近年來(lái)自主招生數(shù)學(xué)試卷解讀及應(yīng)試策略

1、近年來(lái)自主招生數(shù)學(xué)試卷解讀及應(yīng)試策略上海華東師大二附中范端喜200241自從 2006 年復(fù)旦大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國(guó)重點(diǎn)院校高考改革試驗(yàn)“破冰”以來(lái)，各高?！吧罨灾鬟x拔錄取改革試驗(yàn)”招生方案不斷出臺(tái)，全國(guó)自主招生高校不斷增多，而且各高校自主招生比例也在增大 . 2010 年自主招生中一些名牌高校首次實(shí)行聯(lián)合統(tǒng)一考試，如清華大學(xué)等5 所高校實(shí)行 “五校聯(lián)考” . 2011年自主招生呈三足鼎立之勢(shì)：以清華大學(xué)為首的7 所高校自主招生稱為“華約”；以北京大學(xué)為首的13 所高校自主招生稱為“北約”； 9 所工科院校組成的自主招生聯(lián)盟稱為“卓越聯(lián)盟”. 這引起教育界人士和家長(zhǎng)們的高度關(guān)注，更引起了廣

2、大中學(xué)生對(duì)自主招生考試的興趣.2012 年的自主招生考試難度不減 . “華約”、“北約”的自主招生考試中，教材基本內(nèi)容大約占60% ，其余內(nèi)容涉及競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí). 2012 年自主招生考試熱點(diǎn)知識(shí)為：三角、方程的根的問(wèn)題、排列組合、二項(xiàng)式定理、概率、解析幾何、平面幾何、組合、導(dǎo)數(shù)、不等式等.1. 試卷特點(diǎn)分析1.1 基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能仍是考查的重點(diǎn)沒(méi)有扎實(shí)的“雙基” ，能力培養(yǎng)就成了無(wú)源之水、無(wú)本之木 . 基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，是培養(yǎng)學(xué)生能力的前提 .縱觀清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)等高校近幾年自主招生筆試題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)， 大部分的題目仍是比較基

3、礎(chǔ)的問(wèn)題. 以復(fù)旦大學(xué)為例，其筆試 30 道左右的選擇題中，也多半是考查學(xué)生們平時(shí)訓(xùn)練過(guò)的一些比較熟悉的題型和知識(shí)點(diǎn).1.2 考查知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面廣，但側(cè)重點(diǎn)有所不同近幾年自主招生的試題，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的所有內(nèi)容，如函數(shù)、集合、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、排列組合、概率統(tǒng)計(jì)、向量、立體幾何、解析幾何等.然而，高校自主招生考試命題是由大學(xué)教授完成的，試題側(cè)重考查高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接. 仍以復(fù)旦大學(xué)為例，以下是幾個(gè)在近幾年該校自主招生考試中出現(xiàn)的頻率較高的知識(shí)點(diǎn)：三角、函數(shù)和方程問(wèn)題、排列組合和概率統(tǒng)計(jì)、不等式等.1.3 注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和其他科目知識(shí)的整合，考查學(xué)生應(yīng)用

4、知識(shí)解決問(wèn)題的能力例如， 2010 年清華大學(xué)等“五校聯(lián)考”有這樣一個(gè)問(wèn)題：已知基因型為AA、 Aa、 aa 的比例為 u : 2v : w,且 u2vw1.（ 1 ）求子一代AA、Aa、aa 的比例；（ 2 ）子二代與子一代比例是否相同？這是一道與生物學(xué)知識(shí)有密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若考生缺乏有關(guān)生物學(xué)方面的知識(shí)，則肯定不能解決此問(wèn)題 .這道題目在考生中引起了強(qiáng)烈的反響，它考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力.本題詳細(xì)解答見(jiàn)名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)的第十講，為了簡(jiǎn)便，下稱本書.2011 年“華約”又考了一道數(shù)學(xué)與物理學(xué)相結(jié)合的問(wèn)題（見(jiàn)本書第十九講）：有一個(gè)圓柱形水杯，質(zhì)量為a 克（底面質(zhì)量不計(jì)）

5、 ，重心在中軸線中點(diǎn)，裝滿水時(shí)，水的質(zhì)量為b 克 .（ 1 ）若 b 3a ,求水裝到一半時(shí)，重心到底面的距離與整個(gè)水杯高度之比；（ 2 ）水的質(zhì)量是多少時(shí)，整體重心最低？2012 年復(fù)旦大學(xué)也考了一道數(shù)學(xué)與物理學(xué)相結(jié)合的問(wèn)題（見(jiàn)本書第十九講）：某船從 B 點(diǎn)出發(fā)，以速度v 勻速向東航行，觀察者在B點(diǎn)正南距離為s 的 A點(diǎn)進(jìn)行觀察，當(dāng)觀察者感覺(jué)速度是 B 處速度的 1 時(shí)，觀察者的視線跟隨行船偏轉(zhuǎn)的角度為().4A.30B.60C.45D.2251.4 突出對(duì)思維能力和解題技巧的考查近幾年的自主招生試卷中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和思維策略的考查達(dá)到了相當(dāng)高的層次，難度上有時(shí)與全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題相當(dāng)

6、.例如， 2007 年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)自主招生試題中有這樣一個(gè)問(wèn)題：設(shè) f (x)(1a)x4x3(3a2) x24a ，試證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a ：（ 1 ）方程f ( x)0 總有相同實(shí)根；（ 2 ）存在 x0 ，橫有f ( x0 )0.這兩小問(wèn)解決的策略和方法是：換一個(gè)角度，將函數(shù)看成一個(gè)關(guān)于a 的一次函數(shù) . 該題的詳解見(jiàn)本書第四講 .又如，對(duì)解決學(xué)習(xí)型問(wèn)題的能力的考查，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提到的對(duì)學(xué)生能力要求較高的問(wèn)題 . 學(xué)習(xí)型問(wèn)題要求對(duì)過(guò)去沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的概念、公式、定理或方法，在當(dāng)前情景下通過(guò)閱讀理解，即時(shí)學(xué)習(xí)，并運(yùn)用其解決與之相關(guān)的問(wèn)題 .學(xué)習(xí)型問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解問(wèn)題、獨(dú)立

7、獲取知識(shí)的能力以及創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力都是大有裨益的，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)適當(dāng)加以訓(xùn)練.2007 年清華大學(xué)自主招生考試中有這樣一個(gè)學(xué)習(xí)型問(wèn)題（見(jiàn)本書第一講）：對(duì)于集合 MR2 ( R 2 表示二維點(diǎn)集 )，稱 M 為開(kāi)集，當(dāng)且僅當(dāng)P0 M , r 0,使得PR 2PP0 rM .判斷集合 (x, y) 4x2y 5 0 與 ( x, y) x0, y0 是否為開(kāi)集，并證明你的結(jié)論 .2010 年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試32 道試題中，有六七道題涉及此方面的問(wèn)題，例如：設(shè)集合 X 是實(shí)數(shù)集 R 的子集，如果點(diǎn) x0R 滿足：對(duì)任意 a 0 ，都存在 x X ，使得 0 x x0a ，那 么 稱 x0為集

8、合X的聚點(diǎn).用Z表示整數(shù)集，則在下列集合nn Z , n 0 , (2) R1nZ ,n0 , (4)整數(shù)集 中，以 0 為聚點(diǎn)的集合有（） .(1)0, (3)n1nA.(2)(3)B. (1)(4)C. (1)(3)D. (1)(2)(4)該題的詳細(xì)解答請(qǐng)參考本書的第一講.“開(kāi)集”、“聚點(diǎn)”等是高等數(shù)學(xué)中非常重要的概念，同學(xué)們以后會(huì)在數(shù)學(xué)分析、拓?fù)涞日n程中學(xué)習(xí)到.1.5考試題量大、對(duì)考生熟練程度要求極高由于自主招生考試只是針對(duì)少數(shù)特長(zhǎng)生、優(yōu)秀精英學(xué)生的考試，無(wú)論是“北約”、“華約”，還是“卓越聯(lián)盟”、復(fù)旦大學(xué)“千分考”等，對(duì)考生的解題速度都有很高的要求.2012年，“北約”考試題型是文理科

9、各7 道（文科1-7題，理科3-9 題），全部是解答題，語(yǔ)、數(shù)、外三科合在一起，考試時(shí)間共計(jì)3 小時(shí)；“卓越聯(lián)盟”試卷有6 道解答題、6 道填空題，考試時(shí)間是90 分鐘；“華約”試卷有10 道選擇題、5 道解答題，考試時(shí)間是90 分鐘；復(fù)旦大學(xué)“千分考”十門共計(jì)200 道選擇題，其中數(shù)學(xué)題32 道，考試時(shí)間為3 小時(shí)，平均每道題54 秒.2. 應(yīng)試和準(zhǔn)備策略針對(duì)自主招生試題的上述特點(diǎn)，大家在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：2.1 注意知識(shí)點(diǎn)的全面數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，知識(shí)一般都是靠平時(shí)積累，剩下的就是個(gè)人的臨場(chǎng)發(fā)揮.數(shù)學(xué)需要靠平時(shí)扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)才能考出好成績(jī).2.2 適當(dāng)做一些近幾年的自主招生考試

10、的真題俗話說(shuō)，知己知彼，百戰(zhàn)百勝. 同學(xué)們可適當(dāng)?shù)赜?xùn)練自己報(bào)考的或其他高校近幾年自主招生考試的試題，熟悉一下題型是有益的.自主招生考試中有一些題是前幾年的考試真題改編，甚至是原題，例如前面提到的2007 年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)的問(wèn)題，其實(shí)在2004 年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)中就已出現(xiàn)過(guò)類似問(wèn)題（見(jiàn)本書第四講）：已知 f ( x)ax4x3(5 8a)x26x9a.試求出：當(dāng)實(shí)數(shù) x 取何值時(shí)，（ 1 ）總有 f ( x)=0 ；（ 2 ）總有 f (x) 0.又如，下面兩題是同一類問(wèn)題：（ 2012年“卓越聯(lián)盟” ，本書第十二講）求：ycosR) 的值域 .(2 sin（ 2005年復(fù)旦大學(xué)，本書第

11、十二講）求：y1sin x 的最大值 .2cosx再如，下面3 道都是姊妹題：（ 2012年復(fù)旦大學(xué)，本書第十七講）記 2012！=1 2 32012 為從 1到 2012 之間所有整數(shù)的連乘積，則2012！值的尾部（從個(gè)位往前計(jì)數(shù)）連續(xù)的0 的個(gè)數(shù)是.A.504B.503C.502D.501（ 2003年上海交通大學(xué)，本書第十七講）100！的末尾有個(gè)連續(xù)的零 .（ 2006年上海交通大學(xué)，本書第十七講）的末尾有個(gè)連續(xù)的零 .2005！大家留意一下 2012 年蘇州大學(xué)自主招生的最后一道壓軸題（見(jiàn)本書第七講）：已知數(shù)列 an , bn滿足 an 1an2bn ,且 bn16an 6bn , 且

12、 a1 2,b14,求an ,bn .其實(shí)，這道題就是2004 年復(fù)旦大學(xué)自主招生的試題 .2.3 注重知識(shí)的延伸全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生考試試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍易.有些問(wèn)題有一定的深度，這就要求考生平時(shí)要注意知識(shí)點(diǎn)的延伸.例如， 2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第128 題（見(jiàn)本書第七講） ：設(shè) x00， x11，xn 1xn xn 1 ，則數(shù)列 xn 的極限為 _.2A. 2B. 1C.2D. 13322這道題實(shí)際上是利用特征方程特征根求數(shù)列通項(xiàng)公式.又如， 2012 年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第113 題（見(jiàn)本書第十五講） ：設(shè)P(1,2,3), P(2,4,1),P(1, k,

13、5) ,P(4, k+1,3)是空間直角坐標(biāo)系中一個(gè)體積為1 的四面體的四個(gè)頂1234點(diǎn)，其中 k 是實(shí)數(shù)，那么k 的值為.A. 1 或-2B. -1或2C. -3或 4D. -6或12這道題實(shí)際上是要用到用四階行列式表示四面體的體積公式，是教材中三階行列式表示三角形面積公式的一個(gè)推廣.再如， 2008 年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第88 題（見(jiàn)本書第十五講） ：x1x2x3設(shè)x1、x2、x3是方程 x3x 20的三個(gè)根，則行列式 x2x3x1 =( ).x3x1x2A.- 4B.- 1C.0D.2此題要用到兩個(gè)課本之外的知識(shí)點(diǎn)，即三次方程的韋達(dá)定理和公式a3b3c33abc(abc)( a2b2c

14、2abacbc ).三次方程的韋達(dá)定理雖不難推導(dǎo)，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)三次方程比較陌生. 而該公式對(duì)于參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)并不陌生.再看一下2010 年“五校聯(lián)考”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：在三角形ABC ， H 為垂心， O 為外心，中線AD 交 OH 于 G ，求 S AGH .S OGD參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)都清楚，這實(shí)際上是一道與歐拉線有關(guān)的問(wèn)題，若平時(shí)接觸或了解歐拉線的知識(shí)，則做這道題就不費(fèi)吹灰之力 .2.4關(guān)注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內(nèi)容；注重教材之外、課本中沒(méi)有出現(xiàn)的知識(shí)自主招生與高考大約有60%-70%的知識(shí)點(diǎn)是重合的，如數(shù)列、解析幾何、不等式等，這些知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是高考還是自主招生都

15、是重點(diǎn)，但下面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)要提醒考生注意：（ 1）三角：高考對(duì)三角的要求比較低，高考中一般出現(xiàn)在解答題的第一或第二題，屬于送分題. 但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”. 大學(xué)教授對(duì)三角比較重視是有道理的，這是因?yàn)榇髮W(xué)里很多內(nèi)容，比如：微積分、復(fù)變函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等都要用到三角.以下兩題分別是2012 年“卓越聯(lián)盟”和“北約”自主招生試題，都有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性.（ 2012 年“ 卓越聯(lián)盟 ”，本書第十二講） 設(shè) f (x )sin(x)(0,R ) ，設(shè) T (T0) ，若存在 T ，使 f (xT )Tf ( x) 恒成立，

16、則的范圍為.（ 2012 年“北約”，本書第十二講）求使得sin 4xsin 2xsin xsin3 xa在0，有唯一解的a.（ 2）平面幾何：這塊內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的，但除了少數(shù)省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒(méi)涉及平面幾何內(nèi)容，大多數(shù)省市高考不考平面幾何.顯然，初中也學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，但由于時(shí)間長(zhǎng)，多數(shù)同學(xué)早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數(shù)同學(xué)在考試中碰到平面問(wèn)題時(shí)，往往不知所措.以下兩道題是2012 年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：（ 2012 年“北約”，本書第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形.（ 2012年“北約” ）如果銳角ABC 的外接圓圓心為O ，求 O 到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.（ 3）組合：熟悉和學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)知道，組合是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一賽加試共四道） ， 2012 年“華約”和“北約”分別考到一道組合問(wèn)題，其中“北約”的組合問(wèn)題帶有數(shù)論的味道，下面是2012 年“華約”和“北約”自主招生真題：（ 2012 年“華約”，本書第十八講）有 n( n2) 位乒乓球選手，他們互相進(jìn)行了若干場(chǎng)乒乓球雙打比（聯(lián)賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊(duì)友恰好只參加過(guò)一次比賽，請(qǐng)問(wèn)n 的所有可能值.（ 20