中考數(shù)學重難點專題講座動態(tài)幾何問題

1、第三講 動態(tài)幾何問題【前言】從歷年中考來看，動態(tài)問題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的。動態(tài)問題一般分兩類，一類是代數(shù)綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多種函數(shù)交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對考生的綜合分析能力進行考察。所以說，動態(tài)問題是中考數(shù)學當中的重中之重，只有完全掌握，才有機會拼高分。在這一講，我們著重研究一下動態(tài)幾何問題的解法， 第一部分 真題精講【例1】（2010，密云，一模）如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運

2、動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為等腰三角形【思路分析1】本題作為密云卷壓軸題，自然有一定難度，題目中出現(xiàn)了兩個動點，很多同學看到可能就會無從下手。但是解決動點問題，首先就是要找誰在動，誰沒在動，通過分析動態(tài)條件和靜態(tài)條件之間的關(guān)系求解。對于大多數(shù)題目來說，都有一個由動轉(zhuǎn)靜的瞬間，就本題而言，M，N是在動，意味著BM,MC以及DN,NC都是變化的。但是我們發(fā)現(xiàn)，和這些動態(tài)的條件密切相關(guān)的條件DC,BC長度都是給定的，而且動態(tài)條件之間也是有關(guān)系的。所以當題中設定MN/AB時，就變成了一個靜止問題。由此，從這些條件出發(fā)，列出方程，自然得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓海?）由題意知

3、，當、運動到秒時，如圖，過作交于點，則四邊形是平行四邊形， （根據(jù)第一講我們說梯形內(nèi)輔助線的常用做法，成功將MN放在三角形內(nèi)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成平行時候的靜態(tài)問題） （這個比例關(guān)系就是將靜態(tài)與動態(tài)聯(lián)系起來的關(guān)鍵） 解得【思路分析2】第二問失分也是最嚴重的，很多同學看到等腰三角形，理所當然以為是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN這兩種情況。在中考中如果在動態(tài)問題當中碰見等腰三角形，一定不要忘記分類討論的思想，兩腰一底一個都不能少。具體分類以后，就成為了較為簡單的解三角形問題，于是可以輕松求解【解析】（2）分三種情況討論： 當時，如圖作交于，則有即（利用等腰三角形底邊高也是底邊中線的

4、性質(zhì)），解得 當時，如圖，過作于H則， 當時， 則 綜上所述，當、或時，為等腰三角形【例2】（2010，崇文，一模）在ABC中，ACB=45º點D（與點B、C不重合）為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）如果ABAC，如圖，且點D在線段BC上運動（1）中結(jié)論是否成立，為什么？（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC，CD=，求線段CP的長（用含的式子表示）【思路分析1】本題和上題有所不同，上一題會給出一個條件使得動

5、點靜止，而本題并未給出那個“靜止點”，所以需要我們?nèi)シ治鲇蒁運動產(chǎn)生的變化圖形當中，什么條件是不動的。由題我們發(fā)現(xiàn)，正方形中四條邊的垂直關(guān)系是不動的，于是利用角度的互余關(guān)系進行傳遞，就可以得解?！窘馕觥浚海?）結(jié)論：CF與BD位置關(guān)系是垂直；證明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º，DAB=FAC，DABFAC ，ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD【思路分析2】這一問是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構(gòu)筑一個特殊的條件就行，于是我們和上題

6、一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解。（2）CFBD(1)中結(jié)論成立理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º即CFBD【思路分析3】這一問有點棘手，D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X。分類討論之后利用相似三角形的比例關(guān)系即可求出CP.（3）過點A作AQBC交CB的延長線于點Q，點D在線段BC上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易證AQDDCP，點D在線段B

7、C延長線上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x過A作交CB延長線于點G，則 CFBD，AQDDCP，【例3】（2010，懷柔，一模）已知如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形（1）求證：梯形是等腰梯形；（2）動點、分別在線段和上運動，且保持不變設求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由ADCBPMQ60°【思路分析1】本題有一點綜合題的意味，但是對二次函數(shù)要求不算太高，重點還是在考察幾何方面。第一問純靜態(tài)問題，自不必說，只要證兩邊的三角形全等就可以了。第二問和例1一樣是雙動點問題，所以就需要研究在P,Q運動過程中什

8、么東西是不變的。題目給定MPQ=60°，這個度數(shù)的意義在哪里？其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關(guān)系,所以我們很自然想到要通過相似三角形找比例關(guān)系.怎么證相似三角形呢? 當然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）證明：是等邊三角形是中點梯形是等腰梯形（2）解：在等邊中， (這個角度傳遞非常重要,大家要仔細揣摩) (設元以后得出比例關(guān)系,輕松化成二次函數(shù)的樣子)【思路分析2】第三問的條件又回歸了當動點靜止時的問題。由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當X取對稱軸的值時Y有最小值。接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀”的問題了。由已知

9、的BC=4，自然看出P是中點，于是問題輕松求解。（3）解：為直角三角形當取最小值時，是的中點，而以上三類題目都是動點問題，這一類問題的關(guān)鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解。如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的。當動的不是點，而是一些具體的圖形時，思路是不是一樣呢?接下來我們看另外兩道題.【例4】2010，門頭溝，一模已知正方形中，為對角線上一點，過點作交于，連接，為中點，連接（1）直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）將圖1中繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，取中點，連接，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加

10、以證明 （3）將圖1中繞點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？（不要求證明）【思路分析1】這一題是一道典型的從特殊到一般的圖形旋轉(zhuǎn)題。從旋轉(zhuǎn)45°到旋轉(zhuǎn)任意角度，要求考生討論其中的不動關(guān)系。第一問自不必說，兩個共斜邊的直角三角形的斜邊中線自然相等。第二問將BEF旋轉(zhuǎn)45°之后，很多考生就想不到思路了。事實上，本題的核心條件就是G是中點，中點往往意味著一大票的全等關(guān)系，如何構(gòu)建一對我們想要的全等三角形就成為了分析的關(guān)鍵所在。連接AG之后，拋開其他條件，單看G點所在的四邊形ADFE，我們會發(fā)現(xiàn)這是一個梯形，于是根據(jù)我們在第一講專題中所討論的

11、方法，自然想到過G點做AD,EF的垂線。于是兩個全等的三角形出現(xiàn)了。（1）（2）（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即證明：連接，過點作于，與的延長線交于點在與中，在與中， 在矩形中，在與中，【思路分析2】第三問純粹送分，不要求證明的話幾乎所有人都會答出仍然成立。但是我們不應該止步于此。將這道題放在動態(tài)問題專題中也是出于此原因，如果BEF任意旋轉(zhuǎn)，哪些量在變化，哪些量不變呢？如果題目要求證明，應該如何思考。建議有余力的同學自己研究一下，筆者在這里提供一個思路供參考：在BEF的旋轉(zhuǎn)過程中，始終不變的依然是G點是FD的中點。可以延長一倍EG到H，從而構(gòu)造一個和EFG全等的三角形，利用BE=EF這一條件將全等

12、過渡。要想辦法證明三角形ECH是一個等腰直角三角形，就需要證明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度變換關(guān)系就可以得證了。（3）（1）中的結(jié)論仍然成立【例5】（2010，朝陽，一模）已知正方形ABCD的邊長為6cm，點E是射線BC上的一個動點，連接AE交射線DC于點F，將ABE沿直線AE翻折，點B落在點B處（1）當=1 時，CF=_cm，（2）當=2 時，求sinDAB的值；（3）當= x 時（點C與點E不重合），請寫出ABE翻折后與正方形ABCD公共部分的面積y與x的關(guān)系式，（只要寫出結(jié)論，不要解題過程）CADB【思路分析】動態(tài)問題未必只有點的平移，圖形的旋轉(zhuǎn)，翻折（就是軸對稱）也是一大熱

13、點。這一題是朝陽卷的壓軸題，第一問給出比例為1，第二問比例為2，第三問比例任意，所以也是一道很明顯的從一般到特殊的遞進式題目。同學們需要仔細把握翻折過程中哪些條件發(fā)生了變化，哪些條件沒有發(fā)生變化。一般說來，翻折中，角，邊都是不變的，所以軸對稱圖形也意味著大量全等或者相似關(guān)系，所以要利用這些來獲得線段之間的比例關(guān)系。尤其注意的是，本題中給定的比例都是有兩重情況的，E在BC上和E在延長線上都是可能的，所以需要大家分類討論，不要遺漏。圖1【解析】（1）CF= 6 cm； （延長之后一眼看出，EAZY） （2） 如圖1，當點E在BC上時，延長AB交DC于點M， ABCF，ABEFCE，=2， CF=3

14、 ABCF，BAE=F又BAE=B AE，B AE=F MA=MF設MA=MF=k，則MC=k -3，DM=9-k在RtADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62，解得 k=MA= DM=（設元求解是這類題型中比較重要的方法）圖2 sinDAB=； 如圖2，當點E在BC延長線上時，延長AD交B E于點N，同可得NA=NE設NA=NE=m，則B N=12-m在RtAB N中，由勾股定理，得m2=(12-m)2+62，解得 m=AN= B N= sinDAB= （3）當點E在BC上時，y=； （所求A B E的面積即為ABE的面積，再由相似表示出邊長）當點E在BC延長線上時，y= 【總結(jié)】

15、通過以上五道例題，我們研究了動態(tài)幾何問題當中點動，線動，乃至整體圖形動這么幾種可能的方式。動態(tài)幾何問題往往作為壓軸題來出,所以難度不言而喻,但是希望考生拿到題以后不要慌張,因為無論是題目以哪種形態(tài)出現(xiàn)，始終把握的都是在變化過程中那些不變的量。只要條分縷析,一個個將條件抽出來,將大問題化成若干個小問題去解決,就很輕松了.為更好的幫助考生,筆者總結(jié)這種問題的一般思路如下：第一、仔細讀題，分析給定條件中那些量是運動的，哪些量是不動的。針對運動的量，要分析它是如何運動的，運動過程是否需要分段考慮，分類討論。針對不動的量，要分析它們和動量之間可能有什么關(guān)系，如何建立這種關(guān)系。第二、畫出圖形，進行分析，尤

16、其在于找準運動過程中靜止的那一瞬間題目間各個變量的關(guān)系。如果沒有靜止狀態(tài)，通過比例，相等等關(guān)系建立變量間的函數(shù)關(guān)系來研究。第三、做題過程中時刻注意分類討論，不同的情況下題目是否有不同的表現(xiàn)，很多同學丟分就丟在沒有討論，只是想當然看出了題目所給的那一種圖示方式，沒有想到另外的方式，如本講例5當中的比例關(guān)系意味著兩種不一樣的狀況，是否能想到就成了關(guān)鍵。第二部分 發(fā)散思考【思考1】2009，石景山，一模已知：如圖（1），射線射線，是它們的公垂線，點、分別在、上運動（點與點不重合、點與點不重合），是邊上的動點（點與、不重合），在運動過程中始終保持，且（1）求證：；（2）如圖（2），當點為邊的中點時，求

17、證：；（3）設，請?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關(guān)？若有關(guān)，請用含有的代數(shù)式表示的周長；若無關(guān)，請說明理由【思路分析】本題動點較多，并且是以和的形式給出長度。思考較為不易，但是圖中有多個直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的線段、角關(guān)系去分析。第三問計算周長，要將周長的三條線段分別轉(zhuǎn)化在一類關(guān)系當中，看是否為定值，如果是關(guān)于M的函數(shù)，那么就是有關(guān)，如果是一個定值，那么就無關(guān)，于是就可以得出結(jié)論了?！舅伎?】2009，西城，二模 ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BP=BA，若PBC180°，且PBC平分線上的一點D滿足DB=DA，（1）當BP與BA重合時（如圖1），BPD= &#

18、176;；（2）當BP在ABC的內(nèi)部時（如圖2），求BPD的度數(shù)；（3）當BP在ABC的外部時，請你直接寫出BPD的度數(shù)，并畫出相應的圖形【思路分析】本題中，和動點P相關(guān)的動量有PBC，以及D點的位置，但是不動的量就是BD是平分線并且DB=DA，從這幾條出發(fā)，可以利用角度相等來找出相似、全等三角形。事實上，P點的軌跡就是以B為圓心，BA為半徑的一個圓，那D點是什么呢？留給大家思考一下【思考3】2009，懷柔，二模如圖：已知，四邊形ABCD中，AD/BC， DCBC，已知AB=5，BC=6，cosB=點O為BC邊上的一個動點，連結(jié)OD，以O為圓心，BO為半徑的O分別交邊AB于點P，交線段OD于點

19、M，交射線BC于點N，連結(jié)MN（1）當BO=AD時，求BP的長；（2）點O運動的過程中，是否存在BP=MN的情況？若存在，請求出當BO為多長時BP=MN；若不存在，請說明理由；（3）在點O運動的過程中，以點C為圓心，CN為半徑作C，請直接寫出當C存在時，O與C的位置關(guān)系，以及相應的C半徑CN的取值范圍。ABCDOPMNABCD（備用圖）【思路分析】這道題和其他題目不同點在于本題牽扯到了有關(guān)圓的動點問題。在和圓有關(guān)的問題當中，時刻不要忘記的就是圓的半徑始終相等這一個隱藏的靜態(tài)條件。本題第一問比較簡單，等腰梯形中的計算問題。第二問則需要用設元的方法表示出MN和BP，從而討論他們的數(shù)量關(guān)系。第三問的

20、猜想一定要記得分類分情況討論?！舅伎?】2009，北京在中，過點C作CECD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段EF(如圖1)（1）在圖1中畫圖探究：當P為射線CD上任意一點（P1不與C重合）時，連結(jié)EP1繞點E逆時針旋轉(zhuǎn) 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關(guān)系，并加以證明；當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結(jié)EP2,將線段EP2繞點E 逆時針旋轉(zhuǎn)1C2與直線CD的位置關(guān)系，畫出圖形并直接寫出你的結(jié)論.（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍.【思路分析】本題是去年中考原題，雖不是壓軸，但動

21、點動線一起考出來，難倒了不少同學。事實上就在于如何把握這個旋轉(zhuǎn)90°的條件。旋轉(zhuǎn)90°自然就是垂直關(guān)系，于是又出現(xiàn)了一堆直角三角形，于是證角，證線就手到擒來了。第二問一樣是利用平行關(guān)系建立函數(shù)式，但是實際過程中很多同學依然忘記分類討論的思想，漏掉了很多種情況，失分非?？上А＝ㄗh大家仔細研究這道中考原題，按照上面總結(jié)的一般思路去拆分條件，步步為營的去解答。第三部分 思考題解析【思考1解析】（1）證明：， 又， 第25題 （2）證明：如圖，過點作，交于點，是的中點，容易證明 在中， （3）解：的周長， 設，則，即 由（1）知，的周長的周長的周長與值無關(guān) 【思考2答案】圖8解：（1）BPD= 30 °； （2）如圖8，連結(jié)CD 解一： 點D在PBC的平分線上，1=2ABC是等邊三角形， BA=BC=AC，ACB= 60° BP=BA， BP=BC BD= BD，PBDCBDBPD=3- - - - - - 3分 DB=DA，BC=AC，CD=CD，BCDACDBPD =30° 解二：ABC是等邊三角形， BA =