《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第四章連通性學(xué)習(xí)筆記

1、第4章連通性本章討論拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)， 包括連通性，局部連通性和弧連 通性，并且涉及某些簡(jiǎn)單的應(yīng)用.這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別 一些互不同胚的空間. 4.1連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握連通與不連通的定義;掌握如何證明一個(gè)集合的連通與否;掌握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性.我們先通過直觀的方式考察一個(gè)例子. 在實(shí)數(shù)空間R中的兩個(gè)區(qū)間（0,1 ） 和1, 2）,盡管它們互不相交，但它們的并（0, 1）UI , 2） = （ 0, 2） 卻是一個(gè)“整體”；而另外兩個(gè)區(qū)間（0, 1 ）和（1, 2）,它們的并（0, 1） U（ 1, 2）是明顯的兩個(gè)“部分”.產(chǎn)生上述不同情形的

2、原因在于，對(duì)于前一 種情形，區(qū)間（0, I ）有一個(gè)凝聚點(diǎn)1在1, 2）中；而對(duì)于后一種情形，兩 個(gè)區(qū)間中的任何一個(gè)都沒有凝聚點(diǎn)在另一個(gè)中.我們通過以下的定義，用術(shù)語 來區(qū)別這兩種情形.定義4.1.1 設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)子集.如果 則稱子集A和B是隔離的.明顯地，定義中的條件等價(jià)于二 J和- - - J同時(shí)成立，也就是 說，A與B無交并且其中的任何一個(gè)不包含另一個(gè)的任何凝聚點(diǎn).應(yīng)用這一術(shù)語我們就可以說，在實(shí)數(shù)空間 R中，子集（0, 1 ）和（1, 2） 是隔離的，而子集（0， l ）和1， 2）不是隔離的.又例如，易見，平庸空間中任何兩個(gè)非空子集都不是隔離的，而在離散空 間中任何兩個(gè)

3、無交的子集都是隔離的.定義4.1.2 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果X中有兩個(gè)非空的隔離子集 A和 B使得X=AJ B,則稱X是一個(gè)不連通空間；否則，則稱 X是一個(gè)連通空間.顯然，包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間是不連通空間，而任何平庸空間都是 連通空間.定理4.1.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.則下列條件等價(jià)：（I ） X是一個(gè)不連通空間；（2） X中存在著兩個(gè)非空的閉子集 A和B使得AH和AJ B= X成立；（3） X中存在著兩個(gè)非空的開子集 A和B使得AH和AJ B= X成立；（4）X中存在著一個(gè)既開又閉的非空真子集.證明 條件（I ）蘊(yùn)涵（2）:設(shè)（1）成立.令A(yù)和B是X中的兩個(gè)非空的隔離子集使得AJ B

4、= X,顯然AH，并且這時(shí)我們有B =BrX =Br（AuB） = （B nZ）u（5 = B因此B是X中的一個(gè)閉子集；同理A也是一個(gè)X中的一個(gè)閉子集.這證明 了集合A和B滿足條件（2）中的要求.條件（2）蘊(yùn)涵（3）.如果X的子集A和B滿足條件（2）中的要求，所 以A、B為閉集，則由于這時(shí)有 A=_和B=，因此A、B也是開集，所以A 和B也滿足條件（3）中的要求.條件（3）蘊(yùn)涵（4）.如果X的子集A和B滿足條件（3）中的要求，所 以A B是開集，則由和B二匸易見A和B都是X中的閉集，因此A、B 是X中既開又閉的真（：A BM0, AU B=X A BMX）子集，所以條件（4） 成立.條件（4）

5、蘊(yùn)涵（I ）.設(shè)X中有一個(gè)既開又閉的非空真子集 A.令則 A和B都是X中的非空的閉子集，它們是無交的并且使得 AU B=X易見兩個(gè)無 交的閉子集必定是隔離的（因?yàn)殚]集的閉包仍為自己）.因此（I ）成立.例4.1.1 有理數(shù)集Q作為實(shí)數(shù)空間R的子空間是一個(gè)不連通空間.這是 因?yàn)閷?duì)于任何一個(gè)無理數(shù) r R-Q，集合（-X，r ）n Q=（-， r HQ是子 空間Q中的一個(gè)既開又閉的非空真子集.定理4.1.2 實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)連通空間.證明 我們用反證法來證明這個(gè)定理.假設(shè)實(shí)數(shù)空間R是不連通空間.則根據(jù)定理4.1.1 ,在R中有兩個(gè)非空閉 集A和B使得AH和AU B= R成立.任意選取aA和b B,

6、不失一般性可設(shè)av b.令=AH a,b，和J =BH a,b.于是和J是R中的兩個(gè)非空閉 集分別包含a和b,并且使得n J =二和U J =a，b成立.集合有上界 b,故有上確界，設(shè)為=.由于是一個(gè)閉集，所以匚，并且因此可見匚v b，因?yàn)槎將導(dǎo)致bnF,而這與nF =二矛盾.因此（1 , b F .由 于J 疋 一個(gè)閉集，所以 一 .這又導(dǎo)致n 一，也與n 一 =二矛盾.定義4.1.3 設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集.如果丫作為X的子空間是一 個(gè)連通空間，則稱丫是X的一個(gè)連通子集；否則，稱丫是X的一個(gè)不連通子集.拓?fù)淇臻gX的子集丫是否是連通的，按照定義只與子空間丫的拓?fù)溆嘘P(guān)(即 丫的連通與否與

7、X的連通與否沒有關(guān)系.)因此，如果/ -丄，則丫是X 的連通子集當(dāng)且僅當(dāng)丫是Z的連通子集這一點(diǎn)后面要經(jīng)常用到.定理4.1.3 設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集，A, B_Y.貝U A和B是子空 間丫中的隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻g X中的隔離子集.因此，丫是X的一個(gè)不連通子集，當(dāng)且僅當(dāng)存在 丫中的兩個(gè)非空隔離子集A和B使得AU B= Y(定義)當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的兩個(gè)非空隔離子集 A和B使得 AU B= Y.證明 用分別表示A在丫，X中的閉包.因?yàn)?Pj(A)nfl)u(CY(S) n& = (C(A)nK)n)u(B)nY)nA)=(6 n(?n fl) u (B) n(?n 血)=(Cx 沖)u

8、 (0 (5)n &因此根據(jù)隔離子集的定義可見定理成立.定理4.1.4 設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)連通子集.如果X中有隔離子集A和B使得YCAUB貝U或者YCA,或者丫匚B.證明 如果A和B是X中的隔離子集使得丫 CAUB則(占 cK) c eV) u (占 c?) c / eV) c (_AnYnB)u(BrYnA)F 0(.4 n5)u(nl) = 0這說明AAY和BAY也是隔離子集.然而(AA Y)U( BA Y) = ( AU B)A Y= Y因此根據(jù)定理4.1.3，集合AAY和BAY中必有一個(gè)是空集.如果AA 丫二二，據(jù)上式立即可見Y B,如果BA 丫=二，同理可見YA.定理4.1.5

9、 設(shè)丫是拓?fù)淇臻g X的一個(gè)連通子集，Z_X滿足條件二二.則 Z也是X的一個(gè)連通子集.證明 假設(shè)Z是X中的一個(gè)不連通子集根據(jù)定理 4.1.3，在X中有非空隔離子集A和B使得Z=AU B,因此Y_AUB由于丫是連通的，根據(jù)定理4.1.4 ,或者 Y_A.丄二二I 匚二 口 二二匸 J或者Y_B,同理，二一門.這兩種情形都與假設(shè)矛盾.定理4.1.6 設(shè)是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族.如果匚貝U -是X的一個(gè)連通子集.證明 設(shè)A和B是X中的兩個(gè)隔離子集，使得- J - , = AU B.任意選取 x?。海皇б话阈?，設(shè)x A.對(duì)于每一個(gè) 丫 r ,由于連通，根據(jù) 定理4.1.4 ,或者二-或者

10、;由于xAA ,所以 ；一 一.根據(jù)定理4.1.3，這就證明了是連通的.定理4.1.7 設(shè)丫是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)子集.如果對(duì)于任意 x, yY存YY在X中的一個(gè)連通子集 r使得x, y：-Y,則丫是X中的一個(gè)連通子集.證明 如果丫=二，顯然丫是連通的.下設(shè)丫工二,任意選取a Y,容易驗(yàn) 證丫=七；I并且a 冷二.應(yīng)用定理4.1.6，可見丫是連通的.我們?cè)?jīng)說過，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) （參見 2. 2）.所 謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個(gè)拓?fù)淇臻g具有必為任何一個(gè)與其同胚的拓?fù)淇臻g 所具有的性質(zhì).事實(shí)上，如果拓?fù)淇臻g的某一個(gè)性質(zhì)，它是藉助于開集或者藉 助于經(jīng)由開集定義的其他概念表達(dá)的，

11、則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè) 連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性 質(zhì).因?yàn)橥呤沁B續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳?變性質(zhì)拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，如果為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè) 商空間所具有，則稱這個(gè)性質(zhì)是一個(gè)可商性質(zhì).因?yàn)橥負(fù)淇臻g到它的商空間的 自然的投射是一個(gè)連續(xù)的滿射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是可商 性質(zhì).以下定理4.1.8指出，連通性(即一個(gè)拓?fù)淇臻g是連通的這一性質(zhì))是一 個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)因此，它是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是可商性質(zhì).定理4.1.8

12、設(shè)f:X -Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射.則 f (X)是Y的一個(gè)連通子集.證明 如果f (X)是丫的一個(gè)不連通子集，則存在 丫的非空隔離子集A 和B使得f (X)= AU B.于是 (A)和(B)是X的非空子集，并且(廠(& n7)c曠S n廣1) u屮(Q門廠(勸三于(He 牙)u(c7) = 0所以 (A)和(B)是X的非空隔離子集.此外，1 (A)U (B) 1 (AU B) = 1 (f(X)=X這說明X不連通.與定理假設(shè)矛盾.拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì) P稱為有限可積性質(zhì)，如果任意 n0個(gè)拓?fù)淇臻gX屁益都具有性質(zhì)P，蘊(yùn)涵著積空間 心嚴(yán)XX:也具有性質(zhì)p.例如，容易直接證明，如

13、果拓?fù)淇臻g 丄丄-為都是離散空間（平庸空 間），則積空間 紅吟心X:也是離散空間（平庸空間），因此我們可以說 拓?fù)淇臻g的離散性和平庸性都是有限可積性質(zhì).根據(jù)定理3. 2. 9以及緊隨其后的說明可見：假設(shè)已知拓?fù)淇臻g的某一個(gè) 性質(zhì)p是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).為了證明性質(zhì)p是一個(gè)有限可積性質(zhì)，我們只要 證明任何兩個(gè)具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g的積空間也是具有性質(zhì) p的拓?fù)淇臻g.定理 4.1.9-J-是n個(gè)連通空間.則積空間亠二I；也是連通空間.證明 根據(jù)前一段中的說明，我們只要對(duì)于 n=2的情形加以證明.首先我們指出：如果 11兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)相同，則二有一個(gè)連通子集同時(shí)包含x和y不失一般性，設(shè)定義映射k: 一

14、 使得對(duì)于任何有一 1 .由于X吐是取常值；的映射,為恒同映射，它們都是連續(xù)映射，其中-.Jlj分別是到第1和第2個(gè)坐標(biāo)空間的投射因此，k是一個(gè)連續(xù)映射根據(jù)定理 4.1.8 , k（；Q是連通的此外易 見， 上（為）屮JX為,因此它同時(shí)包含x和y.現(xiàn)在來證明：中任何兩個(gè)點(diǎn)mybwJEXixx：同時(shí)屬于二的某一個(gè)連通子集.這是因?yàn)檫@時(shí)若令-._：,則根據(jù)前段結(jié)論，可見有二 j的一個(gè)連通子集4同時(shí)包含x和z, 也有二- j 的一個(gè)連通子集I同時(shí)包含y和z.由于z，因此根據(jù)定理4.1.6， 是連通的，它同時(shí)包含x和y.于是應(yīng)用定理4.1.7可見、是一個(gè)連通空間.因?yàn)閚維歐氏空間丁是n個(gè)實(shí)數(shù)空間R的笛

15、卡兒積，而實(shí)數(shù)空間R又是一 個(gè)連通空間，所以應(yīng)用這個(gè)定理可見，n維歐氏空間J是一個(gè)連通空間.作業(yè):P116 3. 5. 6. 8. 14. 4.2連通性的某些簡(jiǎn)單應(yīng)用本節(jié)重點(diǎn)：掌握實(shí)數(shù)空間R中的連通子集的“形狀”掌握實(shí)數(shù)空間R的子集中常見的連通子集與不連通子集掌握常見的幾種空間的同胚與否的事實(shí)讓我們回憶實(shí)數(shù)集合R中區(qū)間的精確定義：R的子集E稱為一個(gè)區(qū)間，如 果它至少包含兩個(gè)點(diǎn)，并且如果 a，b E, avb,則有a , b=x R|ax b - E讀者熟知，實(shí)數(shù)集合R中的區(qū)間共有以下9類：（-x，x），（ a，x）， a，7，（-車 a），（- ，a（a，b），（ a，b， a，b）， a，b

16、因?yàn)椋环矫嬉陨?類集合中的每一個(gè)顯然都是區(qū)間；另一方面，如果E_ R是一個(gè)區(qū)間，可視E有無上（下）界，以及在有上（下）界的情形下視其上（下）確界是否屬于E,而將E歸入以上9類之一在定理4. 1. 2中我們證明了實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)連通空間因?yàn)閰^(qū)間（a， %），（ X，&）和（a，b）都同胚于R （請(qǐng)讀者自己寫出必要的同胚映射）， 所以這些區(qū)間也都是連通的；由于血 8）=血 8）,（-8,a）Ca.b） ca9bl（a C 上U爲(wèi)切 c 麗根據(jù)定理 4. 1. 5可見區(qū)間a，），（ ， a，a，b），（ a，b和 a，b都是連通的.另一方面，假設(shè)E是R的一個(gè)子集，并且它包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)如果E不是

17、一個(gè)區(qū)間，則 ? - -,也就是說，存在acb,使得m ；從而，若令A(yù)= （ x， c） A E, B=（c，x）PE則可見A和B都是E的非空開集，并且有AU B=E和AA B=J ,因此E不連通.綜合以上兩個(gè)方面，我們已經(jīng)證明了:定理421 設(shè)E是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子集.E是包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)的 一個(gè)連通子集當(dāng)且僅當(dāng)E是一個(gè)區(qū)間.定理422 設(shè)X是一個(gè)連通空間，f:X -R是一個(gè)連續(xù)映射.則f(X)是R 中的一個(gè)區(qū)間.因此，如果x, y X,則對(duì)于f(x)與f(y)之間的任何一個(gè)實(shí)數(shù)t (即當(dāng) f(x) f(y)時(shí)，f(x) t f(y);當(dāng) f(y) f(x)時(shí)，f(y) t f(x),存在

18、 z X 使得 f(z)=t .證明 這個(gè)定理的第一段是定理 4. 1. 8和定理421的明顯推論.以下 證明第二段.設(shè)x，y X.如果f (x )= f (y)，則沒有什么要證明的.現(xiàn)在 設(shè)f (x)工f (y)，并且不失一般性，設(shè)f (x) v f (y).由于 f (X)是一個(gè)區(qū)間，所以f (x)，f (y) _ f (X).因 此對(duì)于任何t，f(x) t 1維歐氏空間的子集丁 -0是一個(gè)連通子集，其中0= (0, 0, ,， 0) 7 .證明 我們只證明n = 2的情形.根據(jù)定理4. 1. 9, 丁中的子集(-%, 0) 乂尺和(0,x)XR都是連通的.由于c0l)x5-0 c 0)x

19、R =(Op)xfi所以根據(jù)定理4. 1. 5, Rn中的子集A=0, ) XR-0是連通的；同理， 子集B=(- %, 0XR-0是連通的.由于 AH以及AU B=T -0，因此根據(jù)定理4.1 . 6可見，-0是連通的.一般情形的證明類似，請(qǐng)讀者自行補(bǔ)證.定理426可以得到進(jìn)一步的改善(參見習(xí)題第 4題)定理427 歐氏平面】和實(shí)數(shù)空間R不同胚.證明 假設(shè)丁與R同胚，并且設(shè)f:-R是一個(gè)同胚因此對(duì)于連續(xù)映 射我們有J 但根據(jù)定理 426 , ? -0是連通的,而根據(jù)定理421 , R-f(0)是不連通的這與定理4. 1. 8矛盾.定理427給出了利用拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)判定兩個(gè)空間不同胚的第一個(gè)實(shí)例

20、.定理424，定理425和定理427盡管簡(jiǎn)單但確有意思，特別是這幾 個(gè)定理都有高維“版本”，我們分別陳述如下：定理4.2.8Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理 設(shè)f :丄.-是一個(gè)連續(xù)映射，其 中是 n維球體.則存在z丄使得f (z) =z.定理4.2.9Borsuk Ulam定理 設(shè)f：一廠 是一個(gè)連續(xù)映射，其中 nm則存在x使得f (x) =f (-x ).定理4210 如果n m則歐氏空間 T和不同胚.這些定理的證明 (除去我們已經(jīng)證明過的情形)一般都需要代數(shù)拓?fù)渲R(shí)，例如同調(diào)論或同倫 論，請(qǐng)參閱有關(guān)的專門書籍.作業(yè)：P121 4. 4.3連通分支本節(jié)重點(diǎn):掌握連通分支的定義（即連通”類”的分法）

21、;掌握連通分支的性質(zhì)（定理431）.從前面兩節(jié)中的內(nèi)容可以看出，知道一個(gè)拓?fù)淇臻g是否連通給我們處理- 些問題帶來很大的方便.這導(dǎo)致我們?nèi)タ疾煲粋€(gè)我們并不知道是否連通的拓?fù)?空間中的“最大”連通子集（即連通分支）.定義431 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x, y X.如果X中有一個(gè)連通子集 同時(shí)包含x和y，我們則稱點(diǎn)x和y是連通的.（注意：是點(diǎn)連通）根據(jù)定義可見，如果x, y, z都是拓?fù)淇臻gX中的點(diǎn)，貝U（1）x和x連通（因?yàn)槊恳粋€(gè)單點(diǎn)集都是連通子集）；（2）如果x和y連通，則y和x也連通；（顯然）（3）如果x和y連通，并且y和z連通，則x和z連通.（這是因?yàn)椋?這時(shí)存在X中的連通子集A和B使得x，y

22、A和y，z B.從而由于y APB 可見AUB連通，并且x，z AU B.因此x和z連通.）以上結(jié)論歸結(jié)為：拓?fù)淇臻g中點(diǎn)的連通關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.定義432 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.對(duì)于X中的點(diǎn)的連通關(guān)系而言的每一 個(gè)等價(jià)類稱為拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通分支.如果丫是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集.丫作為X的子空間的每一個(gè)連通分支稱 為X的子集丫的一個(gè)連通分支.拓?fù)淇臻gXM二的每一個(gè)連通分支都不是空集；X的不同的連通分支無交； 以及X的所有連通分支之并便是 X本身此外，x, yX屬于X的同一個(gè)連通 分支當(dāng)且僅當(dāng)x和y連通.拓?fù)淇臻gX的子集A中的兩個(gè)點(diǎn)x和y屬于A的同一個(gè)連通分支當(dāng)且僅當(dāng) A有一個(gè)連通子集同時(shí)包含點(diǎn)

23、x和y.定理431 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，C是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通分支.則（1）如果Y是X的一個(gè)連通子集，并且 YG Cm乳【一 f ;（2）C是一 -個(gè)連通子集；（3）C是一 一個(gè)閉集.本定理中的條件（1）和（2）說明，拓?fù)淇臻g的每一個(gè)連通分支都是 X的 一個(gè)最大的連通子集.證明（1）任意選取x YG C對(duì)于任何y Y由于x和y連通，故y C這 證明Y_C.Y（2） 對(duì)于任何x，y C,根據(jù)定義可見，存在 X的一個(gè)連通子集匸使得 x，y r- .顯然匸G Cm二，故根據(jù)（1）,匚C.應(yīng)用定理4. 1. 7可知, C是連通的.（3）因?yàn)镃連通，根據(jù)定理4. 1. 5，連通.顯然，一 I 一 .所

24、以根據(jù)（1），二 =.從而c是一個(gè)閉集.但是，一般說來連通分支可以不是開集.例如考慮有理數(shù)集 Q （作為實(shí)數(shù) 空間R的子空間）.設(shè)x，y Q xMy.不失一般性，設(shè)xvy.如果Q的一個(gè) 子集E同時(shí)包含x和y，令A(yù)=（- X，r） GE和B=（r，） G E,其中r是任何一 個(gè)無理數(shù)，x v r v y .此時(shí)易見A和B都是Q的非空開集，并且E= AU B.因此 E不連通.以上論述說明E中任何一個(gè)包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的集合都是不連通的， 也就是說，Q的連通分支都是單點(diǎn)集然而易見 Q中的每一個(gè)單點(diǎn)集都不是開 集.記住這個(gè)事實(shí)：任一個(gè)集合A都可以由含于它內(nèi)部的所有連通分支的并而 成(且這些連通分支互不相

25、交).即使是離散空間，它的每一個(gè)點(diǎn)自成連通分支 這個(gè)結(jié)論也成立.作業(yè)：P123 1 . 3. 4. 8. 4.4 局部連通空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握局部連通的定義與性質(zhì)(定理441-443);掌握連通與局部連通的關(guān)系 引進(jìn)新的概念之前，我們先來考察一個(gè)例子.例 4.4.1 在歐氏平面丄中令 S=(x,sin(1/x)|x (0,1.T=0 X-1,1,其中S被稱作拓?fù)鋵W(xué)家的正弦曲線，它是區(qū)間(0, 1在一個(gè) 連續(xù)映射下的象，因此是連通的.此外，也容易驗(yàn)證J SU T,因此SUT也是連通的.盡管如此，倘若我們查看中的點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)它們明顯地分為兩類：S中的每一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)“較小的”鄰域中 都包含著一個(gè)連

26、通的鄰域，而 T中的每一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域都是不連通的. 我們用以下的術(shù)語將這兩個(gè)類型的點(diǎn)區(qū)別開來.定義441 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x X.如果x的每一個(gè)鄰域U中都包 含著x的某一個(gè)連通的鄰域V,則稱拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處是局部連通的.如果拓?fù)淇臻gX在它的每一個(gè)點(diǎn)處都是局部連通的，則稱X是一個(gè)局部連 通空間.回到例441中所定義的拓?fù)淇臻g1.容易證明，在其屬于S的每一個(gè) 點(diǎn)處是局部連通的，而在其屬于 T的每一個(gè)點(diǎn)處都不是局部連通的.也因此， 盡管是一個(gè)連通空間，但它卻不是一個(gè)局部連通的空間.局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的.例如，每一個(gè)離散空間都是局部連 通空間，但包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間卻不是

27、連通空間.又例如，n維歐氏空間丁的任何一個(gè)開子空間都是局部連通的（這是因?yàn)槊恳粋€(gè)球形鄰域都同胚 于整個(gè)歐氏空間廠，因而是連通的），特別，歐氏空間J本身是局部連通的.另 一方面，歐氏空間丁中由兩個(gè)無交的非空開集的并作為子空間就一定不是連通 的（請(qǐng)讀者自己證明）.此外根據(jù)定義立即可見：拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)xX處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x 的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，定理4.4.1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g.則以下條件等價(jià)：（1）X是一個(gè)局部連通空間；（2）X的任何一個(gè)開集的任何一個(gè)連通分支都是開集；（3）X有一個(gè)基，它的每一個(gè)元素都是連通的.證明（1）蘊(yùn)涵（2）.設(shè)C是X的一個(gè)連通分支，- -.如果x

28、C, 由于U是x的一個(gè)鄰域，所以當(dāng)（1）成立時(shí)x有一個(gè)連通鄰域V包含于U又 由于VGC包含著點(diǎn)x,所以不是空集，根據(jù)定理 4. 3. 1可見-/ .因此 C二.這證明C是屬于它的任何一個(gè)點(diǎn)x的鄰域，因此C是一個(gè)開集.條件(2)蘊(yùn)涵(3).若(2)成立，則X的所有開集的所有連通分支(它 們都是開集)構(gòu)成的集族，由于每一個(gè)集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個(gè)基.條件(3)蘊(yùn)涵.顯然.我們常用到定理441的一個(gè)推論：局部連通空間的每一個(gè)連通分支都是 開集.定理442 設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，其中X是局部連通的.又設(shè)f:X -Y 是一個(gè)連續(xù)開映射.則f (X)是一個(gè)局部連通空間.證明 根據(jù)定理4.4

29、.1，可設(shè)B是X的一個(gè)基，其中的每一個(gè)元素都是連 通的.對(duì)于每一個(gè)B B，集合f(B)是連通的，并且由于f是一個(gè)開映射，f (B) 是丫中的一個(gè)開集，因此也是f(X)的一個(gè)開集.這證明集族B1=f (B)|B B 是一個(gè)由f (X)的連通開集構(gòu)成的族.我們指出 B1是f(X)的一個(gè)基，這是因 為，如果U是f(X)中的一個(gè)開集，貝U ( U)是X中的一個(gè)開集，因此碼匚肌廠“戶/(廣如)=如他是B1中某些元素之并.于是根據(jù)定理 441可知f (X)是局部連通的.根據(jù)定理442易見，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì) .定理443 設(shè)是nl個(gè)局部連通空間.則積空間 免-二二：也是局部連通空間.證

30、明(略)應(yīng)用這些定理，有些事情說起來就會(huì)簡(jiǎn)單得多.例如，實(shí)數(shù)空間 R由于所 有的開區(qū)間構(gòu)成它的一個(gè)基，所以它是局部連通的； n維歐氏空間J是n個(gè)R 的積空間，所以它也是局部連通的.當(dāng)然這些事情我們?cè)缇椭懒?作業(yè):P127 123. 4.5 道路連通空間較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺更符合我們的直覺因 而易于理解些我們先定義“道路”.定義4.5.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g從單位閉區(qū)間0,1 -X的每一個(gè)連續(xù)映射f:0 , 1 -X叫做X中的一條道路，并且此時(shí)f(0)和f(1)分別稱為道 路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)當(dāng)x = f (0)和y = f (1)時(shí)，稱f是X中從x到y(tǒng)的一 條道路起點(diǎn)和終

31、點(diǎn)相同的道路稱為閉路，并且這時(shí)，它的起點(diǎn)(也是它的終 點(diǎn))稱為閉路的基點(diǎn).如果f是X中的一條道路，則道路f的象集f(0 ,1)稱為X中的一條曲 線或弧，并且這時(shí)道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱為曲線f(0,1)的起點(diǎn)和終 占八、或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路”這個(gè)詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對(duì)它 原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們?cè)谶@里嚴(yán)格定義的道路 和曲線這兩個(gè)不同的概念.定義4.5.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果對(duì)于任何 x，y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路(或曲線)，我們則稱 X是一個(gè)道路連通空間.X中的一個(gè) 子集丫稱為X中的一個(gè)道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個(gè)道路連通 空間.(

32、Y是否道路連通與X是否道路連通沒有關(guān)系)實(shí)數(shù)空間R是道路連通的.這是因?yàn)槿绻鹸 ,y R,則連續(xù)映射f:0 ,1 -R 定義為對(duì)于任何t 0,1有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y 為終點(diǎn)的道路、也容易驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的.定理4.5.1如果拓?fù)淇臻gX是一個(gè)道路連通空間，則 X必然是一個(gè)連通空間.證明 對(duì)于任何x, y X,由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路 f：0，I -X這時(shí)曲線f (0,1)，作為連通空間0,1在連續(xù)映射下的象， 是X中的一個(gè)連通子集，并且我們有x，y f (0，1) 因此根據(jù)定理4.1.7 可見X是一個(gè)連通空間.連通空間可以不是道路連通的我們已經(jīng)指出例4. 4. I中的是一個(gè)連通空間不難證明(留作習(xí)題，見習(xí)題第3題)它不是道路連通的.道路連通與局部連通之間更沒有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都是局部 連通的，然而包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路 連通空間了.定理4.5.2 設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，其中X是道路連通的，f:X -Y是 一個(gè)連續(xù)映射.則f (X)是道路連通的.證明 設(shè)r| . I 1. 由于X是道