專升本高等數(shù)學練習題(學生版)

1、朱老師：Email：elitemaths Tel、函數(shù)、極限與連續(xù)1.求下列函數(shù)的定義域:(1) =+ ，(2) =.解 (1) 由所給函數(shù)知,要使函數(shù)有定義，必須滿足兩種情況，偶次根式的被開方式大于等于零或?qū)?shù)函數(shù)符號內(nèi)的式子為正，可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即 推得這兩個不等式的公共解為 與所以函數(shù)的定義域為.(2) 由所給函數(shù)知，要使函數(shù)有定義，必須分母不為零且偶次根式的被開方式非負；反正弦函數(shù)符號內(nèi)的式子絕對值小于等于1.可建立不等式組，并求出聯(lián)立不等式組的解.即 推得即 ,因此，所給函數(shù)的定義域為 .2.設的定義域為，求的定義域.解：令, 則的定

2、義域為,（k, k+）, k ,的定義域為 （k, k+）,k .3.設=，求，.解： = =(1,0),= (0,1).4.求下列極限：（1）, （2）,解：原式=解: 原式= = =2.（抓大頭） = .（恒等變換之后“能代就代”）（3）, （4）,解：原式= 解：時, =,=. （恒等變換之后“能代就代”）原式=.（等價）（5）,（6） ，解：原式=解： 原式=0 + 100 = 100（無窮小的性質(zhì)） (7) 解 :原式=（抓大頭）（8）.解：因為 而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決因為，所以當時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即 （9）解：不能直接運用極限運算法則，

3、因為當時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得.（10） 解：分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（也可用洛必達法則） （11）.解一 原式=，解二 原式=（12）解 ：= （） （等價替換）5.求下列極限（1） （2） （3）（4） （5） 解 ：（1）由于時，故原極限為型，用洛必達法則 所以 （分母等價無窮小代換）.（2） 此極限為，可直接應用洛必達法則 所以 = .（3） 所求極限為型 ，不能直接用洛必達法則，通分后可變成或型. .（4）所求極限為型，得 （型） =（5）此極限為 型，用洛必達法則，

4、得不存在，因此洛必達法則失效！但 .6.求下列函數(shù)的極限：（1）， （2） 當為何值時，在的極限存在.解：(1),因為左極限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限于是，有，為使存在，必須有=，因此 ，當=1 時， 存在且 =17.討論函數(shù) ， 在點處的連續(xù)性解：由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限因而有，而即，由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)8. 求函數(shù)的間斷點，并判斷其類型：解：由初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)知的間斷點為.而在處無定義，故為其可去間斷點.又為的無窮間斷點.綜上

5、得為的可去間斷點, 為的無窮間斷點.二、一元函數(shù)微分學1.判斷：（1）若曲線=處處有切線，則=必處處可導.答：命題錯誤. 如：處處有切線，但在處不可導.（2）若（為常數(shù)），試判斷下列命題是否正確.在點處可導,在點處連續(xù),= .答：命題、全正確.(3)若，在點處都不可導，則點處也一定不可導.答：命題不成立.如：=，在 = 0 處均不可導，但其和函數(shù)+= 在= 0 處可導.（4）若在點處可導，在點處不可導，則+在點處一定不可導.答：命題成立.原因：若+在處可導，由在處點可導知=+在點處也可導，矛盾.（5）與有區(qū)別.答：命題成立.因為表示處的導數(shù); 表示對處的函數(shù)值求導，且結(jié)果為.（6）設在點的某鄰

6、域有定義，且=，其中為常數(shù)，下列命題哪個正確？在點處可導，且,在點處可微，且, （ 很小時）.答：、三個命題全正確.2.已知，利用導數(shù)定義求極限.解：=0.3.求 ，的導數(shù).解：當時， ， 當時，當時，所以 ，因此 ，于是 4.設，求解：,.5.已知 求.解：兩端對求導，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對求導，得=，將 代入上式，得.6.求= 的導數(shù)解：兩邊取對數(shù)：= ,兩邊關(guān)于求導：,.7.設，求.解：令, 兩邊取對數(shù)得：,兩邊關(guān)于求導數(shù)得：即 .8.設求和.解：=,=.9., 求.解：,.10.設 求 .解： ，.11.求曲線在點（1，1）處切線的斜率.解：由題意知：,曲線在點（1，1）處

7、切線的斜率為312.求函數(shù)的微分.解一 用微分的定義求微分， 有.解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得.13.試證當時，.證明：令，易見在內(nèi)連續(xù)，且.當時，可知為上的嚴格單調(diào)減少函數(shù)，即當時，可知為上的嚴格單調(diào)增加函數(shù)，即.故對任意 有即 .14.求函數(shù)的單調(diào)性與極值.解：函數(shù)的定義域為.，令 駐點 列表 -0-0+極小由上表知，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值 求函數(shù)的極值也可以用二階導數(shù)來判別，此例中 不能確定處是否取極值，得是極小值.15.求+在閉區(qū)間上的極大值與極小值，最大值與最小值.解：, 令, 得,的極大值為4，極小值為.,. 比較的大小可知：最大值為200， 最

8、小值為.16.求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.解：函數(shù)的定義域為,令, 得,用把分成，兩部分.當時，, 當時，,曲線的凹區(qū)間為凸區(qū)間為 拐點為.17.求函數(shù)的凹向及拐點.解：函數(shù)的定義域 ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐點拐點由此可知，上凹區(qū)間,下凹區(qū)間，曲線的拐點是.的漸近線.18.求下列曲線的漸近線（1），（2），（3）.解 （1）所給函數(shù)的定義域為.由于 ，可知 為 所給曲線的水平漸近線.由于 ，可知 為曲線的鉛直漸近線.（2） 所給函數(shù)的定義域,.由于 ， ，可知 為所給曲線的鉛直漸近線（在的兩側(cè)的趨向不同）.又 ，所以 是曲線的一條斜漸近線.（3）, 故為曲線的鉛直漸近線, 故為曲

9、線的鉛直漸近線, 故為曲線的水平漸近線,曲線的漸近線為：.19.求解下列各題：（1）設某產(chǎn)品的總成本函數(shù)和總收入函數(shù)分別為， ,其中為該產(chǎn)品的銷售量，求該產(chǎn)品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤.解：邊際成本=邊際收入=邊際利潤.（2）設為某產(chǎn)品的價格，為產(chǎn)品的需求量，且有, 問為何值時，需求彈性大或需求彈性小.解：由得,所以需求價格彈性,故當 , 即4080時, 需求彈性大; 當0, 即0 ，而級數(shù)發(fā)散，由比較判別法知級數(shù)發(fā)散又因為級數(shù)是一交錯級數(shù)，=0且 ，由萊布尼茨判別法知，級數(shù)收斂，故此級數(shù)條件收斂(2) 當0時，0，由級數(shù)收斂的必要條件知級數(shù) 發(fā)散當時,先判斷級數(shù) =的斂散性，因為 =1

10、，由比值判別法知，級數(shù)絕對收斂4. 將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù).（了解?。┙猓? = =.5. 判定級數(shù)的斂散性.解：因為級數(shù),而級數(shù)收斂，故級數(shù)絕對收斂.6.求下列冪級數(shù)的收斂域： （1）, （2）.解：（1）=0,級數(shù)的收斂域為.（2）= = =,級數(shù)的收斂域為.7.求下列冪級數(shù)的收斂域(1) ， (2) ， (3) 解 (1)因為=，所以收斂半徑=3，收斂區(qū)間為 （3，3）當=3時，級數(shù)為 ，收斂，當=3時，級數(shù)為 ，顯然發(fā)散故收斂域為 3，3 (2) 因為 =，所以收斂半徑=2， 由 2得，收斂區(qū)間為（3，1），當時，級數(shù)為，發(fā)散，當=1時，級數(shù)為，發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為（3，1）(3)冪級數(shù)

11、 缺少奇次項，直接用比值判別法有 =0，收斂半徑=，收斂域為（）8. 求冪級數(shù)的和函數(shù).（了解?。┙猓涸O,兩端關(guān)于求積分得：=兩端求導得：,即 .9. 將展開成的冪級數(shù)，并求收斂域.（了解?。┙猓?,因為,所以 =,其中 ， 即.當時，級數(shù)為發(fā)散；當時，級數(shù)為發(fā)散,故 =.10. 以函數(shù)的冪級數(shù)展開式為基礎，分別求出下列函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并寫出收斂域.（了解?。?）, （2）, （3）,（4）, （5）.解：（1）=.（2） =,.（3）=,.(4)=,于是 =,.(5)=,于是 =,.七、向量與空間解析幾何1. 求點與軸，平面及原點的對稱點坐標.解：關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于平面的對稱點為，

12、關(guān)于原點的對稱點為.2. 下列向量哪個是單位向量？ （1），（2），（3）.解：（1）, 不是單位向量.（2）,是單位向量.（3）,不是單位向量.3. 求起點為，終點為的向量的坐標表達式及.解：=,.4.設向量=4-4+7的終點的坐標為(2,1,7).求 (1)始點的坐標；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)與向量方向一致的單位向量.解：（1）設始點的坐標為，則有， ,，得 =2 , =3 , =0 ;(2) =9;(3) cos= , cos , cos ;(4) o=(44+7).5.已知向量與向量=及軸垂直，且，求出向量.解：因為，（垂直于軸），故與向量平行.由兩向量平行的充要條

13、件，可寫成，即=.由題設，得=2 ， ，,從而得 =，或 =.6.求平行于軸，且過點與的平面方程.解一 利用向量運算的方法。關(guān)鍵是求出平面的法向量.因為平面平行于軸，所以.又因為平面過點與，所以必有.于是，取=, 而=2，7，-4 ，所以 =，因此，由平面的點法式方程，得，即 .解二 利用平面的一般式方程。設所求的平面方程為 ,由于平面平行于軸，所以，原方程變?yōu)?，又所求平面過點(1, -5, 1)與(3 , 2, -3)，將的坐標代入上述方程，得 解之得,代入所設方程，故所求平面方程為.7. 求點到點之間的距離.解：距離.8. 求使向量與向量平行.解：由得得.9. 求與軸反向，模為10的向量的

14、坐標表達式.解： =.10. 求與向量=1，5，6平行，模為10的向量的坐標表達式.解：,故 .11. 求點的向徑與坐標軸之間的夾角.解：設與,軸之間的夾角分別為，則,.,.12. 求同時垂直于向量和軸的單位向量.解：記,故同時垂直于向量與軸的單位向量為.13. 求與平行且滿足的向量.解：因, 故可設，再由得，即，從而.14. ，求，及，.解：依題意，故，.，.15. ，求及.解：,.16. 證明向量與向量垂直.證明：,， 即與垂直.17. 寫出過點且以為法向量的平面方程.解：平面的點法式方程為.18. 求過點且與平面平行的平面方程.解：依題意可取所求平面的法向量為,從而其方程為,即.19.

15、寫出過點且以為方向向量的直線方程.解：方程為.20. 求過兩點的直線方程.解：取直線的方向向量，則直線的方程為.21. 求過點且與直線平行的直線的方程.解：依題意，可取的方向向量為，則直線L的方程為.22. 求直線的點向式方程.解：令=0，可解得直線上一點,取直線的方向向量,所以直線的點向方程為：.23. 求直線與平面的夾角.解：直線的方向向量，平面的法向量.設直線與平面的夾角為，則 ,故 .24.求通過點(3, 0, 0)和點(0, 0, 1)且與平面成角的平面的方程.解：設所求平面方程為 ，平面過點(3, 0, 0)，有,即，平面過點(0, 0, 1), 有 , 即，又,平面與面成角，有=

16、，即，解得=,故所求平面為 ，即 .23. 求過點且垂直于直線的平面方程.解：已知直線的方向向量為=,由于平面與該直線垂直，故可取平面的法向量為該方向向量，即=，由點法式得平面方程 ，即 .24.求通過點且與直線垂直相交的直線方程.解：利用向量運算的方法。在已知點的條件下，關(guān)鍵是求出直線的方向向量.為此先求出過點且垂直于已知直線的平面方程，再求出已知直線與此平面的交點，利用交點與已知點找出所求直線的方向向量，即可得到所求的直線方程.其步驟如下：(i)過點垂直于已知直線的平面方程為 ，即 .(ii)求上述平面與直線的交點，為此令 =，, , ，將上述參數(shù)方程代入平面中，有，得= , 所以 , , =，即 , 所以,(iii)寫出所求直線方程。由于直線過點，故所求直線方程為 ， 即.25.求過點且與兩平面：和：平行的直線方程.解：設所求直線的方向向量為，因為所求直線與,平行，所以,取=,故所求直線的方程為.26. 指出下列方程所表示的幾何圖形的名稱 ，并畫草圖.（了解！）（1） （2