxBxA;)()(,)2( babadxxAkdxxkARk有有對對常常數(shù)數(shù) (3) 對常數(shù)矩陣對常數(shù)矩陣 A和和C，有，有CdxxBAdxCxABbaba)()( (4) 如果矩陣值函數(shù)如果矩陣值函數(shù) A(x)在在a,b上連續(xù)，則上連續(xù)，則)()(xAdttAdxdxa (5) 如果矩陣值函數(shù)如果矩陣值函數(shù) A(x)在在a,b上連續(xù)，則上連續(xù)，則)()()(a

18、AbAdxxAba 定義定義7.2.7令令的多元函數(shù)是可微的的多元函數(shù)是可微的作為作為的所有元素的所有元素函數(shù)函數(shù)矩陣值矩陣值的的是是設設.), 1, 1)()(,)()(qpijqpijRXnjmiXfXFnmRXXfxF )4 . 2 . 7()()(212222111211 pqppqqnqmpijxFxFxFxFxFxFxFxFxFxFdXXdF.)()(), 1, 1()(的導數(shù)的導數(shù)對對為為則稱則稱其中其中XXFdXXdFqlpkxXfxFklijkl 矩陣值函數(shù)的導數(shù)具有如下性質(zhì)：矩陣值函數(shù)的導數(shù)具有如下性質(zhì)：則則矩陣值函數(shù)矩陣值函數(shù)的的都是都是設設,)(),(nmRXXGxFq

19、p ;)()()()()1(dXXdGdXXdFXGXFdXd .)()(,)2(dXXdFkXkFdXdk 有有對常數(shù)對常數(shù)qpijxfdXdf 的導數(shù)為的導數(shù)為向量向量對對則則的可微函數(shù)的可微函數(shù)是向量是向量如果如果xfRxxffn,)( nxfxfdxdf1的導數(shù)為的導數(shù)為對矩陣對矩陣則則微的微的的多元函數(shù)是可的多元函數(shù)是可作為作為如果如果XfRXXffqp,)( 7.3 7.3 矩陣值函數(shù)在微分方程組中的應用矩陣值函數(shù)在微分方程組中的應用) 1 . 3 . 7()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(221122222121211212111

20、1tftxtatxtatxtadtdxtftxtatxtatxtadtdxtftxtatxtatxtadtdxnnnnnnnnnnn一階線性微分方程組 可以表示成函數(shù)與向量值函數(shù)引進矩陣值的未知函數(shù)是知函數(shù)的已都是其中) 1 . 3 . 7( ,.), 2 , 1)(,), 2 , 1)(), 2 , 1,)(tnitxtnitfnjitaiiij)2 . 3 . 7()()()()(tftxtAdttdx其中)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatAnnnnnn,)()()()(21txtxtxtxn) 3 . 3 . 7()()

21、()()(21tftftftfn方程組(7.3.1)的初始條件)4 . 3 . 7()(,)(,)(0020021001nnxtxxtxxtx可以表示成)5 . 3 . 7(),()(0201000Tnxxxxtx定理定理7.3.1 設 A是 n 階常數(shù)矩陣，則微分方程組)6 . 3 . 7()(tAxdtdx的解為滿足初始條件00)(xtx)7 . 3 . 7()(0)(0 xetxttA定義定義7.3.1 設 A是 n 階常數(shù)矩陣，如果對任意的 t0和 x0，初值問題)8 . 3 . 7()()(00 xtxtAxdtdx.)(, 0)(lim)(的解是漸近穩(wěn)定的則稱微分方程組滿足的解tA

22、xdtdxtxtxt定理定理7.3.2 對任意的 t0和 x0，初值問題(7.3.8)的解 x(t) 漸近穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣 A的特征值都有負實部。定義定義7.3.2 設 A是 n 階矩陣，如果 A的特征值都有負實部，則稱 A為穩(wěn)定矩陣穩(wěn)定矩陣。定理定理7.3.3 設 A是 n 階常數(shù)矩陣，則微分方程組)9 . 3 . 7()()(tftAxdtdx的解為滿足初始條件00)(xtx)10. 3 . 7()()(00)(0)(dfexetxtttAttA7.47.4* * 特征對的靈敏度分析特征對的靈敏度分析 定理定理7.4.1并且變量的解析函數(shù)個復原點的某個領域內(nèi)是在如果復函數(shù),), 2

23、 , 1(),(11nmCmifnmnmi0|),(),(), 2 , 1(0)0 , 0(), 1(0), 1(011njmimmijiffmif則方程組mifnmi, 2 , 1, 0),(11. 0,0), 2 , 1)(,(111mnniinmigC有時并且當唯一的解析解的原點的某個領域內(nèi)有在并且變量的解析函數(shù)個實原點的某個領域內(nèi)是在如果實值函數(shù),), 2 , 1(),(11nmRmifnmnmi 定理定理7.4.20|),(),(), 2 , 1(0)0 , 0(), 1(0), 1(011njmimmijiffmif則方程組mifnmi, 2 , 1, 0),(11. 0,0),

24、2 , 1)(,(111mnniinmigR有時并且當唯一的解析解的原點的某個領域內(nèi)有在證明證明使得則存在矩陣的單位特征向量特征值對應于是的一個單特征值是因為)1(2111,)0(,)0(nnCXAxA)2 . 4 . 7(,21XxX 是非奇異矩陣，并且)3 . 4 . 7()(,00)0(221211AAXAX令)4 . 4 . 7(,)(211YzXYT則其中,)1(21nnnCYCz)5 . 4 . 7(IXYT 定理定理7.4.3則并且的右和左特征向量是對應于特征值值的一個單特征是內(nèi)的解析矩陣值函數(shù)域的原點的某個領是設, 1, 1,)0(,)0()(,11211111xyxyxANC

25、CcACcTmnnm;)(,)(),()() 1 (11011cNCcccAm并且內(nèi)的解析矩陣值函數(shù)原點的某個領域的是使得存在一個單特征值.)0(,)0(,)()()()()2(11110111yyxxNcycxccA且數(shù)內(nèi)的解析向量值函可定義為和左特征向量的右特征向量對應于單特征值于是所以數(shù)外是唯一的常征向量除相差一個非零為對應于單特征值的特因并且滿足從而.,.)0(1)(1111111111yzzAzxzeXzTTTT)6 . 4 . 7(,)(211YyXYT由(7.4.3)和(7.4.6)得)7 . 4 . 7()(,00)0(22121AAXAYT)8 . 4 . 7()(,)(,)

26、()()()()()(1211122211211nTTCcaCcacAcacacaXcAYcA令)9 . 4 . 7()()()()(),(,),(1211222111zcazzIcacAcaczfczfTTn.),(111nTnCz其中),1, 2 , 1)(0 , 0()9 . 4 . 7()7 . 4 . 7(,),(,),(),0(111nifczfczfNcCziTnn知并且由是解析的和對0)det(|),(),(12001111IAffcznn由定理7.4.1知，方程組)10. 4 . 7(1, 2 , 1, 0),(niczfi. 0)0(),()0()(0(1zczzNNCm并

27、且析解內(nèi)有唯一的解的原點的某個領域在)11. 4 . 7()0(,)(1)()()()(1)(11211NcczczcacaczcAT令)12. 4 . 7()()(),()()()(21112111czXxcxczcacacT由(7.4.8)，(7.4.11)和(7.4.12),有)13. 4 . 7()0(),()()()(1111NccxccxcA內(nèi)解析，并且滿足在和可見，由)0()()()12. 4 . 7(111Ncxc)14. 4 . 7()0(,)0(1111xx的一個單特征值是分小使得對充可以假定領域的一個單特征值我們是充分小所以只要是矩陣元素的連續(xù)函數(shù)而矩陣的特征值的一個單特

28、征值是因為)()(),0()0()()(,)0(111121cAcNcNcAccA)15. 4 . 7()()()()(),(,),(2111221211TTTTnwcawIcacAwcacwgcwg.),(111nTnCwww其中),1, 2 , 1)(0 , 0()15. 4 . 7(),8 . 4 . 7(),7 . 4 . 7(,) 1, 2 , 1)(,(),0(,11nignicwgNcCwin知由析的是解和對顯然0)det(|),(),(12001111IAwwggcznn由定理7.4.1知，方程組)16. 4 . 7(1, 2 , 1, 0),(nicwgi. 0)0(),()0()(0(2wcwwNNCm并且析解內(nèi)有唯一的解的原點的某個領域在)17. 4 . 7()0(,)(1)()()()()(122111NccwcacwcacAcwTTT令)18. 4 . 7()()(),()()()(2112111cwYycycacwcacT由(7.4.8)，(7.4.17)和(7.4.18