大學(xué)數(shù)學(xué)實驗報告-迭代(一)-方程求解

1、數(shù) 學(xué) 實 驗報 告實驗五 迭代（一）方程求解學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 班級：09級數(shù)學(xué)（4）班姓名：*學(xué)號：*實驗五 素數(shù)實驗名稱迭代（一）方程求解實驗?zāi)康挠玫ㄇ蠼夥匠碳熬€性方程組實驗環(huán)境Mathematica4.0系統(tǒng)實驗的基本理論與方法1、 方程求根給定實數(shù)域上光滑的實值函數(shù)f(x)以及初值定義數(shù)列 （1）稱為f（x）的一個迭代序列。給定迭代函數(shù)f(x)以及一個初值利用（1）迭代得到數(shù)列如果數(shù)列收斂于一個，則有. （2）即是方程x=f(x)的解。由此啟發(fā)我們用如下的方法球方程g(x)=0的近似解。將方程g(x)=0改寫為等價的方程x=f(x), （3）然后選取一初值利用（1）做迭代。

2、迭代數(shù)列收斂的極限就是方程g(x)=0的解。2、 線性方程組的迭代求解給定一個n元線性方程組 （6）或?qū)懗删嚓嚨男问紸x=b, (7)其中是n階方程， 及均為n維列向量。熟知，當(dāng)距陣A的行列式非零時方程（7）有唯一的解。迭代法是求解這些問題的有效方法之一。用迭代的方法求解線性方程組的思想與上節(jié)介紹的方程求解的方法是類似的。假設(shè)我們可以將方程組（7）改寫成x=Mx+f其中是n 階距陣，是n維列向量。任意給定初始向量，由迭代 （9）確定向量序列如果收斂到向量，則有即是方程組（7）的解。實驗的內(nèi)容與步驟一、方程求根1、考察用迭代函數(shù)f(x)=2sin(x)求解方程g(x)=2sin(x)-x=0的解

3、的情況。（1）在同一直角坐標(biāo)系中，畫出y=f(x)及y=x的圖像。從圖上觀察，方程x=2sin(x)有幾個解？在計算機中打開Mathematica4.0系統(tǒng)；點擊鼠標(biāo)進(jìn)入工作區(qū)后，輸入以下語句 按Shift和Enter鍵運行。 運行結(jié)果： 3、素數(shù)的判別(1)對n=2,3, ,100,觀察2n-1被n整除所得的余數(shù)；再取其他的整數(shù)m（如3，4，5），觀察mn-1被n整除的情況：觀察當(dāng)n為素數(shù)時的結(jié)果。m=2時輸入程序：運行結(jié)果：從運行結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)n為素數(shù)時，2n-1被n整除所得的余數(shù)都是1。m=3時輸入程序：運行結(jié)果：m=4時輸入程序：運行結(jié)果：（2）對n=2,3,.,300,判斷哪些Me

4、rsenne數(shù)Mn=2n-1是素數(shù)？輸入程序：運行結(jié)果：二、素數(shù)的分布1、素數(shù)沿數(shù)軸的分布將素數(shù)從小到大排序.用表示相鄰的素數(shù)間的間隔.計算并畫圖100以內(nèi)的素數(shù)的間距求出的程序如下：運行結(jié)果：n=1000時畫出（pn,dn）的圖：t:= TablePrimei,Primei+1-Primei,i,1,1000ListPlott,PlotStyle®RGBColor1,0,0n=10000時畫出（pn,dn）的圖：t:=TablePrimei,Primei+1-Primei,i,1,10000ListPlott,PlotStyle®RGBColor1,0,02、在二維坐標(biāo)平

5、面上標(biāo)出點列觀察趨于無窮的趨勢,并和函數(shù)y=x,以及比較.類似觀察,以及, ,和。輸入程序：運行結(jié)果：對任意整數(shù)n(1<n<1000000),計算, , 看看哪個更接近？運行結(jié)果;得到的結(jié)果和結(jié)果分析在本實驗中，我們用兩種方法來求素數(shù)，即Eratosthenes篩法和試除法。了解了其思想方法，通過比較發(fā)現(xiàn)Eratosthenes篩法比試除法的時間要快，故而可得Eratosthenes篩法比試除法要好！若n為素數(shù), 并且m 與n 互素 ,則m（n 1）被n整除所得的余數(shù)都是1. 當(dāng)n是合數(shù)時，它的Mersenne數(shù)一定是合數(shù)；當(dāng)n為素數(shù)時，它的Mersenne數(shù)卻不一定是素數(shù)。當(dāng)變量的個數(shù)越多，變量的次數(shù)越高，能擬合出的素數(shù)的個數(shù)就越多。那么就應(yīng)該存在這樣一個整系數(shù)多項式，其正值構(gòu)成的結(jié)合恰好是素數(shù)的全體。我們通過對素數(shù)分布的觀察，發(fā)現(xiàn)素數(shù)的分布很不規(guī)則，它雖然延數(shù)軸分布越來越