幾何模型之一角平分線和線段垂直平分線問題

1、課 題幾何模型之：角平分線和線段垂直平分線問題教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架1、線段垂直平分線的性質(zhì)（1）垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 定理的作用：證明兩條線段相等（2）線段關(guān)于它的垂直平分線對(duì)稱.2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理（1）線段垂直平分線的逆定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上. 定理的作用：證明一個(gè)點(diǎn)在某線段的垂直平分線上.3、關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理（1）關(guān)于三角形三邊垂直平分線的定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.定理的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.（2）三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)

2、位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)是其斜邊的中點(diǎn)；若三角形是鈍角三角形，則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部.反之，三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，則該三角形是銳角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的邊上，則該三角形是直角三角形；三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部，則該三角形是鈍角三角形.4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.定理的作用：證明兩條線段相等；用于幾何作圖問題；角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線.5、角平分

3、線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線性質(zhì)定理的逆定理：在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線 注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：（1）關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.定理的作用：用于證明三角形內(nèi)的線段相等；用于實(shí)際中的幾何作圖問題.（2）三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.【例題精講】B針對(duì)性練習(xí)：例1、已知： PA、PC分別是ABC外角MAC和NCA平分線，它

4、們交于P，PDBM于D，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線。例2、如圖10，已知在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，E為BC中點(diǎn)，連接AE、DE，DE平分ADC，求證：AE平分BAD.課堂筆記：B針對(duì)性練習(xí)：如圖所示，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE=DF。例3、如圖11-1，已知在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分ABC，且BAD與BCD互補(bǔ)，求證：ADCD.課堂練習(xí)：1. ABC中，AB=AC，AC的中垂線交AB于E，EBC的周長為20cm，AB=2BC，則腰長為_。2. 如圖所示，AB/CD，O為A、C的平分線的交點(diǎn)，OEAC于E，且OE=2，則A

5、B與CD之間的距離等于_。已知：如圖，B=C=900，DM平分ADC， AM平分DAB 。求證：M B=MC7、角平分線、平行線、等腰三角形綜合：1.角平分線遇平行線出現(xiàn)等腰三角形。分a、b兩種情形： 圖甲a、 如圖甲：一直線與角的一邊平行b、 如圖乙：一直線與角的平分線平行432ODECBA1圖乙2等腰三角形與角平分線往往出現(xiàn)平行線a、如圖甲：等腰三角形的一腰與角的一邊平行b、如圖乙：等腰三角形的底邊與頂角的外角平分線平行3等腰三角形與平行線往往出現(xiàn)角平分線a、如圖甲：與一腰平行b、如圖乙：與底邊平行 角平分線、平行線、等腰三角形關(guān)系密切，在題設(shè)中若見其一，應(yīng)思其二，想其三；或作其二，尋找發(fā)

6、現(xiàn)其三，這種解題思路方法往往能得到打開第一道大門的金鑰匙，突破解題的一個(gè)難點(diǎn)，使一類題目變難為易成為可能，使學(xué)生對(duì)題目一看就會(huì)成為可能。角平分線、平行線、等腰三角形“知識(shí)板塊”的應(yīng)用舉例：321IEDABC例1、如圖1：已知在ABC中ABC、ACB的平分線交于點(diǎn)I，過點(diǎn)I作DE/BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E。求證：DE=BD+CE。13ABCDEI圖（2）2例2、如圖2：已知I是ABC的內(nèi)心，DI/AB交BC于點(diǎn)D，EI/AC交BC于E。求證：DIE的周長等于BC。4321FEDMCBA例3、如圖3：已知在ABC中，ABC的平分線與ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，DE/BC，交AB于點(diǎn)E，交A

7、C于點(diǎn)F，求證：EF = BECF。例4、平行四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分線交AD于點(diǎn)E， 的平分線交AD于點(diǎn)F，BE、CF交于點(diǎn)G，F(xiàn)G=1。求：的度數(shù)。EODABC例5、在矩形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O；DE平分ADC，交BC于點(diǎn)E，BDE=150，求COE的度數(shù)。例6、在ABC中，A DB C于點(diǎn)D ，點(diǎn)E在B C的延長線上，且，AD=3，DE=4。求：CD：CE的值。例7、3CBAED12如圖：BD是角平分線DE/BC，交AB于點(diǎn)E。求DE之長。8、角平分線類問題常用思路：1、 軸對(duì)稱性：內(nèi)容：角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸。思路和方法：邊角

8、等 造全等，也就是在角的兩邊上取相等的線段 構(gòu)造全等三角形 基本結(jié)構(gòu)：如圖，2、 角平分線的性質(zhì)定理：注意兩點(diǎn)（1）距離相等 （2）一對(duì)全等三角形3、 定義：帶來角相等。4、 補(bǔ)充性質(zhì)：如圖，在ABC中，AD平分BAC，則有AB:AC=BD:DC針對(duì)性例題：例題1：如圖，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求證：DCAC例題2：如圖，在ABC中，A等于60°，BE平分ABC，CD平分ACB求證：DH=EH例題3：如圖1，BCAB，BD平分ABC，且A+C=1800，求證：AD=DC例題4 已知：如圖5，在ABC中，C=90°,AC=BC,AD平分CAB.求證：AC+C

9、D=AB9、角平分線定理使用中的幾種輔助線作法：一、已知角平分線，構(gòu)造三角形例題、如圖所示，在ABC中，ABC=3C，AD是BAC的平分線，BEAD于F。求證：二、已知一個(gè)點(diǎn)到角的一邊的距離，過這個(gè)點(diǎn)作另一邊的垂線段如圖所示，1=2，P為BN上的一點(diǎn)，并且PDBC于D，ABBC=2BD。求證：BAPBCP=180°。三、已知角平分線和其上面的一點(diǎn)，過這一點(diǎn)作角的兩邊的垂線段例題、如圖所示，在ABC中，PB、PC分別是ABC的外角的平分線，求證：1=210、與三角形的角平分線有關(guān)的結(jié)論的探究：探究一：在中，A，B的平分線交于點(diǎn)P，試探究BPC與A的關(guān)系？探究二：在中，BP是ABC的平分

10、線，CP是ABC的外角ACE的平分線，試探究：BPC與A的關(guān)系？ 探究三：在中，BP， CP分別是ABC的兩個(gè)外角的平分線，試探究：BPC與A的關(guān)系？11、角平分線攜“截長補(bǔ)短”顯精彩：圖1-1“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法，利用此種方法?？墒顾悸坊砣婚_朗.請(qǐng)看幾例.例1 如圖1-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求證：CD=AD+BC.例2 已知，如圖2-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.圖2-1求證：BAP+BCP=180°例3 已知：如圖3-1，在ABC中，C2B，12.圖3-1求證：AB=AC+CD

11、.圖5圖3練習(xí)：如圖5所示，在ABC中，BC邊的垂直平分線DF交BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)為垂足，DEAB于E，并且AB>AC。求證：BEAC=AE。12、綜合練習(xí)：EMDFCBA圖11、ABAC，A的平分線與BC的垂直平分線相交于D，自D作DEAB，DFAC，垂足分別為E，F(xiàn)求證：BE=CF2、四邊形ABCD中，BCAB，BD平分ABC，且AD=DC求證：A+C=180°3.中，的垂直平分線交于，交于，于，求的長4.分別是銳角三角形ABC的，的平分線，于，于，試說明：（1）；（2）4.如圖所示，已知是的角平分線，垂足分別是，求證：垂直平分四、探索題1.如圖，在中，是的平

12、分線，請(qǐng)你猜想圖中哪兩條線段之和等于第三條線段，并證明你的猜想的正確性（證明你的猜想需要用題中所有的條件）2.如圖所示，在等腰中，（1）請(qǐng)你作出兩腰的垂直平分線（2）若邊的垂直平分線與，分別交于點(diǎn)，邊上的垂直平分線與，分別相交于點(diǎn)，則是什么形狀？你能證明嗎？（3）連結(jié)，DG與BC有什么關(guān)系？（4）若，試求的周長3.用三角尺畫角平分線：如圖，AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，再分別過M、N作OA，OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP，則這條射線即為角平分線請(qǐng)解釋這種做法的道理你還能舉出哪些作角平分線的方法，并說明這種做法的道理1如圖，已知BQ是ABC的內(nèi)角平分線，CQ是ACB的外

13、角平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK，垂足分別為M、N、K，則QM、QN、QK的關(guān)系是2如圖，在ABC中，B=300，C=900，AD平分CAB，交CB于D，DEAB于E，則BDE=3如圖，已知ABCD，PEAB，PFBD，PGCD，垂足分別為E、F、G，且PF=PG=PE，則BPD=4如圖，已知ABCD，0為CAB、ACD的平分線的交點(diǎn)OEAC，且OE=2，則兩平行線AB、CD間的距離等于5已知RtABC中，C=900，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BD:CD=9:7，則D到AB邊的距離為( )(A)18 (B)16 (c)14 (D)126如圖，M

14、PNP，MQ為NMP的角平分線，MT=MP，連結(jié)TQ，則下列結(jié)論不正確的是( )(A)TQ=PQ (B)MQT=MQP (c)QTN=900 (D)NQT=MQT7如圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC將點(diǎn)A 放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線說明它的道理8如圖，AD是BAC的平分線，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC求證：BE=CF9如圖，C、D是AOB平分線上的點(diǎn)，CEOA于E，CFOB于F 求證：CDE=CDF10如圖，ADDC，BCDC：，E是DC上一點(diǎn)，AE平分DAB (1)如果BE平分ABC，求證：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)；

15、(2)如果E是DC的中點(diǎn)，求證：BE平分ABC11如圖，ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn)，作PRAB，PSAC，垂足分別是R、S若AQ=PQ，PR=PS，下列結(jié)論：AS=AR；PQAR；BRPCSP其中正確的是( ) (A) (B) (C) (D)12如圖，ABC中，AB=AC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，垂足分別是E、F，則下列四個(gè)結(jié)論中：AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等；AD任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；ADBC且BD=CD； BDE=CDF其中正確的是( )(A) (B) (C) (D)13(山東競(jìng)賽題，2003)如圖，在RtABC中，ACB=900，CAB=300，ACB的平分線與ABC的外角平分線交于E點(diǎn)，則AEB=( )(A)500 (B)450 (C)400 (D)35014如圖，已知相交直線AB和CD及另一直線MN如果要在MN上找出與AB、CD距離相等的點(diǎn)，方法是，這樣的點(diǎn)至少有個(gè)，最多有個(gè)15如圖，在直線MN上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線AB和射線OC的距離相等16如圖，C=900，AC=BC，AD是BAC的角平分線求證：AC+CD=AB 17如圖，在ABC中，AB=BC=AC，ADBC于D，E、F分別為AB、AC中點(diǎn)求證：DA平分EDF18如圖，ABC中，ABC=1000，ACB的平分線交AB于E，在AC上取一