上海市2016高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試卷含解析

1、一、填空題(本大題滿(mǎn)分54分)本大題共有12題，其中第1題至第6題每小題4分，第7題至第12題每小題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，否則一律得零分1. 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為10.2. 已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為，則原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為_(kāi).【答案】1【解析】直線(xiàn)的方向向量為，所以直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)方程為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可知，故答案為1.3. 已知全集，集合,若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi).【答案】2【解析】試題分析：由題意，則，由得，解得考點(diǎn)：集合的運(yùn)算4. 若變量滿(mǎn)足約束條件 則的最小值為_(kāi).【答案】【解

2、析】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)，得，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在y軸上的截距最小，有最小值為，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5. 直線(xiàn)上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_.【答案】或.【解析】解：因?yàn)橹本€(xiàn)上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是和6. 某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)2個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到

3、紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是_.【答案】【解析】設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為.7. 某學(xué)校隨機(jī)抽取名學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，則該校學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間的均值估計(jì)為_(kāi)（精確到分鐘）.【答案】34.點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個(gè)小矩形的面積的意義及各個(gè)小矩形的面積和為1，本題考查了識(shí)圖的能力；根據(jù)直方圖求平均值的公式，各個(gè)小矩形的面積乘以相應(yīng)組距的中點(diǎn)的值，將它

4、們相加即可得到平均值.8. 一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種_.【答案】186【解析】試題分析：設(shè)取紅球個(gè)，白球個(gè)，則考點(diǎn)：古典概型.9. 如圖，三棱錐滿(mǎn)足：，則該三棱錐的體積V的取值范圍是_【答案】【解析】由于 平面， ，在 中，要使 面積最大，只需，的最大值為，的最大值為，該三棱錐的體積V的取值范圍是.10. 是雙曲線(xiàn)的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值等于_.【答案】9【解析】試題分析：兩個(gè)圓心正好是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，再根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得的最大值為.考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的定義，距離的最值問(wèn)題.11.

5、 棱長(zhǎng)為1的正方體及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，集合,則集合構(gòu)成的幾何體表面積為_(kāi).【答案】【解析】試題分析：.考點(diǎn)：幾何體的表面積.12. 在直角坐標(biāo)平面中，已知兩定點(diǎn)與位于動(dòng)直線(xiàn)的同側(cè)，設(shè)集合點(diǎn)與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離之差等于，記,.則由中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是_.【答案】【解析】過(guò)與分別作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則由題意值，即，三角形為正三角形，邊長(zhǎng)為，正三角形的高為，且，集合對(duì)應(yīng)的軌跡為線(xiàn)段的上方部分，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榘霃綖?的單位圓內(nèi)部，根據(jù)的定義可知，中的所有點(diǎn)所組成的圖形為圖形陰影部分陰影部分的面積為，故答案為.二、選擇題(本大題滿(mǎn)分20分)本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)

6、編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分13. 已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（ ）A. 2 B. 0 C. -2 D. -2【答案】C【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，化為，解得，的虛部為，故選C.14. 已知條件：“直線(xiàn)在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等”，條件：“直線(xiàn)的斜率等于”，則是的 （ ）A. 充分非必要條件 B. 必要非充分條件 C. 充要條件 D. 既非充分又非必要條件【答案】B【解析】當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，斜率可以為任意數(shù)，故不成立；當(dāng)直線(xiàn)的斜率等于，可設(shè)直線(xiàn)方程為，故其在兩坐標(biāo)軸上的截距均為，故可得成立，則是的必要非充分條件，故選B.15. 如圖

7、，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱的頂點(diǎn)在軸上，平行于軸，側(cè)棱平行于軸當(dāng)頂點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是 （ ）A. 該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化；B. 該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化；C. 該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化；D. 該三棱柱三個(gè)視圖的投影都不發(fā)生變化【答案】B【解析】A、該三棱柱主視圖的長(zhǎng)度是或者在軸上的投影，隨點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤；B、設(shè)是z軸上一點(diǎn)，且，則該三棱柱左視圖就是矩形，圖形不變故正確；C、該三棱柱俯視圖就是，隨點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤D、與矛盾故錯(cuò)誤；故選B.點(diǎn)睛：本題考查幾何體的三視圖，借助于空間直角坐標(biāo)系本題是一個(gè)比較好的題目

8、，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全，但是又是最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)；從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖，根據(jù)圖中C點(diǎn)對(duì)三棱柱的結(jié)構(gòu)影響進(jìn)一步判斷.16. 如圖，兩個(gè)橢圓，內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線(xiàn)，是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，給出下列三個(gè)判斷：到、四點(diǎn)的距離之和為定值；曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)、均對(duì)稱(chēng)；曲線(xiàn)所圍區(qū)域面積必小于上述判斷中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)【答案】C【解析】對(duì)于，若點(diǎn)在橢圓上，到、兩點(diǎn)的距離之和為定值、到、兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故錯(cuò)；對(duì)于，兩個(gè)橢圓，關(guān)于直線(xiàn)、均對(duì)稱(chēng)，曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)、均對(duì)稱(chēng)，故正確；對(duì)于，曲線(xiàn)所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形

9、內(nèi)部，所以面積必小于36，故正確；故選C.三、解答題(本大題滿(mǎn)分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟17. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，（其中是虛數(shù)單位），若，求的取值范圍【答案】或【解析】試題分析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式即可得到，根據(jù)模長(zhǎng)之間的關(guān)系，得到關(guān)于的不等式，解出的范圍.試題解析：， 即，解得或18. 如圖，直四棱柱底面直角梯形，是棱上一點(diǎn)，.（1）求異面直線(xiàn)與所成的角；（2）求證：平面.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）本題中由于有兩兩垂直，因此在求異面直線(xiàn)所成角時(shí)，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，

10、利用向量的夾角求出所求角；（2）同（1）我們可以用向量法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，以證明線(xiàn)面垂直，易得當(dāng)然我們也可直線(xiàn)用幾何法證明線(xiàn)面垂直，首先，這由已知可直接得到，而證明可在直角梯形通過(guò)計(jì)算利用勾股定理證明，因此，得證.（1）以原點(diǎn)，、分別為軸、軸、，. 3分于是,異面直線(xiàn)與所成的角的大小等于. 6分（2）過(guò)作交于，在中，則，10分，.又，平面. 12分考點(diǎn)：（1）異面直線(xiàn)所成的角；（2）線(xiàn)面垂直.19. 如圖，圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，線(xiàn)段和線(xiàn)段都是底面圓的直徑，且直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角為，已知，（1）求該圓錐的體積；（2）求證：直線(xiàn)平行于平面，并求直線(xiàn)到平面的距離【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1

11、）利用圓錐的體積公式求該圓錐的體積；（2）由對(duì)稱(chēng)性得，即可證明直線(xiàn)平行于平面，到平面的距離即直線(xiàn)到平面的距離，由，求出直線(xiàn)到平面的距離.試題解析：（1）設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，圓錐的體積；（2）證明：由對(duì)稱(chēng)性得，不在平面，平面，平面，C到平面的距離即直線(xiàn)到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則由，得，可得，直線(xiàn)到平面的距離為20. 閱讀：已知，求的最小值.解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則的最小值為.應(yīng)用上述解法，求解下列問(wèn)題：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知正數(shù)，求證：.【答案】（1）9（2）18（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：本題關(guān)鍵是閱讀給定的材料，弄懂弄

12、清給定材料提供的方法（“1”，展開(kāi)后就可應(yīng)用基本不等式求得最值.（1）；（2）雖然沒(méi)有已知的“1”，但觀(guān)察求值式子的分母，可以湊配出“1”：，因此有，展開(kāi)后即可應(yīng)用基本不等式；（3）觀(guān)察求證式的分母，結(jié)合已知有，因此有此式中關(guān)鍵是湊配出基本不等式所需要的兩項(xiàng)，如與合并相加利用基本不等式有，從而最終得出.（1）， 2分而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則，即的最小值為. 5分（2）， 7分而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則，所以函數(shù)的最小值為. 10分（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則. 16分考點(diǎn)：閱讀材料問(wèn)題，“1”的代換，基本不等式.21. 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為、短半軸長(zhǎng)為，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為、短半軸長(zhǎng)為，若，則

13、我們稱(chēng)橢圓與橢圓是相似橢圓已知橢圓，其左頂點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為（1）設(shè)橢圓與橢圓是“相似橢圓”，求常數(shù)的值；（2）設(shè)橢圓，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)為作斜率為的直線(xiàn)與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)取得最小值，并求其最小值；（3）已知橢圓與橢圓是相似橢圓橢圓上異于的任意一點(diǎn)，求證：的垂心在橢圓上【答案】（1）或；（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）運(yùn)用“相似橢圓”的定義，列出等式，解方程可得s；（2）求得 的坐標(biāo)，可得直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程，代入橢圓的方程，運(yùn)用判別式為 ，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得橢圓的方程，設(shè)出橢圓上的任意一點(diǎn)，代入橢圓的方程；設(shè)的垂心的坐標(biāo)為