2017年度秋人教版本數(shù)學(xué)九上24.1（圓的有關(guān)性質(zhì)）重點復(fù)習

1、集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念： 1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；圓的表示方法：以點為圓心的圓，記作“”，讀作“圓”。圓具有的特性：（1） 圓上各點到定點的距離都等于定長（2） 到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上注意：（1）根據(jù)圓的概念可以知道“圓”指的是“圓周”（一條封閉的曲線），而不是圓面。（2）確定一個圓取決于兩個因素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。 （3）利用圓

2、具有的特性，我們可以來判斷一個多邊形的各個頂點是否在同一個圓上。例1：通過下列條件，能確定圓的為（ ） A、已知點O為圓心 B、點O為圓心，2cm為半徑C、以2cm為半徑 D、經(jīng)過已知點A，且半徑為2cm2：如圖，點A 、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC，DEOF，HMNO均為矩形，設(shè)BC=a,EF=b,NH=c,則下列各式正確的是（ ）A. abc B. bca C. cab D. a=b=c知識點二：圓的有關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，例：直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖“直徑AB”注意：直徑是圓中最長弦，但弦不一定是直徑弧、半圓、劣弧、優(yōu)?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡

3、稱弧。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個字母表示，如： ；小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個字母表示，如：注意：半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓，容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等注意：等圓只和半徑大小有關(guān)，和圓心的位置無關(guān)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧注意：長度相等的弧不一定是等弧例3：有以下結(jié)論： 直徑是弦；弦是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半徑相等的兩個半圓是等??；長度相等的兩條弧是等弧A、1個 B、2個 C、3個 D、4個點撥：只有在同圓或等圓中才存在等弧，在大小不

4、等的兩個圓中不存在等弧。在判斷等弧時，首先要看兩弧所在的圓是否為同圓或等圓，然后再看弧的長度是否相等。知識點三：圓的對稱性1、 軸對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。2、 旋轉(zhuǎn)對稱性：圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，它繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能與它本身重合，因此圓也是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。例4：下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（ ） 等邊三角形； 平行四邊形； 等腰梯形； 圓知識點三：垂直于弦的直徑（重點）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦

5、所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。例5、如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，垂足為點E，連接OC，若OC=5，CD=8，則AE=（ ）。 （6） （5） 例6：如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點，E是弧 AC的中點，OE交弦AC于D若AC=8cm，DE=2cm，則OD的長 為_ 練習：1下面四個命題中正確的一個是（ ）A平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑 B平分一條弧的直線垂

6、直于這條弧所對的弦C弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心 D在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心2下列命題中，正確的是（）A過弦的中點的直線平分弦所對的弧 B過弦的中點的直線必過圓心C 弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心 D弦的垂線平分弦所對的弧3、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，如果油的最大深度為16cm，那么油面寬度AB是_cm.4、在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，如果油面寬度是48cm，那么油的最大深度為_cm.5、如圖，已知在中，弦，且，垂足為，于，于.（1）求證：四邊形是正方形.（2）若，求圓心到弦和的距離.6、已知：ABC內(nèi)

7、接于O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長7、如圖，F(xiàn)是以O(shè)為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點，A是的中點，ADBC于D，求證：AD=BF.垂徑定理典型例題總結(jié)1如圖1，O的直徑為10，圓心O到弦AB的距離OM的長為3，那么弦AB的長是（ ）A4 B6 C7 D82如圖，O的半徑為5，弦AB的長為8，M是弦AB上的一個動點，則線段OM長的最小值為（）A2 B3 C4 D53過O內(nèi)一點M的最長弦為10 cm，最短弦長為8cm，則OM的長為（ ）A9cm B6cm C3cm D4如圖，小明同學(xué)設(shè)計了一個測量圓直徑的工具，標有刻度的尺子OA、OB在O點釘在

8、一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把O點靠在圓周上，讀得刻度OE=8個單位，OF=6個單位，則圓的直徑為（ ）A12個單位 B10個單位 C1個單位 D15個單位1已知AB是O的弦，AB8cm，OCAB與C，OC=3cm，則O的半徑為cm2在直徑為10cm的圓中，弦的長為8cm，則它的弦心距為cm3在半徑為10的圓中有一條長為16的弦，那么這條弦的弦心距等于4已知AB是O的弦，AB8cm，OCAB與C，OC=3cm，則O的半徑為cm5如圖，O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，若COD120°，OE3厘米，則CD厘米6半徑為6cm的圓中，垂直平分半徑OA的弦長為cm.7過O內(nèi)一點M的

9、最長的弦長為，最短的弦長為，則OM的長等于cm8已知AB是O的直徑，弦CDAB，E為垂足，CD=8，OE=1，則AB=_9如圖，AB為O的弦，O的半徑為5，OCAB于點D，交O于點C， 且CDl，則弦AB的長是10某蔬菜基地的圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖所示，已知AB16m，半徑OA10m，則中間柱CD的高度為m1已知O的弦AB長為10，半徑長R為7，OC是弦AB的弦心距，求OC的長2已知O的半徑長為50cm，弦AB長50cm.求：（1）點O到AB的距離；（2）AOB的大小3如圖，直徑是50cm圓柱形油槽裝入油后，油深CD為15cm，求油面寬度AB4如圖，已知O的半徑長為R=5，弦AB 與弦CD平

10、行，他們之間距離為7，AB=6求：弦CD的長OCADB5如圖，已知AB是O的直徑，CDAB，垂足為點E，如果BE=OE，AB=12m，求ACD的周長OCDABE6如圖，已知C是弧AB的中點，OC交弦AB于點DAOB=120°，AD=8求OA的長ODACBABCDEO7已知：如圖，AD是O的直徑，BC是O的弦，ADBC，垂足為點E，BC=8，AD=10求：（1）OE的長；（2）B的正弦值8如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦AB的垂直平分線交弧AB于點C，交弦AB于點D。已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作圓的半徑.1如圖

11、，AB是O的弦（非直徑），C、D是AB上的兩點，并且AC=BD。求證：OC=OD2如圖，是的弦，點D是弧AB中點，過B作AB的垂線交AD的延長線于C求證：ADDC·3已知：如圖所示：是兩個同心圓，大圓的弦AB交小圓于CD，求證：AC=BD4如圖，AB、CD是O的弦，且AB=CD，OMAB，ONCD，垂足分別是點M、N， BA、DC的延長線交于點P 求證：PA=PC5已知：如圖，點P是O外的一點，PB與O相交于點A、B，PD與O相交于C、D，AB=CD求證：（1）PO平分BPD；（2）PA=PC OPBACD6已知：如圖所示，點P是O外的一點，PB與O相交于點A、B，PD與O相交于C、

12、D，AB=CD.求證：（1）PA=PC；（2）ODCPAB知識點五：弧、弦、圓心角的關(guān)系（難點）圓心角：我們把頂點在圓心的角叫做圓心角（拓展：圓心角的度數(shù)與所對弧的度數(shù)相等）如圖：哪個是圓心角？圓心角有什么主要特征？（7）（5）（4）弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。結(jié)論：1、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。2、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧相等、劣弧相等注意：不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，如果丟掉了這個前提條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相

13、等，例：環(huán)形規(guī)律總結(jié)：在同圓或等圓中，兩條?。ㄒ话阃瑸閮?yōu)弧或劣?。?、兩條弦、兩個圓心角中，只要有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等例7：如圖所示,AB是圓O的弦,C、D為弦AB上的兩點，且OC=OD,延長OC、OD分別交圓O于點E、F。 求證：弧AE=弧BF知識點六：圓周角（重點）（1） 圓周角必須具備兩個特征：第一，頂點在圓上；第二，兩邊都與圓相交。（2） 同一條弧所對的圓周角有無數(shù)個。圓心角與圓周角的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：圓心角：頂點在圓心，在同圓中，一條弧所對的圓心角是唯一的 圓周角：頂點在圓上，在同圓中，一條弧所對的圓周角有無數(shù)個聯(lián)系：兩邊都和圓相交知識點七：圓周角定理及其推論

14、（難點）定理：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半推論：（1）同弧或等弧所對的圓周角相等注意：“同弧或等弧”改為“同弦或等弦結(jié)論就不成立了，因為一條弦所對的圓周角有兩個，它們相等或互補”（3） 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑（此性質(zhì)介紹了一種常見的引輔助線的方法：有直徑，通常作直徑所對的圓周角；反過來，有90°的圓周角，通常作直徑）例8、O的半徑為1，AB是O的一條弦，且AB=，則弦AB所對圓周角為（ ）A、30° B、60° C、30°或150° D、60°或120&#

15、176;規(guī)律總結(jié)：（1）求一條弦所對的圓周角的度數(shù)時，應(yīng)注意一條弦所對的圓周角有兩種情況。（2）在同圓或等圓中，一條弦兩側(cè)所對兩個圓周角的度數(shù)之和為180°。經(jīng)典例題：【例1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19所表示的情形，四個工件哪一個肯定是半圓環(huán)形？【例2】如圖，已知O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，ACB的平分線交O于D，求BC、AD和BD的長【例3】如圖所示，已知AB為O的直徑，AC為弦，ODBC，交AC于D，BC=4cm（1）求證：ACOD； （2）求OD的長； （3）若2sinA1=0，求O的直徑【例4】四邊形ABCD中，ABD

16、C，BC=b，AB=AC=AD=a，如圖，求BD的長【例5】如圖1，AB是半O的直徑，過A、B兩點作半O的弦，當兩弦交點恰好落在半O上C點時，則有AC·ACBC·BC=AB2（1）如圖2，若兩弦交于點P在半O內(nèi)，則AP·ACBP·BD=AB2是否成立？請說明理由（2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長線交于P點，則AB2=參照（1）填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性鞏固練習：一、選擇題1下列說法正確的是（ ） A、頂點在圓上的角是圓周角 B、兩邊都和圓相交的角是圓周角 C、圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半 D、圓心角是圓周角的2倍2如圖2，A、B、C

17、三點都在O上，點D是AB延長線上一點，AOC=，則CBD的度數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、3在同圓中，同弦所對的圓周角（ ） A相等 B、互補 C、相等或互補 D、互余4銳角三角形ABC內(nèi)接于O，若OBC=，則A的度數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、5在O中，半徑為r=1，弦AB=，弦AC=，則BAC為（ ） A、 B、 C、或 D、或6如圖3，已知A、B、C、D、Q五點在O上，BD的度數(shù)為，則P+AQC等于（ ） A、 B、 C、 D、D·QBPACO圖3·OADBC圖2二、解答題1如圖所示，BC為直徑，G為半圓上任一點，A為弧BG中點，APBC于P，求證：AE=BE=EF·ABPEFGCO2.已知:如圖所示A、B、C、D、E為O上的點，且AB=BC=CD，求AED的度數(shù)·ABCDEO課后練習：一選擇題1如圖所示，內(nèi)接于O，AB=AC，弦AD和底邊BC交于點E，AC=6，AE=4，則AD等于（ ） A、10 B、9 C、8 D、2如圖3、一副三角板ABC和DEF的頂點都在同一圓上，則DA與EFC的度數(shù)·ABCD