近年來自主招生數(shù)學試卷解讀及應(yīng)試策略

1、近年來自主招生數(shù)學試卷解讀及應(yīng)試策略上海華東師大二附中范端喜200241自從 2006 年復旦大學、上海交通大學等全國重點院校高考改革試驗“破冰”以來，各高?！吧罨灾鬟x拔錄取改革試驗”招生方案不斷出臺，全國自主招生高校不斷增多，而且各高校自主招生比例也在增大 . 2010 年自主招生中一些名牌高校首次實行聯(lián)合統(tǒng)一考試，如清華大學等5 所高校實行 “五校聯(lián)考” . 2011年自主招生呈三足鼎立之勢：以清華大學為首的7 所高校自主招生稱為“華約”；以北京大學為首的13 所高校自主招生稱為“北約”； 9 所工科院校組成的自主招生聯(lián)盟稱為“卓越聯(lián)盟”. 這引起教育界人士和家長們的高度關(guān)注，更引起了廣

2、大中學生對自主招生考試的興趣.2012 年的自主招生考試難度不減 . “華約”、“北約”的自主招生考試中，教材基本內(nèi)容大約占60% ，其余內(nèi)容涉及競賽的相關(guān)知識. 2012 年自主招生考試熱點知識為：三角、方程的根的問題、排列組合、二項式定理、概率、解析幾何、平面幾何、組合、導數(shù)、不等式等.1. 試卷特點分析1.1 基礎(chǔ)知識、基本技能仍是考查的重點沒有扎實的“雙基” ，能力培養(yǎng)就成了無源之水、無本之木 . 基礎(chǔ)知識、基本技能是數(shù)學教學的重要任務(wù)之一，是培養(yǎng)學生能力的前提 .縱觀清華大學、北京大學、復旦大學、上海交通大學、浙江大學等高校近幾年自主招生筆試題目，我們會發(fā)現(xiàn)， 大部分的題目仍是比較基

3、礎(chǔ)的問題. 以復旦大學為例，其筆試 30 道左右的選擇題中，也多半是考查學生們平時訓練過的一些比較熟悉的題型和知識點.1.2 考查知識點的覆蓋面廣，但側(cè)重點有所不同近幾年自主招生的試題，知識點的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及高中數(shù)學教學大綱的所有內(nèi)容，如函數(shù)、集合、數(shù)列、復數(shù)、三角、排列組合、概率統(tǒng)計、向量、立體幾何、解析幾何等.然而，高校自主招生考試命題是由大學教授完成的，試題側(cè)重考查高等數(shù)學與初等數(shù)學的銜接. 仍以復旦大學為例，以下是幾個在近幾年該校自主招生考試中出現(xiàn)的頻率較高的知識點：三角、函數(shù)和方程問題、排列組合和概率統(tǒng)計、不等式等.1.3 注重數(shù)學知識和其他科目知識的整合，考查學生應(yīng)用

4、知識解決問題的能力例如， 2010 年清華大學等“五校聯(lián)考”有這樣一個問題：已知基因型為AA、 Aa、 aa 的比例為 u : 2v : w,且 u2vw1.（ 1 ）求子一代AA、Aa、aa 的比例；（ 2 ）子二代與子一代比例是否相同？這是一道與生物學知識有密切聯(lián)系的數(shù)學問題，若考生缺乏有關(guān)生物學方面的知識，則肯定不能解決此問題 .這道題目在考生中引起了強烈的反響，它考查了學生應(yīng)用數(shù)學解決問題的能力.本題詳細解答見名牌大學自主招生高效備考數(shù)學的第十講，為了簡便，下稱本書.2011 年“華約”又考了一道數(shù)學與物理學相結(jié)合的問題（見本書第十九講）：有一個圓柱形水杯，質(zhì)量為a 克（底面質(zhì)量不計）

5、 ，重心在中軸線中點，裝滿水時，水的質(zhì)量為b 克 .（ 1 ）若 b 3a ,求水裝到一半時，重心到底面的距離與整個水杯高度之比；（ 2 ）水的質(zhì)量是多少時，整體重心最低？2012 年復旦大學也考了一道數(shù)學與物理學相結(jié)合的問題（見本書第十九講）：某船從 B 點出發(fā)，以速度v 勻速向東航行，觀察者在B點正南距離為s 的 A點進行觀察，當觀察者感覺速度是 B 處速度的 1 時，觀察者的視線跟隨行船偏轉(zhuǎn)的角度為().4A.30B.60C.45D.2251.4 突出對思維能力和解題技巧的考查近幾年的自主招生試卷中對數(shù)學思想方法和思維策略的考查達到了相當高的層次，難度上有時與全國高中數(shù)學聯(lián)賽一試試題相當

6、.例如， 2007 年上海交通大學冬令營自主招生試題中有這樣一個問題：設(shè) f (x)(1a)x4x3(3a2) x24a ，試證明對任意實數(shù)a ：（ 1 ）方程f ( x)0 總有相同實根；（ 2 ）存在 x0 ，橫有f ( x0 )0.這兩小問解決的策略和方法是：換一個角度，將函數(shù)看成一個關(guān)于a 的一次函數(shù) . 該題的詳解見本書第四講 .又如，對解決學習型問題的能力的考查，一直是高中數(shù)學教學大綱中提到的對學生能力要求較高的問題 . 學習型問題要求對過去沒有學習過的概念、公式、定理或方法，在當前情景下通過閱讀理解，即時學習，并運用其解決與之相關(guān)的問題 .學習型問題對培養(yǎng)學生的閱讀理解問題、獨立

7、獲取知識的能力以及創(chuàng)新精神和實踐能力都是大有裨益的，在平時的學習中應(yīng)適當加以訓練.2007 年清華大學自主招生考試中有這樣一個學習型問題（見本書第一講）：對于集合 MR2 ( R 2 表示二維點集 )，稱 M 為開集，當且僅當P0 M , r 0,使得PR 2PP0 rM .判斷集合 (x, y) 4x2y 5 0 與 ( x, y) x0, y0 是否為開集，并證明你的結(jié)論 .2010 年復旦大學自主招生考試32 道試題中，有六七道題涉及此方面的問題，例如：設(shè)集合 X 是實數(shù)集 R 的子集，如果點 x0R 滿足：對任意 a 0 ，都存在 x X ，使得 0 x x0a ，那 么 稱 x0為集

8、合X的聚點.用Z表示整數(shù)集，則在下列集合nn Z , n 0 , (2) R1nZ ,n0 , (4)整數(shù)集 中，以 0 為聚點的集合有（） .(1)0, (3)n1nA.(2)(3)B. (1)(4)C. (1)(3)D. (1)(2)(4)該題的詳細解答請參考本書的第一講.“開集”、“聚點”等是高等數(shù)學中非常重要的概念，同學們以后會在數(shù)學分析、拓撲等課程中學習到.1.5考試題量大、對考生熟練程度要求極高由于自主招生考試只是針對少數(shù)特長生、優(yōu)秀精英學生的考試，無論是“北約”、“華約”，還是“卓越聯(lián)盟”、復旦大學“千分考”等，對考生的解題速度都有很高的要求.2012年，“北約”考試題型是文理科

9、各7 道（文科1-7題，理科3-9 題），全部是解答題，語、數(shù)、外三科合在一起，考試時間共計3 小時；“卓越聯(lián)盟”試卷有6 道解答題、6 道填空題，考試時間是90 分鐘；“華約”試卷有10 道選擇題、5 道解答題，考試時間是90 分鐘；復旦大學“千分考”十門共計200 道選擇題，其中數(shù)學題32 道，考試時間為3 小時，平均每道題54 秒.2. 應(yīng)試和準備策略針對自主招生試題的上述特點，大家在復習時應(yīng)注意以下幾點：2.1 注意知識點的全面數(shù)學題目被猜中的可能性很小，知識一般都是靠平時積累，剩下的就是個人的臨場發(fā)揮.數(shù)學需要靠平時扎扎實實的學習才能考出好成績.2.2 適當做一些近幾年的自主招生考試

10、的真題俗話說，知己知彼，百戰(zhàn)百勝. 同學們可適當?shù)赜柧氉约簣罂嫉幕蚱渌咝＝鼛啄曜灾髡猩荚嚨脑囶}，熟悉一下題型是有益的.自主招生考試中有一些題是前幾年的考試真題改編，甚至是原題，例如前面提到的2007 年上海交通大學冬令營的問題，其實在2004 年上海交通大學冬令營中就已出現(xiàn)過類似問題（見本書第四講）：已知 f ( x)ax4x3(5 8a)x26x9a.試求出：當實數(shù) x 取何值時，（ 1 ）總有 f ( x)=0 ；（ 2 ）總有 f (x) 0.又如，下面兩題是同一類問題：（ 2012年“卓越聯(lián)盟” ，本書第十二講）求：ycosR) 的值域 .(2 sin（ 2005年復旦大學，本書第

11、十二講）求：y1sin x 的最大值 .2cosx再如，下面3 道都是姊妹題：（ 2012年復旦大學，本書第十七講）記 2012！=1 2 32012 為從 1到 2012 之間所有整數(shù)的連乘積，則2012！值的尾部（從個位往前計數(shù)）連續(xù)的0 的個數(shù)是.A.504B.503C.502D.501（ 2003年上海交通大學，本書第十七講）100！的末尾有個連續(xù)的零 .（ 2006年上海交通大學，本書第十七講）的末尾有個連續(xù)的零 .2005！大家留意一下 2012 年蘇州大學自主招生的最后一道壓軸題（見本書第七講）：已知數(shù)列 an , bn滿足 an 1an2bn ,且 bn16an 6bn , 且

12、 a1 2,b14,求an ,bn .其實，這道題就是2004 年復旦大學自主招生的試題 .2.3 注重知識的延伸全國重點院校自主招生考試試題比高考試題稍難，比數(shù)學競賽試題又稍易.有些問題有一定的深度，這就要求考生平時要注意知識點的延伸.例如， 2012年復旦大學“千分考”的第128 題（見本書第七講） ：設(shè) x00， x11，xn 1xn xn 1 ，則數(shù)列 xn 的極限為 _.2A. 2B. 1C.2D. 13322這道題實際上是利用特征方程特征根求數(shù)列通項公式.又如， 2012 年復旦大學“千分考”的第113 題（見本書第十五講） ：設(shè)P(1,2,3), P(2,4,1),P(1, k,

13、5) ,P(4, k+1,3)是空間直角坐標系中一個體積為1 的四面體的四個頂1234點，其中 k 是實數(shù)，那么k 的值為.A. 1 或-2B. -1或2C. -3或 4D. -6或12這道題實際上是要用到用四階行列式表示四面體的體積公式，是教材中三階行列式表示三角形面積公式的一個推廣.再如， 2008 年復旦大學“千分考”的第88 題（見本書第十五講） ：x1x2x3設(shè)x1、x2、x3是方程 x3x 20的三個根，則行列式 x2x3x1 =( ).x3x1x2A.- 4B.- 1C.0D.2此題要用到兩個課本之外的知識點，即三次方程的韋達定理和公式a3b3c33abc(abc)( a2b2c

14、2abacbc ).三次方程的韋達定理雖不難推導，但平時同學們對三次方程比較陌生. 而該公式對于參加過數(shù)學競賽的同學并不陌生.再看一下2010 年“五校聯(lián)考”中有這樣一個問題：在三角形ABC ， H 為垂心， O 為外心，中線AD 交 OH 于 G ，求 S AGH .S OGD參加過數(shù)學競賽的同學都清楚，這實際上是一道與歐拉線有關(guān)的問題，若平時接觸或了解歐拉線的知識，則做這道題就不費吹灰之力 .2.4關(guān)注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內(nèi)容；注重教材之外、課本中沒有出現(xiàn)的知識自主招生與高考大約有60%-70%的知識點是重合的，如數(shù)列、解析幾何、不等式等，這些知識點無論是高考還是自主招生都

15、是重點，但下面幾個知識點要提醒考生注意：（ 1）三角：高考對三角的要求比較低，高考中一般出現(xiàn)在解答題的第一或第二題，屬于送分題. 但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”. 大學教授對三角比較重視是有道理的，這是因為大學里很多內(nèi)容，比如：微積分、復變函數(shù)、傅里葉級數(shù)等都要用到三角.以下兩題分別是2012 年“卓越聯(lián)盟”和“北約”自主招生試題，都有相當?shù)奶魬?zhàn)性.（ 2012 年“ 卓越聯(lián)盟 ”，本書第十二講） 設(shè) f (x )sin(x)(0,R ) ，設(shè) T (T0) ，若存在 T ，使 f (xT )Tf ( x) 恒成立，

16、則的范圍為.（ 2012 年“北約”，本書第十二講）求使得sin 4xsin 2xsin xsin3 xa在0，有唯一解的a.（ 2）平面幾何：這塊內(nèi)容是高中數(shù)學聯(lián)賽加試中必考的，但除了少數(shù)省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒涉及平面幾何內(nèi)容，大多數(shù)省市高考不考平面幾何.顯然，初中也學習過平面幾何，但由于時間長，多數(shù)同學早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數(shù)同學在考試中碰到平面問題時，往往不知所措.以下兩道題是2012 年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：（ 2012 年“北約”，本書第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個角都相等，則它為正五邊形.（ 2012年“北約” ）如果銳角ABC 的外接圓圓心為O ，求 O 到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.（ 3）組合：熟悉和學習過數(shù)學競賽的同學知道，組合是全國高中數(shù)學聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一賽加試共四道） ， 2012 年“華約”和“北約”分別考到一道組合問題，其中“北約”的組合問題帶有數(shù)論的味道，下面是2012 年“華約”和“北約”自主招生真題：（ 2012 年“華約”，本書第十八講）有 n( n2) 位乒乓球選手，他們互相進行了若干場乒乓球雙打比（聯(lián)賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊友恰好只參加過一次比賽，請問n 的所有可能值.（ 20