六年級(jí)清華北大十一分班考試班數(shù)論教師版

1、第三講數(shù) 論真題?？?. 從9899100中任意劃去100個(gè)數(shù)字其他數(shù)字順序不變剩下的數(shù)字組成的數(shù)，最大的是多少?最小的是多少?【分析】 為了保證剩下的數(shù)最大，最高位數(shù)字要盡可能地大，先從中劃去個(gè)數(shù)字剩下；再?gòu)闹袆澣€(gè)教字剩下個(gè)；再?gòu)闹袆澣€(gè)數(shù)字剩下盡可能大的數(shù)，所以最大的數(shù)是為了保證剩下的數(shù)最小，最高位數(shù)字要盡可能地小從中劃去個(gè)數(shù)字剩下：再?gòu)闹袆澣€(gè)數(shù)字，剩下個(gè)，最后從中劃去個(gè)數(shù)字，剩下盡可能小的數(shù)，所以最小的數(shù)是解答：最大的是 最小的是2. 有一個(gè)正整數(shù)的平方，它的最后三位數(shù)字相同但不為0，試求滿(mǎn)足上述條件的最小的正整數(shù)【分析】 平方數(shù)的末尾只能是，因?yàn)槎疾皇峭耆椒綌?shù)，所以所求的數(shù)最小是

2、位數(shù)考察可以知道，所以滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)是解答：滿(mǎn)足條件的最小正整教是3. 一次數(shù)學(xué)考試滿(mǎn)分是100分，6位同學(xué)在這次考試中的平均分是91分，這6位同學(xué)的得分各不相同，其中有一位同學(xué)僅得了65分，那么得分排在第三名的同學(xué)至少得多少分?【分析】 第一 第二 所以 第三至少得4. 有四個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是，則它們的最大公約數(shù)最大是（ ）【分析】 ， 四個(gè)數(shù)分別 最大公約數(shù)為1015. 有一種商品，買(mǎi)個(gè)要角錢(qián)，買(mǎi)個(gè)要角錢(qián)，買(mǎi)個(gè)要角錢(qián)，小明和小紅都有整數(shù)角錢(qián)，小明的錢(qián)最多能買(mǎi)這種商品個(gè)，要是他們的錢(qián)合在一起，則最多能買(mǎi)個(gè)這種商品，那么小紅的錢(qián)最多能買(mǎi)這種商品（ ）個(gè)【分析】 小明的錢(qián)數(shù)： （角

3、） 兩人一共有錢(qián)： （角）小紅有錢(qián)： （角） 小紅最多能買(mǎi)：6. 有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是，將它們分別平方，得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù)（個(gè)位數(shù)和十位數(shù)）相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是（ ）（請(qǐng)寫(xiě)出所有可能的答案）【分析】 個(gè)位 只能 和 或 和中 只有符合中 只有和符合所以一共有三組答案7. 令，其中的數(shù)字是由依次寫(xiě)下正整數(shù)至得到的，則小數(shù)點(diǎn)右邊第位數(shù)字是（ ）【分析】 第個(gè)三位數(shù)是 即的下一位是8. 連續(xù)個(gè)偶數(shù)的和是這個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)偶數(shù)是多少?【分析】 這七個(gè)數(shù)分別是 最大是9. 一個(gè)三位數(shù)除以，商是a，余數(shù)是b（a、b都是正數(shù))求a+b的最大值【分析】 那么一個(gè)三位數(shù)為余數(shù)最大 這個(gè)數(shù) 最大值

4、10. （1）把分成兩個(gè)自然數(shù)的和，使它們的乘積最大，應(yīng)該怎樣分？（2）把分成若干個(gè)自然數(shù)的和，要是這幾個(gè)數(shù)的乘積最大，應(yīng)該怎樣分？【分析】 和考點(diǎn)拓展【例1】 如果一個(gè)正整數(shù)的十進(jìn)制表示中，任何兩個(gè)相鄰數(shù)字的奇偶性不同，則稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“交替數(shù)”，若正整數(shù)至少有一個(gè)倍數(shù)為“交替數(shù)”，則把稱(chēng)為“好數(shù)”是“好數(shù)”嗎？說(shuō)明理由證明：是“好數(shù)”證明：所有與互質(zhì)的正整數(shù)都是“好數(shù)”【分析】 （1）的任何倍數(shù)的十位和個(gè)位都是偶數(shù)（2），前兩位都是偶數(shù)，用“改造”千位，萬(wàn)位和千位都是奇數(shù)，“改造”十萬(wàn)位和萬(wàn)位，滿(mǎn)足條件（3）首先證明任意一個(gè)與互質(zhì)的數(shù)都有倍數(shù)可以寫(xiě)成“”的形式，證：設(shè)這個(gè)與“”互質(zhì)的數(shù)是,

5、取個(gè)不同的自然數(shù)，求被除所得的余數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)余數(shù)相等，將余數(shù)相等的兩個(gè)被除數(shù)相減，則可得到“”，這個(gè)數(shù)能被整除，由于與互質(zhì)，所以去掉末尾的后，剩下的仍是的倍數(shù)，設(shè)這個(gè)數(shù)由個(gè)構(gòu)成，即寫(xiě)成，將這個(gè)數(shù)重復(fù)寫(xiě)兩遍得到，它也是的倍數(shù)，將它除以，再乘以（能被整除），得到，這個(gè)數(shù)仍然是的倍數(shù)，并且是“交替數(shù)”，所以是“好數(shù)”【例2】 n為4位整數(shù)，且組成它的各位數(shù)碼是從左到右呈降序排列連續(xù)數(shù)字則n除以37的所有可能的余數(shù)之和為【分析】 可能為 它們的余數(shù)分別是余數(shù)之和【例3】 在一次馬拉松長(zhǎng)跑比賽中，有100位選手參加大會(huì)準(zhǔn)備了100塊標(biāo)有整數(shù)1到100的號(hào)碼布，分發(fā)給每位選手選手們被要求在比

6、賽結(jié)束時(shí)，將自己號(hào)碼布上的數(shù)字與到達(dá)終點(diǎn)時(shí)的名次數(shù)相加，并將這個(gè)和數(shù)交上去問(wèn)這交上來(lái)的100個(gè)數(shù)字的末2位數(shù)字是否可能都不相同?請(qǐng)回答可能或不可能，并清楚地說(shuō)明理由注：沒(méi)有同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的選手【分析】 (解一)不可能，因?yàn)閺倪x出個(gè)加上從選出個(gè)，結(jié)果可能是，共 有種情況，一旦確定一個(gè)數(shù)，如，那么和就不能再出現(xiàn)，即確定一個(gè)數(shù)就減少兩種情況，那么確定個(gè)數(shù)就需要種情況，本題只有種情況，所以不可能 （解二）不可能，末2位數(shù)字都不相同說(shuō)明各有一個(gè)而，末2位數(shù)字為所有選手身上和號(hào)碼布上的號(hào)碼總和應(yīng)該為：，末2位數(shù)字為00【例4】 已知是正整數(shù)，規(guī)定，令，則整數(shù)除以的余數(shù)為（ ）【分析】 （解一） 余數(shù)是 余數(shù)

7、是 余數(shù)是 余數(shù)是 余數(shù)是（解二）能夠整除，所以的余數(shù)是【例5】 一個(gè)分子是1的分?jǐn)?shù)，化成小數(shù)后是一個(gè)混循環(huán)小數(shù)，且循環(huán)節(jié)為兩位，不循環(huán)也有兩位，那么這種分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？【分析】 假設(shè)該混循環(huán)小數(shù)是，那么其中，且，所以不是和的倍數(shù).令，則，那么，而所以是的約數(shù)，且不是和的倍數(shù).的約數(shù)中的倍數(shù)有，的約數(shù)中的倍數(shù)有個(gè)，的倍數(shù)有個(gè)，即是也是的倍數(shù)有個(gè)，顯然對(duì)任意值，和都有以?xún)?nèi)的符合條件自然數(shù)解，所以符合條件的解有個(gè)，對(duì)應(yīng)的也有個(gè)，即這樣的分?jǐn)?shù)有個(gè)，【例6】 有一個(gè)四位整數(shù)在它的某位數(shù)字前面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，再和這個(gè)四位數(shù)相加，所得結(jié)果是這個(gè)四位數(shù)是（ ）【分析】 結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后有兩位，說(shuō)明這個(gè)小數(shù)要么

8、是，要么是 所以只能是 課后練習(xí)1. 一個(gè)兩位數(shù)被它的各個(gè)數(shù)字之和去除，余數(shù)最大是（ ）【分析】 數(shù)字和， 數(shù)字和，； 數(shù)字和，； ； 所以余數(shù)最大是2. 設(shè)與分別表示兩個(gè)兩位整數(shù)，并且滿(mǎn)足方程，則（ ）【分析】 方程兩邊除以，得，即，為偶數(shù)，被整除，又兩位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)只能在之間，或 經(jīng)驗(yàn)證不符合題意，舍去， 所以3. 實(shí)驗(yàn)小學(xué)的禮堂一共有座位24排每排有座位30個(gè)，全校有650個(gè)學(xué)生在禮堂開(kāi)會(huì)，那么至少育多少排座位上坐的學(xué)生人數(shù)同樣多?【分析】 假設(shè)排座位上坐的人數(shù)都不一樣多，那么最多只能坐人；假設(shè)有兩排坐的人數(shù)同樣多，最多可以坐人：假設(shè)由排坐的人數(shù)同樣多最多可以坐.假設(shè)相同人數(shù)的座位有排最多能坐人，超過(guò)人的總?cè)藬?shù)所以至少有排座位上的人數(shù)相等解答：至少有排座位上的人數(shù)相等4. 兩個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)是1925，這兩個(gè)整數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，得到兩個(gè)商的和是1