對原函數(shù)存在條件的探討

1、對原函數(shù)存在條件的探討中文摘要 在微積分學(xué)中原函數(shù)存在是其理論的核心原函數(shù)存在定理初步揭示了積分學(xué)中定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系引用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)以及微積分基本定理來論證原函數(shù)存在得到了原函數(shù)存在的條件對原函數(shù)存在條件的探討最后用原函數(shù)存在的條件去解決生活中的實(shí)際例子Abstract: in calculus, the original function existence is the core of the theory. The original function existence theorem initially revealed the relationship between the

2、 original function and the integral in integral calculus and reference guide function and the fundamental theorem of calculus to prove the existence of primitive function, the original function of the existence condition is obtained, discussion on the existence conditions of the original function, c

3、onditions for the original function exists to solve practical examples in life.關(guān)鍵詞 原函數(shù) 定積分 導(dǎo)函數(shù) 微積分基本定理Keywords: primary function, integral, derivative, the fundamental theorem of calculus, Newton Leibniz formula引言 微積分基本定理即原函數(shù)存在定理和newton-leibniz公式肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)存在的重大意義有利于我們研究原函數(shù)的特殊性質(zhì)newton-leibniz公式則是證明原

4、函數(shù)存在的一個(gè)公式因此它們都具有十分重要的意義 在教學(xué)中我們學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)性質(zhì)不定積分可積的概念來計(jì)算定積分利用newton-leibniz公式計(jì)算定積分的值然而定積分的計(jì)算用黎曼可積往往比較復(fù)雜為尋求簡便計(jì)算方法引入原函數(shù)為此原函數(shù)和可積之間在某些情況下就聯(lián)系起來了在微積分學(xué)中我們探討原函數(shù)存在的條件能夠充分認(rèn)識導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)證明原函數(shù)存在通過原函數(shù)存在性將積分與導(dǎo)數(shù)緊密聯(lián)系在一起其中運(yùn)用到newton-leibniz公式將導(dǎo)數(shù)和定積分連接起來函數(shù)可積的條件導(dǎo)函數(shù)的一些性質(zhì)充分利用它們的關(guān)系導(dǎo)出原函數(shù)存在的條件并推廣和運(yùn)用得到實(shí)踐效果使復(fù)雜問題簡單化發(fā)揮數(shù)學(xué)獨(dú)到的美感1. 原函數(shù)1.1原函數(shù)的定義

5、定義1.1函數(shù)與在區(qū)間上有定義若或者則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)注 對于原函數(shù)的說法是有針對性的必須指明在哪個(gè)區(qū)間這樣原函數(shù)才有意義1.2 可積的概念及相關(guān)定理定義1.2.1設(shè)為上的函數(shù)在中插入若干個(gè)分點(diǎn)(這里插入 個(gè)) 來劃分區(qū)間在每一個(gè)部分區(qū)間中任取一點(diǎn)作和式 其中設(shè)為中的最大數(shù)即 當(dāng)時(shí)如果和式的極限存在即 就稱此極限值為在上的定積分記為.數(shù)分別稱為積分上限與積分下限和式稱為的積分和 注 在上述意義下的定積分也叫黎曼積分簡稱積分 定理1.2.1(定積分存在的充要條件)函數(shù)在可積的充要條件是即 (其中為達(dá)布上和為達(dá)布下和)定理1.2.2設(shè)是上的有界函數(shù)則(表示在上黎曼可積)當(dāng)且僅當(dāng)其上下積分相

6、等此時(shí)有定理1.2.3 若則.(其中表示在上連續(xù))定理1.2.4 若是上的單調(diào)函數(shù)則.定理1.2.5（Du Bois Reymond）上有界函數(shù)可積的必要條件是：對任給的存在分劃：其相應(yīng)于的子區(qū)間的長度的總和小于.定理1.2.6(牛頓萊布尼茨公式（Newton-leibniz公式）設(shè)在上可積且在上有原函數(shù)則（下文中簡稱此公式為N-L公式）1.4原函數(shù)的意義定積分的值是在可積基礎(chǔ)上計(jì)算出來的而在微積分學(xué)中有些定積分往往不是太容易計(jì)算而利用newton-leibniz公式尋找被積函數(shù)的原函數(shù)從而可以把復(fù)雜問題簡單化 利用定積分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用newton-leibniz公式把定積分和原函數(shù)聯(lián)系起來可

7、以得到原函數(shù)利用原函數(shù)求定積分生活中也經(jīng)常出現(xiàn)這些類似的問題在我們設(shè)計(jì)鐵路公路天空中飛機(jī)的航線往往需要微積分定理的知識將定積分和原函數(shù)緊密聯(lián)系在一起將誤差降低到最小保證人們的安全具有十分重要的意義2. 原函數(shù)存在的條件2.1原函數(shù)存在的定理及證明定理2.1(充分條件）若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且在 處連續(xù)則其變上限積分 在點(diǎn)處可微且其導(dǎo)數(shù)等于.(當(dāng)是端點(diǎn)或時(shí)是指右左導(dǎo)數(shù))證明 記且不妨討論它在處的右導(dǎo)數(shù). 首先取,因?yàn)橛?所以其差商滿足 其次根據(jù)在點(diǎn)處的連續(xù)性可知對任給存在使得且 現(xiàn)在取就有. 從而又可得差商的估計(jì)式： . 這說明 同理可證得 綜上在上可微且其導(dǎo)函數(shù)等于注 由的任意性可以得到在上處處可

8、導(dǎo)從而變上限積分 也就為的原函數(shù)定義2.1若函數(shù)在點(diǎn)的左右極限都存在但不相等或者 在點(diǎn)的左右極限存在且相等但不等于（或在點(diǎn)處無定義）則稱為第類間斷點(diǎn) 定義2.2 函數(shù)在點(diǎn)的左右極限中至少有一個(gè)不存在則稱為第類間斷點(diǎn)定理2.2 (導(dǎo)函數(shù)極限定理)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)如果極限存在則函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且 定理2.3(達(dá)布定理)設(shè)是某個(gè)區(qū)間內(nèi)的可微函數(shù)是內(nèi)任意兩點(diǎn)而是和之間的任意值則必有一點(diǎn)使得定理2.4(原函數(shù)存在的必要條件1)在某區(qū)間上處處有定義的導(dǎo)函數(shù)如果在內(nèi)有間斷點(diǎn)那么這個(gè)間斷點(diǎn)必為振蕩間斷點(diǎn)證明 設(shè)在區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處間斷那么由定理2.2和定理2.3可知 肯定不是第一類間斷點(diǎn)（否則必在區(qū)間

9、連連續(xù)）也不是無窮間斷點(diǎn)不妨設(shè)故不存在故矛盾推論2.1 定義在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的函數(shù)若有可去間斷點(diǎn)或者在間斷點(diǎn)處 的左右極限中有一個(gè)為無窮則在區(qū)間上不存在原函數(shù)定理2.5 （原函數(shù)存在的必要條件2）若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在原函數(shù)則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有介值性推論2.2 設(shè)且有定義在上的可微函數(shù)滿足 則函數(shù) 在上可微且有（看成復(fù)合函數(shù)）推論2.3 設(shè)且在開區(qū)間上有原函數(shù).（1） 若在上連續(xù)=（2） 若在點(diǎn),上有則2.2 原函數(shù)存在與否的實(shí)例 例2.1 計(jì)算定積分 解 方法一 利用定積分概念當(dāng)為各小區(qū)間的右端點(diǎn)時(shí)有 此題關(guān)鍵利用 方法二 被積函數(shù)在上連續(xù)的則由定理2.1知存在原函數(shù)又由newton-leibni

10、z公式得如下注 比較上面兩個(gè)方法可以知道利用函數(shù)可積的概念計(jì)算不定積分往往比較困難然而利用原函數(shù)和N-L公式計(jì)算不定積分相對容易些例2.2 狄里克萊函數(shù)（dirichlet 函數(shù)）在內(nèi)每一點(diǎn)都是的第二類間斷點(diǎn)問是否dirichlet函數(shù)存在原函數(shù)解 在任意閉區(qū)間內(nèi)不具有介值性且在內(nèi)不連續(xù)由推論2.1知狄里克萊函數(shù)不存在原函數(shù)注 dirichlet不連續(xù)也不存在原函數(shù)例2.3 若函數(shù) 求的原函數(shù)解 當(dāng)時(shí)由于在時(shí)連續(xù)因而由定理2.1知存在原函數(shù)即 當(dāng)時(shí)也存在原函數(shù)即 因此原函數(shù)為注 1)此函數(shù)在上不連續(xù)但存在原函數(shù)由上面例子知不能說明原函數(shù)存在的必要條件2)可以斷言如果不存在原函數(shù)那么這個(gè)函數(shù)一定

11、不連續(xù)例2.4 設(shè)函數(shù) 問是否存在一個(gè)以為其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)原函數(shù) 解 因在上只有在不連續(xù)據(jù)定理1.2.6知該函數(shù)可積但為的第一類間斷點(diǎn)從而不存在原函數(shù) 注 此例函數(shù)不可積但是其原函數(shù)存在3原函數(shù)存在和函數(shù)的可積性的聯(lián)系3.1函數(shù)的原函數(shù)存在性問題由newton-leibniz公式可以知道函數(shù)可積和原函數(shù)密切聯(lián)系函數(shù)可積的條件滿足（定理1.2.1至定理1.2.6滿足可積）可以計(jì)算原函數(shù)如果函數(shù)不連續(xù)是否也能存在原函數(shù)呢計(jì)算定積分下面我們將討論例3.1 設(shè)在上黎曼可積且有求 解 在上黎曼可積并記為（1）式 兩邊同時(shí)對求導(dǎo)可得 記為（2）式在上連續(xù)由定理2.1知具有原函數(shù)即 記為（3）式 將（3）式代入

12、（1）式有： 解得 引理3.1 在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)它在上沒有第一類間斷點(diǎn)定理3.1 若函數(shù)在區(qū)間不連續(xù)且存在第類間斷點(diǎn)則在區(qū)間一定不存在原函數(shù) 證明 若函數(shù)在區(qū)間上存在原函數(shù)則 定理2.3知若有間斷點(diǎn)必為振蕩間斷點(diǎn) 與存在第類間斷點(diǎn)矛盾 一定不存在原函數(shù)例3.2 證明黎曼函數(shù) 在內(nèi)不存在原函數(shù)證明 在不連續(xù)且存在第一類間斷點(diǎn) 定理3.1知不存在原函數(shù) 注 此例說明了不連續(xù)的函數(shù)沒有原函數(shù)但函數(shù)卻可以是可積的 例3.3 已知函數(shù) 問原函數(shù)是否存在？ 解 函數(shù)的第類間斷點(diǎn)(無窮間斷點(diǎn)) 由推論2.1知在處不存在原函數(shù) 結(jié)論 (1)若函數(shù)在區(qū)間上只有第類間斷點(diǎn)則不存在原函數(shù) (2)若函數(shù)在區(qū)間上只有無窮

13、間斷點(diǎn)則不存在原函數(shù) (3)若函數(shù)在區(qū)間上只有振蕩間斷點(diǎn)則原函數(shù)的存在性需要經(jīng)進(jìn)一步探討（由例2.2和例2.3可知）3.2函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在無蘊(yùn)涵關(guān)系 例3.2.1已知 求原函數(shù) 解 當(dāng)時(shí)的某個(gè)原函數(shù)為 當(dāng)時(shí)的原函數(shù)為 故原函數(shù)為注 此在上無界由定理1.2.1知不可積但是卻存在原函數(shù)結(jié)論3.2.1 若函數(shù)可積不一定存在原函數(shù)結(jié)論3.2.2 若函數(shù)不可積也可能存在原函數(shù) 因此函數(shù)可積性和函數(shù)的原函數(shù)存在并無蘊(yùn)涵關(guān)系4原函數(shù)的存在性的推廣及運(yùn)用例4.1 計(jì)算定積分 解 在時(shí)易知 這說明在上的原函數(shù)之一是但因我們有所以根據(jù)推論2.3知 例4.2 設(shè)討論是否存在原函數(shù) 解 函數(shù)不具有介值性 由定

14、理2.5可知不存在原函數(shù)例4.3 設(shè) 試問是否存在原函數(shù) 解 當(dāng)時(shí)處處連續(xù)而當(dāng)時(shí) 當(dāng) 是的第一類間斷點(diǎn)根據(jù)定理3.1可知函數(shù)在 處沒有原函數(shù)例4.4 設(shè)試問是否存在原函數(shù) 解 顯然當(dāng)時(shí)處處連續(xù)（1） 若時(shí) 在點(diǎn)處連續(xù) 根據(jù)原函數(shù)存在定理可知在實(shí)數(shù)域上存在原函數(shù)（2） 若 在點(diǎn)處為的第一類間斷點(diǎn) 據(jù)定理3.1可知不存在原函數(shù) 綜上, 當(dāng)時(shí)不存在原函數(shù) 當(dāng)時(shí)存在原函數(shù)例4.5 設(shè)試討論是否存在原函數(shù) 解 不存在 點(diǎn)為的振蕩間斷點(diǎn) 當(dāng)時(shí)有原函數(shù) 當(dāng)時(shí)在處不存在原函數(shù)5總結(jié)通過資料查閱對原函數(shù)條件進(jìn)一步了解去運(yùn)用原函數(shù)去解決某些實(shí)際問題本文首先給出了原函數(shù)的概念利用原函數(shù)計(jì)算定積分進(jìn)一步給出可積的相關(guān)

15、定理其次對原函數(shù)存在的條件進(jìn)行討論再次從原函數(shù)與定積分的關(guān)系可積函數(shù)的原函數(shù)是否存在進(jìn)行探討等最后應(yīng)用定理解答若干例子本文中原函數(shù)最終是一個(gè)函數(shù)因此函數(shù)值有很多利用原函數(shù)存在定理可以知道函數(shù)可積是原函數(shù)存在的某一個(gè)函數(shù)值因此函數(shù)有原函數(shù)存在要比函數(shù)可積要多得多故只討論了原函數(shù)存在的某一個(gè)局部性質(zhì)本文的不足在于不能對原函數(shù)存在與可積性的關(guān)系給以理論上的證明只給出了反例還有就是對原函數(shù)存在條件的試探還太淺面不夠深入?yún)⒖嘉墨I(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析第三版M.高等教育出版社,1999.2 周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析第二冊M.上海科學(xué)技術(shù)出版社,2003.3 吳崇儉,錢林寧.關(guān)于原函數(shù)存在條件的討論J.安徽建設(shè)工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),1995,(1).4 陳妙琴,關(guān)于函數(shù)可積與原函數(shù)的存在性問題J.福建教育學(xué)院報(bào),2007.5 胡宏, 戴冕,原函數(shù)的存在性J.淮陰工業(yè)?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).2000,(1).6 張申媛,關(guān)于函數(shù)可積性與原函數(shù)存在問題J.中國科技信息.2011(01).7 馬保國,王延軍.分段函數(shù)函數(shù)的可積性與原函數(shù)存在性J.大學(xué)數(shù)學(xué).2009(02).8 賀彭雄,淺談不連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)J.湖北成人教育院學(xué)報(bào).2007(05).9 王薇,定積分中的間斷點(diǎn)與原函數(shù)存在性問題之探討J.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院報(bào).2004(02).10馮春.原函數(shù)性質(zhì)的討論及運(yùn)用J.高等數(shù)學(xué)研究.20